Уравнение для информации о механической системе при случайных начальных условиях - Введение меры информации в аксиоматическую базу механики - А.М. Хазен

Сформулированное выше определение действия (3.1) задано в фазовом Г-пространстве классической механики, при обратимом времени и при возможности описать элементы системы уравнениями Гамильтона без использования уравнения состояния (2.15) (см. параграф 1 главы II).

Классически детерминизм объектов и процессов считается заданным именно уравнениями Гамильтона. Такой подход к детерминизму распространяют на природу в целом. Поэтому в существующей терминологии и в существующем математическом аппарате детерминированное описание природы определено только в условиях частной модели обратимого времени. Однако эмпирически бесспорно, что время необратимо. В этом заключается первопричина основных недоумений и противоречий при переходе в современной науке от блестяще эффективного описания конкретных задач к общей картине мира.

Уравнения Гамильтона являются аксиоматическим определением взаимосвязи переменных механики. Они утверждают, что если H(qj, pj, t) есть функция состояния системы – энергия, то для переменных механики qj и pj определены изменения во времени . Но сами эти переменные, а также время, не определены.

Конкретно для вычисления траекторий элементов системы необходимо задать начальные условия.

Отмеченными выше особенностями уравнений Гамильтона разрешён произвол начальных условий. Точность их задания всегда конечная. Поэтому случайность, которую вводят начальные условия в уравнения Гамильтона, казалось бы, исключает детерминизм природы. Кроме того, как было показано в главе II, в строгой постановке задачи касательные преобразования (как отображение законов движения в механике) приводят к трансформации начальной точки траектории в начальную область. С учетом уравнения состояния (2.15) эта область не может быть в пределе стянута в точку. Опять, но на более высоком уровне подробностей, казалось бы, детерминизм природы исключён.

Однако есть бесспорный факт – окружающий нас мир и мы сами существуем. Это однозначно указывает, что уравнения механики для систем из многих элементов принципиально, неустранимо (независимо от обратимости или необратимости времени) описывают реальность тогда и только тогда, когда существует преимущественное состояние механической системы – запомненный случайный выбор. Он есть по определению информация о системе (см. главу I).

Начальные условия для механической системы задаются, в том числе и произвольно. Поэтому невозможно непосредственно из их анализа выявить закономерности реакции системы из многих элементов на случайные начальные условия. Однако начальные условия для системы обыкновенных дифференциальных уравнений, например (2.3), определяют величину постоянных интегрирования. Эти постоянные содержат в себе реакцию конкретной системы, которую описывают дифференциальные уравнения. В них содержатся закономерности ответа системы на случайные начальные условия.

Одна из важнейших идей механики, которую с использованием результатов Гамильтона ввел в механику Якоби [13], – заменить анализ начальных условий анализом постоянных интегрирования. Тогда можно установить закономерности, общие для самых разных, случайных начальных условий. Если таких закономерностей не существует, то даже в рамках классической механики (несмотря на строгий детерминизм в ней уравнений Гамильтона) природа непредсказуема, что противоречит всему известному о ней человеку.

Предсказуемость, детерминизм природы есть утверждение о том, что в любой момент времени систему можно “остановить”, а потом “запустить” её вновь на основе начальных условий, зафиксированных в момент “остановки”, причём эта процедура (возможно с некоторым конечным во времени переходным периодом) не изменит результирующего состояния системы. В классической механике должны присутствовать законы и выражающие их уравнения, которые гарантируют предсказуемость, детерминизм в таком смысле. Ключевым для них является функция – действие, зависящая от прошлого системы и задающая информацию о будущем системы, то есть позволяющая в определённых границах предсказать это будущее.

Наука отличается тем, что её запомненные потомками результаты не зависят от воли их творцов. Поэтому детерминизм в таком виде действительно присутствует в классической механике. Его отображают дифференциальные уравнения в частных производных Гамильтона-Якоби, переменной в которых является действие – мера информации о системе. Поясню это на основе работы Якоби [13] с учетом понятий, введенных в главах I, II и выше в этой главе.

Пусть дана система обыкновенных дифференциальных уравнений, аналогичная (2.3) и записи их в форме (2.26):

dx1 /X1 dx2 /X2 ...dxn /Xn  dt /X, (3.4)

где n 2f 2Nf* для N материальных точек с f* степенями свободы у каждой.

В ней X1, X2, ..., Xn произвольные функции x1, x2, ..., xn, а X есть произвольная величина. В частности, если это система уравнений Гамильтона, то x1, x2, ..., xf есть q1, q2, ..., qf , а xf+1, ..., xn= 2f есть p1, p2, ..., pf (см. (2.1), (2.2)).

Система дифференциальных уравнений (3.4) интегрируется при помощи системы уравнений:

x1 (t, 1, 2, ..., n),

x2 (t, 1, 2, ..., n),

... , ( 3.5)

xn n (t, 1, 2, ..., n),

в которой 1, 2, ..., n есть постоянные интегрирования. Для этого значения xj из (3.5) подставляются в Xj и определяются производные dxj/dt как функции t и произвольных постоянных j.

Число постоянных интегрирования по порядку величины не отличается от количества чисел, которые нужно задать в качестве начальных условий. Например, для макроскопического объема газа число элементов N и соответственно число n уравнений (3.5) выражается общеизвестными астрономически большими количествами. Но переход к анализу постоянных интегрирования позволяет найти, не решая дифференциальных уравнений (3.4) и не зная для них начальных условий однозначную функцию случайных начальных условий для уравнений Гамильтона.

В механике уже около 150 лет известно: существует универсальная функция, описывающаяе результаты участия неизвестных случайных начальных условий в детерминированных решениях систем дифференциальных уравнений Гамильтона. Для того, чтобы определить эту функцию, не надо решать систему уравнений Гамильтона и не надо знать для неё конкретных начальных условий.

Доказывают это теоремы, сформулированные Якоби [13] около 150 лет назад. Поясню их предпосылки и доказательства.

Система с f степенями свободы может быть описана, в частности, дифференциальными уравнениями типа (3.4). Энергия системы может явно зависеть от времени t и может быть представлена в форме функции Лагранжа или функции Гамильтона H(qj, pj, t), которые взаимосвязаны между собой на основе (2.16). На систему для общности задачи могут быть наложены связи, описываемые m уравнениями так, что число степеней свободы системы есть f – m = l.

Предполагается, что для системы в этих условиях остается справедливым принцип Гамильтона, включающий в себя зависимость подинтегральной функции от времени – для любого реального движения выполняется (3.2), а для консервативных систем выполняется (3.3).

Хотя в классической механике нет уравнения состояния, но его необходимость не явно, но постоянно, подчеркивается в виде утверждений о том, что переменные задач механики не являются независимыми.

Это проявляется при переходе к координатам qj, pj в принципе Гамильтона, когда вместо производных новые переменные pj нужно вводить дополнительным соотношением:

. (3.6)

Этот же факт отражает интегрирование по частям при определении вариаций (3.2), (3.3), которое приводит к членам, свободным от знака интеграла, и новому подинтегральному выражению. Опять, как и везде в классической механике, в явном виде нет уравнения состояния при определении энергии, но необходимость в нём предусмотрена в операциях математического аппарата и является для них определяющей.

Кроме того, определение (3.1), в частности, в форме, когда начальная и конечная точка заданы временем t0 и t1, вводит связь между импульсами и координатами в виде:

, (3.7)

что можно проверить, продифференцировав определение (3.1) по qj, использовав при этом (3.6).

Опуская общеизвестные подробности, учитывая, что энергия в форме функции Лагранжа и в форме функции Гамильтона взаимосвязаны на основе (2.16), после перехода к координатам qj, pj из принципа Гамильтона можно получить уравнения Гамильтона (2.3):

(2.3)

причём они будут теми дифференциальными уравнениями, которые должны быть выполнены для того, чтобы стоящая под интегралом часть вариации обращалась в нуль.

Этим принцип Гамильтона вводит дополнительные обоснования исходных уравнений классической механики. Но его следствия намного шире.

Пусть L есть функция 2l переменных и времени, а функция S определена (3.1).

Тогда более подробно вариация (3.2) есть:

. (3.8)

Выполняется равенство:

. (3.9)

Обозначим значения переменных для нижнего предела интегрирования верхним индексом “ о ” . Тогда:

(3.10)

и вариация (3.8) примет вид:

=. (3.11)

В этой вариации член справа под знаком интеграла обращает в нуль лагранжевы уравнения движения. В членах свободных от знака интеграла с помощью (3.6) можно перейти к гамильтоновым переменным. Тогда получится:

=. (3.12)

В данной постановке задачи пределы интегрирования заданы по времени. Условий на границах интегрирования и нет. Переменные остались только заданными функциями от t и 2l произвольных постоянных. Вариации и представляют только те изменения, которые заданы произвольными постоянными. Поэтому

= , (3.13)

где последний член появляется в том случае, когда время не есть независимая переменная (случай чего конкретно пока не рассматривается).

Если время оставить не варьированным и записать вариацию , то получится:

. (3.14)

Из сравнения с (3.7) видно, что

. (3.15)

Согласно определению (3.1):

. (3.16)

Так как время t содержится в SG явно, а также входит в него с участием , то должно выполняться:

. (3.17)

С учётом (3.15) получится:

. (3.18)

Откуда на основе (2.16) результат:

. (3.19)

В силу (3.6) и (2.16) может быть произведен переход от функций переменных к равному числу функций от . Поэтому в уравнении (3.19) можно использовать H(qi, pi, t). В частности, на основе (3.15) уравнение (3.19) можно записать в форме:

. (3.20)

Допустим, что найден полный интеграл этого уравнения. Тогда определены столько произвольных постоянных i, сколько степеней свободы имеет рассматриваемая система. Само действие SG в уравнение (3.20) не входит, поэтому из него оно может быть определено только с точностью до аддитивной постоянной. Тогда

, (3.21)

то есть записано как функция произвольных постоянных.

Уравнение (3.20) есть уравнение в частных производных Гамильтона-Якоби, которому удовлетворяет действие в форме SG как функция от времени t, координат qi и постоянных интегрирования i, определяемых, в частности, решением уравнений движения (2.3). То есть действие в классической механике действительно есть функция случайностей.

Так как действие удовлетворяет вариационному принципу (3.2), то оно определено как экстремум в функции от случайностей, а потому может быть одновременно мерой информации о системе – действием-энтропией-информацией, экстремум которого задаёт механическую траекторию подобно критерию 1 на рис. 1.3.

В случае консервативной системы интегрирование в принципе Гамильтона происходит при заданной энергии системы от точки (qi)0 до точки (qi)1. В этих точках вариации и равны нулю. Кроме того, функция H не зависит от t. Действие при таких предпосылках было обозначено SL и определяется другой формой уравнения (3.20) Гамильтона-Якоби, которая имеет вид:

. (3.22)

Решение этого уравнения будет иметь форму:

. (3.23)

Введение вместо одной из постоянных интегрирования энергии возможно потому, что в (3.22) не входит сама величина SL . Поэтому одна из постоянных интегрирования является излишней и может быть заменена неопределённой аддитивной постоянной.

Действие есть функция состояния системы, поэтому способом интегрирования (3.22) должен был бы быть метод разделения переменных. Но, как подчеркивалось в главе II и выше, уравнения состояния в механике нет, а в таких условиях этот способ применим не всегда. Опять, как и везде в классической механике, нет явного упоминания об уравнении состояния, но математический аппарат учитывает его необходимость. Это выражется использованием другого способа интегрирования уравнения Гамильтона-Якоби. Кроме того, второе соотношение в (3.15) использует конкретные заданные значения q0 в то время, как преимущества уравнений Гамильтона-Якоби в том, что они позволяют исключить начальные значения переменных. Решение этих задач дал ещё Якоби [13].

В общем случае при дифференцировании действия по постоянным интегрирования получится два вида соотношений. Один для заданной при варьировании энергии, второй – при заданном времени.

При заданной энергии:

, (3.24)

где i = 2, 3, …, l, то есть использованы .

При заданном времени

, (3.25)

где i = 1, 2, …, то есть использованы .

Оба случая оказываются объединены общим способом определения i , если положить , то есть

. (3.26)

Величины i есть новые постоянные интегрирования, а системы уравнения (3.24) и (3.25) позволяют определить для случая (3.23) траекторию, а для случая (3.21) и движение по траектории во времени.

Доказательство этого дал сам Якоби [13], [21].

Вариационные принципы (3.2) и (3.3) определены различно. В (3.3) рассматривается консервативная система при заданной энергии. Функции Лагранжа в (3.2) и (3.3) зависят от времени, но эти зависимости различны. Что такое время в соотношении (3.26), основанном на предпосылках принципа (3.3)? Такой вопрос ни в классической, ни в квантовой механике не задают, хотя он принципиален и должен существовать.

Промежуточный итог этого параграфа в том, что действие в форме SG и действие в форме SL с точностью до аддитивной постоянной является функцией 1, 2, ..., l произвольных постоянных, а потому функцией случайных начальных условий, учитывающей закономерности реакции системы на них.

Если сравнить приведенные выше постановки задач Якоби и определение информации в главе I, то видно, что функции SG и SL (две формы действия) удовлетворяют требованиям к функциям, описывающим меру информации – энтропию, когда их определяют на основе синтеза информации в виде запоминания случайного выбора. Действительно:

3.1. На основе (3.5) и (3.20) действие есть функция случайных начальных условий (сравните 1 в главе I, параграф 5).

3.2. Действие определено при условиях, ограничивающих случайности, заданных наложенными на систему m ограничениями, и определенных дифференциальными уравнениями движения элементов системы (сравните 2 в главе I, параграф 5).

3.3. Запоминание, необходимое для синтеза информации – действия, конкретно отображает существование уравнения в частных производных Гамильтона-Якоби и его решения. По существу вывода уравнения Гамильтона-Якоби запоминание с его помощью задано как следствие экстремального условия типа (1.4) в главе I.

Надо отметить, что экстремум (1.4) соответствует максимуму, а принцип Гамильтона (3.2), (3.3) – минимуму. Однако при определении энтропии с помощью гиббсовских вероятностей состояний в виде (1.1а) этот минимум тождественен с больцмановским максимумом числа возможных состояний системы в виде (1.1).

В задании начальных условий случайность неизбежна, а потому сколь бы не были детерминированы уравнения Гамильтона сами по себе они не могут гарантировать однозначность результата при малых возмущениях начальных условий – уравнения Гамильтона не есть первопричина детерминизма механики.

Детерминизм механики задают уравнения в частных производных Гамильтона-Якоби. Они утверждают, что в механике, несмотря на произвольность начальных условий, существует функция – действие и уравнения в частных производных, с помощью которых её можно определить без интегрирования системы уравнений Гамильтона и не зная начальных условия для неё.

Можно для элементов механической системы произвольно задать начальные условия. Однако эволюция системы неустранимо приведёт к новым случайным начальным условиям для её элементов, удовлетворяющим уравнениям Гамильтона-Якоби. В этом заключается детерминизм природы.