Выполняя в уравнении (3) замену
N(t) = K[1 + x(t‑h)], = rh,
получаем
, (4)
где x – относительное отклонение численности N от
равновесного значения K. По биологическому смыслу N(t) > 0.
Поэтому будем рассматривать только решения уравнения (4), которые удовлетворяют
неравенству x(t) > ‑1.
Нулевое решение уравнения (4) локально экспоненциально
устойчиво при
. (5)
Э. Райт показал ,что при условии
(6)
из локальной устойчивости следует глобальная, т.е.
N(t) ® 0 независимо от начальных
условий. Оценка (6) может быть улучшена . Вероятно, нулевое решение уравнения (4)
глобально устойчиво при всех , удовлетворяющих неравенству (5).
На основе результатов Райта в 1961 г. было показано что
при любом
уравнение (4) имеет нетривиальное периодическое решение. При
(7)
асимптотика этого периодического решения может быть
определена при помощи методов теории бифуркаций
Теорема 1. Существуют такие
0, r0 > 0, что при условии (7) и при 0 < £ 0 уравнение (4) имеет в
шаре радиуса r0 с центром в нуле фазового пространства C(‑1,0)
единственное (с точностью до сдвигов по времени) экспоненциально орбитально
устойчивое периодическое решение x(t), причем на любом промежутке времени
порядка ‑1
, (8)
. (9)
Из (4) следует, что периодическое решение, имея нулевое среднее,
является знакопеременной функцией. Нормируем время так, чтобы
x(0) = 0. Через t1, t2 обозначим следующие нули. Период T этого
решения, как было показано в работах связан с величиной t2 соотношением
T = t2.
Предположим теперь, что
. (10)
Тогда имеет место следующее утверждение.
Теорема 2. Справедливы асимптотические равенства
где t Î [‑m;2],
а m – произвольное положительное число, не зависящее от .
Если выполнено условие (10), то любое решение уравнения (4),
начальное условие которого положительно на некотором отрезке длины 1, при
t ® ∞ приближается к
построенному в теореме 2 периодическому решению. Удобно его назвать
медленно осциллирующим. Это название оправдывается тем, что в обсуждаемом
случае уравнение (4) имеет еще и быстро осциллирующие, неустойчивые по Ляпунову
решения . С точки зрения приложений не играют никакой роли.