Почему нормировка действия-энтропии-информации приводит к волновым уравнениям в комплексной форме - Введение меры информации в аксиоматическую базу механики - А.М. Хазен

Повторю цепочку реализации понятия об информации в классической механике.

Касательные и, в частности, канонические преобразования позволяют свести описание физических систем к двум группам степеней свободы (2.17), (2.18) и уравнениям (2.3). Причина центрального места канонических преобразований в науке в том, что канонические преобразования приводят уравнения классической механики к такой форме, когда действие (то есть информация о системе) становится явной переменной.

Действие (информация) отличает друг от друга степени свободы (2.17) и (2.18). Для степеней свободы (2.17) информация не играет решающей роли. Для степеней свободы (2.18) она есть определяющая переменная и для неё справедливо уравнение Гамильтона-Якоби. Эти степени свободы связаны с циклическими координатами.

Когда координаты для степеней свободы циклические, cуществует реальное вращательное движение. Его параметрическое описание будет иметь форму колебательных процессов и волн. Для вращательного движения возможен случай, когда pj  const. После канонических преобразований и перехода к действию в качестве переменной ему будет соответствовать условие S const. Такая система является адиабатической – количество информации в ней сохраняется неизменным. Но сами циклические степени свободы при этом ненаблюдаемы .

Из главы I ясно, что ненаблюдаемые степени свободы возникают при синтезе информации как отображение процессов на предыдущем уровне иерархии энтропии-информации. Объекты, которые возникли в результате синтеза информации, обладают наблюдаемыми свойствами. На основе этих свойств для них выбираются определяющие переменные.

Однако эти переменные и их свойства возникли как результат запоминания случайного выбора для переменных, которые были определяющими до синтеза информации. Сами эти переменные после синтеза информации непосредственно в задачах не участвуют – ненаблюдаемы. Они реально существуют, но (иллюстративно) подобны объектам, видимым только с помощью микроскопа.

Связь переменных по разные стороны точки синтеза информации устанавливает нормировка энтропии. В частности, если в задаче о синтезе новой информации существуют циклические координаты, то нормировка энтропии должна установить распределение энергии колебаний.

Распределение колебаний в пространстве и во времени по определению есть волны. Поэтому уравнение Шрёдингера (нормировка действия-энтропии-информации) обязательно должно быть волновым уравнением, хотя описывает оно не материальные волны, а распределение их параметров.

Уравнения Гамильтона (2.3) – частная модель, включающая в себя возможность некорректного определения энергии. Уравнения Гамильтона-Якоби есть наиболее фундаментальные законы в общей картине мира. Причина в том, что они записаны относительно действия, то есть меры информации (как физической переменной) о системе. Подстановка в них явного выражения для информации в форме типа (3.27) позволяет получить уравнения для нормировки этой меры информации, то есть однозначно связать в данной задаче энергию и информацию.

В переменных действия уравнения Гамильтона-Якоби описывают мир, наблюдаемый нами непосредственно. Подстановка действия в форме (3.27) включает в них с помощью функции  процессы, относящиеся к предыдущему уровню иерархии энтропии-информации. Информация есть иерархическая физическая переменная, поэтому иерархические переменные действия Sk и функции k существуют на разных уровнях k иерархии информации в природе, как это определено рядом (1.14) в главе I.

Для уравнений Гамильтона-Якоби возможны два класса объектов слева и справа от предельной точки иерархического шага k синтеза информации.

Первый из них реализуется, когда справа и слева от граничной точки k-го шага синтеза информации (рис. 3.1) все координаты (2.18) – циклические.

Это, как правило, случай, когда объектами по обе стороны от точки синтеза информации являются поля и описывающие их волновые уравнения. В этом случае диссипация определена в виде необратимости процессов излучения. Если излучение вовне блокируется "резонаторами", возникающими за счет граничных условий, то волновые процессы стационарны. Это отображает известный факт "вечного движения" на внутриатомном уровне. Поставленные выше кавычки позволяют отложить объяснения понятий, которые ими выделены.

По мере роста номера k уровня иерархии синтеза информации наступает такой момент, когда справа от точки синтеза информации можно найти такие координаты (2.18), которые невозможно представить в виде строго циклических. Этот уровень kL есть граница, за которой появляются в качестве объектов природы частицы (то есть объекты, которые механика способна описывать с помощью модели материальных точек). В частности, конкретную границу kL между "волнами и частицами" задает постоянная Планка в роли адиабатического инварианта.

Справа от этого уровня идеализация "резонатора" должна быть заменена идеализацией замкнутой системы в терминах механики. В этой области применение уравнений Гамильтона (2.3) либо требует явного учета соотношения неопределённости (2.15), либо создаёт парадоксы неинтегрируемости. Становится объектом природы тепло как составляющая при описании форм энергии, зависящих от количеств информации (для модели материальных точек).

Столкновения становятся источником необратимости, связанной с экспоненциальным разбеганием траекторий. Выходят на первый план эффекты диссипативной самоорганизации на основе классической энтропии и её изменений в роли функций Ляпунова (рис. 1.3). Для этого уровня иерархии адиабатический инвариант есть постоянная Больцмана kB.

Процессы диссипативной самоорганизации продолжают иерархию синтеза информации на более высоких уровнях. Для них справа и слева от предельной точки синтеза информации степени свободы (2.18) используют частично или полностью уравнения Гамильтона (2.3). При этом возникают парадоксы из-за неучета уравнения состояния (2.15).

Здесь необходимо напомнить, отмеченную в главе I особенность температуры. Её натуральная размерность есть [обратное время]. Но температура есть интегрирующий множитель, а потому определена с точностью до произвольного множителя. Поэтому единица температуры может быть выбрана произвольно, что и реализовано в физике и термодинамике. Поэтому в физике и в термодинамике постоянная Больцмана, которая должна иметь единицу и размерность действия (энтропии), также получает произвольную единицу и размерность, зависящую от единицы и размерности температуры. В роли одного из однородных адиабатических инвариантов Kk постоянная Больцмана должна рассматриваться при величине и единице измерения, заданной размерностью и единицей измерения действия.

Как было многократно пояснено выше, хотя уравнения Гамильтона универсальны, их отличие от уравнений Лагранжа наиболее существенно проявляется в задачах с циклическими координатами – с вращением или колебаниями. Поэтому уравнение Шрёдингера как следствие классической механики, в частности, как следствие уравнение Гамильтона-Якоби вносит принципиально новое именно в такие задачи.

Исторически один из существенных результатов на пути становления квантовой механики заключался в том, что не квантуются гиперболические траектории в центральном поле. Дискретность для задач в центральном поле возникает тогда, когда в них присутствуют циклические координаты. Например, в задаче о связанном электроне.

Шрёдингер получил своё уравнение как результат формальной подстановки, описанной в параграфе 3 этой главы. Первично, как и описано в том параграфе, они были записаны в форме функций действительного переменного. В современной науке уже около трёх четвертей века они (и развивающие их уравнения Дирака) записываются и используются в форме функций комплексного переменного с множителем i, например, в операторной форме, учитывающей зависимость от времени:

где есть некоторый линейный оператор.

В учебнике квантовой механики Л.Д. Ландау и Е.М. Лифшица [54], откуда процитирована предыдущая формула, по этому поводу написано: “множитель i введен здесь для удобства”. В строгой науке “для удобства” не бывает (хотя принцип простоты есть законный методологический принцип интуитивных поисков в науке).

Комплексная форма – обязательная особенность строгого описания колебаний и волн. Колебания, нормировку распределения которых описывает уравнение Шрёдингера, происходят без затухания. Поэтому чисто мнимая форма уравнения Шрёдингера в конечном итоге закономерно отражает этот факт.

Связь “вращения” и квантовой теории описывает теория угловых моментов (а вместе с ними – действия) в виде теории коэффициентов Клебша-Гордана и их связи с группами Ли [55] (то есть связи с основополагающими принципами классической механики).

Кроме того, уравнение Шрёдингера (как и Дирака) описывает не реальные волны, а нормировку распределения колебаний, которое характеризует энтропия. Для нормировочных условий понятие затухания непосредственно не определено, что и задаёт их чисто мнимую форму.

Вычисление амплитуд вероятностей, как способ использования уравнений Шредингера и Дирака, имеет смысл по отношению к этим уравнениям как нормировочным условиям для действия-энтропии. И в таком смысле для них исключительное значение имеют работы Л.А. Шелепина [55] – [60]. В них показано, что вероятности в форме комплексных цепей Маркова в квантовой механике, опять-таки, описываются на основе групп Ли. То есть аппарат, составляющий основу классической механики (строго описывающий в ней движение материальных точек) одновременно есть аппарат нормировки энтропии-действия до синтеза информации об объектах механики в виде модели материальных точек.

С учётом работ [55] – [60] квантовая механика уже сведена к классической, если признать необходимость в механике уравнения состояния (2.15) при определении энергии и явно признать факт – уравнение Шрёдингера есть нормировочное условие для действия-энтропии-информации.