Прежде всего обсудим, как выглядит явление жесткой
турбулентности в численных экспериментах для = 0,01¸0,0001. Задача для уравнения (2)
решалась в области длины L с периодическими граничными условиями.
В коротких областях (при L < 5) никакого
сложного временного поведения не наблюдалось. В областях "среднего
размера" (L = 10¸80)
наблюдалась "однопиковая" ЖТ, т.е. в каждый момент времени
существовало не более одного пика. Типичное поведение решения показано на рис. 1,
где приведены мгновенные профили для нескольких характерных стадий.
1. Первоначально
существует пространственно-однородная "турбулентность", т.е.
нерегулярные медленные пространственно-временные колебания, когда профиль
гладкий и |w| < 1 (рис. 1a,h).
2. Затем внезапно
начинает расти пик. Это происходит так быстро, что окружающий фон выглядит
замороженным. Эффективная ширина пика сокращается, хотя в некоторых
перенормированных переменных его форма остается почти постоянной (рис. 1b,c).
Рис. 1. Профили
действительной и мнимой частей w в различные характерные моменты развития и
распада пика
3. После
достижения максимальной амплитуды (это случайная величина с
"типичным" значением тем большим, чем меньше ), начинается
распад пика. Его высота быстро убывает, а эффективная ширина растет. Этот
процесс оказывается даже более быстрым, чем рост пика (см. рис. 2).
Но теперь форма пика меняется даже в перенормированных переменных, и когда
высота доходит до значений порядка 2¸3,
"колокольчик" пика превращается в быстро осциллирующий изрезанный
волновой пакет с огибающей в виде колокола (рис. 1d).
4. Затем остатки
пика – "пятно" длины порядка 1 и амплитуды |w| < 1,
заполненное пространственными колебаниями, начинает расползаться по всей
области. При этом высшие гармоники затухают из-за действия диссипативного члена
wxx, в то время как собственно диффузия происходит независимо от
и наблюдается даже в невозмущенном нелинейном уравнении Шредингера (рис. 1d,e).
5. Наконец вся
область оказывается заполнена такими пространственными колебаниями и
характерное время сглаживания профиля составляет 1/. И только после
сглаживания может вырасти новый пик (рис. 1f–h).
Рис. 2. Возникновение и
распад пика
В областях большой длины могут вырастать одновременно
несколько пиков, но в дальнейшем мы ограничимся лишь случаем одного пика.