Уравнение состояния – составляющая уравнений Гамильтона - Введение меры информации в аксиоматическую базу механики - А.М. Хазен

Понятие энергии, обладающей свойствами потенциала, в механике вводится на основе функции Гамильтона H и, связанных с нею преобразованиями Лежандра, функций Лагранжа L или Рауса R.

Дан элемент системы, например, материальная точка классической механики. Её описывают координаты xj. В конфигурационном пространстве xj  qj, в пространстве импульсов xj  pj. Индекс j определяется числом f степеней свободы системы, зависящим от числа f* степеней свободы элементов системы и их количества N. Он изменяется для xj, которые отвечают координатам q, в интервале

(2.1)

а для xj, отвечающим координатам p, в интервале

. (2.2)

Например, для материальных точек классической механики f*  3 и при числе элементов N величина f  3N.

В классической механике обобщенные координаты qj и импульсы pj есть независимые переменные.

Если существует функция состояния H(qj, pj) такая, что выполняется связь между ней и независимыми координатами qj и pj вида:

(2.3)

то функция состояния H(qj, pj) есть полная энергия системы (её гамильтониан), а уравнения Гамильтона (2.3) описывают детерминированные траектории элементов системы.

К сожалению основоположники современной механики У. Гамильтон и К. Якоби прожили мало – Якоби умер в возрасте 47 лет в 1851 г., Гамильтон чуть позже, в возрасте 60 лет в 1865 г. Немногие отдают себе отчёт в том, что сам термин – энергия – В. Томсон ввёл в науку всего около 1850 г. В классической механике в том виде, в котором она была создана, термина энергия не было. Можно считать уравнения (2.3) аксиоматическим определением понятия – энергия в механике [5], [6].

Для системы дифференциальных уравнений обязательно должны выполняться условия её совместности. В данном случае они содержатся в предпосылках теорем существования и единственности решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Конкретно уравнения Гамильтона совместны при следующих предположениях:

2.1. Координаты в конфигурационном пространстве qj, координаты в пространстве импульсов pj и время t равноправны по отношению к обоим направлениям осей координат.

2.2. Функции, входящие в (2.3), непрерывны и ограничены в любой замкнутой области.

Существуют вторые производные вида:

, , .

Они непрерывны и ограничены в любой замкнутой области. Дифференцирование в смешанных производных перестановочно по независимым переменным функции .

Уравнения Гамильтона (2.3) в условиях предположений 2.1 – 2.3 прямо или косвенно составляют основу механики, а потому и всей современной науки. Энергия в механике определена, если система уравнений Гамильтона (2.3) совместна, то есть интегрируемая.

Совместность системы уравнений Гамильтона и её интегрируемость в механике понимается более узко, чем для систем обыкновенных дифференциальных уравнений в математике. В механике для системы должны существовать f первых интегралов, то есть не только должны существовать кривые-траектории, являющиеся решением системы дифференциальных уравнений, но еще функции – интегралы системы должны сохраняться постоянными вдоль траекторий-решений. Такое понимание интегрируемости есть следствие замкнутости рассматриваемых в механике систем и оно констатирует существование в замкнутых системах функций состояния систем и законов их сохранения. Изменения функций состояния системы описываются полными дифференциалами.

Неявная основа определения энергии в механике есть утверждение об интегрируемости уравнений Гамильтона (2.3) в смысле существования для них f первых интегралов. Для системы уравнений Гамильтона (2.3) существование интеграла энергии само по себе не гарантирует ни строгости определения на их основе понятия – энергия, ни интегрируемости системы (2.3) в терминах механики.

Понятие – энергия – вводится также в термодинамике. Фундаментальное отличие аксиоматической базы термодинамики от аксиом механики – в способе введения постулата о существовании энергии.

В первичных истоках этой области науки явно формулируется ключевой вопрос, которого нет в аксиоматической базе механики: почему изменения энергии есть полные дифференциалы? Этот вопрос лежит в основе классической работы Р. Клаузиуса "Механическая теория тепла" [11], в которой сформирована аксиоматическая база термодинамики.

Клаузиус рассматривает дифференциал работы dA как функцию (например, двух) независимых переменных x, y :

dA  X(x,y)dx + Y(x,y)dy (2.4)

и ищет условия интегрируемости (2.4).

В общем случае при независимых координатах x, y существование функции состояния – энергии не гарантировано. Но можно найти такие условия связи между независимыми переменными, которые приведут к существованию энергии как функции состояния. Клаузиус рассматривает интегрируемость именно в смысле существования функций состояния и их изменений в виде полных дифференциалов.

Уравнения вида (2.4) известны как уравнения в полных дифференциалах. Для того, чтобы их левая часть являлась полным дифференциалом некоторой функции, которой в термодинамике, в частности, является энергия, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие, которое для этих задач впервые сформулировал Л. Эйлер:

. (2.5)

Клаузиус отмечает, что оно может как выполняться случайно (не конкретизируя причин), так и быть закономерным, если переменные в задаче не есть независимые, а ограничены наложенным на них дополнительным условием связи.

Результат Клаузиуса в терминах и обозначениях аналитической механики означает, что функция H(qj, pj) независимых переменных не обязательно есть функция состояния. Она станет функцией состояния, если выполняются совместно условия связи между собой независимых переменных qj и pj типа

f(qj, pj)  0. (2.6)

В термодинамике связи (2.6) называются уравнениями состояния системы. В частности, из (2.5) в термодинамике следует, что функциями состояния могут быть только такие функции, например, X(x,y) и Y(x,y), для которых в силу конкретного вида условия (2.6) выполняется:

Условия типа (2.7) известны в термодинамике как соотношения Максвелла и широко применяются во всех задачах, связанных с уравнениями состояния [31]. В частности, их выполнение – обязательная составляющая определения энергии.

Энергия есть одно из наиболее фундаментальных понятий науки. Её определение должно быть однородным в разных областях науки. Поэтому и в механике уравнения состояния, удовлетворяющие соотношениям Максвелла, должны быть обязательной принадлежностью определения энергии. Однако уравнения состояния в механике в явном виде не упоминаются, чего быть не должно и не может.

Для системы уравнений Гамильтона (2.3) соотношения Максвелла можно получить её перекрестным дифференцированием по независимым координатам qj и pj. В строгой постановке задачи система уравнений Гамильтона (2.3) совместна, если для неё выполняется условие типа соотношений Максвелла:

, (2.8)

Условие (2.8) выполняется всегда, когда выполнены предположения 2.1 – 2.3, в частности, когда возможна перестановочность дифференцирования по координатам qj и pj, а координаты xj и время t равноправно не имеют преимущественного направления (время обратимо).

Как подчеркивалось в главе I, методы термодинамики неустранимо связаны с законами сохранения и функциями состояния. О них эта наука как таковая. В термодинамике независимо от её методов заданы уравнения состояния типа (2.6). Соотношения Максвелла (2.8) есть проверочные условия того, что независимые уравнения состояния совместимы с существованием и методами функций состояния. Предположение о перестановочности дифференцирования во вторых смешанных производных входит в соотношения Максвелла как вспомогательная констатация использования методов функций состояния.

Механика шире термодинамики. Сохранение энергии не может быть её абсолютной безоговорочной предпосылкой (см. главу I). Хотя замкнутые системы и в ней играют большую роль, но без приближения в виде локально замкнутых систем она принципиально ограничена в своих возможностях по отношению к реальным задачам. Кроме того, в механике отсутствуют независимые конкретные уравнения состояния.

В классической механике конкретное условие, наложенное на вид функций состояния (которое проверяют соотношения Максвелла (2.7)), оказалось заменённым предпосылкой a priori о перестановочности дифференцирования во вторых смешанных производных, которая выполняется универсально – вне всякой зависимости от вида рассматриваемых форм энергии и характерных для них функций состояния.

Кроме того, оказывается, что конкретно обратимость времени в механике задаёт условие 2.3 перестановочности дифференцирования во вторых смешанных производных (подробнее см. параграф 3 этой главы). Поэтому замена уравнения состояния предположением о перестановочности дифференцирования 2.3 неустранимо вводит обратимость времени в уравнениях Гамильтона (2.3). В результате обратимость времени есть независимая аксиоматическая предпосылка при формулировке уравнений Гамильтона (2.3), а не результат их решений.

Однако хотя бы на интуитивном уровне бесспорно, что время t как фундаментальная переменная должно быть необратимым, а существование квантовых скачков требует осторожности при использовании предположений о перестановочности дифференцирования.

Потому в механике существует энергия H(qj, pj), что координаты qj и pj не являются независимыми: должны существовать уравнения связи их между собой (уравнения состояния), удовлетворяющие условию (2.7). Для примера уравнений Гамильтона это условие есть (2.8) в вырожденной форме, не зависящее от конкретных особенностей входящих в него функций.

Если обратимости времени нет, то уравнения Гамильтона (2.3) в строгом понимании несовместны (не имеют 2f первых интегралов), так как при независимых координатах qj и pj в общем случае, без дополнительных предположений условие (2.8) может не выполняться (предпосылки 2.1 – 2.3 не являются бесспорными a priori).

Результатом этого являются противоречия как при решении конкретных задач, так и при обобщениях наблюдений. Например, поведение механических систем, описываемых уравнениями Гамильтона с использованием обратимого времени, считается классическим определением понятия – детерминизм. Синоним понятия детерминизм есть описание механической системы интегрируемыми уравнениями. Однако известная теорема Пуанкаре утверждает, что невозможно в общем случае найти явные выражения для координат и скоростей как функций времени. Литература об этом весьма обширна, в частности, см. [20], [44], [45].

Значительную часть механики составляет анализ конкретных условий интегрируемости её уравнений для систем, описываемых уравнениями Гамильтона (например, интегрируемость в смысле теории возмущений Пуанкаре). Но это анализ не исходных аксиом, а систем, описываемых с участием этих аксиом. Кроме того, в механике и в термодинамике вопросы, тождественные по своему существу, описываются разной терминологией. В термодинамике преимущественно исследуют функции состояния системы. В механике – существование f первых интегралов. Если к этому ещё добавить, что в математике интегрируемость систем дифференциальных уравнений – это только существование траектории, но не обязательно существование первых интегралов, и что всё это относится к “очевидным” предпосылкам, как правило, не упоминаемым явно, то ясно, что простор для путаницы остается.

В частности, у Клаузиуса (как и в учебниках по математике) в той или иной форме присутствует упоминание о возможности “случайного выполнения” условия (2.5). Проиллюстрирую что означает такая “случайность” для уравнений Гамильтона.

В области действия предположений 2.1 – 2.3 уравнения Гамильтона (2.3) работают. Уравнение состояния для них заменяет предположение о перестановочности дифференцирования во вторых смешанных производных. Поэтому уравнение состояния должно в них учитываться не только в виде общих предпосылок, но и в какой-то конкретной форме.

Сугубо иллюстративно это можно пояснить на основе (2.8) при условиях 2.1 – 2.3, откуда:

, (2.9)

(2.10)

сохраняя только иллюстративность получим:

. (2.11)

Можно считать (2.11) дифференциальным эквивалентом уравнения состояния (2.6). Каких-либо конкретных указаний на возможную величину константы в правой части (2.11) эти поянения не дают, но, в частности, она может быть равна нулю.

В цепочке (2.9) – (2.11) при использовании полных и частных производных опущены пояснения, основанные на предположениях 2.1 – 2.3. Они существенны, но не в иллюстративном приближении и рассмотрены в этой работе подробно далее. Важно подчеркнуть, что предпосылка о перестановочности дифференцирования во вторых смешанных производных приводит на основе самих уравнений Гамильтона к некоторому частному условию (2.11) связи между собой приращений переменных – к существованию сугубо модельного, частного уравнения состояния (2.11) при определении энергии в механике. Поэтому “случайное” выполнение (2.5) для уравнений в полных дифференциалах возможно за счёт постулата о перестановочности дифференцирования, то есть о выполнении, независимо от конкретных особенностей задач, соотношений Максвелла для уравнений Гамильтона.

В общем случае уравнения состояния при определении энергии являются независимыми уравнениями и не могут быть получены из уравнений Гамильтона.

Если уравнение состояния не включено в систему (2.3), то уравнения Гамильтона могут быть совместны (иметь f первых интегралов) только в силу частных упрощающих предположений (что и было проиллюстрировано выше, когда эти предположения есть 2.1 – 2.3).

В физике известно как самостоятельная аксиома условие, которое похоже на (2.11). Это соотношение неопределённости Гейзенберга, в котором правая часть есть ненулевая фундаментальная постоянная:

(2.12)

или в полном виде

, (2.13)

где h – постоянная Планка. Почему в (2.12) и (2.13) в правой части стоит именно постоянная Планка известно только эмпирически.

В физике символы и означают среднеквадратические отклонения, то есть разброс величин qj и pj. Их квадраты – дисперсия возможных значений qj и pj. Смысл соотношения неопределённости в физике трактуется как невозможность стянуть совместное распределение вероятностей для qj и pj в момент времени в -функцию в точке (qj,pj) – если уменьшить разброс значений qj , увеличится разброс pj. В классической механике символов с таким смыслом не существует.

Естественно выразить условия (2.12) и (2.13) в классических символах механики, учитывая роль (см. главу I) постоянной Планка как одного из частных видов адиабатических инвариантов [5], [6]:

(2.14)

или

, (2.15)

где Kk есть адиабатический инвариант данной задачи, а необязательно только постоянная Планка (частный вид адиабатического инварианта). В (2.14), (2.15) шрифт для символа “d” надо было бы дать другой, так как это конечные приращения, но здесь по техническим причинам это оказалось невозможным

Можно положить, что (2.15) есть строгая форма уравнения состояния при определении энергии в механике, так как условие (2.15):

заменяет требование об априорной перестановочности дифференцирования во вторых смешанных производных в (2.8);

эквивалентно по роли в процессах природы (2.6);

независимо от уравнений Гамильтона (2.3) (так как из (2.15) невозможно получить, например, const h);

близко по форме и содержанию к одному из самых фундаментальных законов физики.

Соотношение (2.15) утверждает существование случая конечного предела при совместном уменьшении классических для математики малых приращений (может быть это даже следовало бы подчеркнуть стрелкой вместо равенства или другим символом для d). Уравнение состояния (2.15) не используется в классической механике. Оно в форме (2.13) считается отличительной особенностью квантовых процессов внутриатомных масштабов.

Выражение (2.14) имеет смысл элемента площади фазового пространства. Поэтому при неортогональной системе координат оно включает в себя синус угла между q и p. В общем случае объём в фазовом пространстве выражает якобиан преобразования, описывающего эволюцию механической системы. В строгом смысле, соотношение (2.14) имеет смысл кососимметрического произведения [20]. Но терминология симплектической геометрии здесь не используется, так как в её основах аксиоматически существенно заложена [20], [44], [45] обратимость времени и надо делать слишком много оговорок.

Соотношение неопределённости Гейзенберга в его классическом виде вводит вероятности в связь между собой импульсов и координат материальных точек. В отличие от этого неопределённость (2.15) вводит конечный сохраняющийся предел объёма в фазовом пространстве – неопределённы взаимно приращения координат и импульсов.

В механике уравнения Гамильтона как аксиоматическое определение энергии связывают между собой изменения переменных в том числе во времени. Отсюда дифференциальная форма уравнения состояния.

Подчеркну, что постоянная Kk есть адиабатический инвариант заданной системы. Поэтому она всегда по порядку величины сопоставима с остальными переменными данной задачи. Для планетной системы она своя по величине. Для атомных процессов она есть постоянная Планка. Для процессов в “элементарных частицах” она также имеет величину, отличную от постоянной Планка (см. далее параграф 5 главы III). Поэтому константа в правой части уравнения состояния всегда по численному порядку величины существенна в данной задаче.

Следует также отметить, что в физике (в термодинамике) уравнения состояния, необходимые для существования понятия об энергии, неоднозначны. Они зависят от выбора моделей – конкретных постановок задач. Например, модель с уравнением состояния идеального газа (см. также пояснения к аксиоме IV в главе I).

Аналогично и в механике: существование модели обратимого времени (2.11), для которой конкретные предположения 2.1 – 2.3 позволяют записать уравнения Гамильтона без использования (2.15), не противоречит возможности и общности для аналитической механики модели, в которой адиабатическое уравнение состояния задано в форме (2.15).

Одно из известных следствий соотношения неопределённости Гейзенберга, которое должно сохраняться и для его формы (2.15), состоит в том, что невозможно строгое равновесие математического маятника в нижней точке его траектории. Ведь строгое равновесие означает, что для груза маятника одновременно точно заданы координаты qj и импульсы pj. Но это противоречит конкретной форме уравнения состояния (2.15).

Из этого примера виден фундаментальный смысл уравнения состояния (2.15) среди законов природы: существование энергии есть следствие второго начала термодинамики (невозможности вечного равновесия), то есть следствие необратимости процессов природы.

Поэтому в основе классической механики в той форме её модели, когда аксиоматически принимается первичной обратимость времени, содержится фундаментальное парадоксальное противоречие: обязательно должны существовать такие задачи и такие решения уравнений Гамильтона, для которых модель обратимого времени недостаточна, то есть их решения в рамках модели обратимого времени будут несовместимы с обязательным для них строгим условием (2.15) интегрируемости уравнений Гамильтона (2.3) (существования энергии).

Это реально и очень существенно проявляется в современной механике в виде сложности аппарата, основанного на теории возмущений Пуанкаре, и проблемы малых знаменателей, связанной с ней [20], [46].

Кстати, Якоби (см. "Приложения" Л. Полака в [12]) критиковал Гамильтона за то, что тот не доказал совместности своих уравнений. В общем случае Гамильтон так и не смог это сделать. Для частного случая задач в центральном поле у него доказательство совместности (2.3) есть.

К сожалению, остается непонятым, казалось бы, очевидное. Задачи в центральном поле связаны с вращением, в частности, с интегралом pj  const. Как хорошо известно и описано во всех учебниках, такой интеграл существует в том случае, когда координата qj не входит в энергию системы (энергия зависит только от ). Но именно это и есть строгая форма утверждения о неопределённости координаты qj в таких задачах. Несомненно, что Гамильтон гораздо глубже понимал свои уравнения, чем наши современники, для которых их совместность в общем случае кажется непогрешимой.

Конкретный вид системы уравнений Гамильтона (2.3), не содержащий уравнения состояния, есть частная модель. Поэтому система (2.3), которая интегрируема (совместна) в терминах математики (определяет траекторию), может быть неинтегрируемой (несовместной) в терминах механики (не иметь 2f первых интегралов). В частности, существование для системы (2.3) интеграла энергии ещё не означает, что она интегрируемая в терминах механики – будет иметь 2f первых интегралов. При некорректном определении энергии интеграл энергии может существовать, но система останется неинтегрируемой в терминах механики.

В механике, к сожалению, отсутствует строгое определение понятий об энергии и времени. Используются на интуитивном уровне ещё ньютоновские определения исходных понятий механики. Поэтому постановка в механике задачи об обратимом и необратимом времени в строгом математическом виде единственно возможна в такой форме: пусть энергия в механике определена на основе соотношения неопределённости в терминах механики (2.15). Что из этого строго следует? Какие следствия и возможности создает введение в механику уравнения состояния (2.15) для уточнения аксиоматического определения понятия – время?

Аксиомы не могут быть доказаны. Поэтому последовательно буду проверять справедливость введенных в этой работе изменений аксиоматики механики. В частности, вклад в задачи механики введенных с помощью (2.15) изменений аксиоматики при определении энергии и новые возможности, которые они создают.

Первый из возникающих при этом вопросов – противоречие между необходимостью использовать в классической механике соотношение неопределённости (как условие существования энергии) в форме (2.15) и неопределённостью в этом случае классических механических траекторий.

Сначала покажу, что сосуществование соотношения неопределённости в форме (2.15) с ролью и результатами классической механики (самой фундаментальной области науки) возможно потому, что есть классы задач, в которых при условиях 2.1 – 2.3 известные строгие классические решения не зависят от конкретного вида (2.15) уравнения состояния при определении энергии. Также покажу, что это вытекает из основ строгого математического аппарата классической механики. Рассмотрю это подробнее.

Уравнение состояния – составляющая уравнений Гамильтона - Введение меры информации в аксиоматическую базу механики - А.М. Хазен - Философия как наука