Нормировка энтропии и связь между энергией и информацией в системах из многих элементов - Введение меры информации в аксиоматическую базу механики - А.М. Хазен - Философия как наука

- Оглавление -


Пусть дана система из  N  элементов, заключенных в объём  V,  име­ю­щая полную энергию  U,  и её фазовое пространство с числом измерений  2f,  где  f – есть число степеней сво­боды элемента сис­темы. Этим задано, что система рассматривается в  -пространстве (в термино­ло­гии Эренфеста).

В современном развитии больцмановского формализ­ма термоди­на­ми­ки принимается, что в  -пространстве можно задать ячей­ку объё­мом    и установить для её измерения минимальную дис­­кретную еди­­ницу

,                                            (1.18)

где  h – постоянная Планка с размерностью действия.

            С учетом введеной в предыдущих параграфах иерархичности энтро­пии-информации ясно, что минимальная единица объёма в фазовом пространстве должна иметь универсальное выражение:

 ,                                         (1.19)

где  – адиабатические инварианты, имеющие размерность дейст­вия, и соот­вет­ст­вующие разным уровням иерархии энтропии-информации,.

Разобъём фазовое пространство на  M  ячеек. Их коли­чест­­во  M  конечно, но может быть очень большим числом. При применении метода ячеек у Больцмана объём ячейки задан произволь­но, но это ячейки имен­но в фазовом пространстве с размерностью элемента его площади [энергия   время], то есть, с размерностью действия в том виде, как оно оп­­ределено в механике.

Каждому микросостоянию системы отвечают свои значения ко­ор­динат  qi  и импульсов  pi  составляющих его различимых (до­пу­с­ка­ю­­щих нумерацию) элементов. Их мож­но отобразить в форме чи­сел за­пол­­не­ния ячеек фа­зо­вого пространства  элементами сис­темы, имеющими интервал взаимосвязанных значений координат и импульсов, от­ве­чающий данной ячейки. Применяя методы комбинаторики к этим чис­лам, можно искать соответствие макроскопи­чес­ких пере­мен­ны­х, опи­сы­­ваю­щих систему из многих элементов (например, газ), и микросостоя­ни­ями, описываемыми распределения­ми элементов систе­мы.

Числа заполнения ячеек фазового пространства долж­ны удов­лет­во­рять очевидному нор­ми­ровочному условию:

,                                              (1.20)

где  N – общее число элементов системы.

Значению действия для  i-той ячейки в фазовом прост­ран­стве дол­жна отвечать величина энергии    и должно выпол­няться нормировоч­ное условие:

,                                             (1.21)

где  U – полная энергия системы.

Неизменному состоянию системы отвечают разные распределе­ния нумеруемых элементов системы по ячейкам фазового прост­ран­ст­ва. Одному и тому же микросостоянию газа отвечает число    раз­ных распределений из  N  молекул по  M  ячейкам, которое обще­из­вест­ным способом с использованием формулы Стирлинга может быть вы­ра­жено формулой:

.                           (1.22)

В частном случае системы в виде газа и  – постоян­ной Больцмана это выражение станет больцмановским определением энт­ро­­пии  S  единицы объёма газа, если определить то распределение чи­сел    по ячейкам, которое обеспечивает максимум  энтропии  S  при за­данных в задаче условиях.

Эта процедура называется нормировкой энтропии и состоит из решения вариационной задачи на отыскание максимума  при усло­ви­ях, заданных (1.20) и (1.21). Общий метод решения таких задач основан на использовании неопределённых множителей Лагранжа. Он сос­то­ит в том, что для иссле­дуемой на экстремум функции   при ус­ло­­виях на неё , где , образуется новая функция:

,                                       (1.23)

которая исследуется на безусловный экстремум. В ней   есть неко­то­рые постоянные множители, которые относятся к системе в целом. Они могут выражаться размерными единицами. 

В классическом больцмановском случае  l = 2  (условий два – (1.20), (1.21)). Обозначают:  .  Тогда условие экстремума для уравне­ния (1.22) есть:

.                            (1.24)      

Теперь числа    независимы, поэтому из предыдущего уравне­ния следует, что

,                                      (1.25)

.                                     (1.26)

Если использовать (1.25) в (1.22) и условия нормировки (1.20) и (1.21), то следует:

               (1.27)  

или

.                             (1.28)   

Множитель    относится к системе в целом, поэтому он находит­ся не под знаком суммы.

            В описанной выше классической постановке задачи о нормировке энтропии числа    безразмерны. В строгом виде это не так. Числа    не могут быть определены, если не задан объём ячейки фазового прост­ран­ства. Поэтому в строгом виде числа    имеют размерность . Формально, на вид условий (1.20) и (1.21) это не влияет, так как раз­мер­ности правых и левых частей в них одинаковы и могут быть сок­ра­ще­ны, что всегда и делается без дополнительных напоминаний. В случае условия (1.20) действительно что-либо оговаривать нет необходимости. Но в усло­вие (1.21) в правой части входит макроскопическая полная энер­­гия. Она имеет смысл и в том случае, когда отнесена ко всему объё­му фазо­во­го пространства, а энергия ячейки отнесена к единице объёма для  . При этом числа   становятся  безразмерными без сокращения еди­ницы объёма как множителя правой и левой части в (1.21).

Условие (1.21) было записано для размерной величины – энергии. Соотношение (1.27) безразмерно. Это возможно в двух случаях:

если в (1.21) в правой и левой части размерный множитель  сокращён и размерность   есть обратная энергия;

если в (1.21) в правой и левой части размерный множитель  сохранен и размерность    есть обратное время.

Кроме того здесь необходимо подчернуть ещё раз то, что неодно­крат­но под­черкнуто в этой работе и присутствует во всех классических ори­ги­наль­ных работах об энтропии и во всех клас­си­­ческих учебниках:  мак­си­маль­ное значение – – очень велико по сравнению с состоя­ни­ями, кото­рые отвечают ничтожно изменённым (по отношению к тем, ко­то­рые со­от­ветствуют экстремуму) зна­чениям  . Несмотря на бес­спор­­ность и обще­известность этого, высочайший детерминизм состоя­ния    ос­таётся, к сожалению, непонятым очень многими.

Если число  N  элементов системы постоянно, а её энергия  U  – изменяется, то изменение энтропии с учетом (1.27) есть:

.                            (1.29)

На этой основе условие постоянства числа элементов системы соз­­даёт ограничения величин  иимеющее  вид:

.                          (1.30)

Величина

                                           (1.31) 

известна как статистическая сумма для данной задачи.

Множитель Лагранжа  с помощью (1.30), (1.31) выражается как:

.                                          (1.32)

С учетом (1.32), уравнение (1.28) принимает вид:

.                    (1.33)

Величина энергии есть

,                       (1.34)

а числа заполнения ячеек равны

.                      (1.35)   

Множитель Лагранжа  строго определяется из задачи на услов­ный экстремум, но его физический смысл как обратной температуры ус­та­­нав­ли­вает­­ся феноменологически – путём сопоставления с изохоричес­ким про­цессом для идеального газа.

Для этого используется предположение о постоян­ст­ве объёма сис­темы, входящее в постановку задачи о норми­ров­ке энтропии. Тогда лога­рифмическая производная от обоих частей (1.30) даст:

.               (1.36) 

Использование этого в (1.29) приводит к выражению:

.                                          (1.37)

Общеизвестный результат применения второго начала термоди­на­мики к изохорическому процессу есть соотношение:

.                                      (1.38)

Из сопоставления (1.37) и (1.38) следует, что множитель Лагран­жа  с помощью температуры системы  мо­жет быть записан в виде:

.                                           (1.39)

В такой записи температура  выражается в градусах Кель­вина, хо­­тя при желании постоянная Больцмана может быть включе­на в темпе­ра­туру так, что она получит размерность и единицу энергии: 

 .                                    (1.39а)

Нормировка энтропии устанавливает связь энергии системы U и величины энтропии S, отвечающей наиболее вероятному распреде­ле­нию, которое характеризует величина  . При этом, наряду с энт­ро­­пией  S,  описываемой логарифмической функцией,  появляется ещё од­на ха­рак­теристика распределения – статистическая сумма  и её логарифм.

Из изложенного ясно, что связь энтропии  S  и статистической суммы    устанавливает формула:

                                    (1.40)

или

.                                     (1.41)

Назову семантической информацией переменную

                                          (1.42)

и, в частности, для тепловых процессов, то есть при ,  перемен­ную

                                           (1.43)

и покажу далее те её свойства, которые оп­­равдывают такое название.

            С учетом введенного выше по­нятия о семантической информации, больцмановская нормировка энтропии устанавлива­ет связь энтро­пии-инфор­­ма­ции, семантической информации и энергии.

            Энергия как термодинамический потенциал может иметь разные формы, взаимосвязанные преобразованиями Лежандра, а также завися­щие от того, какие конкретно исходные формы энергии (механическая, электромагнитная, химическая) рассматриваются совместно с той фор­мой энергии, которая зависит от количеств информации (энтропии) сис­темы. В частности, для случая количеств информации и только механи­чес­кой энергии как составляющих в законе сохранения энер­гии выде­лен­ную роль в описании процессов природы имеет тер­мо­ди­нами­чес­кий по­тен­циал – свободная энергия Гельмгольца:

                                            (1.44)

            Продолжая пример изохорического процесса на основе (1.38) и (1.40), опуская промежуточные выкладки, можно проиллюстрировать фундаментальный смысл свободной энергии в терминах информации:  статистическая сумма  связана с величиной  F  свободной энергии системы соотношением:

.                             (1.45) 

Соответственно связь (1.41) приобретает вид:

.                                      (1.46)

Соотноше­ния (1.45) и (1.46) универсальны, в частности, в них в общем виде присутствует адиабатический инвариант Kk данного уровня иерархии энтропии-информации, а не обязательно постоянная  – Больц­­мана.

В общем виде в (1.45) необходимо учитывать существование раз­ных форм энергии, которые характеризуют обобщённые координаты  и обобщённые силы  (как их называют в термодинамике – экс­тен­сивные и интенсивные переменные). Например, для электрической энергии  (индукции и напряженности электрического поля со­от­­вет­ственно). Для магнитной энергии  (нап­ря­­жен­ности и индукции магнитного поля). Химическая энергия зависит от количест­вен­ных    и силовых переменных    в виде кон­цент­раций  и  хи­ми­ческих потенциалов   конкретно для каждой  i-той реакции и име­ет вид .

Изменения свободной энергии будут различны в зависимости от того, какие из переменных  и  выбраны в качестве независимых. Изменения свободной энергии в форме Гельмгольца характеризует выбор в качестве независимых переменных обобщённых координат (экстенсивных переменных):

.                         (1.47)

Изменения свободной энергии могут быть записаны в форме Гиббса, когда независимые переменные – интенсивные.

,                        (1.48) 

а также в формах, когда переменные  и  используются в качестве независимых в смешанном виде.

            В каждой паре интенсивная – экстенсивная переменная одна из них может быть выбрана как независимая, а вторая как сопряженная. Переход от экстенсивной к интенсивной переменной в качестве незави­си­мой, и наоборот, связан с изменением знака.

            Термин – свободная энергия – введен Гельмгольцем потому, что он описывает ту часть внутренней энергии системы, которая может быть полностью превращена во внешнюю работу в процессе с одинаковыми начальной и конечной температурами. Поэтому для введенного здесь оп­ре­деления семантической информации из (1.45) следует, что понятие се­мантической информации определяет ту часть микрораспределения сос­то­я­ний элементов системы, от которого зависят возможности соверше­ния внеш­ней работы системой или над системой.

Под­ве­денное к системе тепло может быть с помощью интегрирую­ще­го мно­жителя – тем­пера­ту­­ры приведено к форме функции состоя­ния – энергии S, зависящей от температуры и количеств инфор­мации (распределений). Работа системы или над системой связана с рас­пре­де­ле­нием в виде статистической суммы как запомненного случайного вы­бо­ра, то есть с информацией.  Слово – семантическая подчеркивает для этой информации возможность прямого преобразования в работу.

Именно поэтому появление среди критериев синтеза информации рис. 1.3 таких, которые зависят от свободной энергии, закономер­но:  каж­дому из двух взаимо­связанных видов распределений соответствуют свои предельные случаи синтеза информации.

В вышеприведенных ил­лю­страциях нормировки энтропии исполь­зо­ваны не интегралы, а суммы, так как больцмановские ячейки исходно дискретны. В адиабатических системах и процессах, несмотря на это, изменения энергии происходят строго непрерыв­но. Поэтому для них за­ме­на суммирования на инте­гри­рование (с соот­вет­ст­вую­щими осредне­ни­ями) требует только обыч­ной математической коррект­но­сти. В не­адиа­ба­тических системах этого недостаточно. Нужно более стро­го опре­делить, что такое больцмановская ячейка в шести­мерном  -прост­ран­стве и в  6N-мерном  Г- пространстве.

Просмотров: 1364
Категория: Библиотека » Философия


Другие новости по теме:

  • Уравнение Шредингера есть условие нормировки действия-энтропии-информации - Введение меры информации в аксиоматическую базу механики - А.М. Хазен - Философия как наука
  • Размерная постоянная в определении энтропии – адиабатический инвариант системы - Введение меры информации в аксиоматическую базу механики - А.М. Хазен - Философия как наука
  • Почему нормировка действия-энтропии-информации приводит к волновым уравнениям в комплексной форме - Введение меры информации в аксиоматическую базу механики - А.М. Хазен - Философия как наука
  • Взаимодействия энергии и информации в термодинамических циклах - Введение меры информации в аксиоматическую базу механики - А.М. Хазен - Философия как наука
  • Уравнение для информации о механической системе при случайных начальных условиях - Введение меры информации в аксиоматическую базу механики - А.М. Хазен - Философия как наука
  • Принцип максимума производства энтропии - Введение меры информации в аксиоматическую базу механики - А.М. Хазен - Философия как наука
  • Роль условий устойчивости при синтезе информации как физическом процессе - Введение меры информации в аксиоматическую базу механики - А.М. Хазен - Философия как наука
  • Что такое безразмерные мировые постоянные и как определить их величину - Введение меры информации в аксиоматическую базу механики - А.М. Хазен - Философия как наука
  • 2.2. Хаотические состояния, необратимость и рост энтропии. - Основные понятия динамической теории информации - Неизвестен - Философия как наука
  • Что значит получить информацию с помощью классических измерений? - Введение меры информации в аксиоматическую базу механики - А.М. Хазен - Философия как наука
  • Энергия в классической механике - Введение меры информации в аксиоматическую базу механики - А.М. Хазен - Философия как наука
  • Иерархия энтропий при синтезе информации - Введение меры информации в аксиоматическую базу механики - А.М. Хазен - Философия как наука
  • Классы процессов синтеза информации - Введение меры информации в аксиоматическую базу механики - А.М. Хазен - Философия как наука
  • Мантак ЦЗЯ. СЕКСУАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ МУЖЧИНЫ СУТЬ СЕКСУАЛЬНОЙ ЭНЕРГИИ МУЖЧИНЫ - Психосексология - Сельченок К.В.
  • 8. ЧТО ЕСТЬ ФИНАНСОВАЯ ЗАЩИЩЕННОСТЬ? - Если хочешь быть богатым и счастливым не ходи в школу - Р. Кийосаки
  • Действие как мера информации в классической и в квантовой механике - Введение меры информации в аксиоматическую базу механики - А.М. Хазен - Философия как наука
  • 4. И ещё непонятное рождение энергии и вещества. - Проблемы мировоззрения - А.Н. Барбараш - Философия как наука
  • Натуральная единица измерения температуры – обратное время - Введение меры информации в аксиоматическую базу механики - А.М. Хазен - Философия как наука
  • Что есть незначимые стимулы для человека? - ПСИХОТЕХНОЛОГИИ - Смирнов И., Е.Безносюк, А.Журавлёв
  • 2.4. Распределенные динамические системы - Основные понятия динамической теории информации - Неизвестен - Философия как наука
  • 6. Хаотичные колебания потоков энергии в истории - Проблемы мировоззрения - А.Н. Барбараш - Философия как наука
  • II. Концепция энергии. - Терапия которая работает с телом - Александр Лоуэн
  • Обозначения для энтропии и энергетического баланса - Реинжиниринг окружающей среды - Сусуму Сато, Хиромицу Кумамото
  • 1. Что есть благо и кто есть Бог ? - Проблема Абсолюта и духовной индивидуальности в философском диалоге Лосского, Вышеславцева и Франка - С. В. Дворянов - Философы и их философия
  • Что есть вера? - Введение в культурно-философскую антропологию - Чернявская Ю.В. - Философия как наука
  • Недостаток энергии. - Депрессия и тело - А. Лоуэн
  • Мужчина как он есть - Тайная книга для женщин. Как управлять мужчиной - Евгений Колесов
  • 1. ЧТО ТАКОЕ ВЫСТУПЛЕНИЕ? ЭТО ТО, ДЛЯ ЧЕГО НАДО БЫ ОДЕТЬСЯ ПОПРИЛИЧНЕЕ? - Я вижу вас голыми. Как подготовитьск презентации и с блеском ее провести - Рон Хофф
  • Часть первая. ЧТО ТАКОЕ ВЫСТУПЛЕНИЕ, ИЛИ ВО ЧТО ЭТО Я ВПУТАЛСЯ? - Я вижу вас голыми. Как подготовитьск презентации и с блеском ее провести - Рон Хофф
  • 1.2. Соотношение свойств элементов и свойств системы - Технический анализ Социальных Систем - Абубакар Самбиев



  • ---
    Разместите, пожалуйста, ссылку на эту страницу на своём веб-сайте:

    Код для вставки на сайт или в блог:       
    Код для вставки в форум (BBCode):       
    Прямая ссылка на эту публикацию:       





    Данный материал НЕ НАРУШАЕТ авторские права никаких физических или юридических лиц.
    Если это не так - свяжитесь с администрацией сайта.
    Материал будет немедленно удален.
    Электронная версия этой публикации предоставляется только в ознакомительных целях.
    Для дальнейшего её использования Вам необходимо будет
    приобрести бумажный (электронный, аудио) вариант у правообладателей.

    На сайте «Глубинная психология: учения и методики» представлены статьи, направления, методики по психологии, психоанализу, психотерапии, психодиагностике, судьбоанализу, психологическому консультированию; игры и упражнения для тренингов; биографии великих людей; притчи и сказки; пословицы и поговорки; а также словари и энциклопедии по психологии, медицине, философии, социологии, религии, педагогике. Все книги (аудиокниги), находящиеся на нашем сайте, Вы можете скачать бесплатно без всяких платных смс и даже без регистрации. Все словарные статьи и труды великих авторов можно читать онлайн.







    Locations of visitors to this page



          <НА ГЛАВНУЮ>      Обратная связь