Мы уже говорили, что динамика пиков в уравнении (2) тесно
связана с автомодельными решениями НУШ. Для этого удобно записать (2) в
переменных амплитуда–фаза: w(x,t) = (x,t)ei(x,t), для
которых получаем
Полагая = 0, получим соответствующее
представление для НУШ. Для анализа пика с центром в точке x0 удобнее перейти к
автомодельным переменным
где L(t) – ширина пика, а также к медленному времени
, d = dt/L2(t). В новых переменных
где = dL/dt.
При = 0 эта система допускает точное автомодельное решение,
для которого R(,) º R0(),
и справедливо следующее уравнение
.
Для фазы получаем соотношение
0(,) = b() + c()
– 0,25a()2. Для b, c, a и L нетрудно получить следующие
уравнения
,
где , и – константы. Из последнего
уравнения следует, что d(L2)/dt = ‑2a, а так как высота пика » L‑1/2, то именно a управляет
ростом пика.
Из двух последних уравнений следует, что ,
откуда
.
Таким образом, получаем, что в НУШ возможны два закона роста
пика при приближении момента обострения tf
.
В случае = = 0
уравнение для R0() можно решить аналитически:
.
Обычно решение нормируют так, чтобы R0(0) = 1, что
соответствует = 1/3.
Как указывалось в работе решения при = 0
неустойчивы и в численном счете не реализуются; решения же, отвечающие
< 0, устойчивы и в численном счете действительно был
получен похожий закон роста. Заметим, что нелинейное уравнение Шредингера (3)
допускает обращение времени t ® ‑t,
w ® w*, и наряду с растущими
пиками должны существовать и затухающие. При обращении времени неустойчивые
решения могут стать устойчивыми, поэтому можно ожидать, что решения для
= 0 будут описывать стадию распада пика. Численный счет
показывает, что данное решение действительно является хорошей асимптотикой для
стадии начала распада пика (рис. 2).