Уравнение Шредингера есть условие нормировки действия-энтропии-информации - Введение меры информации в аксиоматическую базу механики - А.М. Хазен

Если действие в механике есть мера информации, то должно существовать её выражение в форме (1.1) или (1.1а), то есть должна быть возможность записать действие в механике в виде:

S Kk ln (3.27)

где множитель Kk должен иметь размерность действия и быть адиабатическим инвариантом системы. Если  есть вероятности, выраженные действительным числом, то (3.27) есть форма определения энтропии Гиббса (1.1а), которая отличается от (1.1) обратным знаком, так как вероятности меньше единицы, а числа состояний – больше единицы.

Предположу, что действие в уравнениях Гамильтона-Якоби есть энтропия-информация, выраженная в форме (3.27). Тогда должно выполняться:

определение действия-энтропии-информации (3.27) должно содержать условие нормировки энтропии типа С на рис. 1.2.

определение действия-энтропии-информации (3.27) вместе с условиями нормировки должно формально-математически присутствовать в аппарате механики и в опубликованных классических работах (что требует основная предпосылка этой работы, сформулированная во Введении).

Это всё действительно выполняется.

Запись действия в форме (3.27) в качестве переменной в уравнении Гамильтона-Якоби с постоянной Kk = h – постоянной Планка использована Шрёдингером в его работе [16] и приводит к уравнению Шрёдингера относительно новой неизвестной функции . Результат – уравнение Шрёдингера есть нормировочное условие для действия как энтропии-информации, определённой уравнениями Гамильтона-Якоби. Это элементарно следует из его основополагающей работы [16]. Поясню подробнее.

Шрёдингер в своей работе рассматривает консервативные системы, а потому берёт за основу уравнение Гамильтона-Якоби в форме (3.22), которое повторю сокращённо:

, (3.28)

где E есть полная энергия системы.

Он использует формальную подстановку (3.27) в уравнение в частных производных Гамильтона-Якоби (3.28) как средство для того, чтобы преобразовать его в такую форму, когда вместо неизвестной функции S в него входит новая неизвестная функция , которая имеет вид произведения функций, зависящих только от одной координаты:

, (3.29)

где из соображений размерности он принимает K h – постоянной Планка. Функция  зависит только от координат конфигурационного пространства qj и не зависит от импульсов pj, то есть задана не в фазовом, а в конфигурационном пространстве.

Шрёдингер рассматривает конкретную одноэлектронную кеплерову задачу. С учетом подстановки (3.27) для неё энергия H() имеет вид:

. (3.30)

где V есть потенциальная энергия.

Шрёдингер ищет такую действительную во всём конфигурационном пространстве однозначную ограниченную всюду и дважды дифференцируемую функцию , которая дает экстремальное значение интегралу по всему конфигурационному пространству от квадратичной формы (3.30). В результате он получает своё известное уравнение, из которого определяется пространственное распределение .

Найти распределение S, которое отвечает максимуму энергии при заданной величине , равносильно нахождению минимума S при заданной величине энергии (то есть максимума энтропии S при больцмановском выборе знака энтропии). Это есть установление соответствия между заданным количеством энергии и её распределением, гарантирующим экстремум энтропии. Именно в этом главное в больцмановской процедуре нормировки энтропии при её определении в термодинамике. Именно поэтому уравнение Шрёдингера есть нормировочное условие для действия-энтропии-информации в классической механике.

В "Добавлении при корректуре" к своей статье [16] Шрёдингер даёт более прямую связь принципа наименьшего действия и функции . Он отмечает, что можно сделать подстановку (3.27) непосредственно в вариационный принцип и решить вариационную задачу

 (3.31)

при дополнительном условии для функции , которое задано тем, что функция  отображает вероятности:

. (3.32)

Для H он использует конкретный вид (3.30), а элемент объема в конфигурационном пространстве d выражает с помощью способа, использованного Гиббсом в его "Статистической механике" [15], когда в фазовом пространстве выделяется отдельно "скоростной объем" и "конфигурационный объем".

Вводя множитель Лагранжа W, можно записать (3.31) в виде:



Из решения этой вариационной задачи, опять-таки, получается уравнение Шрёдингера, позволяющее определить W и  для конкретных условий, которые задает вид функции H(. Но в этом случае аналогия с термодинамикой, где подобная вариационная задача есть условие нормировки энтропии, более наглядна.

Таким образом предположение о том, что действие есть энтропия – мера информации в классической механике, приводит к уже существующим в науке фактам и методам, которые однозначно подтверждают такое определение, а уравнение Шрёдингера является нормировочным условием для энтропии-информации, выраженной в виде действия.

По принципу существования нормировочные условия обратимы во времени, независимо от обратимости или необратимости процессов с участием действия, которое они определяют. Поэтому обратимость уравнения Шрёдингера не может быть аргументом при анализе вопроса об обратимости или необратимости природы.

Подчеркну итог параграфов 2 и 3 этой главы.

Как и для всех процессов природы, в механике определяющей физической переменной является энтропия-информация. Конкретно её в механике выражает действие.

Энтропия-информация определена всегда для конкретного k-го уровня иерархии синтеза информации (см., главу I). Это справедливо и тогда, когда она есть классическое механическое действие. На общепринятой границе между “волнами” и “частицами” существует два класса процессов синтеза информации.

Один из них относится к области слева на рис. 3.1. Действие- энтропия-информация определено в виде (3.27), аналогичном классическому для термодинамики.

Справа от точки синтеза информации возникли новые объекты. Они существуют на основе той информации, которая привела к их синтезу. Она определяет их макроскопические свойства. Эти новые объекты и их макроскопические свойства описывает уравнение в частных производных Гамильтона-Якоби (3.20), (3.22). В этом уравнениии определяющее есть случайности по отношению к синтезированной информации, каковую отражает факт существования и свойства модели материальных точек механики. Материальные точки существуют на (k + 1) уровне иерархии энтропии-информации. Они есть объекты, свойства которых задали реальные поля, существующие на микроскопическом, k-том уровне иерархии действия-энтропии-информации.

Существование уравнений Гамильтона-Якоби и уравнения Шрёдингера как их следствия есть доказательство того факта, что принцип наименьшего действия задаёт классическую детерминированную механическую траекторию как геометрическое место точек максимума энтропии, определенной в механике в виде действия-энтропии-информации (3.27) на предыдущем уровне иерерхии. Ещё раз напомню, что минимум действия есть минимум энтропии при гиббсовском определении её знака и максимум энтропии для больцмановского знака.

Особенность уравнений Гамильтона-Якоби в том, что на (k + 1) уровне иерархии принцип определения траектории, заданный на предыдущем k-том уровне иерархии, сохраняет за “макроскопической” переменной – действием способность отражать случайности на этом “макроскопическом” уровне: уравнения Гамильтона-Якоби есть условия, ограничивающие “макроскопические” случайности, заданные начальными условиями для объектов (k + 1)-го уровня иерархии – материальных точек классической механики.

Пресловутые волны-частицы возникают потому, что неправомочно объединяются процессы на разных уровнях иерархии действия-энтропии-информации – объединяются переменные принципиально разных задач. Уравнение Шрёдингера не есть уравнение движения как это обычно (см., например, [52]) трактуется. Оно описывает вероятности потому, что является нормировочным условием для энтропии как характеристики распределения вероятностей, действующих на предыдущем уровне иерархии. Ведь именно так определена энтропия в термодинамике при использовании в ней молекулярно-кинетической теории газов и больцмановских ячеек в фазовом пространстве.

В зависимости от конкретных постановок задач принцип наименьшего действия может иметь разные формы в виде принципов не только Гамильтона, но и Лагранжа, Мопертюи, и другие, соответствие которых критериям синтеза информации рис. 1.4 рассмотрю отдельно.

Принципы наименьшего действия по своему существу (как интегральные принципы) определяют процессы во времени не состоянием системы в данный момент времени, а её прошлым и будущим. Это кажется противоречием примату причинности в природе.

Вопросы причинности в связи с принципом наименьшего действия возникли сразу. Мопертюи в подзаголовках своей работы о принципе наименьшего действия использует [53] утверждения типа: “Законы, согласно которым движение сохраняется, распределяется и уничтожается, основаны на атрибутах Высшего Разума”. Строго говоря, убедительного ответа на отмеченные выше вопросы о совместимости причинности и вариационных принципов механики нет и сегодня. Изложенное выше даёт строгий ответ на это противоречие. Поясню.

В главе I было показано, что абстрактное математическое определение информации как запомненного случайного выбора сохраняет общность с наглядными обиходными представлениями, в частности, о предварительном проекте. В простейшем понимании информация связана с возможностью предсказать в определённых границах будущее.

Принципы наименьшего действия в механике, в частности, принцип Гамильтона утверждают, что для механических систем существует информация как физическая переменная и её роль соответствует общему интуитивному пониманию информации как таковой – информация существует для механических (то есть общефизических) процессов и, если для системы из многих элементов она известна как физическая переменная, то будущее системы предсказуемо в пределах конкретных границ. Именно это, а не примитивная трактовка траекторий для уравнений Гамильтона в частной модели обратимого времени, есть утверждение о детерминизме природы.