Когда аналитическая механика дает строгие результаты без явного учета уравнения состояния - Введение меры информации в аксиоматическую базу механики - А.М. Хазен - Философия как наука

            Преобразования Лежандра позволяют представить энергию в меха­нике как функцию от разных переменных.

            Энергия в форме функции Лагранжа есть . Функция Лагранжа   L   связана c функцией Гамильтона   H   соотношением:

.                        (2.16)

            Энергия в механике может быть представлена ещё в одной форме – в виде функции Рауса   R.

            Для определения функции Рауса координаты разбивают на две группы.

            Первая содержит  (f  r)  координат и описывается лагранжевыми переменными – обобщенными координатами и обобщенными скоростя­ми:

.                           (2.17)

            Вторая описывается гамильтоновыми переменными – обобщен­ны­ми координатами и обобщенными импульсами:

.              (2.18)

            Функция Рауса

             (2.19)          

определена на основе преобразования Лежандра, использующего энер­гию в форме функции Лагранжа как:

                  (2.20)

или равноправно с использованием энергии в форме функции Гамиль­тона:

.                     (2.21)

            Для степеней свободы    j    1, 2, ..., f  r    справедливы уравне­ния:

,     ,                                (2.22) 

которые при    L   R    относятся к уравнениям типа Лагранжа.

            Условие существование энергии на основе  (2.4)  для них есть

.                                            (2.23)

            Это условие выполняется без явного учета уравнения состояния (2.15), но для уравнения типа  Лагранжа переменные есть   и  , то есть координаты, зависимость между которыми сильнее, чем заданная (2.15) – среди координат (2.17) независимые есть только qj. 

            Для степеней свободы (2.17) существует классический детерми­низм и классические траектории. Важно подчеркнуть, что постановки задач, которые исчерпываются степенями свободы (2.17), есть класси­чес­­кая механика в ньютоновском смысле, хотя её аппарат в этой форме гораздо более совершенен. Такие задачи не содержат пардоксов, связан­ных с некорректным определением энергии в механике.

            Для степеней свободы (2.18) при   j    f  r + 1,  f  r + 2, ..., f    спра­ведливы уравнения

,        ,                                (2.24)

которые при    H    R     есть уравнения типа Гамильтона (2.3).

            Среди координат (2.18) обычно считают независимыми как qj, так и pj. Однако это не так. Для координат (2.18) энергия строго опреде­ле­на в случае, если координаты  qj  и  pj зависи­мы между собой – они свя­за­ны между собой явно условием (2.15) в виде соотношения неопреде­лён­но­сти (уравнения состояния). В этом случае независи­мой перемен­ной яв­ляет­ся эле­мент площади в фазовом пространстве (2.15) с размер­но­стью действия. Уравнение состояния может иметь неяв­ную форму (2.11). Тог­да координаты  qj и  pj кажущимся образом неза­ви­симы.

            Для степеней свободы  (2.18)  существуют интегралы  pj  const, в которых соответствующие им  qj  не входят в выражение для энергии, то есть неопределённы (энергия зависит только от ).  Раус назвал такие ко­ор­динаты циклическими, так как ясно, что они возникают в задачах о вращении.  Если подставить эти координаты в (2.20), то задача сведется к уравнениям типа Лагранжа – к классическому детерми­низму. Это част­ный вид задач, в которых энергия строго определена без явного упоми­на­ния уравнения состояния (2.15), хотя оно в них присутствует и строго выполнено в форме частного случая точно заданного импульса и неопре­де­лённости угловой координаты.

            Иначе говоря, если в данной задаче для координат (2.18) сущест­ву­ет интеграл  pj  const,  то в этой задаче есть координаты (2.17), по от­но­ше­нию к которым энергия строго определена кажущимся образом неза­ви­симо от уравнения состояния (2.15).

            Канонические преобразования гарантируют представление за­дач в такой форме, когда явно выделены степени свободы (обоб­щён­ные координаты),  для которых   pj  const.

            Поэтому парадоксы в классической механике следует ждать имен­но в задачах с циклическими координатами (что и наблюдается).

            В классической механике существует еще один важный класс задач, в котором при описании механической системы (в строгой пос­тановке) предпосылки 2.1 – 2.3 исключают из рассмотрения уравнение состояния (2.15). Это скобки Пуассона и их связь с вопросом об обра­ти­мо­сти времени в механике.

Эквивалентность в механике перестановочности дифференцирования во вторых смешанных производных и обратимости времени

            В предыдущих параграфах перестановочность дифференцирования во вторых смешанных производных связывалась с обратимостью вре­ме­ни в задачах механики. Рассмотрю конкретные строгие причины этой вза­имосвязи.

Пусть дана система обыкновенных дифференциальных уравнений пер­во­­го порядка:

,                                     (2.25)

где    есть данные функции переменных    (см. обозначения индексов (2.1), (2.2)). Например это может быть система канонических уравнений, вклю­ча­ющая в себя время:

.       (2.26)  

            Интегралом системы (2.25) по определению первого интеграла будет всякая функция  F  от ,  для которой выполняется:

0.               (2.27)

            Например функция  F  будет интегралом системы (2.25), если вы­пол­­няет­ся условие:

0.                   (2.28)

            Это отличает определение интегрируемости в механике. Соответ­ст­венно в механике должны быть отличия в определении произ­водной.

Дейст­ви­тельно, производная в фазовом пространстве опре­де­ле­на в функции от пере­мен­ной в виде элемента площади фазового пространства (ин­ва­рианта кано­ни­ческих преобразований). Такая произ­водная есть скобки Пуассона, имеющие вид:

{F1F2}    .           (2.29)

Определение скобок Пуассона основано на нижесле­дую­щей лем­ме [21].

Если задана произвольная функция  F,  зависящая  от  2f   перемен­ных   ,  то над ней можно формально произвести опера­цию, обозна­чен­ную  А(F),   вида:

,                                       (2.30)

где коэффициенты  являются произвольными функциями пе­ре­мен­­ных  .

            Пусть  B(F)  обозначает такую же, как и (2.30) операцию над  F,  но с дру­ги­ми коэффициентами:

,                                       (2.31)

где  Bj – некоторые другие функции тех же  2f  аргументов. Из структуры (2.30) и (2.31) ясно, что одним из частных видов таких операций могут быть выраже­ния вида левой части (2.28). Смысл выражений (2.30), (2.31) есть производные по направлению в векторном поле.

            Далее проводят операцию, соответствующую символу  A(F),   над выра­же­нием (2.31):

.

       (2.32)

            И наоборот:

.  

(2.33)

            Можно образовать разность (2.32) и (2.33):

A[B(F)] [A(F)].                                      (2.34)

            Cвойства этой разности принципиально различны для случаев выполнения уравнений состояния в форме (2.11) и (2.15).

            В классической механике действуют предположения 2.1 – 2.3, в част­но­сти, справедлива перестановочность диффе­рен­ци­­ро­вания в сме­шан­ных произ­вод­ных:

.                                       (2.35)

            В этом случае из (2.32), (2.33) следует, что при условии (2.35) разность (2.34) полностью независима от вторых смешанных произ­вод­ных функции  F . Это свойство разности (2.34) и есть результат лем­мы, которая предваряет определение скобок Пуассона в учебниках клас­сической механики.

            Свойства скобок Пуассона аналогичны свойствам производных в математике, поэтому скобки Пуассона и есть производная в фазовом про­ст­ран­ст­ве.

В частности, выполняется:

   и    .                         (2.36)

Свойства скобок Пуассона включа­ют в себя тож­дество Яко­би, ко­то­рое фор­му­ли­ру­ет­ся следую­щим образом.

            Даны функции F1, F2, F3  перемен­ных  q1, q2, ..., qf , p1, p2, ..., pf .  Из них можно образовать скобки Пуассона в следующих комбинациях:

Ф1  {F1F2},   Ф2  {F2F3},   Ф3  {F3F1}.                  (2.37)

            Если образовать новые скобки Пуассона вида:  {F3Ф1}, {F1Ф2},    {F2Ф3},  то для них в классической механике выполняется тождество:

{F3Ф1} + {F1Ф2} + {F2Ф3} 0,                                (2.38)

которое после подстановки в (2.38) выражений (2.37) принимает вид:

{F3{F1F2}} + {F1{F2F3}} + {F2{F3F1}}  0.                          (2.39)

            По определению скобок Пуассона в их конкретном виде (2.29), каж­дый член в (2.39) есть производная от какой-либо из функций F1, F2, F3, умноженная на некоторый коэффициент, например, это произ­водные от   F3,  которые появляются в выражении:

{F1{F2F3}} + {F2{F3F1}}.                                  (2.40)

            Так как из (2.29) скобки Пуассона определены как про­из­водная по элементу объема фазового пространства (который сог­лас­но (2.15) строго определен как независимая переменная), то равенства:

{F1F2} {F2F1},    {F1F1} 0,   {F1 , F2} {F1F2}               (2.41)

есть составляющие этого определения.

            Используя (2.41) можно записать (2.40) в виде:

 {F1{F2F3}} {F2{F1F3}}.                                 (2.42)

            Для использования в (2.42) сформулированной выше леммы пред­ставим в (2.40) процесс составления скобок Пуассона как операцию, например, над некото­рой функцией  F  в виде {F1F},  что соответствует в обозначениях лем­мы  A(F).  Тогда  {F2F} соответствует В(F).  Из этого видно, что в (2.42) в точности выполняется утверждение для (2.34) леммы о независимости ре­зуль­тата от вторых смешанных производ­ных. Этим тождество Якоби (2.39), как это делается во всех учеб­ни­ках, дока­за­но. Главным ус­ло­вием в этом доказательстве является перестано­воч­ность дифференцирования.

            В фазовом пространстве на уровне иерархии  k  время  tk  является пара­мет­рической переменной. Поэтому структура фазового пространст­ва должна отра­жать­ся в результатах переходов в функции времени.

            Если в фазовом пространстве задана функция F  F(pj,k, qj,k, tk)   коор­динат  qj,k,  импульсов  pj,k  и времени  tk , то полная производная по времени от неё оп­ре­де­­лена в виде:

.                        (2.43)

            Конкретные особенности времени  tk , как переменной, и его учас­тие в про­цес­сах, происходящих в фазовом пространстве, отоб­ра­жает вто­рой член в (2.43).  Индекс  k  введен выше для того, чтобы напомнить об универсальной роли результатов классической механики на всех уровнях иерархии адиабатических инвариантов, но в (2.43) и далее он опускается, так как рассматриваются плоскости заданного  k-го  уровня иерархии в (1.14), то есть заданной величи­ны  Kk  в (2.15)).

            Если функция  F  в (2.43) есть один из интегралов уравнений Га­миль­тона и во второе слага­емое (2.43) подставлены уравнения Гамиль­то­на в их клас­си­ческом виде (2.3), то второе слагаемое в (2.43) примет вид:

{HF}  (2.44)

который есть скобки Пуассона от функций  H  и  F ,  где H  – гамиль­то­ни­ан системы.

            Если функция  F  есть один из интегралов уравнений Гамиль­тона, то по определению первого интеграла  вдоль траектории  dF/dt = 0  и вы­полняется условие:

{HF} +   0.                                       (2.45)

Если интеграл движения F не зависит явно от времени, то его скоб­ки Пуассона, например,  {HF} = 0.  В этом случае:

.                                             (2.46)

            Если скобки Пуассона функций  F1 и  F2  равны нулю, то эти функ­ции называются находящимися в инволюции.

            Условия вида (2.45), записанные по отношению к произвольным функциям, по определению первых интегралов есть система уравнений, эквивалентная уравнениям Гамильтона при описании движения матери­аль­ных точек механики.

Скобки Пуассона – аддитивная составляющая, которая отличает пол­ную производную по времени от частной производной. Поэтому смысл тождества Якоби (2.39) состоит в том, что в класси­чес­кой механике полная производная по времени в фазовом прост­ран­стве равна нулю по любому замкнутому пути. Но именно это есть стро­гий вид утверждения об обратимо­сти времени.

            Однако нужно подчеркнуть, что лемма, на которой основано до­ка­­­­­за­тель­ст­во тождества Якоби, справедлива только при усло­вии 2.3 перестано­воч­ности дифференцирования во вторых смешанных про­из­водных.

            Таким образом, доказательство моего утверждения в первом пара­гра­фе этой главы о том, что система уравне­ний Гамильтона (2.3) замкну­тая и совместная только в условиях об­­ра­тимости времени, содержится в фунда­мен­тальных, более чем столет­ней давно­сти ос­но­вах механики.

            Современные формулировки га­миль­тоновой механики [20], [44], [45] в пря­мой явной форме (см., например, [44] стр. 19) использу­ют в ка­чест­ве пер­вичной аксио­матики тождество Яко­би (2.39) и свойства ско­бок Пуас­сона (2.41). Поэтому все тео­ре­мы и утверждения современ­ной ме­ха­ники об интегрируе­мо­с­ти урав­не­ний Гамильтона есть ут­верж­­дения в пределах предпо­сы­лок мо­де­­ли механики, в которой вре­мя об­ра­тимо.

            Аксиоматическое предположение, в силу которого в класси­чес­­кой механи­ке (несмотря на то, что уравнение состояния (2.15) задаёт дис­­к­рет­ную единицу объёма фазового пространст­ва) работает модель стро­­гой непрерывности заключается в утверждении о пере­ста­но­воч­но­сти диффе­рен­цирования  во вторых смешанных производных.

Тождество Якоби утверждает, что в механике предполо­же­­ние о переста­но­вочности дифференцирования во вторых смешан­ных производ­ных эквивалент­но утвержде­нию об обратимости вре­ме­ни.

            В силу соотношений (2.8), обязательных при корректном опреде­ле­нии энергии, предположение о пере­ста­новочности или о непере­ста­но­воч­но­сти диф­фе­ренцирования во вторых смешан­ных производных кон­­к­ретно связы­вает сов­мест­ность уравнений Гамильтона с об­ра­ти­мо­стью или необрати­­мо­стью времени (что было подчеркнуто в первом парагра­фе этой главы).

При неперестановочно­с­ти диффе­ренциро­ва­ния во вто­рых сме­шан­­­­ных про­из­вод­ных тождество Яко­би не вы­пол­няется. Время в та­кой меха­нике необрати­мо. Обра­тимость време­ни есть предпосылка, тож­дест­вен­но эквивалентная отказу от уче­та дей­ст­вия второго нача­ла термо­ди­на­мики. Вы­пол­нение тож­­де­ст­ва Якоби иск­лю­­ча­ет второе начало термо­ди­на­ми­ки из числа законов классической механики.

Если в аксиоматические пред­посыл­ки классической ме­ха­ники вве­­де­но урав­нение сос­тояния в фор­ме (2.15), то этим вво­­дится конеч­но раз­рыв­ная струк­­тура фазово­го про­ст­ранст­ва. При су­щество­ва­нии раз­ры­вов пе­ре­ста­­новка в смешанных про­из­­вод­ных порядка диф­фе­рен­циро­ва­ния по неза­ви­си­мым пере­мен­­ным из­ме­ня­ет ре­зуль­тат. Пояс­ню это рисунком (рис. 2.1).

Дана поверхность  F(x,y,z)  с ко­неч­­ным раз­ры­­вом вдоль оси  x  и оди­­наковой поизводной вдоль оси y по обе сторо­ны раз­ры­ва. Если фун­к­цию F(x,y,z) сначала диф­фе­рен­цировать вдоль оси  y, то резуль­тат бу­дет описывать непрерыв­ная фун­к­ция от (x,y,z). Полу­чив­ша­яся произ­вод­ная дF(x,y,z)/дy  как объект для дифферен­цирования вдоль оси  x будет непре­рыв­ной фун­­к­цией. Раз­рыв  ab  в ре­зуль­татах диффе­рен­цирования по x со­дер­жать­ся не бу­дет. Если по­ря­док диффрен­ци­рова­ния из­менить, то раз­рыв  ab  войдёт в ре­зуль­­тат:  равенство (2.35) невоз­можно.

 Дейст­вует условие:

,                                         (2.47)

которого в классической механике нет.

Канонические преобразования как способ описания движения, совместимый с соотношением неопределённости

Как отмечалось в первом параграфе этой главы, для уравнений Га­миль­тона су­ще­ствует предельный случай, когда вдоль траектории и в (2.15) строго выпол­няется:

.                                              (2.48)

Он соответствует первому интегралу

pj = const.                                            (2.49)

Тогда существуют реше­ния системы урав­нений Гамиль­тона для  qj вида:

,                               (2.50)    

где                                                                                                                               

=.                         (2.51)

Иначе говоря, при существовании интеграла (2.49) взаимность урав­­нений Гамильтона исчерпывается заданием на основе первого из них величины конс­тан­ты во втором.

Интеграл (2.49) и решение (2.50), (2.51) относятся к классической механике, в которой связь между независимыми переменными qj и pj, необходимая для существования понятия – энергия, задана в силу пред­по­сылок 2.1 — 2.3 самими уравнениями Гамильтона, а уравнение сос­тояния имеет форму (2.11). В частности, с нулевой константой в правой части. Для этой задачи в этом конкретном случае уравнение состояния (2.11) есть неопределенность вида:

.                                     (2.52)

Энергия в этой задаче H = H(pj), то есть полностью не зависит от qj, а в силу модельного уравнения состояния (2.11) при конкретном условии (2.49) энергия существует при любых qj и dqj, в частности, участ­ву­ю­щих в решении (2.50). В такой частной модели парадоксальным образом именно неопределённость  qj  и  dqj  позволяет строго опе­ри­ровать ими как точно за­данными одновременно с импульсами системы  pj  независимыми пере­мен­ными – в силу конк­рет­ного вида предела (2.52) неопределённость вы­ро­дилась в совмест­ное согла­со­ван­ное из­ме­не­ние коор­ди­нат и импуль­сов, которые заданы одно­вре­мен­но и точно. Кроме того, в случае (2.52) нет ограничений на малость приращений, входящих в эту неопределённость.

Уравнение состо­я­ния в строгом виде (2.15) обязательно в ме­ха­ни­ке, независимо от то­го, знали это или нет её творцы. Поэтому в общем случае в основах механики должен суще­ствовать фор­маль­но-ма­те­ма­ти­чес­кий аппа­рат, кото­рый учитывает требования соотношения не­оп­ре­де­лён­ности (2.15) и устанавливает формы и границы опера­ций c ко­ор­ди­на­тами  qj  и импульсами  pj  ма­те­­риаль­ной точ­ки, сохраняя за символами dqj и  dpj их обычный для математики смысл, несмотря на дискретность фазового пространства, которую задаёт уравнение состоя­ния (2.15). Этот аппарат есть касатель­ные пре­об­разо­вания  С. Ли  и их част­ный вид, сохраня­ю­щий неизменной форму урав­не­ний Гамильтона (2.3), – канони­ческие пре­об­ра­зования. Движение опи­сывается в терми­нах пре­об­разо­ва­ний на основе сох­раняющихся вели­чин – инва­ри­ан­тов преоб­разований.

Рассмотрю это подробнее, исполь­зуя для иллюстра­ции нагляд­ный дву­мер­ный приме­р. 

            Пусть задано про­с­т­­ранство P и в нём то­чки на кривой  А  с коор­ди­на­тами  q  и  p,  опре­де­ляющими положе­ния и направления.  Вво­дят про­ст­ранст­­во  P'  и пре­образование в него точек пространства  P,  инва­ри­антом кото­ро­го является функ­­ция  S  коор­ди­нат в простран­ст­вах  P  и  P' (произ­во­дящая функция). В рас­смат­­ри­ва­е­мом двумерном случае про­из­водящая функция   S   есть:

S S(q, p; q', p') соnst,                                 (2.53)

где штрихами обоз­на­чены новые ко­ординаты, а конс­тан­та имеет конк­рет­ную фик­си­ро­ван­ную ве­ли­чину  C.  Каса­тель­ное преобразова­ние пе­ре­во­дит точ­ки  Аm  с ко­ор­ди­натами  qm , pm  (положе­ни­я­ми и направ­ле­ни­я­ми)  кривой  А  в про­­ст­ранстве  P  в кривые   Bm   про­­с­т­­ранства  P'.   Кри­вой  А,  проходя­щей че­рез точки  Аm  в пространстве P,  бу­­­дет со­от­вет­ство­вать огибающая  D  кривых  Вm  в прост­ранстве P'. Для рас­смат­­ри­ва­­е­мо­го двумерного при­мера это изобра­­же­но на (рис. 2.2).

            При касательном пре­о­б­разовании точек q, p и q + dq, p + dp пространства P в прост­ранство  P'  этим точкам отвечают кри­вые, име­ю­щие уравнения:

S(q, p; q', p') С                                        (2.54)

и

S(q + dq, p + dp; q', p') C.                               (2.55)

Тогда можно записать, пренебрегая малыми высшего порядка:

S(q + dq, p + dp; q', p') S(q, p; q', p') + (дS/дq)dq + (дS/дp)dp  C.     (2.56)

Используя время как параметрическую переменную механики, мож­но представить  и  ,  в которых отношение  за­да­ёт направление. Точку , соответствующую точке , определяет система уравнений:

      S() С,        .                     (2.57)

Направление огибающей в точке    даст уравнение для диффе­рен­­циа­лов по штрихованным аргументам, полученное из первого урав­не­ния (2.57):

.                                     (2.58)

или

,                                      (2.59)  

где    и   .  Этим определена симметрия преобразова­ний по отношению к обе­им плос­ко­стям.

С точки зрения классической ньютоновской механики уравнения Гамильтона есть формальный математический результат, придающий дру­­гую форму известному, описываемому уравнениями Лагранжа. Одна­ко уравнения Га­миль­тона и уравнения Лагранжа адекватны разным клас­сам задач, гра­ница между которыми была определена в па­ра­графе 2.

Аналогичное относится и к касательным преобразованиям Ли. Опять, казалось бы, они есть только другой формальный приём описания известного. Но содержащееся в них преоб­ра­зо­ва­ние положений и на­прав­­лений, а не координат точки;   соответствие точки и кривой, вместо соответствия точки точке;   примат идеи первых интегралов (функций сос­тояния) в виде инварианта преобразований – всё это принципиально новое, а не чисто формальный приём.

В физике (в термоди­на­ми­ке) идея функций состояния (интегри­руемо­сти) привела к уравнениям состояния. В механике аналогичная ей идея первых интегралов, опять-таки, привела к уравнениям состояния, но в другой, неявной форме.

Это становится более понятным на основе продолжения двумер­ной иллюстрации. Рассмотрю частный случай касательного преобразова­ния, заданного конк­рет­­ной произво­дя­­щей функ­цией:

S (q q')2  +  (p p')2 C R2.                           (2.60)

В этом примере (рис. 2.3) точке  в пространстве P будет со­от­­вет­ст­во­вать окружность ради­у­са  R  с центром в    в прост­ранст­ве  P'.  Пе­ре­­мещению этой точки по кри­вой  А  в простран­стве  P  будут соот­вет­ст­вовать прямые-огибаю­щие  окружностей радиуса  R  с цен­т­ра­ми на прямой  в про­ст­ранстве P'. При обратном преоб­ра­зо­­ва­нии перемещению точки по окруж­­­ности в прост­ран­стве  P'  c цент­ром в точке  будут соответствовать окружности, имеющие, в част­но­сти, общую точку-огибающую   в пространстве  P. 

            Для конкретного касательного преобразования, заданного произво­дя­­щей функ­цией (2.60), выполняется:

дS/дq   2(q  q');     дS/дp  2(p  p'),                    (2.61)    

а для обратного преобразования:

дS/дq'   2(q  q');     дS/дp'  2(p  p').                (2.62)

Поэтому в рассматриваемом примере:

                                     (2.63)

и соответственно

.                           (2.64)

            Из (2.64) следует, что выполняется условие:

 ,                                              (2.65)

от которого происходит название – касательное преобразование (пре­об­ра­зо­ва­ние, сохраняющее направление касательных).

            Рассматриваемый двумерный пример и свойство (2.65) общеиз­вест­­ны (этот пример обычно приводят как пояснение связи принципа Гюй­генса с оптико-меха­ни­ческой аналогией Гамильтона).

Известно, что при применении касательных преобразований в ме­ха­нике (в их частном виде канонических преобразований) физический смысл произво­дя­щей функции S есть действие. Конкретный вид (2.60) функции S в рассматриваемом примере относится именно к кано­ни­чес­ким преобра­зо­вани­ям. Канонические преоб­разования сох­раняют форму уравнений Гамиль­то­на, если  и  рассмат­ри­ваются как перемен­ные в этих уравнениях.  Дейст­вие  S   есть инвариант кано­ни­чес­кого пре­об­­­ра­­­­зо­­­ва­­ния. 

            Канонические приобразования устанавливают связь касательных пре­­об­ра­зований с задачами механики. Поэтому их анализ должен вклю­чать в себя анализ корректности использования в них аксиоматического определения энер­гии.

В стро­гом виде (как было подчерк­нуто выше) определение энергии в механике требует учёта уравнения состояния в форме (2.15). Кон­крет­но в дан­ном при­мере оно должно иметь вид:

dqdp  Kk.                                              (2.66)

            Так как каноническое преобразование имеет инвариантом дейст­вие  S,  а уравнение состояния (2.15) определяет фундаментальную еди­ни­цу измерения дейст­вия – также величину, сохраняющуюся пос­ле пре­об­разования, то должно выпол­няться условие:

dq'dp' Kk .                                            (2.67)

            Из (2.66) и (2.67) получается:

.                                             (2.68)

Отсюда следует, что касательные преобразова­ния строго совместимы с урав­­­не­нием состояния (2.15).

            Рассмотренный пример, позволяет наглядно пояснить как именно прояв­ля­ет­ся неопределённость принципа неопределённости Гейзенберга, когда он вводится в этой работе в виде уравне­ния состояния (2.15).

            Адиабатическое уравнение состояния (2.15) определяет, что дейст­вие в механике имеет минимальную дискретную единицу. Это не проти­во­речит принципам и аппарату канонических преобразований.

Движение материальной точки механики можно описать как по­сле­­до­ва­тель­ность кано­ни­ческих преобразований. Точке сопоставляется кри­вая, и наоборот. Дискретный конечный инвариант преобразований га­рантирует при этом взаимнооднозначную связь областей фазового про­ст­ранства  как описание движения материальной точки. Элемент траек­то­рии механической системы задаёт не математическая точка, а конеч­ная область, удовлетво­ряю­щая условию (2.15) существования энер­гии как функции состояния. В пределах выполнения этого условия кон­крет­ные координаты в конфигурационном пространстве и импульсы могут быть произвольны. Поэтому модель, в которой точно задаются началь­ные коор­ди­наты и импульсы точки в определённых условиях не про­тиворечит не­опреде­лённости (2.15).

Заданной точке q0, p0 соответствует мно­жест­во возмож­ных точек – кривая. Но эта кривая не есть траектория движения точ­ки. Эта кривая отоб­ражает потенциально возможную (совместимую с существованием энергии) неопре­де­лённость координат и импульсов то­чек, составляющих траекторию. Траекторией станет огибающая мно­гих последовательных кривых. 

Механика связывает между собой силы и ускорения, то есть вто­рые производные. Поэтому важнейшая особенность механики в том, что начальные положения и скорости могут быть выбраны произвольно. Воз­можность однозначного задания начальных условий есть важ­нейшая особенность механики. Касательные преобразования показы­ва­ют – обязательность выполнения в общем случае (2.15) совместима с задани­ем начальных условий в виде конкрет­ных величин q0, p0. В рас­смот­ренном выше при­мере на рис. 2.3 это точ­ка q0, p0 в прост­ран­ст­ве  P  как од­на из двух огибающих многих окруж­но­стей, задан­ных ок­руж­ностью  Bm   в пространстве  P'. 

Однако точность существования q0, p0 эфемерна – при обратном пре­­образовании из пространства P' в про­ст­­ран­ст­во P существует в про­ст­­­ран­ст­ве  P вторая огибающая в виде окруж­ности (на рис. 2.3 не пока­зана), и множество то­чек внутри неё. В любой момент времени  тра­екторию опре­де­ля­ет взаимосвязь областей в прост­ран­ст­вах  P  и  P'.  Поэтому эфемерная возможностью точно задать q0, p0  сосуществу­ет с неопределённостью при описании детермини­ро­ван­ных меха­ни­ческих тра­­ек­то­рий как эволюции областей. Детерминизм отображает связь в фазовом пространстве ко­нечных областей с сохраняющимся объёмом и автоматизм поправки на некорректность точного указания q0, p0.

Строгая формулировка механики осуществлена в Г-пространстве. В его координатах записано и (2.15). Однако в частных случаях механи­ческие задачи можно формулировать в -пространстве. В такой поста­нов­ке задачи нет координат, использованных в (2.15). Это неизбежно вводит осреднение переменных при переходе от Г-пространства к -пространству. Отсюда символ физиков , имеющий смысл, отмечен­ный в (2.12), (2.13) параграфа 1 этой главы. Символ физиков , содержит в се­бе меньше ограничительных условий, чем (2.15). Соотношение неоп­ре­делённости конкретно взаимосвязанных переменных внутри инвари­ант­ной области заменяется вероятностным соотношением. Но дальше психологически естественно символ   возвращают в Г-пространство. В результате, в каких-то задачах он работает так же, как и (2.15). Но неиз­беж­но возникают такие за­дачи, в которых он вызывает парадоксы, трак­ту­емые как  индетерми­низм природы.

Неопределённость в (2.15) заключается в том, что в пределах ко­неч­ной области не существуют раздельно приращения dqj и dpj. Не­опре­делённость в (2.13) в том, что потенциально точно существующие координаты и их приращения распределены случайным образом.

В модели механики с обратимым временем в силу урав­не­ния сос­то­яния (2.11) существует нулевой предел для объёма в фазовом прост­ран­стве – в пределе вторая огибающая-окружность может быть стя­ну­та приближенно в точку. Поэтому выпадает из поля зрения особен­ность ка­са­тельных преобра­зо­ваний, позво­ля­ющая соединить детерми­низм урав­не­ний механики с ко­неч­ным интер­ва­лом, в котором задаются на­чаль­ные условия и опи­сы­ваются траекто­рии.

В условиях действия уравнения состояния (2.15) детерминизм ме­ха­ни­ки задан существованием однозначных урав­не­ний для преобра­зо­ва­ний, описывающих траектории на основе одно­знач­ных инвариантов пре­о­бразований. Однако можно ввести частную модель, в которой результат этих преобразований может быть описан в терминах вероятностей. Имен­­­но так делается в физике, когда в ней используют соотношение неопре­делён­но­сти Гейзенберга.

Это и есть совместимый с классической ме­хани­кой смысл соотно­ше­ния неопределённости Гейзенберга. Поэтому соотношение неопреде­лён­ности Гейзенберга, в терминологии фи­зиков имеющее вид (2.13), совместимо с уравнением состояния в ме­ха­нике в его общем виде (2.15). и уравнение состояния (2.15) можно называть соот­ношением неопреде­лён­но­сти, как я делаю в этой работе.

Неопреде­лён­ность существует, но она не проти­во­ре­чит детерми­низ­му описания движения с помощью канонических пре­об­разований. Коор­ди­наты матери­аль­ной точки как элемен­та сис­темы мо­гут быть неопределённы в пределах ус­ловия (2.15), однако остаются одно­знач­ные взаимосвязи (в смысле траекторий – преобразований).

            При этом необходимо подчеркнуть, что в ра­бо­те С. Ли [47], кото­рая ввела в науку касательные и канонические преобразо­ва­ния, он стро­го доказал, что существуют такие кано­ни­чес­кие преобразования, ко­то­рые не являются касательными. Но если преобразования не есть каса­тельные, то для них не выполняется (2.68), а следовательно и (2.15). Это опять подтверждает написанное в параграфе 1 этой главы:  обяза­тель­­но должны существовать такие конкретные слу­чаи, когда уравнения Гамильтона несов­мест­ны (в смысле существования 2f первых интегра­лов), то есть входящая в них функция  H(qj, pj)  не есть энергия системы – функция состояния систе­мы.

            Опять надо напомнить то, что подчеркивалось в этой главы – в рам­­ках самого ап­парата классической механики конкретная величина константы в (2.15) уста­нов­лена быть не может.

Ограничение для гладких функций в использовании классической производной

В механике при определении энер­гии не используются урав­нения сос­тояния. В строгой постановке задачи в механи­ке должны быть заданы уравнения состояния, в частности, сна­ча­ла адиа­ба­тическое уравнение сос­тояния механической системы. Такое уравнение состояния было вве­де­но в начале этой главы в форме, похожей на соотношение неопре­де­лённости Гей­зен­бер­га, с ади­а­батическими инвариантами системы Kk в правой части (2.15), отвечаю­щи­­ми заданной за­да­че.

Ещё раз подчеркну, что на уровне атом­­ных масштабов адиаба­ти­чес­­­кий инва­риант есть посто­ян­ная Планка h. Для пла­нет­ной сис­темы он свой, сопоставимый с её мас­штабами. В об­щем виде уравнение сос­то­я­ния (2.15) есть соотношение не­опре­делён­ности, в кото­ром неопределён­ность всегда по поряд­ку величины со­по­ста­ви­ма с мас­шта­­ба­ми переменных данной задачи.

            Первый вопрос, который вызывает запись уравнения состояния в фор­ме (2.15), связан с тем, что произ­ве­дение, казалось бы, клас­си­ческих для мате­матики бесконечно малых приращений равно конеч­но­му числу.

            Бесконечно малые приращения (на­при­мер, dx, dy) в математике вво­­дят­ся в связи с опре­де­лением непрерывности и производной. Каждая из них имеет нулевой предел в смыс­ле связанных меж­ду собой    и  ок­рест­но­с­тей. Од­нако эти приращения всегда ограни­чены условием связи вида  y = f(x). Например, в случае произ­вод­ной в близ­кой к нулю точке x0 от функции  y = 1/x  каждое из приращений dx, dy имеет нуле­вой предел, но их отно­шение равно конечному числу, а величины при­ра­щений мо­гут отли­чать­ся друг от друга на сколь угодно большое чис­ло по­рядков вели­чи­ны, хотя они сохраняют смысл беско­нечно малых в самом строгом виде.

            Поэтому строгость соотношения (2.15) такая же, как и строгость выражений для производной в точке – приращения dqj и dpj, которые могут быть в пределе бесконечно ма­лыми в смысле свя­зан­ных для каждой  и ок­рест­но­­с­тей, изменя­ют­ся на основе усло­вия (2.14) взаи­мосогласо­ван­но так, что могут от­ли­чать­ся на любое количество по­ряд­ков ве­ли­чи­ны.

Однако конкретно урав­нения Га­миль­­то­на в силу предпо­сылок те­о­рем суще­ст­­во­­вания и един­ст­венности рас­сматривают­ся в замк­ну­той об­ла­сти. Она ко­нечная, то есть ограничен ин­тер­­вал возможных сов­мест­ных изме­не­ний dqj  и  dpj как малых в обыч­ном смысле мате­матики. Оба прираще­ния по­­лу­чают конечный мини­маль­ный и макси­маль­ный предел (рис. 2.4). Воз­ни­кает неопределённость вида:

,                                  (2.69)

где dqj и dpj  рассматриваются как при­ра­щения, описывающие мини­маль­­но возмож­ную единицу объёма фазового прост­ранст­ва в прямоу­голь­­ной системе координат.

Уравнение состо­я­ния (2.15) и не­оп­ре­де­лённость (2.69) вво­дят в ме­ха­­нику дис­к­рет­­ное фа­­­зо­вое пространство. Необхо­димы по­­яснения осо­бен­но­с­тей пре­дель­но­го пе­ре­хода при стрем­­­­лении к ну­лю при­ращений в дис­­­к­рет­ном фа­зовом прост­ранст­ве, удо­влет­воряющем усло­вию (2.15). В част­но­сти, это необходимо в связи с поня­тием о вторых смешанных про­из­­вод­ных.

Пусть в соответствии с первой частью предпосылки 2.3 задана замк­нутая конечная область и в ней некоторая функция  F(qj, pj), при­ращения пере­мен­­ных ко­то­рой удовлетворя­ют (2.15). Она может быть пер­вым интег­ралом сис­темы (2.3). Напри­мер, это функ­ция Гамиль­тона H0. Вторые сме­шан­ные произ­вод­ные могут быть опреде­ле­ны для неё обычным об­разом как предельный переход при поочередно устрем­ля­е­мых к нулю прира­ще­ни­ях dqj или dpj. В бесконечной открытой области не важно было ли исходное прира­ще­ние dqj или dpj таково, что содержало толь­­ко одну ячейку (2.15), или их было n. Всё равно для любого сколь угодно ма­ло­го, например,  dpj  найдётся своё сколь угодно боль­шое  dqj  и не имеет значения число  n  ячеек, которые вхо­ди­ли в исходное  dpj.

Если область замкнутая, с характерными размерами rq,j и rp,j, то это нет так. При выпол­не­нии уравне­ния сос­то­яния (2.15) приращения зави­си­­мы друг от дру­га:  dqj = Kk /dpj  и  dpj = Kk/dqj. При поочерёдном устремлении к нулю приращений  dqj  или  dpj  им соответст­вую­щие dpj  или  dqj  будут стремиться к бес­конечности. Для замкну­той конечной об­лас­ти всег­да найдутся раз­дельно такие dqj,min < Kk/rp,j или  dpj,min < Kk/rq,j для кото­рых соответ­ст­вен­­но  dpj,max  или  dqj,max  выйдут за пре­делы об­ласти, заданной пред­­по­сылками (то есть по­те­ряют смысл). Размер обла­сти ограничи­вает возможную ве­ли­­чину при­ращений, напри­мер, как на рис. 2.4 величинa dpj,min ограничена снизу пределом роста dqj. Поэтому на каком-то этапе в стрем­лении dpj к нулю необходимо будет включать умень­шение числа рас­смат­риваемых дис­кретных ячеек в фазовом прост­ран­стве. В конечном итоге, про­цесс остановится на уровне проиллю­ст­рированной на рис. 2.4 мини­мальной величины един­ственной ячейки – конкретные предпосыл­ки за­да­чи уста­навливают для потенциально бес­ко­­нечно малых величин не­ко­торый ко­нечный предел.

Произ­вод­ные, оп­ределённые с учетом этого, включат в себя пока­зан­ное на рис. 2.5 о­груб­ление результата. Конкретно особенности этого огрубления можно про­иллю­стрировать с помощью раз­ложения в ряд Тейлора, например, гамильтониана H(qj, pj):

При учёте в механике (2.15) такое разложение изменяет свой клас­си­ческий для математики смысл.

При разложении в ряд некоторой фун­к­ции f(x,y) для неё сущест­ву­ет предел в точке, то есть пределы для приращений:  dx = 0  и  dy = 0. Соответственно существует сама функция и её производные. С по­мо­щью ряда приближённо находят хорды сегментов кри­вой.

В отличие от этого для при­ращений аргументов функ­ции H(qj,pj) – энергии – действует ограничение приращений снизу вида (2.15). В таком кон­кретном применении ряда (2.70) задача об­ра­щена. Смысл ряда Тей­ло­ра (2.70) в условиях действия (2.15) есть приближенный поиск функ­ции и её производных при заданной хорде. При этом “истин­ное” зна­че­ние функции и производных в данном случае не су­щест­­ву­ет одно­знач­но, так как приращения аргументов ог­ра­ниче­ны сни­зу. По те­о­реме Ла­гран­жа на сегменте кривой, стягивае­мом хор­дой, найдётся точка, в ко­торой производная для хорды совпадёт с про­из­водной для кривой в какой-то точке на сегменте. Но в случае дейст­вия (2.15) указать кон­к­ретно координаты такой точ­ки – невозможно. Однозначной точки (по отношению к  qj  и  pj  как независимым переменным) не существует.

Должны быть случаи, когда классическим опре­делением производ­ных в (2.30) – (2.34) пользоваться нельзя. Для них перестановка порядка диффе­рен­­циро­ва­ния может изме­нять значение смешанной производной, хотя разры­вов функции нет – не существующая “истинная” кривая мо­жет быть разной при разной пос­ле­довательности дифференцирования.

  Поэтому в механике, не­смотря на глад­кость функ­ций F(qj, pj), диффе­рен­ци­рова­ние во вторых смешанных производных может быть не­пе­ре­стано­­воч­­но, то есть удовлетворять условию вида (2.47).

Ус­ло­­вие (2.47) было сформулировано как следствие конеч­ных раз­ры­вов функций в фазо­вом прост­ран­стве – следствие неадиабатич­н­о­сти сис­темы. Однако вышеприведенная иллюстрация показывает, что (2.15) задаёт возможность тождест­вен­но­го (2.47) условия, которое вы­пол­­няется для непрерывных функ­ций. 

В связи с неопределённостью (2.69) хотел бы напомнить о -функ­ции Дирака, то есть функции от  x,  исчезающей везде, кроме на­ча­ла ко­ор­­динат, а в этой точке при   сама функция стремится к беско­неч­ности настолько фантастически быстро, что ин­теграл от неё ока­­­зывается равным единице. Иоганн фон Нейман в своей сугубо мате­ма­тической книге [48] пи­шет слова, не приня­тые в мате­ма­тике, – “Дирак лицемерно допустил сущест­вование функ­ции та­ко­го рода”.

Неопределённость типа , аналогичная (2.69), существует в науке в виде  -функции Дирака. Но для уравнения состояния (2.15) и связан­ной с ним неоп­ре­делённости (2.69) “лицемерия”, которое отметил фон Нейман, нет:  неопределённость (2.69) как свойство уравнения сос­тояния в механике ограничивает элемент подинтегрального разбие­ния вполне наглядными и логичными связями его с конечностью рассматри­ва­емых в механике областей. Символ d, сохраняя свойства бес­ко­нечно малых по отношению к процессу их изменений, может включать в себя “препятствия”, которые конкретно огра­ни­чи­вают предел малости прираще­ний. Произведение в (2.15) “бесконечно ма­лых” равно ко­неч­ной вели­чине в силу допустимых при самом строгом подходе ограни­че­ний обла­с­ти их изменения. Бесконечности в науке есть абстракция и (2.15) создаёт для них переход к реальности.

Для  -функ­ции Дирака строго нулевой предел для  dx  сочетается с интегралом при бес­конечных пределах по вто­рой переменной, который волевым образом оказывается рав­ным конеч­ной конкретной величине – единице. Интегралу может быть сопоставлен прямоугольник с пло­щадью dxdy. Для  -функ­ции Дирака сторона dx этого прямоугольника имеет строго нулевой предел, но, тем не менее, не только его площадь конечна, но ещё конкретно равна единице. Это есть “лицемерие” потому, что до­бав­­ляет волевые свойства к и без того волевой абстракции бес­ко­нечности. Поэтому появление бесконечностей в современной квантовой механике столь же закономерно, как и возможность их устранения фор­маль­ными приёмами типа перенормировки. Эти бесконечности следст­вие некорректности постановок задач, а не природы вещей.

Рассмотрю в терминах якобианов преобразований, поясненные вы­ше особенности, которые урав­не­ние сос­тояния (2.15) вво­дит в механику,. 

Если уравнение состояния в механике задано неявно самими урав­нениями Гамильтона в виде (2.11), то сохранение фазового объёма дока­зывается как результат теоремы Лиувилля. Это доказательство есть во всех учебниках. Напомню его, например, на основе [45].

Доказывается, что объём области  фазового про­ст­ран­ст­ва, запи­сан­ный в виде  2f - кратного интеграла:

,                               (2.71)  

сохраняется для механической системы, описываемой уравнениями Га­мильтона (2.3). Подчеркну, любая форма доказательства теоремы Лиу­вил­ля основана на аксиоматической первичности уравнений Гамильтона и их предпосылке 2.3 о перестановочности дифференцирования во вто­рых смешанных производных.

Для доказательства сохранения фазового объёма рассматривается его изменение во времени:

(t + dt) (t).                                (2.72)

Переменные изменённой системы есть:

   и    .    (2.73) 

Тогда (2.72)  примет вид:

,                             (2.74)

где якобиан преобразования, пренебрегая членами второго порядка ма­ло­сти, есть:

=            =

=  члены высшего порядка.          (2.75)

Поскольку в теореме Лиувилля задано выполнение уравнений Га­мильтона (2.3) в условиях действия их обычных предпосылок, в част­но­сти, предположения 2.3 о перестановочности дифференцирования во вто­­рых смешанных производных, то из (2.75) следует, что D = 1 с точ­ностью до чле­нов высшего порядка малости.  Что и доказывает теорему Ли­у­вил­ля, так как при этом  0.

Если предположения a priori о перестановочности дифферен­ци­ро­вания во вторых смешанных производных нет, то не работает ни одно из существующих доказательств теоремы Лиувилля.

Проиллюстрированный выше типовой вывод теоремы Лиувилля содержит ещё одну важную особенность. Сохранение фазового объёма в структуре современной науки есть один из самых фундаментальных её законов. Однако его вывод опирается на малость приращений вре­мени второго порядка (dt)2 и старше по отношению к приращениям  dt. Такой подход в математике общепринят, но по от­но­шению к фундаментальным законам не безоговорочен. Поэтому необходимо проанализировать связь приращений во времени с уравнением состояния в механике.

Конечность приращений времени в строгой постановке задач классической механики

Приращения  dqj  и  dpj, которые входят в уравнение состояния (2.15), могут быть записаны в виде:

   и   ,                             (2.76)     

то есть

.              (2.77)  

            Соотношение неопределённости в физике известно в разных фор­мах, свя­зы­вающих между собой канонически сопряженные перемен­ные, в част­ности, приращения энергии E и времени t. С исполь­зованием иерар­хи­чес­ко­го адиабатического инварианта Kk (а не только его частного случая – постоянной Планка h) неопределённость энергия – время есть:

.                                            (2.78)

Поэтому соотношение (2.77) неопределённости энергия – время  есть известное в фи­зи­ке соотношение неопределённости (2.78), выра­жен­ное в переменных классической механики. Физика в (2.78) ис­поль­зует символ приращений, которого не существует в клас­си­ческой меха­ни­ке (смысл его был пояснён в параграфе 1 этой главы). Соотно­ше­ние (2.77) требует суще­ст­во­вания конечного пре­де­ла снизу для прира­ще­ний вре­ме­ни, хотя бы в некоторых задачах меха­ники.

Как было отмечено выше (рис. 2.4, рис. 2.5), уравнение состояния (2.15) в сочетании с предпосылками теорем существования и единст­вен­ности решений систем дифференциальных уравнений вводит ограниче­ния на диапазон совместных изменений приращений  dqj  и  dpj . Соот­вет­ственно в (2.77), (2.78) возникает ограничение минимальной величины прира­ще­ния времени  dt.  В результате имеют смысл только такие при­раще­ния , для которых выполняется , где минимум   задан усло­вием  и   совместно так, что спра­ведливо уравнение сос­то­яния (2.15). Этим вводятся характерные преде­лы ограничений при стремлении в (2.77) приращения  dt  к нулю.

Для задач (2.18) с циклическими координатами (выделенных ниже индексом i) со­ответствующие им частоты есть i. Тогда ячейке фа­зового пространст­ва  dqidpi, имеющей минимальную дискретную вели­чину Kk, отвечает элемент энер­гии:

.                                  (2.79) 

Поэтому приращение энергии в соотношении (2.77) может быть записано (с точностью до  в радианной или временной фор­ме:

   или    .                       (2.80)

            Тогда (2.77) перейдёт в соотношение неопределённости время – частота:

   или   .                                (2.81)

Оно также имеет аналог в физике в терминах, не существующих в классической механике:

.                                              (2.82)

В связи с (2.15), (2.77), (2.81) необходимо подчеркнуть особенно­сти прира­щений переменных, связанных с понятием о кван­­­­те.

            Понятие о кванте – фундаментальных постоянных – прин­ци­пи­аль­­­но возникает (как показано в этой работе) при учёте едини­цы меры ин­фор­­­ма­ции в адиаба­ти­чес­ки инвариантных сис­темах. Существуют кон­к­ретно для данных уров­ней иерархии энтропии-информации фундамен­таль­ные постоян­ные, оп­ре­­де­ляю­щие единицу меры информации на данном уровне иерар­хии (пример одной из них есть пос­тоянная Планка  h,  пример дру­гой – постоянная Больцмана  kB).

Кроме того суще­ст­вуют дискретные значения физических пере­мен­­­­­ных (на­при­мер, квант энергии  h величина которых в частном слу­­чае адиабатических процессов может из­ме­няться строго непрерывно. Квант энергии дискретен в неадиаба­ти­чес­ких задачах и од­но­вре­мен­но величина кванта энергии изменяется строго непрерывно в адиаба­ти­­ческих задачах. Сочетание непрерывности и дискретности вы­пол­няет­ся настолько точно, что исполь­зует­ся в практических реализа­циях самых точных эталонов времени. Помнят об этом не всегда и не все.

Существует также дополнительная особенность при стремлении к нулю прираще­ний переменных механики. Природа определена в тех или иных конеч­ных замкнутых обла­стях. Поэтому в ре­аль­ной природе обязательно и неустра­ни­мо существуют ограничения переменных (хотя во мно­гих конкретных задачах мож­но создать математическую абстракцию – понятие о беско­неч­но малых или больших величинах).

            Привычной, допустимой в силу существования част­ных моделей, кажущейся очевидной является возмож­ность пре­де­ла  в (2.77). Забывают, что само понятие о частоте может быть опре­делено только совместно с условием (2.81). Забывают или не понимают, что первичная причина появления по­ня­тия о квантовании и о кванте дейст­­вия у Планка именно в невоз­мож­ности точной реализации пре­де­ла  и соот­вет­ст­венно . Ведь, если такой пре­дел су­ще­ст­вует, то спектры про­цессов содержат бес­ко­неч­но много частот, вклю­чая бесконечно большие частоты, что несов­ме­стимо с понятием энергии и её сохране­нием.

Поэтому приращение времени в задачах с цикли­чес­кими коорди­на­тами (и поэтому с характерными частотами jв строгой пос­та­новке может и должно быть конечной величиной.

Необходим дополнительный анализ смысла и вида предела для прираще­ний време­ни. Способ для этого был сфор­му­лирован в параграфе 1 этой главы – приму обязательным в ме­ха­нике выполнение уравнения сос­тояния (2.15) и буду анализировать следствия этого. Поэтому про­дол­жу анализ следствий урав­­нения состоя­ния (2.15).

Введение в механику уравнения состояния в форме (2.15) требует об­ращения задачи о доказательстве теоремы Лиувилля: пусть задано урав­­нение состояния (2.15) – какие условия из этого строго следуют?

Прежде всего, в обращённой постановке задачи нельзя пренеб­ре­гать членами высшего порядка малости (как это делается при доказа­тель­стве теоремы Лиувилля). Сохранение фазового объёма теперь яв­ляет­ся постулатом. В адиабатической системе энергия изменяет­ся в этих слу­чаях непре­рывно, оставаясь пропорциональной частоте.

Рассмотрю члены второго порядка малости в якобиане (2.75). Для того, чтобы не загро­мождать изложение, использую пример только одной пары координат q1  и  p1, опуская индекс. Тогда определитель: 

(2.83)

Первый и второй член в результирующей сумме есть определитель (2.75), равен­ство нулю которого было показано ранее как следствие предпосылки о перестановочности дифференцирования. В случае зада­ч ти­па (2.48) – (2.51) третий член (множитель при (dt)2 ) равен нулю из-за особенностей этих задач, а именно:  , то есть постоянной, про­из­водная по времени от которой нуль;  три оставшихся члена рав­ны нулю, так как в этой задаче H не зависит от q, а потому .

Поэтому в характерной для классической механики вырожденной постановке задачи о циклических координатах (2.48) – (2.51) сохранение фазового объёма, как теорема, не зависит от того конечны или бесконеч­но малы приращения времени. В постановке задачи (2.48) – (2.51) время есть параметрическая переменная.

Некорректность Пуанкаре в постановке задачи о теории возмущений

            Естественно, что надо указать пример случая, когда в классичес­кой ме­ха­­нике проявляется необходимость в введенном мною в механику и подробно пояснённом выше адиабатическом уравнении сос­тоя­ния (2.15) и его следствиях (2.77), и (2.81). Такой конкретный пример пара­доксов несов­­местности уравне­ний Гамильтона, дает про­бле­ма ин­те­гри­ру­е­м­о­­сти урав­не­ний Га­миль­тона в за­дачах теории воз­му­щений.

В случае циклических ко­ор­ди­нат и интеграла  pj const, как было подчеркнуто в этой главе, энер­гия системы  H H(pj).  Такая сис­те­ма бы­ла рассмотрена выше (см., (2.48) – (2.51)).

Как известно (см., например, [46]), если для системы вида (2.48) – (2.51) суще­ст­вует (f – 1) первых ин­тегралов в ин­волюции, то пос­лед­ний ин­теграл на­ходится квадратурой и урав­­нения Гамиль­тона ин­тег­­ри­ру­е­­мы в смысле механики. В [46] от­мечено, что системы, удовлетво­ря­ю­­щие та­­ко­му условию, суще­ст­вуют, их интегра­лы найдены.

Термин – функции F1 и F2 нахо­дят­ся в инволюции – означает, что скобки Пуас­сона (2.29) от них тож­дест­вен­но рав­ны нулю:

{F1F2} ,                     (2.84)

то есть для си­стемы справедливо ус­ло­вие пе­ре­­­ста­­­­новоч­но­сти диффе­рен­­циро­ва­ния во вто­рых сме­шан­ных про­­из­­вод­ных 2.3 и стро­го вы­­пол­ня­ется адиа­бати­чес­кое урав­­не­ние сос­­то­­я­ния (2.11) с ну­левой кон­с­тан­той в пра­вой час­­ти. Этим в прибли­жении част­ной мо­де­ли энер­­гия стро­го оп­ределена, след­ст­ви­ем че­го яв­ля­ет­ся ин­тег­­ри­ру­е­мо­сть урав­не­ний Га­­­миль­тона для ди­нами­чес­ких сис­­­­тем в рам­ках такой модели. В фа­зовом прост­­­ран­ст­ве эти динамические сис­­темы отобра­жа­ют­­ся дис­к­­ретными то­ра­­ми. Дви­же­ние ква­зи­перио­дическое и траекто­рии на­ма­тываются на то­ры (рис. 2.6) [46]. Как было пояснено в пре­ды­дущем пара­графе, в этих предпосыл­ках коэф­фи­циент при  (dt)2  нулевой, независимо от мало­сти приращений  dt.

            Вопрос о малости (dt)2 при доказательствах теоремы Лиувилля не представлял бы интереса, если бы не тот общеизвестный факт, что Пу­ан­каре показал – динамические системы обще­го вида (в частности, не име­ю­щие пер­вых интегралов в инволюции) неинтег­ри­­ру­е­мы (2f  первых ин­тег­ралов для них не сущест­вует). Если коэффи­ци­ен­ты при dt нену­левые, то выполнение те­оремы Лиувилля зависит от ко­не­ч­но­сти  dt  и коэффи­ци­ента при  (dt)2, то есть от уравнения состояния (2.15). Сис­тема уравне­ний Гамильтона неинтегрируема в предположениях 2.1 – 2.3, но может стать интегрируемой с учетом (2.15).

В отличие от Якоби и Гамильтона, Пуан­каре работал в период эф­фективного раз­ви­тия термодинамики, во время бурных обсу­ждений по­­­ня­тия – энер­гия. Он был совре­мен­ником Больцмана и Планка. Тот факт, что он не обратил внимание на от­сут­ствие в механике строгого опре­де­ле­ния энергии – непростителен, а в силу авторитета Пуанкаре он на­ло­жил отпечаток на всю последующую науку. Вполне возможно, что при­чина этого во вненаучном негативном отношении Пуанкаре к Больц­ма­ну, но разбираться в этом – дело исто­ри­ков науки.  

Здесь важен факт – без необходимого анализа кор­рект­ности Пуан­ка­ре ис­поль­­зовал для неинтегрируемых систем (как ясно из этой работы, неинтегрируемых в силу неприменимости к ним уравнения состояния (2.11)) общеприня­тый в математике формальный приём – определим энер­­гию системы в виде ряда:  

H(qj, pi) H0(pj) H1(qj, pj) … ,                         (2.85)

в котором второй и последу­ю­щие члены есть малые возмущения, для ко­торых  мало и  H1  имеет период   по qj . Этим задано, что рас­смат­­риваются за­да­чи, для которых в качестве нулевого приближения может быть при­ня­та вы­рожденная задача типа (2.48) – (2.51). Ис­сле­до­вание таких за­дач и таким ме­то­дом Пуанкаре определил как основную проб­ле­му дина­мики [46].

Для первого члена этого ряда энергия опре­­делена в терминах част­ной модели в форме (2.11), в которой урав­нение состояния  присут­ст­­вует как неопре­де­лён­ность вида (2.52).

Возникает парадокс:   в постановке задачи, когда   pj const,  долж­но быть    и энер­гия не мо­жет зависеть от  qj. Однако Пуанкаре та­кую зависимость вводит. Формально можно записать возмущения в фор­ме (2.85), но такая запись будет некор­ректной, так как совмещает несов­местимое – независи­мость энергии от  qj  и одновременно исполь­зо­ва­ние добавок, в которых энергия зависит от qj. В задаче, в которой неустранимо уравнение состояния должно быть в форме (2.15), исполь­зуется уравнение (2.11) в предельной форме (2.52). В этом случае энер­гия в системе определена неадекватно задаче. Это нашло выражение, под­черкнутое замечанием в [46], – “Неинтегрируемые проблемы дина­ми­ки казались недоступными средствам современной математики”.

Математические идеализации нулей и бесконечно­стей при перехо­де к реальным процессам, как правило, неприменимы. Во многих зада­чах какие-то малые окрестности при этом обязательно имеют особен­но­сти по­ведения, но в силу специ­фи­ческого предельного вида (2.52) урав­не­­ния состояния (2.11) трудно найти конкретные величины окрестно­стей, за пре­делами которых система уравнений Гамильтона не­совместна, то есть неинтег­ри­ру­ема в смысле су­щест­вования  f  пер­вых интегралов. Анали­зу таких случаев посвяще­на обширная литература самого высо­ко­го уров­ня в современной меха­ни­ке (см., [20], [44], [45] и ссылки там).

            Если задать аксиоматически, что уравнение состояния в механике имеет форму типа (2.15), то есть с конкретной конечной посто­ян­ной в пра­вой части, то раскрытие неопределенности (2.69) устранит отмечен­ные выше парадоксы и позволит найти области интегрируемости урав­нений Гамильтона без анализа их решений.

На вопрос об областях решений уравнений Гамильтона, в которых они совместны в смысле математики (определяют траекторию), и обла­стях, в которых они совместны в смысле механики (имеют полное число первых интегралов), можно и нужно отвечать на основе анализа пред­по­сы­лок уравнений Гамильтона, а не на основе анализа их решений.

Какие гамильтонианы в виде конк­ретных рядов для H(qj, pj), вве­денных Пуан­каре, совместимы со строгой формой уравнения состояния (2.15)? – Это и есть ответ на вопрос об областях интег­ри­ру­е­мости урав­не­ний Гамиль­то­на в механике.

Уравнения Гамиль­тона в за­да­чах с малыми отклонениями от ус­ло­вия (2.49) интегри­ру­е­мы (сов­мест­ны) в смысле механики тогда, когда ма­лые возмущения энер­гии, зави­ся­щие от qj, не выходят за рамки ог­ра­ни­­че­ний неопределён­но­сти (2.69). Это частные слу­чаи, которые име­ют сложные границы реализуе­мо­с­ти. Вне этих гра­ниц уравнения Га­миль­то­на, в которых энергия опреде­лена предложенным Пуанка­ре рядом (2.85), совместны только в смысле ма­те­матики:  траекто­рии существуют, но 2f  пер­вых ин­тегра­лов для них нет. В строгом виде анализ интегрируемости уравнений Гамильтона включает в себя анализ множителя при (dt)2 в (2.83) в условиях действия (2.15).

Основополагающий для науки метод моделей допускает иногда воз­­­­­­мож­­­ность на основе ошибочных моделей получать правильные, сов­па­­дающие с наб­лю­дениями результаты. Именно это произошло с мо­дель­ю малых возму­ще­ний Пуанкаре. В наиболее современном и полном виде эти правиль­ные резуль­та­ты отражает теория Колмогорова – Арноль­да – Мозера. Аналогичное происходит и при применении ме­то­дов теории возмущений в квантовой теории:  модель сохраняет не­кор­рект­ность предпосылок Пуанкаре, а результа­ты пра­виль­ны. Плата за это в громозд­кости и повышенных тре­бо­ваниях к матема­ти­ческой стро­го­сти в существующей теории возмущений.

В теории Колмогорова – Арнольда – Мозера есть интересная под­роб­ность, которая привела к появлению в её названии имени Мозера. Он по­казал, что для справедливости теории Колмогорова – Арнольда нет не­об­ходимости предполагать аналитичность используемой в ней функции , а достаточно только требования существования для неё 300 с лиш­ним производ­ных [46].

Замена требования аналитич­ности на требование существова­ния непонятного числа производных не свойст­вен­на фундаментальным зако­нам природы. Однако это становится понятным на основе предыдущего параграфа. Поскольку уравнение состояния (2.15) приводит к сглажи­ва­нию кривых (рис. 2.4, 2.5), то для каждого конкретного, характер­но­го для даннй задачи иерар­хи­чес­кого адиабатического инварианта Kk  в пра­вой части (2.15) существует свой предел гладкости траекторий.

Имен­но 300 с лишним производных в результатах Мозера вызы­ва­ют сомнение – для каждого адиабатического инварианта в правой части (2.15) и конкретных величин областей, в которых задана постановка за­дачи о возмущённых тракториях, должен сущест­вовать свой предел дос­та­точного числа производ­ных для функ­ций, описываю­щих динамичес­кую систему.

Различие в понимании интегрируемости систем дифференциаль­ных урав­­нений в математике и механике имеет причину, которая много­крат­но под­черкивалась выше:  в механике задано сох­ра­не­ние определён­ных величин вдоль траектории, например, энергии (существование пер­вых интегралов). Иногда это называют “физи­ческим смыслом” задачи. В математике уравнения абстрактны и ограничения их предпосылок – ми­ни­мальны. Но общее в математике и в меха­ни­ке – математическая стро­гость. Её не мо­жет быть, если в механике есть некоррект­ности в исход­ном опреде­лении сох­­ра­ня­ю­щихся величин типа ряда (2.85).

Неперестановочность дифференцирования во вторых смешанных производных (как следствие (2.15)) вводит в механику два принципиаль­но разных класса возмущённых движений динамической системы.

При одном из них происходит “скачкообразный” переход с одного адиабатического инвариантного тора на другой. Это типичный неадиа­ба­ти­ческий процесс – кван­то­вый скачок. Но уравнения Гамильто­на оп­ре­­де­ляют траектории и тогда, когда они несовместны в терминах ме­ха­ни­ки. Поэтому “скачок” может быть опи­сан траекториями, для которых не су­ще­ствует f  первых ин­тег­ралов – слово скачок требует кавычек.

Другой класс динамических систем есть возмущённые адиабати­чес­кие системы. Для их выявления и описания необходим анализ в об­щем виде сов­местной системы уравнений Гамильтона, то есть включаю­щей в себя уравнения состояния.

С учетом уравнения состояния (2.15) классическая детерми­ни­ро­ван­ная механическая траектория не только содержит неопределённость, задаваемую описанными в параграфе 4 свойствами канонических преоб­ра­зо­ва­ний, не только допускает классическую реализацию “квантовых скач­ков”, но и содер­жит неопределённость “микроструктуры” траекто­рий, заданную конеч­но­стью числа производных, достаточных для описа­ния сугубо класси­чес­кой механической траектории. В силу пояснений рис. 2.4, рис. 2.5 это и есть проявление соотношения неопределённости в мак­ро­скопических процессах.

В строгой постановке задачи планетная система макроскопи­чес­ких тел (со своим адиабатическим инваринатом Kk) и атом (с адиаба­ти­ческим инвариантом в виде постоянной Планка h) аналогичны. Например, “энер­гетические уровни” – это есть области ин­тег­риру­е­мо­сти уравнений Гамильтона в смысле существования первых интег­ра­лов; “квантовые скач­ки” есть реальные траектории, вдоль кото­рых пер­вые интегралы не существуют; “облака вероятностей”, описы­ва­ю­щие электрон в ато­ме, имеют аналог для планетной системы в виде “пыле­вых” облаков и колец, из кото­рых формируются планеты. Аналогия име­ет и отличия, опреде­ля­е­мые тем, что для планетной системы урав­не­ния Гамильтона приме­няются для материальных точек классической ме­ха­ники, а для реального атома уравнения Гамильтона должны быть сфор­­­­мулированы для полей на соответ­ст­вующих уровнях иерархии действия-энтропии-информации.

Парадоксы малых знаменателей, которые наглядно трактуют как возможность создать ураган вихрём при проезде автомобиля или даже взмахом крыла бабочки, есть результаты некорректности определения энергии при постановке Пуанкаре задачи о теории возму­щений.

Пересмотр известных результатов теории возмущений с учетом урав­­нений состояния при определении энергии в механике не входит в цели этой работы. Только список литературы, отражающей развитие тео­рии возму­ще­ний превысил бы объём всей этой книги.

            Изложенное выше показывает, что соотношение неопределённости  в виде уравнения состояния (2.15) (как строго эквивалента приближён­но­го соотношения неопределённости Гейзенберга) органически, фундамен­тально совместимо с принципами и задачами классической механики. 

            Принцип соответствия Бора необходим тогда, когда в механике при­нудительно используется модель перестановочности дифференциро­ва­ния по  pj  и  qj, то есть обратимость времени как условие сущест­во­ва­ния энергии. При строгом определении энергии (с учетом необратимости времени) нет необходимости в принципе соответствия. Классическая механика совместима с соотношением неопределённости Гейзенберга в виде уравнения состояния (2.15) не как предельный переход, а по суще­ст­ву формальных пре­об­разований для конкретного круга фундамен­тально важных задач.

            Кстати, сам М. Планк ещё в статье 1940 г. [49] строго показал, что квантовая механика не переходит в классическую в пределе . Од­на­ко эта работа осталась без внимания.

            Ещё раз повторю:  некорректные модели могут, тем не менее, да­вать правильные результаты. В частности, на их основе в [50] чис­лен­ны­ми методами показано, что в классической механике действует соотно­ше­ние неопределённости Гейзенберга (в смысле физиков).

            Следует подчеркнуть: если предположить, что всегда, абсолют­но, независимо от задач энергия  a priori  есть функция состояния сис­темы и время обратимо, то этим исключается возможность опровергнуть такой постулат на основе строгой логики аналитичес­кой механики.

            Парадоксы при определении энергии в механике этим не исчерпы­ва­ются. Разделение степеней свободы, которое вводит фун­кция Рауса, как было показано выше, фундаментально связано с оп­ре­делением энер­гии в механике. Поэтому канони­чес­кие преобразования, их обобщение в виде касательных преобразований С. Ли, группы Ли и их развитие есть самый фундаментальный аппарат механики. Однако больше полстолетия из­вест­ны работы Э. Не­тер [51], которые основаны на них. Эти работы утверждают, что энергия в механике не сохраняется, так как соглас­но им сох­ра­не­ние энергии есть следствие однородности времени, а Все­лен­­ная досто­вер­но расширяется и однородности времени как обяза­тель­­ного условия  a  priori   быть не может.

            Для того, чтобы продолжить анализ понятия о времени в механике и более полно проанализировать следствия, веденного в [5], [6] и в этой главе, адиа­ба­тического уравнения состояния необ­хо­ди­мо сна­чала опре­де­лить в аналитической механике понятие о ме­­ре инфор­ма­ции.