Действие в классической механике - Введение меры информации в аксиоматическую базу механики - А.М. Хазен - Философия как наука

            Формулировка основ классической механики с использованием урав­нений Гамильтона (2.3) не единственная. Есть вторая столь же фун­да­ментальная (даже более общая) основа классической механики, в кото­рой исходным является принцип наименьшего действия в форме Гамиль­тона [21], [22].

            В принципе Гамильтона рассматриваются многие траектории меж­ду заданными точками  0  и  1.  Как и в параграфе 1 главы II, задана система с голономными связями. Ещё со времён Гамильтона принято в такой постановке задачи использовать термин – система  в независимых координатах.  Вводится функция:

 =                                                (3.1)           

и решает­ся вариационная задача:

SG = W    ,                                    (3.2)

где W – действие с размерностью произведения  qjpj. Напомню, что энергия в форме  L  связана с энергией в форме  H  соотношением (2.16).

            Минимум действия (3.2) определяет траекторию меж­­­­ду двумя точками при условии, что переход между ними по всем возможным пу­тям происходит за один и тот же заданный интервал времени. Ре­зуль­тат не зависит от выбора системы координат. Действие в форме  называют главной функцией Гамиль­то­на.

            Для консервативных систем один из интегралов уравнений дви­же­ния есть интеграл энергии . Тогда, если проинтегрировать систему уравнений Гамильтона, то время можно ввести квадратурой. Это важная особенность классической механики и она дальше будет рассмотрена подробнее. Пока отмечу, что при таком пути интегрирования уравнений движения произвольная постоянная  может входить в интегралы дви­же­ния только как аддитивная составляющая в виде (). Тогда можно ввести функцию , которую называют характери­сти­чес­кой функцией.

Переходя с помощью интеграла энергии к кинети­чес­кой энергии под знаком интеграла в (3.1)  и с помощью этого же интеграла исключая время, можно искать вариацию (3.1), задавая постоянной энергию сис­те­мы. Тогда условие минимума действия при­мет вид:

SL = S = ,                                    (3.3)           

где разные обозначения действия подчеркивают условия варьиро­вания и изменения конкретного выражения энергии под знаком интеграла. Вари­а­ция в форме (3.3) есть вариация действия Лагран­жа.

Интегралы в форму­ли­ровках принципа наимень­ше­го действия (3.2), (3.3) имеют размерность действия – [Джоуль секун­да]. Действие есть столь же фун­да­мен­тальная физическая переменная приро­ды, как вре­­мя и энер­гия. Покажу, что действие в механике удовлетворяет тре­бо­ваниям к оп­ределению энтропии-информации (1.1) из главы I.