Обратимость и необратимость классическая и квантовая - Введение меры информации в аксиоматическую базу механики - А.М. Хазен

Понятие – детерминизм – тесно связано с классической и с квантовой необратимостью. Литература по этим вопросам необъятна по объёму, уровню, составу авторов (см., например, обзор [67]). Поэтому в качестве основы, отражающей существующее положение в этой области, приму одну, но современную и высоко квалифицированную работу [68].

Работа начинается с констатации общепринятой точки зрения на необратимость в классической и в квантовой механике – все факты свидетельствуют о необратимости реального мира, однако законы классической механики являются обратимыми во времени и основные уравнения квантовой механики также обратимы во времени.

Сопоставлю эту общеизвестную постановку задачи с тем, что изложено в моих предыдущих работах [2] – [6] и в этой книге.

Действительно, уравнения Гамильтона на основе их предпосылок строго обратимы во времени. Но для системы из многих элементов механические траектории невоспроизводимы из-за неустойчивости, возникающей в результате столкновений. Скорость нарастания возмущений для этой неустойчивости имеет один из самых больших масштабов в природе. Обратимость классической механики задана предпосылкой уравнений Гамильтона (перестановочностью дифференцирования во вторых смешанных производных), а не их решениями.

Ошибочно в общепринятой постановке задачи о необратимости и утверждение об обратимости уравнений квантовой механики. В квантовой механике обратимо уравнение Шрёдингера как нормировочное условие для действия-энтропии-информации. Но уравнение Шрёдингера не есть уравнение движения. Его обратимость не есть непосредственно обратимость движений. Уравнение Шрёдингера определяет свойства переменной в уравнении в частных производных Гамильтона-Якоби.

Вернусь к работе [68]. Задача, поставленная в ней, стандартна – получить необратимость из обратимых основ двух самых фундаментальных областей современной науки – классической и квантовой механики. Отмеченное выше, показывает, что в общепринятой постановке задачи, которая принята за основу в [68], содержится ошибка.

Дальше в [68] идёт вариант (одной из многих за более чем 150 лет) попытки решения этой некорректно поставленной задачи на примере разреженного газа. Констатируется, что больцмановская Н-теорема вводит необратимость на основе гипотезы о молекулярном хаосе.

Естественно, что замена t на – t строго обращает движение молекул газа. Однако неизбежно сколь угодно малые ошибки в начальных условиях при обращении задачи за ничтожное число соударений делают обращённые траектории полностью несопоставимыми с прямыми во времени. Молекулярная система есть “усилитель” внешнего шума с огромным коэффициентом усиления. Вывод, который из этого делается в [68], стандартен – поведение газа стало необратимым, так как возмущения из внешнего окружения, хаотизирующие систему, могут быть сколь угодно малыми и их контроль невозможен. Дополнительный вывод в этой работе в том, что для возникновения необратимости нет необходимости в передаче или изъятии энергии из газа.

Оба вывода стандартно ошибочны.

Для того, чтобы обратить скорости в системе, необходимо “открыть” замкнутую систему, затратить энергию. Это в работе [68] (как и обычно) не анализируется.

Обращение времени связано с переходным процессом. Обращённая система рассматривается после завершения этого процесса в предположении, что он не изменил первоначальную энергию системы и параметры других взаимодействий с окружением.

Для обращения времени к системе подвели энергию и отобрали её. Каким образом это было произведено – из постановки задачи исключено. Система до обращения времени была (и тождественно осталась после обращения времени) замкнутой – той же самой по конкретным численным значениям условий. В тот отрезок времени, когда происходило обращение времени, она была другой – открытой. Но при этой реальности никакой необратимости не возникло. Система была обратимой, описываемой уравнением Гамильтона-Якоби, и осталась после переходного процесса тождественно той же – описываемой конкретно, количественно тем же уравнением Гамильтона-Якоби. От него в любой момент времени и в пространстве можно перейти к уравнениям Гамильтона. Обращённая и необращённая система тождественны и строго подчиняются обратимым во времени законам классической механики, но в эти законы по 150-летним принципам их первичного вывода не входит, что обратимость требует тождественности обращённых траекторий.

“Машины времени” не было, нет и не будет ни при каком развитии науки. Обратимость существует в природе в смысле Лазаря и Сади Карно – безударность, обратимость локального микропроцесса. Можно поднять с пола и вернуть на место упавшую вазу, но только, если она не разбилась. Никакое развитие науки больше такой локальной обратимости не даст. Однако существуют конкретные идеализированные исключения из тех, которые только подчёркивают правило. Например, обратим цикл Карно – можно иметь и тепловую машину, и холодильник – тепловой насос. Но реально это всегда разные устройства. Нельзя вынуть из автомашины бензиновый мотор и поставить его работать холодильником. Не будет кондиционер мотором в машине.

Обратимость времени в классической механике есть предположение о перестановочности дифференцирования во вторых смешанных производных и сами уравнения Гамильтона как условие связи независимых переменных при определении энергии в механике, заменяющие независимое уравнение состояния. В терминах H-теоремы Больцмана этот случай подчиняется условию сохранения количества энтропии-информации: dS = 0.

Не может быть даже мысленно объектом природы то, что в результате бесконечно малых возмущений аболютно невоспроизводимо. Таковым является понятие траекторий для индивидуальной частицы при обращении времени в стандартной постановке задачи о необратимости в классической механической системы из многих элементов.

Кстати, надо подчеркнуть, что в строгом смысле классической механики обратимой будет и система, обменивающаяся энергией с окружением, если она адиабатическая – сохраняет количество информации. Напоминаю, что адиабатичность понимается здесь в широком смысле маятника Эренфеста (глава I), когда в системе с циклическими координатами dE/d = Kk. Необратима система, в которой dS > 0. При этом S есть действие-энтропия-информация.

По определению обратимость тавтологична тождеству . Энтропия есть число, характеризующее функцию распределения энергии по ячейкам фазового пространства. Если система неизменна и замкнута так, что подвода энергии нет, то нечего изменят в функции распределения. Так как система неизменна, условия, ограничивающие распределение остаются тождественно неизменными и не могут быть причиной изменения распределения. Подвода энергии нет, поэтому нечего распределять заново. Удивительно, но заблуждение о возможности роста энтропии без подвода энергии (вне переходного процесса) достаточно массовое. Я об этом писал ранее в [69]. Причины, по которым вопрос о возможности необратимости в системе без подвода энергии возникал на заре развития термодинамики, сегодня не действуют.

Поэтому утверждение статьи [68] о том, что необратимость есть явление, не связанное с изменением энергии, ошибочно. Необратимость без обмена энергией с окружением может возникать только в переходных процессах. Это не исключает возможности частных случаев строго адиабатического изменения энергии – изменение энергии есть, но с необратимостью оно не связано.

Кроме того, в работе [68] отсутствует упоминание о том, что молекулярный хаос Больцмана вводит циклические координаты в системы с поступательным движением их элементов. Это одна из ведущих идей Больцмана, которая почти полностью выпала из современных анализов основ необратимости, а не только из конкретной работы [68].

Для продолжения анализа проблемы необратимости в классической механике в [68] рассматривается мысленный эксперимент с разреженным газом в сферической полости, оболочка которой зеркально отражает частицы газа. Предполагается в [68], что эта механическая система обратима в терминологии, использующей обращение направления времени в уравнениях Гамильтона. Оболочка погружена в точно такой же газ при той же плотности и средней скорости теплового движения атомов (той же температуре), находящийся в тепловом равновесии со всем окружающим миром.

Мысленный эксперимент заключается в том, что оболочка мгновенно разрушается без всяких воздействий на газ по обе её стороны.

Утверждается в [68], что первое же столкновение с атомом внешнего газа создаст необратимость в газе, и волна этой необратимости со скоростью звука пойдёт вовнутрь бывшей полости.

Опять та же ошибка. В данной постановке мысленного эксперимента газ внутри и вовне полости после разрушения оболочки останется столь же обратимым, как и до её разрушения. Ведь действие-энтропия-информация (как инвариант канонических преобразований, описывающих движение внутри и вовне полости, и как переменная в уравнении Гамильтона-Якоби) в процессе этого эксперимента измениться не может. Раз действие осталось неизменным, то сохранилось и количество информации на единицу объёма газа по обе стороны бывшей оболочки (как физической переменной). Можно обсуждать процесс синхронизации флуктуаций после разрушения оболочки и возможное воздействие на него связи с внешним миром, открывшейся для внутреннего газа.

Поэтому все последующие в [68] подсчёты изменения количества информации в этом эксперименте не вполне корректны. Кроме того, элементарная ячейка объёма в фазовом пространстве для газа задана не постоянной Планка, а адиабатическим инвариантом Kk газа как системы, то есть постоянной Больцмана. Эти ячейки тождественны по величине и заполнению по обе стороны оболочки до и после её разрушения. Нормировка энтропии (см. параграф 8 главы I) тождественна по обе стороны оболочки и сохраняется после её разрушения.

Кстати, о конкретных подсчётах количеств информации в [68]. Энтропия-информация есть физическая переменная, хотя её искусственно можно измерять в натах (то есть при множителе K в определении энтропии (1.1) равном единице). Естественная единица измерения энтропии-информации иерархична. В частности, в газах она есть постоянная Больцмана, выраженная в единицах действия.

Выше я сказал о флуктуациях, о которых не упоминается даже косвенно в работе [68], хотя их роль (как я покажу ниже) для задачи об обратимости и необратимости в классической механике решающая.

Обратимость или необратимость классической механики имеет смысл рассматривать в том случае, если для системы из многих элементов классической механики (примером которой является газ) существует детерминизм. Как было показано в предыдущем параграфе, для этого необходим порог, заданный уравнениями состояния. Этот порог возможен, если дифференцирование определено неперестановочно (в том числе в классическом случае).

Однако в науке принимается противоположное – перестановочность дифференцирования как условие обратимости классической механики. Поэтому детерминизм механической системы оказывается противоречащим её обратимости. Дополнительная самостоятельная гипотеза Больцмана о молекулярном беспорядке разрывает этот порочный круг. Вот почему она необходима в статистической механике.

Природа от гипотез человека не зависит. В строго обратимой классической механике обязательно присутствует необратимость. Её выражают флуктуации. Система пришла к равновесию. Рост энтропии прекратился. Но флуктуации существуют и в равновесной системе.

В главе I я ввёл в формулировку второго начала термодинамики дополнительное утверждение – вечное равновесие невозможно. Сформулированное выше парадоксальное противоречие для равновесного газа Больцмана показывает, что конкретным выражением этого являются флуктуации в равновесном состоянии системы. В системе закончились все переходные процессы. Подвода тепла или энергии нет. Она пришла, казалось бы, в окончательное равновесие. Но флуктуации в ней остались.

В аксиоме IV главы I было подчёркнуто, что замкнутая система находится в динамическом равновесии с окружающей средой. В таких условиях флуктуации могут переносить энергию через границу замкнутой системы. В результате возможна неравновесность системы, которая кажущимся образом не требует обмена энергией с окружающей средой. Это есть макроскопические “квантовые флуктуации вакуума” (например, для газа).

Вообще, в вопросах необратимости и их связи с детерминизмом природы непонимания слишком много даже в сугубо классической механике. Например, типичный случай необратимого процесса есть теплопроводность. Она описывается уравнениями в частных производных параболического типа, которые исключают возможность по состоянию в данный момент восстановить прошлое системы. На основе этого типичны утверждения, что необратимость уравнений теплопроводности делает процесс распространения тепла недетерминированным. Это нонсенс. Детерминизм необратимого процесса может и должен заключаться именно в том, что по состоянию в данный момент принципиально нельзя восстановить прошлое. Если уж процесс необратим, то он должен таковым и оставаться, что и подтверждает математический аппарат.

Естественно, что дополнительные условия могут дать возможность восстановить прошлое даже для принципиально необратимых систем. Но это относится к исключениям, которые подчёркивают правила.

Для классической механики отмеченное выше о порогах всё-таки остаётся принципиальными, но малыми, поправками. Иное положение при анализе необратимости в квантовых системах. Как я подчеркивал неоднократно в этой книге, квантовая механика есть классическая механика при необратимом времени (при невыполнении предпосылки о перестановочности дифференцирования).

С учётом этого проанализирую соображения статьи [68] о квантовой необратимости. Опять в статье [68] мысленные эксперименты проводятся над газом. Он заключен в оболочку с зеркально отражающими стенками. Рассматривается случай, когда вырождения состояний элементов газа нет, а потому его квантовое поведение близко к классическому.

По общепринятой трактовке поведение такой системы (как движение) в функции времени и координат в конфигурационном пространстве описывается уравнением Шрёдингера:

, (3.82)

где – постоянная Планка, H – гамильтониан, волновая функция, симметричная по N переменным r1, …, rN ~ r конфигурационного пространства. В [68] показывается, что (3.82) симметрично по отношению к замене времени t на время с обратным знаком – t. Ну и что? Ведь уравнение Шрёдингера есть только нормировочное условие. Нормировочные условия обратимы, независимо от обратимости или необратимости тех задач, в которых они участвуют.

Далее в [68] идут обычные в таких случаях слова о расплывании волнового пакета, рассеянии волн, коллапсе волновой функции и подобном. Повторять их необходимости нет. Как ясно из предыдущего, они не нужны в задаче о необратимости в квантовой механике.

Заключительный итог обсуждения в [68] задачи о квантовой необратимости есть утверждение о том, что само уравнение Шредингера может дать только полную обратимость замкнутой квантовой системы. Даже в такой фундаментальной работе, как [52], отмечается, что необратимость в аппарате квантовой механики существенно проявляется только в проблеме измерений. Действительно, измерения связаны с отбором от системы информации как физической переменной. Они поэтому есть принципиально неадиабатический процесс. Естественно, что в них необратимость квантовой механики проявляется в первую очередь. Но необратимость есть принципиальная особенность квантовой механики, а потому должна иметь в ней отображение постоянно.

Подчеркну ещё раз. Функция  есть аргумент действия-энтропии-информации (3.27) как переменной уравнения Гамильтона-Якоби. Подстановка в (3.27)  (как решения, отвечающего конкретной задаче для уравнения Шрёдингера) даст нормированное выражение для действия как энтропии системы, которое есть переменная в (3.28). Нормировка энтропии с помощью уравнения Шрёдингера определяет распределение, отвечающее максимуму действия-энтропии-информации (при правиле знаков Больцмана) в конфигурационном пространстве при заданных условиях. Изменения величины этого максимума в составе уравнения (3.28) подчиняются второму началу термодинамики.

Уравнение Шрёдингера как нормировочное условие обратимо во времени. Но в силу второго начала термодинамики, определённый с его помощью максимум энтропии (как переменной в уравнении Гамильтона-Якоби) может самопроизвольно изменяться только так, как необходимо для роста энтропии во времени.

Направление процессов во времени однозначно задано вторым началом термодинамики. Прямое и обратное направление могут быть равноправными только в том частном случае, когда максимум энтропии остаётся неизменным во времени. То есть только в тех процессах, в которых система, опять-таки, либо адиабатическая, либо замкнутая и остается тождественной при всех мысленных экспериментах. Для классической системы неперестановочность дифференцирования может проявляться как малый, но принципиальный, эффект. Для квантовой системы именно она – определяющая. Первое следствие этого – квантовые флуктуации вакуума (как особенность состояний равновесия) становятся важнейшим эффектом первого порядка.

Если система неравновесна, то направление процессов, независимо от обратимости уравнения для однозначно задано ростом действия-энтропии-информации, вычисленного с участием При некорректном присвоении уравнению Шрёдингера статуса уравнения движения возникает ошибка – некая “квантовая обратимость”. Функция как единственно возможно и должно быть) участвует в нормировке энтропии – распределения. Направление времени, необратимость, как везде и всегда в природе, задаёт однозначно второе начало термодинамики на основе использования в уравнении классической механики Гамильтона-Якоби результатов нормировки действия-энтропии-информации.

Квантовая механика необратима принципиально, по самому своему существу в силу неперестановочности в ней дифференцирования во вторых смешанных производных. Поэтому в квантовой механике просто замена направления времени t на – t есть нонсенс.

Инверсия времени в квантовой механике в грамотном виде существует. Она требует изменения не только знака времени, но и знака всех остальных координат.

Если оператор инверсии, действие которого на функции состоит в изменении знака всех координат, обозначить , то инвариантность гамильтониана H по отношению к воздействию  на H есть:

H. (3.83)

Собственные значения оператора есть . Это утверждение известно как закон сохранения чётности.

Поэтому анализ необратимости времени в квантовой механике должен быть сопоставлен с анализом сохранения или изменения чётности. Поскольку направление времени задают не сами уравнения квантовой механики, а конкретное использование функции  в уравнении Гамильтона-Якоби совместно со вторым началом термодинамики, то этим определена чётность в нашей Вселенной.

В квантовой механике существует полная обратимость времени ценой инверсии всех координат, но … обращённая система имеет другую чётность, другой класс симметрии – она принципиально отличается от исходной и описывает иной мир, несопоставимый с тем, в котором мы существуем. Может быть он и возможен. Может быть Большой Взрыв – это и есть такое обращение времени, наступающее тогда, когда Вселенная как система приходит к окончательному равновесию. Однако такие предположения пока есть чистая фантазия.

В классической механике уравнение состояния (2.15) вводит неперестановочность дифференцирования во вторых смешанных производных, которая лежит в основе соотношений типа (3.83), как малый эффект. Однако он принципиален (вводит сохранение чётности хотя бы в некоторые классические процессы), а потому должен иметь наблюдаемые проявления.

Они действительно существуют реально и весомо. Жизнь связана со строго определённым выбором единственной из пар зеркальных симметрий биомолекул – зеркальных изомеров. Как показано в моих работах [2] – [6], главная причина и механизм возникновения и эволюции жизни и разума во Вселенной есть второе начало термодинамики. Поэтому на высших ступенях иерархии действия-энтропии-информации, каковыми являются жизнь и разум, преимущественная чётность должна существовать столь же однозначно и неустранимо, как и для процессов во Вселенной на уровнях иерархии “элементарных частиц”. Существование для жизни такой преимущественной чётности есть достоверный наблюдательный факт. Изложенное выше даёт ему строгое объяснение.

Подводя итоги, ещё раз подчеркну. В строгом смысле может быть обратимо то, что воспроизводимо, то, что может быть запомнено (является устойчивым). Поэтому понятие обратимости не может рассматриваться на примере траекторий, получаемых в заведомо неустойчивом процессе обращения времени для уравнений Гамильтона. Обратимость классической механики задана тождеством Якоби, то есть предположением о перестановочности дифференцирования во вторых смешанных производных. Квантовая механика необратима принципиально, по существу своих основ.

Окружающий нас мир необратим потому, что при строгом определении в механике энергии в системе из многих элементов необратимы уравнения движения как классической, так и квантовой механики.

В связи с этим на первый план выходит вопрос о полноте описания физических и абстрактных систем в терминах гильбертова пространства. Кстати, такой вопрос ставит И. Пригожин [39], [40], но конкретных причин этого в необходимом объёме он не указывает. Поясню их существо, отсутствующее у Пригожина.

Уравнения Шрёдингера и их более полный вид – уравнения Дирака описывают нормировку энтропии в евклидовом конфигурационном пространстве – гильбертовом пространстве. Такое описание заведомо неполное, так как опускает прямую связь с импульсными координатами. Огромное значение и эффективность уравнений Шрёдингера и Дирака определяются именно этой их неполнотой.

Проявляется неполнота в том, что эти уравнения характеризуют распределения. Но распределения, как правило, нормированы на единицу, относительны. Поэтому они ослабленно, не вполне явно зависят от конкретного вида и свойств тех элементов, распределение которых они описывают. Волны-частицы, фантасмагория “цветов”, любой полёт словотворчества в науке, получают законное право существования, включая строгость результатов. Непрямая зависимость распределений от природы элементов, для которых записываются функции распределения, коррелирует с особенностью основы науки – метода моделей. Поэтому можно получать строгие результаты тогда, когда о самих элементах систем известно, к сожалению, слишком мало. Природа гениальная в своей простоте. Это позволяет человеку ценой сложности математического аппарата получать правильные результаты и продуктивно их использовать. Но итогом этой сложности всё равно должен оставаться возврат к исходной простоте природы. Это возможно.

В механике метрика пространства (фазового пространства) задана элементом его площади. Мир не может быть описан только координатами геометрического (конфигурационного) пространства. Природа неустранимо зависит от движения, то есть от импульсов элементов, составляющих всё сущее. Поэтому описание природы эффективно именно в координатах фазового пространства. Его геометрия есть симплектическая геометрия. Сегодня это область науки, позволяющая переписать известную 150 лет классическую механику в более абстрактной терминологии. В такой форме симлектическая геометрия вносит искусственность в исходную красоту классической механики, которую условно можно оправдать полученными с её помощью результатами.

Причина этого парадоксального появления сложности там, где, казалось бы, совершенный аппарат должен создать простоту – в существующей аксиоматике симплектической геометрии. В ней исходно аксиоматически заданы:

обратимость времени;

нулевой предел для элемента площади фазового пространства.

Полным описание природы как в классическом, так и в квантовом приближении должно быть в терминах симплектической геометрии при её аксиоматике, исключающей обратимость времени и содержащей в себе конечный элемент объёма фазового пространства.

Материальная точка классической механики есть объект, который полностью задан координатами в конфигурационном пространстве. Ему разрешают двигаться и описывают это движение. Один из парадоксов Древних Греков связан с этим – как отличить летящую и неподвижную стрелу в одном и том же месте пространства? – (парадокс Зенона).

Характеристика, включающая скорость частицы, но принципиально отличающаяся от скорости, – импульс, даёт ответ на этот вопрос. Движение есть составляющая определения самого объекта: не просто движущаяся точка, а объект, для которого движение неотъемлемо связано с импульсными и конфигурационными координатами одновременно – именно это есть реальный объект природы.

С самого начала и особенно у Гиббса статистическая механика описывает прямо или косвенно точки в пространстве, не зависящем от них. Рассматривается (словами Гиббса в работе [15], основополагающей для статистической механики): “большое число независимых систем, тождественных по природе, но различных по фазе, то есть по конфигурациям и скоростям” (курсив мой). Совокупность всех возможных фаз как некоторое 2f-мерное пространство есть объект анализа у Гиббса – фазовое пространство.

Задано число систем f (состояний одной системы) и заданы их фазы (а это есть значения qj и pj), лежащие в конечных интервалах:

Введём фазовую плотность D(qj,pj,t) систем в пределах этих конечных интервалов, а потом устремим к нулю сами интервалы (сравните с параграфом 11 главы I). Тогда появляется понятие элемента объёма фазового пространства в виде dq1…dqfdp1…dpf и произведение D(qj,pj,t)dq1…dqfdp1…dpf . Эти понятия относятся к модели материальных точек как элементов всего сущего. Теорема Лиувилля исторически предшествует работе Гиббса, но её последующее понимание именно таково, как у Гиббса – её объекты есть фазовая плотность и элемент объёма фазового пространства. Работа Гиббса [15] написана в период формирования основ моделей механики сплошной среды. Поэтому в ней на первом месте приведенная выше одна из главных их особенностей.

Уравнения Гамильтона могут быть записаны в форме Пуассона, когда в них участвует только кинетическая энергия – только движение. Возможны случаи, когда в них учитывается только потенциальная энергия – только конфигурационные положения. Статистическая механика Гиббса в значительной степени отвечает на вопрос, как объединить эти составляющие для ансамблей материальных точек.

Есть неподвижные шары на сукне бильярда – статические объекты. В их описании движение в явном виде не участвует. Эти объекты заставляют двигаться. При их описании с учётом движения возникает необходимость ввести статистические свойства.

В природе не существует абсолютного статического равновесия – второе начало термодинамики запрещает вечное равновесие. Неподвижные шары – идеализация. Формально введенный конечный элемент фазового объёма нельзя устремить к нулю. Невозможность вечного равновесия запрещает это.

Статистические свойства систем не исчерпываются фазовой плотностью систем. Они включают в себя случаи, когда само определение элемента объёма фазового пространства включает в себя его статистические свойства.

***

На этом, практически на полуслове, по случайным “техническим” причинам я вынужден прервать эту книгу. Но, вместе с тем, задача введения уравнения состояния и меры информации в механику выше выполнена. Поэтому случайное совпадает с детерминированным. К продолжению этой книги – Что такое есть время? – в частности, к определению неклассической производной в фазовом пространстве, к критериям перехода по ступеням иерархии на основе принципа максимума производства энтропии и к понятию температуры как обратного времени я вернусь после оформления следующей книги этого цикла – о происхождении и эволюции жизни и разума.

Обратимость и необратимость классическая и квантовая - Введение меры информации в аксиоматическую базу механики - А.М. Хазен - Философия как наука