Детерминизм в квантовой механике - Введение меры информации в аксиоматическую базу механики - А.М. Хазен

Общепринятая трактовка квантовой механики противопоставляет классическому детерминизму (выражаемому уравнениями Гамильтона (2.3)) отсутствие, якобы, детерминизма в квантовой механике. Считается, что в квантовой механике ни прошлое, ни будущее не определены однозначно настоящим.

В предыдущем параграфе я показал, что детерминизм классической механики имеет причиной аналоги в ней, казалось бы, сугубо квантовых эффектов. Поэтому общепринятая трактовка детерминизма в квантовой механике нуждается в уточнениях. Рассмотрю их.

Вернусь к параграфу 8 главы I о классической больцмановской нормировке энтропии с уточнениями, введенными в моих предыдущих работах и в этой книге.

Дано фазовое пространство и определена с помощью уравнений состояния типа (2.15), (2.77), (2.81) энергия системы. Если в качестве независимых переменных заданы координаты qj в конфигурационном пространстве и импульсы pj, то существуют сопряженные переменные в виде их производных по времени и . Уравнения Гамильтона выражают связь между ними. Поэтому уравнения Гамильтона определены как для “частиц”, так и для всех видов полей. Уравнения состояния вводят конечный элемент площади в фазовом пространстве dqjdpj = Kk. Это позволяет разбить фазовое пространство на ячейки. Поскольку уравнения состояния (2.15), (2.77), (2.81) вводят, в частности, конечные элементы энергии, то, как и в методе Больцмана, можно ввести числа заполнения ячеек фазового пространства, не зависящие от природы частиц или полей, описываемых уравнениями Гамильтона. Так как адиабатический инвариант системы Kk конкретно свой для каждого класса систем, то числа заполнения ячеек велики, как и необходимо для подсчёта числа возможных состояний системы методом Больцмана. Числа возможных состояний системы равноправны с вероятностями состояний при гиббсовской форме записи энтропии или выражении её с помощью функций распределения.

Поэтому нормировка действия-энтропии-информации определена универсально, независимо от вида элементов, движение которых описывают соответствующие им по форме уравнения Гамильтона.

Однако из метода и результатов исходной работы Шрёдингера [16] следует, что существует способ отобразить результат нормировки энтропии без подсчёта чисел заполнения ячеек и в координатах только конфигурационного пространства. Этот способ есть запись и решение уравнения Шрёдингера для конкретных задач и их условий.

Нормировка энтропии Больцмана проводится в фазовом пространстве. Уравнение Шрёдингера записано для конфигурационного пространства – сечения фазового пространства. Если нормировка энтропии проводится в -пространстве Эренфеста, то конфигурационное пространство есть обычное трёхмерное пространство. Соответственно в нём и формулируется тогда уравнение Шрёдингера.

Уравнение Шрёдингера как форма представления результатов нормировки энтропии только косвенно учитывает импульсные координаты фазового пространства. Но есть адиабатическое уравнение состояния системы (2.15), связывающее координаты в конфигурационном пространстве и импульсы. Оно позволяет замкнуть задачу, сопоставляя импульсы с помощью (2.15) координатам конфигурационного пространства.

Адиабатическое уравнение состояния (2.15) записано в Г-пространстве. В том случае, когда уравнение Шрёдингера записано в -пространстве, необходимое при этом осреднение приводит к записи уравнения состояния в форме (2.13), которая обычна для физики. Используемый при этом символ  и его вероятностное понимание – плата за огрубление задач при переходе к -пространству. Форма уравнений состояния (2.13), (2.78), (2.82) есть конкретное выражение этой платы. Однако в Г-пространстве нет необходимости в такой форме их записи.

В литературе (см., например, [52]) формулируется, что принцип неопределённости Гейзенберга вводит индетерминизм. Это не так.

Детерминизм природы задан возможностью проигнорировать малые ошибки на основе конкретных особенностей фазового пространства. Это однородно, в одинаковых формах проявляется и в классической, и в квантовой механике. Количественно эти эффекты в классической и в квантовой механике различны, качественно – однородны.

Проиллюстрирую сформулированные выше принципы обычным в учебниках квантовой механики сопоставлением в классической и в квантовой терминологии результатов пролёта “частиц” от точечного источника (1 на рис. 3.2) через отверстия 2, 3 в перегородке 4, отделяющей источник 1 от экрана 5.

Количество описанных в литературе мысленных экспериментов с этой схемой огромно. Например, для определённости отошлю читателей к книге Р. Фейнмана [52]. Достоверный результат опытов с такой схемой (неважно, что они мысленные) состоит в том, что для материальных точек классической механики распределение их попаданий на экран будет описываться кривыми 6. От одного отверстия – кривая а. От другого – б. От обоих вместе – в. Для реальных атомов или молекул, для заряженных частиц, например, электронов их распределение на экране описывается дифракционной картиной типа 7, которая подобна картине дифракции от оптического источника.

Реально источник частиц 1 в такой схеме может иметь вид сопла, из которого газ истекает в вакуум, или электронной пушки, или генератора ионно-электронной плазмы, и подобного.

При такой форме анализа задачи рис. 3.2 возможна классическая механическая её постановка: определим уравнение состояния для вытекающего из источника газа, определим с помощью больцмановской нормировки энтропию и температуру для этого газа и решим конкретно сформулированную с помощью рис. 3.2 задачу механики сплошной среды. Естественно, что при этом процедуру нормировки при определении энтропии проводят безотносительно к данной задаче (реально большинство механиков вообще напрочь забывают даже о её существовании в аппарате науки; энтропия механиками используется как предварительно известная макроскопическая переменная). Газодинамическое решение задачи рис. 3.2 подразумевает, что между источником 1 и экраном 5 элементы, составляющие движущуюся среду, взаимодействуют между собой с помощью столкновений или полей (для заряженных частиц).

Что именно получится на экране в данном контексте описывать нет необходимости, так как это другая задача. Исходная постановка задачи рис. 3.2 подразумевает, что элементы системы (атомы или молекулы, заряженные частицы) движутся от источника до экрана без столкновений: характерные размеры устройства рис. 3.2 намного меньше длины свободного пробега элементов, выходящих из 1. В такой постановке задачи неприменима энтропия, вычисленная для газа, и методы газодинамики. Длина свободного пробега велика по отношению к характерным размерам задачи. Каждый элемент движется независимо от остальных.

Поэтому необходимо до решения задачи определить что есть такое каждый элемент, летящий от источника к экрану, какой комплекс свойств отвечает определению единственного элемента.

В газовой динамике задачу описания элемента, составляющего газ, решают, исходя из осреднённых характеристик газа как сплошной среды. Они, в частности, наблюдаемы в экспериментах (например, общеизвестные газовые законы прошлого века).

По осреднённым макроскопическим характеристикам газа синтезируют модель частиц, составляющих газ. Потом проверяют постановками теоретических и практических задач, что в них эта модель работает.

Абсолютизировать так полученную модель нет никаких оснований. Совпадает такая модель единственной частицы газа, в частности, с наблюдениями над единственными частицами – прекрасно. Но результаты экспериментов в схеме рис. 3.2 с такой моделью не совпадают (не важно, что фактически эксперименты поставлены иначе). Вопрос исчерпан. Обсуждать на основе несостоятельной модели движение чего бы то ни было между источником и экраном – бессмысленно.

Необходим способ определить модель индивидуальных элементов из каких-то, пока неизвестных, “первых принципов”. В прошлом казалось, что их в науке нет.

Однако Шрёдингером было угадано некоторое уравнение. В то время ещё не было “наукометрии”, научные журналы ещё не стали распределителями “дефицита”. И сам Шрёдингер понимал, что есть запретные слова, и обходил их. Поэтому его уравнение было опубликовано, а не задавлено рецензиями, что оно есть бездоказательное утверждение.

Далее выяснилось, что предсказания этого уравнения совпадают с экспериментом. Вразумительного объяснения этому не было ни у Шрёдингера, ни у других. Правда, Шрёдингер всё время помнит о своей формальной подстановке (3.27) и всю жизнь пытается найти её смысл, но среди остальных немало тех, кто вообще напрочь о ней забыли. Уравнение Шрёдингера работает в практических задачах, уточняется Дираком, становится источником новых направлений развития науки и техники, хотя его смысл неясен. Для приличия есть некая его трактовка как странного уравнения движения в квантовой механике, но такая трактовка противоречит многим естественным для человека представлениям. Это классики науки ХХ века понимают, упоминают, но вынуждены стыдливо игнорировать под прикрытием всяких слов.

Я утверждаю в [2] – [6] и в этой книге, что Шрёдингером с использованием уравнений классической механики в форме Гамильтона-Якоби угадано уравнение, описывающее нормировку действия-энтропии-информации, заданной в форме (3.27).

Как нормировочное условие уравнение Шрёдингера:

использует форму Гиббса при определении действия-энтропии-информации, то есть имеет аргументом вероятности состояний;

не прямым образом зависит от конкретного вида объектов, описываемых уравнением Гамильтона-Якоби и с его участием уравнениями Гамильтона;

имеет волновой тип, чем неявно утверждает, что относится к тем уровням иерархии действия-энтропии-информации, на которых определяющие – поля;

сопоставляет вероятности решениям для -функции (как составляющим нормировочного условия) в виде величины – квадрата модуля амплитуды решений волнового уравнения Шрёдингера;

отображает сечение фазового пространства по его конфигурационным координатам, а потому в каждой области конфигурационного пространства должно быть с участием соотношения неопределённости Гейзенберга дополнено координатами в пространстве импульсов;

может быть записано в трёхмерном -пространстве при граничных условиях данной постановки задачи, что содержит осреднение, в частности, при дополнении импульсными координатами;

может содержать в числе своих аргументов время, но оно не есть переменная, участвующая в описании кинетики установления новой нормировки энтропии;

Итог этого для задачи, отображённой схемой рис. 3.2. Систему в постановке задачи рис. 3.2 и “частицы” в ней определяет действие-энтропия-информация предыдущего уровня иерархии. На предыдущем уровне иерархии свой адиабатический инвариант, свои сугубо конкретные уравнения состояния, свои дискретные размеры ячеек в фазовом пространстве, свой вид уравнения Гамильтона-Якоби. Если получать из них уравнения Гамильтона, то они отвечают, в частности, тем полям, которые характерны для этого, предыдущего уровня иерархии, и, самое главное, содержат специфику уравнений состояния полей на этом предыдущем уровне иерархии.

Но именно последнего в современной науке нет. Возникает ситуация, когда элементы системы (k – 1) уровня иерархии действия-энтропии-информации не определёны конкретно через ответственные за них субстанции (например, поля). Но специфика нормировочных условий (в данном случае уравнения Шрёдингера) такова, что это не мешает найти в конфигурационном пространстве (и в частном случае в евклидовом трёхмерном пространстве) такое распределение действия-энтропии-информации (k – 1) уровня иерархии, которое при заданной энергии гарантирует максимум действия-энтропии-информации в каждой области пространства – произвести нормировку энтропии. Тогда распределению максимумов этой энтропии можно сопоставлять условную часть свойств объектов k-того уровня иерархии.

Эти объекты распределения можно называть частицами, волнами или любыми словами. Как объекты распределения они определены строго. Для этого нет необходимости исчерпывающе знать их свойства как объектов природы – поскольку речь идёт о распределении, часть их свойств можно проигнорировать, заменяя произвольными названиями.

Для определения свойств элементов системы k-го уровня действия-энтропии-информации на основе распределений для (k – 1) уровня иерархии, уравнение Шрёдингера записывается при конкретных граничных условиях, например, заданных схемой задачи рис. 3.2. Оно описывает распределение объектов с циклическими координатами. Поэтому даёт в виде конкретного решения волновой эквивалент распределения вероятностей попадания некоторых (не обязательно строго определённых) объектов на экран. Это есть нормированное на единицу абстрактное распределение того, что названо любым словом и обладает минимальной специфичностью – циклическими определяющими координатами. В частности для задачи рис. 3.2 волновые уравнения дают то, что в оптике называется дифракционной картиной, например, в виде кривых 7 на рис. 3.2. Это есть совпадающий с экспериментом факт, однако, каковы в деталях объекты, которые отвечают этому распределению? – ответа в уравнении Шрёдингера нет и быть не может.

Приведенное выше объяснение дифракционного вида результата 7 мысленных экспериментов в схеме рис. 3.2 в значительной мере аналогично известному. Но использованный при этом факт – уравнение Шрёдингера есть нормировочное условие – принципиально изменяет обычные в литературе последующие сопоставления результата решения уравнения Шрёдингера с движущимися объектами.

Для того, чтобы от решений уравнения Шрёдингера на рис. 3.2 перейти к каким-либо объектам надо вернуться в строгом виде к уравнениям Гамильтона. Путь для этого – подставить действие-энтропию-информацию в уравнение Гамильтона-Якоби, то есть от функции вернуться к действию как переменной механики. Восстановить при этом недостающую информацию: конкретную величину адиабатического инварианта, конкретные законы данного поля в виде специфических именно для него уравнений состояния, перейти от уравнения Гамильтона-Якоби к уравнениям Гамильтона в форме, соответствующей полю (с учетом уравнений состояния, отвечающих полю).

Только после этого, полученным этим путём объектам можно присваивать, теперь строгие, наименования и обсуждать их свойства.

Является ли электрон или молекула (как экстраполяция на малые размеры следствий механических, газодинамических или электродинамических макроскопических аналогий) объектами, обладающими свойствами, которые строго следуют из реализации подобной цепочки, или нет – a priori дать ответ невозможно.

Уравнение Шрёдингера есть нормировочное условие для распределения вероятностей. Поэтому оно может модельно правильно описывать совершенно разные объекты.

Нет и не может быть “волн-частиц” в том толковании, которое многократно повторяется в современной квантовой механике. В природе существуют объекты, описываемые в фазовом пространстве. Существует информация о них и её нормировка в виде уравнения Шрёдингера. На основе этой информации и предварительного знания их конкретных (не отражённых в уравнении Шредингера) свойств должно формулироваться конкретно для этих объектов уравнение Гамильтона-Якоби и с его помощью уравнения движения Гамильтона.

Информация существует отдельно, уравнения движения – отдельно. Строгость их совместного существования гарантирует неопределённость в виде уравнений состояния (2.15), (2.77), (2.81) и нормировка действия-энтропии-информации.

Связь между нормировкой энтропии и уравнениями движения устанавливает уравнение Гамильтона-Якоби. Но конкретный вид элементов системы должен быть определён в терминах уравнений Гамильтона для соответствующих полей с соответствующими им уравнениями состояния. Иначе эта связь неконкретна.

Природа детерминирована, то есть ограниченно чувствительна к ошибкам начальных условий. Детерминированные объекты описываются взаимосогласованным диапазоном канонически сопряженных пар переменных, то есть обязательно описываются с участием соотношений неопределённости типа гейзенберговских – уравнений состояния.

При использовании уравнения Шрёдингера как нормировочного условия это соблюдено только в той мере, в какой требует сама постановка задачи о нормировке энтропии. Поэтому квантовая механика столь же и так же детерминирована, как и классическая. Причины этого едины – существование порогов чувствительности к ошибкам начальных условий, заданных соотношениями неопределённости Гейзенберга. Количественные реализации этих причин – различны. Но квантовая механика неполна. В ней отсутствует строгий возврат от распределений к конкретным объектам.

Детерминированное описание движения с участием неопределённости дают канонические преобразования С. Ли. В самом общем виде их свойства отображают симметрии теории групп, зависящие от укрупнённых деталей реализации объектов. Потому-то свойства “элементарных частиц” удалось описать только на языке теории групп. На таком языке это возможно при неполном знании свойств объектов этих теорий.

Симметрии не являются самостоятельными законами природы. Они есть наглядное представление (которое допускает теория групп) той части свойств реальных объектов природы, которые описывают закономерности касательных (канонических) преобразований как строгого представления движения в природе.

Хотя необходимость перехода от уравнений Шрёдингера и Дирака к уравнениям Гамильтона понимали все классики уже почти лет сто, многочисленные варианты осуществления этой программы не вызывали удовлетворения классиков-авторов (тем более, на связь такой программы с детерминизмом они даже не пытались указать).

Уравнение Гамильтона-Якоби в его классическом виде (3.22) это и есть выражение в квантовой механике оператора энергии для нестационарной (изменяющейся во времени) функции  Шрёдингера:

. (3.81)

Подстановка (3.27) в нём сохранена. Не завершён возврат к действию как переменной механики. Уравнение состояния учтено в нём только частично – как отказ от предположения о перестановочности дифференцирования во вторых смешанных производных, введение некоммутативности. Отсутствует в современной квантовой механике специфическая часть уравнений состояния, содержащая свойства конкретного поля, распределение колебаний в котором описывает . Операторная форма уравнений квантовой механики – это только удобная экономная запись. В ней нет самостоятельного содержания.

Нормировка энтропии характеризует распределения, сложным образом зависящие от свойств самих элементов. Результат нормировки энтропии можно описать непрерывными функциями, независимо от дискретности ячеек в фазовом пространстве. Но при переходе к уравнениям движения классической механики нужна конкретная специфика свойств элементарного объекта, осреднённое поведение которого описывает уравнение Гамильтона-Якоби. Кроме того, классически уравнение Гамильтона-Якоби получено в условиях нулевого предела объёма в фазовом пространстве и других предпосылок классической механики. Возврат от уравнения Шрёдингера к уравнениям Гамильтона должен происходить в условиях одновременного действия двух несопоставимых моделей, что и вызывает трудности и неудовлетворённость.

Это же связано ещё с одним принципиальным вопросом.

Уравнение Шрёдингера может включать в число своих переменных время. Но это уравнение есть нормировочное условие. Время в нём участвует в описании эволюции установившихся распределений. Кинетика установления распределения уравнением Шрёдингера не описывается. Проявляется это при неадиабатических процессах.

Реально установление максимума энтропии проходит во времени и за конечное время. Есть неполнота принятого научного описания реальности. Можно догадываться, что время установления максимума энтропии для характерных постановок квантовомеханических задач мало, но оно обязательно конечно и заметно в масштабах времён соответствующего уровня иерархии действия-энтропии-информации.

Современная квантовая теория не может описать кинетику процесса, например, перехода между энергетическими уровнями в атоме. Это неадиабатический процесс (сопровождающийся изменением количества информации в системе). Измерения также есть неадиабатический процесс, кинетика которого не описывается уравнением Шрёдингера.

Уравнения Шрёдингера или Дирака используют тот факт, что существуют какие-то поля и циклические координаты в них. В современной науке пока нет конкретного описания этих полей. Например, известно, что масса электрона не есть чисто электромагнитная. Отличие мало, но существует. Следствие однозначно – ответственное за электрон поле сложнее просто электромагнитного. Без определения соответствующих полей кинетику установления распределения, выражаемого уравнением Шрёдингера (Дирака), описать невозможно.

Ключ к формулировке уравнений, описывающих кинетику установление нормировки энтропии (описываемой уравнением Шредингера или Дирака), содержится в работах [55] – [60].

Детерминизм квантвомеханических процессов определён и существует в тождественных формах с детерминизмом классических процессов, если те и другие определены строгим образом.

Детерминизм в квантовой механике - Введение меры информации в аксиоматическую базу механики - А.М. Хазен - Философия как наука