Рассмотрим уравнение
, (28)
где h > 1, Î (0;1),
>> 1.
Сначала отметим что при = 0 динамика (28)
одна и та же для каждого Î (0;1).
При этом имеется устойчивое медленно осциллирующее периодическое решение, для
которого верны формулы (26).
При > 0 существует устойчивое
периодическое решение N(t,), период которого близок к 1+h при
® ¥. Структура этого решения существенно
зависит от величины h.
Пусть сначала 1 < h < 2. В этом
случае N(t,) имеет на отрезке длины периода один всплеск, длительность
которого близка к 1.
При условии 2 < h < 3 на периоде
имеется два всплеска функции N(t,) длительностями, близкими к 1 и h‑2
(на каждом из этих всплесков достигаются экспоненциально большие по
значения), а расстояния между всплесками близки к 1.
Если 3 < h < 4, то на периоде
имеется тоже два всплеска. Длительность каждого из них близка к 1, а расстояния
между последовательными всплесками принимают поочередно два значения: » 1 и » h‑2.
В случае 4 < h < 5 на периоде
имеем три всплеска, длительности двух из них » 1,
а длительность третьего » h‑4.
Расстояния между всплесками близки к 1. При 5 < h < 6
– тоже три всплеска, длительности которых » 1,
но временные расстояния между всплесками последовательно принимают значения
1+o(1); 1+o(1) и h‑2+o(1) и т.д.
Рис. 3. Решения уравнения (28)
при =3, =0,1 (вверху) и =5, =0,1 (внизу)
Выводы.
1. Без малого
мы имеем простейший цикл с одним всплеском и длительным участком
рискованного существования (N » 0),
а с малым воздействием, во-первых, увеличивается минимум численности (т.е.
понижается риск), и во-вторых, резко уменьшается длительность промежутка
времени, где она мала (см. рис. 3)
2. Наличие
нескольких запаздываний, т.е. учет возрастной структуры, при малых
приводит к усложнению динамических свойств.
Отметим, что эффекты, связанные с большими изменениями
вследствие малых воздействий, характерны для многих задач, в которых
существенную роль играет запаздывание. В этой связи отметим важные задачи
биологии, радиофизики, лазерной физики, медицины, химии, теории нейронных сетей
и др.
Обратим особое внимание на задачу о динамике ядерного
реактора Система дифференциально-разностных уравнений
возникает при описании работы ядерного реактора. Здесь N1(t)
– мощность реактора; N0 > 1 – её стационарное значение; T(t) –
изменение температуры; a1, b1 – величины, пропорциональные мощностному и
пропорциональному коэффициентам реактивности; r1 > 0 –
характеризует суммарную теплоемкость; – запаздывание; t – время.
По смыслу задачи параметр b = b1N0
является достаточно большим. Используя асимптотические методы, можно показать,
что рассматриваемая система имеет устойчивое периодическое решение. Оказалось,
что его период относительно велик (» b/a)
и что мощность в течении длительного отрезка времени принимает относительно
небольшие значения, а затем на за время порядка происходит резкий
всплеск значений до N1 » b/a.