§6. Катастрофические процессы в задачах со стоками энергии - Управление риском. Риск. Устойчивое развитие. Синергетика - Неизвестен - Синергетика

В предыдущих параграфах мы рассматривали неограниченные решения квазилинейных параболических уравнений. Эти решения обладают катастрофическим свойством – они достигают бесконечных значений за конечное время. Механизм возникновения таких решений связан либо с наличием сильных источников энергии, либо с сингулярными краевыми условиями. Однако катастрофа может быть отождествлена не только с резким ростом каких-либо параметров системы, но и с их сильным уменьшением. Такие характерные явления в теории нелинейных параболических уравнений связаны с наличием сильных стоков энергии в уравнениях. Например, в задаче Коши (1)–(2) при Q(u) < 0 возможен сингулярный эффект полного остывания среды за конечное время T > 0: u(x,T) º 0 при всех x Î RN и u(x,t) ¹ 0 при t Î (0;T). Обзор математических проблем и результатов в задачах со стоками тепла можно найти в

Мы рассмотрим примеры численного исследования задачи Коши для одномерного уравнения теплопроводности со стоками тепла

,         (35)

. (36)

Уравнение (35) формально допускает автомодельные решения (9)–(10). Поскольку ,  < 0, то этим автомодельным решениям соответствует бесконечный начальный фон температуры. Физически бесконечный фон также невозможен, как и нулевой фон, рассмотренный в предыдущих параграфах, и является приближением фона с большой температурой. Аналитическое исследование задачи (35)–(36) проведено в Основной результат, полученный в этой работе, следующий: в задаче (35)–(36) возможно катастрофически быстрое охлаждение среды за конечное время T > 0. На рис. 7 и рис. 8 приведены примеры численных расчетов этой задачи. Начальная функция в (36) строго положительная, на постоянном фоне температуры ставится возмущение (охлаждение) и исследуется его эволюция. Из рис. 7 и рис. 8 видно, что катастрофическое охлаждение происходит в ограниченной области пространства, но характер полного остывания (достижения нулевой температуры) зависит от соотношения параметров , . В случае  < +1 < 0 полное остывание происходит в одной точке (рис. 8), а при  = +1 < ‑1 – на конечном интервале длины LT = ‑2(‑‑1)1/2/ (рис. 7). Можно сказать, что это аналоги LS‑ и S‑режимов, рассмотренных ранее в задачах с источниками энергии.

Численные расчеты еще раз наглядно показывают, что проявление характерных свойств сингулярных (катастрофических) решений происходит до момента сингулярности.

§7. Применение теории режимов с обострением к исследованию катастрофических процессов в сложных системах

Резюмируя изложенные выше результаты, можно предложить следующую схему применения теории сильно нестационарных процессов к исследованию конкретных систем.

1.        На первом этапе следует создать максимально общую модель процесса: описать все элементы системы, связи между ними, учесть внешние источники воздействия и т.п. Это достаточно сложный процесс, требующий большой и достоверной информации о структуре системы.

2.        Далее следует формализовать описание системы, т.е. создать математическую модель. Поскольку изначально мы собираемся изучать эволюцию систем (их развитие со временем), в которых присутствует перенос, диффузия, теплопередача, есть основание полагать, что в качестве адекватной модели могут эффективно использоваться нелинейные параболические уравнения. Вид таких уравнений может быть очень сложным, поэтому следует упростить модель, оставив в ней только самые существенные, с точки зрения риска, факторы. Опыт исследования задач для параболических уравнений подсказывает, что этого достаточно для качественного описания процессов в сложных, реальных системах.

3.        Поставив соответствующую задачу для достаточно простой математической модели, ее следует изучить аналитически. Важный этап такого исследования состоит в поиске точных решений задачи, которые в сочетании с развитой техники сравнения решений одного и того же уравнения могут показать характерные свойства произвольных решений. Если точных решений нет, то можно применить рассмотренные в главе подходы к сравнению решений разных уравнений. На этом этапе можно сделать вывод о существовании катастрофических решений и о характере их эволюции: оценить время наступления катастрофы и исследовать возможность ее эффективной и строгой локализации.