Уравнение для информации о механической системе при случайных начальных условиях - Введение меры информации в аксиоматическую базу механики - А.М. Хазен - Философия как наука

- Оглавление -


            Сформулированное выше определение действия (3.1) задано в фа­зо­вом Г-пространстве классической механики, при обратимом вре­мени и при возмож­но­сти описать элементы системы уравнениями Га­миль­тона без использо­ва­ния уравнения состояния (2.15) (см. параграф 1 главы II).

Классически детерминизм объектов и процессов считается задан­ным именно уравнениями Гамильтона. Такой подход к детерминизму рас­­про­страняют на природу в целом. Поэтому в существующей термино­ло­гии и в существующем ма­те­матическом аппарате детер­ми­­ни­ро­ванное опи­сание природы опреде­ле­но только в условиях частной модели обра­ти­мого времени. Однако эм­пи­рически бесспорно, что время необратимо. В этом заключается первопри­чина основных недоумений и противо­ре­чий при переходе в современной науке от блестяще эффективного опи­сания конкретных задач к общей картине мира.

Уравнения Гамильтона являются аксиоматическим определением взаимо­связи переменных механики. Они утверждают, что если H(qj, pj, t) есть фун­кция состояния системы – энергия, то для перемен­ных механики  qj и  pj определены изменения во вре­ме­ни . Но сами эти переменные, а также время, не определены.

Кон­крет­но для вычисления траекторий элементов системы необ­хо­димо задать началь­ные условия.

            Отмеченными выше особенностями уравнений Гамильтона раз­ре­шён произвол начальных условий. Точность их задания всегда ко­неч­ная. Поэтому случайность, которую вводят начальные условия в уравне­ния Гамиль­тона, казалось бы, исключает де­тер­ми­низм природы. Кроме то­го, как было показано в главе II, в строгой постановке задачи каса­тель­ные преоб­ра­зо­ва­ния (как отображение зако­нов движения в ме­ханике) приводят к транс­фор­мации начальной точки траектории в на­чаль­ную об­ласть. С учетом уравнения состояния (2.15) эта область не может быть в пре­деле стянута в точку. Опять, но на более высо­ком уров­не подроб­но­стей, казалось бы, детерминизм при­ро­ды исключён.

            Однако есть бесспорный факт – окружающий нас мир и мы сами су­ще­ст­вуем. Это однозначно указывает, что уравнения механики для сис­­тем из многих элементов прин­ци­пиально, неустранимо (независимо от об­ра­­тимости или необрати­мо­сти вре­мени) описывают реальность тог­да и только тогда, когда существует преиму­щественное состояние меха­ни­чес­кой системы – запом­­нен­ный случайный выбор. Он есть по опре­де­лению информация о системе (см. главу I).

            Началь­ные усло­вия для механической системы задаются, в том чис­ле и произ­вольно. Поэтому невозможно непо­сред­­ственно из их ана­ли­за выявить закономерности реакции системы из многих элементов на случайные начальные условия. Однако начальные условия для системы обык­новен­ных дифференциальных уравнений, на­при­мер (2.3), определя­ют величи­ну постоян­ных интегрирования. Эти постоянные содержат в себе реак­цию кон­крет­ной сис­­темы, которую описывают дифференци­аль­ные урав­­не­ния. В них со­дер­­жатся закономер­но­сти ответа системы на случайные на­чаль­­ные условия.

            Одна из важнейших идей механики, которую с использованием ре­зуль­­­­­та­тов Гамильтона ввел в механику Якоби [13], – заменить анализ началь­ных условий анализом постоянных интегрирования. Тогда можно устано­вить закономерности, общие для самых разных, случай­ных начальных усло­вий. Если таких закономерностей не сущест­ву­ет, то да­же в рамках классической механики (несмотря на стро­гий детерми­низм в ней уравнений Гамиль­то­на) природа непредсказуема, что проти­во­речит всему известному о ней человеку.

Предсказуе­мость, детерминизм природы есть утверждение о том, что в любой мо­мент времени систему можно “остановить”, а потом “за­пу­стить” её вновь на основе начальных условий, зафиксированных в мо­мент “остановки”, причём эта процедура (возможно с некоторым конеч­ным во времени пере­ход­ным периодом) не изменит результирующего сос­тояния системы. В классической механике должны присутствовать за­коны и выражающие их уравнения, которые гарантируют предсказуе­мость, детерминизм в таком смысле. Ключевым для них является функ­ция – действие, зависящая от прошлого системы и задающая информа­цию о будущем системы, то есть позволяющая в определённых границах предсказать это будущее.

Наука отличается тем, что её запомненные потомками результаты не зависят от воли их творцов. Поэтому детерминизм в таком виде дейст­вительно присутствует в классической механике. Его отображают дифференциальные уравнения в частных производных Гамильтона-Яко­би, переменной в которых является действие – мера информации о сис­те­ме. Поясню это на основе работы Якоби [13] с учетом понятий, вве­ден­­ных в главах I,  II  и выше в этой главе.

            Пусть дана система обыкновенных дифференциальных уравнений, аналогичная (2.3) и записи их в форме (2.26):

dx1 /X1  dx2 /X2  ...dxn /Xn   dt /X,                    (3.4)

где  n  2f 2Nf*  для N  материальных точек с  f*  степенями свободы у каждой.

            В ней  X1, X2, ..., Xn  произвольные функции  x1, x2, ..., xn,  а  X  есть произвольная величина. В частности, если это система урав­нений Гамиль­тона,   то   x1, x2, ..., xf     есть    q1, q2, ..., qf ,    а   xf+1,  ..., xn= 2f    есть    p1, p2, ..., pf   (см. (2.1), (2.2)).

            Система дифференциальных уравнений (3.4) интегрируется при помо­щи системы уравнений:

x1   (t, 1, 2, ..., n),

x2   (t, 1, 2, ..., n),

... ,                                  ( 3.5)

 xn  n (t, 1, 2, ..., n),     

в которой   1, 2, ..., n   есть постоянные интегрирования. Для этого зна­че­ния   xj   из (3.5) под­­ставляются в  Xj  и определяются производные  dxj/dt  как функции  t   и произвольных постоянных   j.

            Число постоянных интегрирования по порядку величины не отли­чает­ся от количества чисел, которые нужно задать в качестве начальных условий. Например, для макроскопического объема газа число элементов   N  и соответственно число n уравнений (3.5) выражается обще­из­вест­ны­ми астрономически большими количест­вами. Но переход к анализу пос­тоянных интегрирования позволяет найти, не решая дифференци­аль­­­­ных уравнений (3.4) и не зная для них начальных условий однознач­ную функцию случайных начальных условий для уравне­ний Га­миль­то­на. 

            В механике уже около 150 лет известно: сущест­вует универсаль­ная функция, описывающаяе результаты участия неиз­вест­ных слу­чай­­ных начальных условий в детерминированных реше­ниях систем дифферен­циальных уравнений Гамильтона.  Для того, чтобы опреде­лить эту функцию, не надо решать систему уравнений Гамильтона и не надо знать для неё конкретных начальных условий.

            Доказывают это теоремы, сформулированные Якоби [13] около 150 лет назад. Поясню их предпосылки и дока­за­тель­­ства.

            Система с  f  степенями свободы может быть опи­сана, в частности, дифференциальными уравнениями типа (3.4). Энергия сис­­темы может явно зависеть от вре­мени  t  и может быть пред­став­лена в форме функ­ции Лагранжа   или функции Гамиль­то­на  H(qj, pj, t), которые взаимосвязаны между собой на основе (2.16). На систему для общности задачи могут быть наложены связи, описываемые  m  урав­не­ниями так, что число степеней свободы системы есть  f – m = l.

            Предполагается, что для системы в этих условиях остается спра­вед­ливым принцип Гамильтона, включающий в себя зависимость подин­тег­ральной функции от времени – для любого реального движения вы­пол­няется (3.2), а для консервативных систем выполняется (3.3).

            Хотя в классической механике нет уравнения состояния, но его необходимость не явно, но постоянно, подчеркивается в виде утвержде­ний о том, что переменные задач механики не являются неза­ви­си­мы­ми.

Это проявляется при переходе к координатам  qj,  pj  в принципе Га­миль­тона, когда вместо производных  новые переменные  pj  нуж­но вво­дить до­пол­нительным соотношением:

.                                         (3.6)

Этот же факт отражает интег­ри­ро­вание по частям при определении вариаций (3.2), (3.3), которое приводит к членам, свободным от знака ин­тег­ра­ла, и новому подинтегральному выражению. Опять, как и везде в клас­си­чес­кой ме­ха­нике, в явном виде нет урав­не­ния состояния при оп­ре­де­ле­нии энер­гии, но необходи­мость в нём предусмотрена в опера­циях ма­те­ма­­ти­чес­кого аппарата и является для них определяющей.

Кроме того, определение (3.1), в частности, в форме, когда началь­ная и конечная точка заданы временем  t0  и  t1,  вводит связь между им­пуль­сами и координатами в виде:

,                                              (3.7)

что можно проверить, продифференцировав определение (3.1) по  qj,  ис­поль­зовав при этом (3.6).

Опуская общеизвестные подробности, учитывая, что энергия в фор­ме функции Лагранжа и в форме функции Гамиль­тона взаимо­свя­за­ны на основе (2.16), после перехода к ко­ор­динатам  qj,  pj  из принципа Гамильтона можно получить уравнения Гамильтона (2.3):

                                      (2.3)

причём они будут теми дифференциальными уравнениями, которые дол­ж­ны быть выпол­не­ны для того, чтобы стоящая под интегралом часть ва­ри­ации обращалась в нуль.

            Этим принцип Гамильтона вводит дополнительные обоснования исходных уравнений классической механики. Но его следствия намного шире.

            Пусть L есть функция 2l переменных и времени, а функция S определена (3.1).

Тогда более подробно вариация (3.2) есть:

.           (3.8)     

Выполняется равенство:

.        (3.9)

Обозначим значения переменных для нижнего предела интегри­ро­ва­ния верхним индексом “ о ” . Тогда:

          (3.10)

и вариация (3.8) примет вид:

=.  (3.11)

В этой вариации член справа под знаком интеграла обращает в нуль лагранжевы уравнения движения.  В членах свободных от знака ин­тег­рала с помощью (3.6) можно перейти к гамильтоновым пере­мен­ным. Тогда получится:

=.                             (3.12)

            В данной постановке задачи пределы интегрирования заданы по времени. Условий на границах интегрирования  и  нет. Пе­­ре­­менные остались только заданными функциями от  t  и  2l  произ­воль­ных постоянных. Вариации  и  представляют только те изме­не­ния, которые заданы произвольными постоянными. Поэтому

= ,                       (3.13)

где последний член появляется в том случае, когда время не есть незави­симая переменная (случай чего конкретно пока не рассматривает­ся).

            Если время оставить не варьирован­ным и записать вариацию , то получится:

.                           (3.14)

            Из сравнения с (3.7) видно, что

.                                 (3.15)

            Согласно определению (3.1):

.                                               (3.16)

Так как время t содержится в SG явно, а также входит в него с участием , то должно выполняться:

.                             (3.17)                                        

С учётом (3.15) получится:

.                                   (3.18)

Откуда на основе (2.16) результат:

.                                         (3.19)

В силу (3.6) и (2.16) может быть произведен переход от функций  переменных   к равному числу функций от  . Поэто­му в уравнении (3.19) можно использовать H(qi,  pi, t). В частности, на основе (3.15) уравнение (3.19) можно записать в форме:

.              (3.20)   

Допустим, что найден полный интеграл этого уравнения. Тогда определены столько произвольных постоянных  i, сколько степеней свободы имеет рассматриваемая система. Само действие  SG  в уравнение (3.20) не входит, поэтому из него оно может быть определено только с точностью до аддитивной постоянной. Тогда

,                 (3.21)

то есть записано как функция произвольных постоянных.

Уравнение (3.20) есть уравнение в частных производных Гамиль­то­на-Якоби, ко­то­рому удовлетворяет действие в форме  SG  как функция от времени t, координат qi  и постоянных интегрирования i, опреде­ляе­­мых, в частности, решением уравнений движе­ния (2.3). То есть дейст­вие в классической механике действительно есть функция случайностей.

Так как действие удовлетворяет вариационному принципу (3.2), то оно определено как экстремум в функции от случайностей, а потому может быть одновременно мерой информации о системе – действием-энтропией-информацией, экстремум которого задаёт механическую тра­ек­­то­рию подобно критерию  1  на рис. 1.3.

В случае консервативной системы интегрирование в принципе Гамильтона происходит при заданной энергии системы от точки (qi)0 до точки (qi)1. В этих точках вариации  и  равны нулю. Кроме того, функ­ция H не зависит от  t. Действие при таких предпосылках было обо­з­­начено SL и определяется другой формой уравнения (3.20) Гамильтона-Якоби, которая имеет вид:

.                    (3.22)   

Решение этого уравнения будет иметь форму:

.                  (3.23)

Введение вместо одной из постоянных интегрирования энергии воз­­можно потому, что в (3.22) не входит сама величина  SL . Поэтому одна из постоянных интегрирования является излишней и может быть заменена неопределённой аддитивной постоянной.

Действие есть функция состояния системы, поэтому способом ин­тег­рирования (3.22) должен был бы быть метод разделения переменных. Но, как подчеркивалось в главе II и выше, уравнения состояния в ме­ха­ни­ке нет, а в таких условиях этот способ применим не всегда. Опять, как и везде в классической механике, нет явного упоминания об уравнении сос­тояния, но математический аппарат учитывает его необходи­мость. Это выражется использованием другого способа интегрирования уравне­ния Гамильтона-Якоби. Кроме того, второе соотношение в (3.15) исполь­зует конкретные за­­дан­ные значения  q0  в то время, как преимущества уравнений Га­миль­то­на-Якоби в том, что они позволяют исключить на­чаль­ные значения пе­ре­мен­ных. Решение этих задач дал ещё Якоби [13].

В общем случае при дифференцировании действия по постоян­ным интегрирования получится два вида соотношений. Один для заданной при варьировании энергии, второй – при заданном времени.

При задан­ной энергии:

,                                             (3.24)

где   i = 2, 3, …, l, то есть использованы  .

            При заданном времени

,                                             (3.25)

где  i = 1, 2, …, то есть использованы  .

            Оба случая оказываются объединены общим способом определе­ния  i , если положить  , то есть

.                                               (3.26)

Величины  i  есть новые постоянные интегрирования, а системы урав­нения (3.24) и (3.25) позволяют определить для случая (3.23) траек­торию, а для случая (3.21) и движение по траектории во времени.

Доказательство этого дал сам Якоби [13], [21].

Вариационные принципы (3.2) и (3.3) определены различно. В (3.3) рассматривается консервативная систе­ма при заданной энергии. Функ­ции Лагранжа в (3.2) и (3.3) зависят от времени, но эти зависимости раз­лич­ны. Что такое время в соотношении (3.26), основанном на пред­по­сыл­ках принципа (3.3)?  Такой вопрос ни в классической, ни в квантовой механике не задают, хотя он принципиален и должен существовать.

Промежуточный итог этого параграфа в том, что действие в фор­ме  SG  и действие в форме  SL  с точностью до адди­­тив­­ной постоянной является функцией 1, 2, ..., l произвольных пос­тоянных, а потому функцией случайных начальных условий, учи­ты­ваю­щей закономерно­с­ти реакции системы на них.

            Если сравнить приведенные выше постановки задач Якоби и опре­де­ление инфор­ма­ции в главе I, то видно, что функции SG  и  SL  (две фор­мы дейст­вия) удовлет­во­ряют требованиям к функциям, описывающим меру ин­фор­мации – энтропию, когда их определяют на основе синтеза ин­форма­ции в виде запоминания слу­чайного выбо­ра.  Действительно:

            3.1. На основе (3.5) и (3.20) действие есть функция случайных  на­чаль­ных ус­ло­­вий (сравните  1  в главе I, параграф 5).

            3.2. Действие определено при условиях, ограничивающих слу­чай­но­сти, заданных наложенными на систему  m  ограничениями, и опреде­лен­ных дифференциальными уравнениями движения элементов сис­темы (сравните  2  в главе I, параграф 5).

            3.3. Запоминание, необходимое для синтеза информации – дейст­вия, конкретно отображает существование уравнения в частных про­из­водных Гамильтона-Якоби и его решения. По существу вывода урав­­не­ния Гамильтона-Якоби запоминание с его помощью задано как следст­вие экстре­маль­ного условия типа (1.4) в главе I.

            Надо отметить, что экстремум (1.4) соответствует макси­муму, а прин­цип Гамильтона (3.2), (3.3) – минимуму.  Однако при оп­ре­делении энтро­пии с помощью гиббсовских вероятностей состояний в виде (1.1а) этот минимум тождественен с больцмановским максимумом числа воз­мож­ных состояний системы в виде (1.1).

            В за­да­нии начальных условий случайность неизбежна, а потому сколь бы не были детер­ми­ни­рованы уравнения Гамильтона сами по себе они не могут гаран­ти­ровать одно­знач­ность результата при малых воз­му­щениях на­чаль­ных условий – уравнения Гамильтона не есть первопри­чи­на детерминизма механики. 

            Детерминизм механики задают уравнения в частных производных Гамильтона-Якоби. Они утверждают, что в механике, несмотря на про­из­­во­­­ль­ность начальных условий,  существует функция – действие и урав­нения в частных производных, с помощью которых её можно определить без интегрирования системы уравнений Гамильтона и не зная началь­ных условия для неё. 

            Можно для элементов механической системы про­­из­­вольно задать начальные условия. Одна­ко эво­люция системы неустранимо приведёт к новым случай­ным на­чаль­ным условиям для её эле­ментов, удовлет­во­ря­ю­щим уравне­ниям Гамильто­на-Якоби. В этом за­клю­чается детер­ми­низм природы.

Просмотров: 993
Категория: Библиотека » Философия


Другие новости по теме:

  • Уравнение состояния – составляющая уравнений Гамильтона - Введение меры информации в аксиоматическую базу механики - А.М. Хазен - Философия как наука
  • Действие как мера информации в классической и в квантовой механике - Введение меры информации в аксиоматическую базу механики - А.М. Хазен - Философия как наука
  • Действие в классической механике - Введение меры информации в аксиоматическую базу механики - А.М. Хазен - Философия как наука
  • Роль условий устойчивости при синтезе информации как физическом процессе - Введение меры информации в аксиоматическую базу механики - А.М. Хазен - Философия как наука
  • Когда аналитическая механика дает строгие результаты без явного учета уравнения состояния - Введение меры информации в аксиоматическую базу механики - А.М. Хазен - Философия как наука
  • Уравнение Шредингера есть условие нормировки действия-энтропии-информации - Введение меры информации в аксиоматическую базу механики - А.М. Хазен - Философия как наука
  • Что есть незначимые стимулы для человека? - ПСИХОТЕХНОЛОГИИ - Смирнов И., Е.Безносюк, А.Журавлёв
  • 1. Что есть благо и кто есть Бог ? - Проблема Абсолюта и духовной индивидуальности в философском диалоге Лосского, Вышеславцева и Франка - С. В. Дворянов - Философы и их философия
  • Энергия в классической механике - Введение меры информации в аксиоматическую базу механики - А.М. Хазен - Философия как наука
  • 8. ЧТО ЕСТЬ ФИНАНСОВАЯ ЗАЩИЩЕННОСТЬ? - Если хочешь быть богатым и счастливым не ходи в школу - Р. Кийосаки
  • Детерминизм в квантовой механике - Введение меры информации в аксиоматическую базу механики - А.М. Хазен - Философия как наука
  • Что такое безразмерные мировые постоянные и как определить их величину - Введение меры информации в аксиоматическую базу механики - А.М. Хазен - Философия как наука
  • Мужчина как он есть - Тайная книга для женщин. Как управлять мужчиной - Евгений Колесов
  • Что есть вера? - Введение в культурно-философскую антропологию - Чернявская Ю.В. - Философия как наука
  • Размерная постоянная в определении энтропии – адиабатический инвариант системы - Введение меры информации в аксиоматическую базу механики - А.М. Хазен - Философия как наука
  • Иерархия энтропий при синтезе информации - Введение меры информации в аксиоматическую базу механики - А.М. Хазен - Философия как наука
  • Что значит получить информацию с помощью классических измерений? - Введение меры информации в аксиоматическую базу механики - А.М. Хазен - Философия как наука
  • 4. ЕСТЬ ЛИ У ВАС ЗАДАТКИ БЛЕСТЯШЕГО ОРАТОРА? ДВАДЦАТЬ ВОСЕМЬ ВОПРОСОВ ДЛЯ ПРОВЕРКИ - Я вижу вас голыми. Как подготовитьск презентации и с блеском ее провести - Рон Хофф
  • 1. ЧТО ТАКОЕ ВЫСТУПЛЕНИЕ? ЭТО ТО, ДЛЯ ЧЕГО НАДО БЫ ОДЕТЬСЯ ПОПРИЛИЧНЕЕ? - Я вижу вас голыми. Как подготовитьск презентации и с блеском ее провести - Рон Хофф
  • Что есть “воспринятая информация”? - ПСИХОТЕХНОЛОГИИ - Смирнов И., Е.Безносюк, А.Журавлёв
  • 4.1. Особенности системы ценностных ориентации при аномальном, антисоциальном и просоциальном развитии личности - Ценностные ориентации личности как динамическая система - Яницкий М. С.
  • Глава 8. Системы - ну и что? - Монстры и волшебные палочки. Такой вещи как гипноз не существует - Стивен Хеллер, Терри Ли Стил
  • Глава 3. Что есть НЛП? - Русская модель эффективного соблазнения- Богачев Ф.
  • § 1. ДЕЙСТВИТЕЛЬНО ЛИ СУЩЕСТВУЕТ КРИЗИС НАУК ПРИ ВСЕХ ИХ ПОСТОЯННЫХ ДОСТИЖЕНИЯХ? - Философия как строгая наука. Логические исследования - Эдмунд Гуссерль - Философия как наука
  • Задание 14. Определение ведущей репрезентативной системы - Психологический практикум для чайников. Введение в профессиональную психологию - Барлас Т.В.
  • Урок 14. Волшебника не огорчают потери, потому что потерять можно только то, что нереально. - Путь Волшебника - Дипак Чопра
  • 6. ЧТО ЕСТЬ СМЕРТЬ? - На краю жизни и смерти. Кома - Минделл А
  • ЧТО ЖЕ НАМ ДЕЛАТЬ ДЛЯ ТОГО, ЧТОБЫ НАШ РЕБЕНОК НЕ СТАЛ НАРКОМАНОМ? - Как спасти детей от наркотиков - Данилины
  • Почему нормировка действия-энтропии-информации приводит к волновым уравнениям в комплексной форме - Введение меры информации в аксиоматическую базу механики - А.М. Хазен - Философия как наука
  • 7. ДЕНЬГИ ЕСТЬ ЗЛО - Если хочешь быть богатым и счастливым не ходи в школу - Р. Кийосаки



  • ---
    Разместите, пожалуйста, ссылку на эту страницу на своём веб-сайте:

    Код для вставки на сайт или в блог:       
    Код для вставки в форум (BBCode):       
    Прямая ссылка на эту публикацию:       





    Данный материал НЕ НАРУШАЕТ авторские права никаких физических или юридических лиц.
    Если это не так - свяжитесь с администрацией сайта.
    Материал будет немедленно удален.
    Электронная версия этой публикации предоставляется только в ознакомительных целях.
    Для дальнейшего её использования Вам необходимо будет
    приобрести бумажный (электронный, аудио) вариант у правообладателей.

    На сайте «Глубинная психология: учения и методики» представлены статьи, направления, методики по психологии, психоанализу, психотерапии, психодиагностике, судьбоанализу, психологическому консультированию; игры и упражнения для тренингов; биографии великих людей; притчи и сказки; пословицы и поговорки; а также словари и энциклопедии по психологии, медицине, философии, социологии, религии, педагогике. Все книги (аудиокниги), находящиеся на нашем сайте, Вы можете скачать бесплатно без всяких платных смс и даже без регистрации. Все словарные статьи и труды великих авторов можно читать онлайн.







    Locations of visitors to this page



          <НА ГЛАВНУЮ>      Обратная связь