Что такое безразмерные мировые постоянные и как определить их величину - Введение меры информации в аксиоматическую базу механики - А.М. Хазен - Философия как наука

            Если существуют более левые на рис. 3.1 уровни иерархии энт­ро­пии, чем описываемые адиабатическими инвариантами в виде постоян­ных Больцмана и Планка, то они должны иметь свои адиабатические инварианты, которые отличаются от  h  и  kB .  Искать эти адиабатичес­кие инварианты естественно среди фундаментальных безраз­мер­ных пос­то­ян­ных для четырех известных в природе взаимодействий:  электромаг­нитного, гравитационного, сильного и слабого. Об этих пос­то­ян­ных под­роб­но написано в работах  И. Розенталя [61]  и  Л. Окуня  [62].

            Электромагнитное взаимодействие характеризует фундаменталь­ная безразмерная постоянная тонкой структуры

e (e2/c)/1/137,04,                                  (3.34)

где  e – заряд электрона,   – постоянная Планка ,  c – скорость света.

            Гравитационное взаимодействие характеризует постоянная

g(Gm2/c)/ ,                                        (3.35)

где G – гравитационная постоянная,  m – элементарная масса, остающая­ся свободным параметром.

            Сильное взаимодействие имеет свою безразмерную константу:

s(/c)/ ,                                          (3.36)

где  gs – феноменологическая константа, не имеющая однозначного оп­реде­ле­ния.

            Наконец, слабое взаимодействие характеризует постоянная

w gF m2с / (gF (mс2)2/c3) / .                      (3.37)

где феноменологическая постоянная  gF эрг см3  и называется кон­стантой Ферми.

            Величины постоянных  egsw  в современной науке не имеют путей определения из "первых принципов".  Они известны эмпи­ри­чески. При этом однозначно определена численная величина только постоянной тонкой структуры  e. Для остальных произвол их численной величины может составлять порядки. Кстати, не лишнее напомнить, что такие фундаментальные размерные постоянные как  , e, c  численно оп­ре­де­лены только экспериментально и также не имеют выражения из "первых принципов" (хотя они связаны между собой законом Планка для излучения абсолютно черного тела).

            Структуру безразмерных постоянных иллюстрирует пример пер­вых двух. Величины  e2/r   и  Gm2/r   (где  r  есть характерный размер) соответственно имеют структуру электрической и гравитационной энер­гии сферы.  Величина   c/r   связана с характерной собственной частотой для области с размером   r.  Поэтому в безразмерных фундаментальных постоянных можно выделить числитель (как это сделано в (3.34), (3.35)), который имеет вид отношения характерной энергии для данного вида по­­ля к характерной частоте. Это отношение есть адиабатический инва­ри­ант системы, имеющий размерность действия. Это можно обоб­щить на силь­ное взаимодействие (3.36). Числитель при такой струк­туре безраз­мер­ных постоянных (3.34) – (3.36) имеет размерность дейст­вия.

            Таким образом, если действие в классической механике есть мера информации — энтропия, то эксперииментальные данные показывают, что в природе существует не менее трех иерархических уровней для та­кой энтропии (в дополнение к уровням, заданным  h  и  kB ). Эти уровни связаны с фундаментальными взаимодействиями (электромагнитным, гра­­витационным, внутриядерным). Они имеют свои адиабатические ин­ва­рианты  hk,  которые подобны постоянной Планка  h  по их роли в природе, но имеют отличную от неё численную величину.

            Постоянные    равны:

для  электромагнитного взаимодействия:

ee,                                               (3.38)

для  гравитационного взаимодействия:

g g,                                               (3.39)

для  внутриядерного сильного взаимодействия:

s s.                                               (3.40)

            В терминах синтеза информации смысл фундаментальных безраз­мер­ных постоянных есть:

e,g,s  .

            В таком виде постоянныe   egsнезависимы друг от друга.

            Постоянные (3.34) – (3.36) можно считать переменными, отвечаю­щи­ми фундаментальным степеням свободы Вселенной как единой сис­темы. Однако тогда необходимо вернуться к основополагающему ана­ли­зу Планком квантования в системах со многими (числом  f ) степенями свободы [63].

            Существование адиабатических инвариантов позволяет ввести в фазовом пространстве с мерой   h f  системы функций  g(i),  зависящих только от энергии.  Задавая их значения, кратные  h, можно построить гиперповерхности, разбивающие фазовое пространство системы на эле­мен­тарные области вероятности. Любая фазовая траектория не может пе­ре­секать эти поверх­но­сти.

            Тогда элемент объема в фазовом пространстве есть

dg(1) dg(2) ... dg(i).                                         (3.41)

            Системы, в которых все функции  g(i)  независимы, Планк назвал неко­герентными. Объем в фазовом пространстве для них определяется произведением постоянных вида  n(i,j)h,  где  n(i,j)  целые числа. Но если возможны разные по величине постоянные Планка, то определяющими в них для системы со многими степенями свободы будут произведения вида:  

h(1) h(2) ... h(k) .                                          (3.42)

            Фундаментальная безразмерная постоянная слабого взаимодейст­вия (3.37)  имеет числитель именно такой структуры с размерностью ку­ба действия.

            Поэтому с необходимостью слабое взаимодействие должно быть тем, что накладывает условия связи на три фундаментальных взаимодей­ст­вия (электромагнитное, гравитационное и сильное). Именно слабое взаи­модействие превращает Вселенную в единую систему и детерми­ни­рует определяющие её фундаментальные безразмерные (а с ними и раз­мерные) постоянные.

            Естественно предположить, обобщая результаты Планка [63],  что

w.(3.43)

            Известный факт глобальной неопределенности сценариев эволю­ции Вселенной (расширяющаяся или пульсирующая), зависящей от су­щест­­вования неопределенности в вопросе о массе покоя нейтрино, под­черкивает эту глобальную роль слабого взаимодействия. Конкретно пос­тоянную слабого взаимодействия определяет принцип максимума про­из­водства энтропии  [2] – [6].

            Понятно, что существование разных адиаба­ти­ческих инвариантов    (разных "постоянных Планка") для разных фундаментальных полей объясняет эффективность перенормировок в квантовой электро­дина­ми­ке. Они оказываются вариантом устранения аналогов тех самых "ка­та­ст­роф", которые привели Планка к закону из­лу­чения абсолютно черного тела и постоянной его имени.

            Теперь можно вернуться к уравнению состояния (2.15) при опре­де­лении понятия энергии в механике. Для разных уровней иерархии дейст­вия-энтро­пии-информации уравнения Гамильтона (2.3) должны быть дополнены уравнениями состояния (2.15) с разными адиабатическими инвариантами  hk  – "постоянными Планка" – в правой части, величины ко­то­рых для каждого уровня иерархии есть конкретное выражение де­тер­­ми­низма Все­ленной.

            В работах И. Розенталя [61] и Л. Окуня [62] констатируется, что любые независимые изменения величины фундаментальных без­раз­мер­ных постоянных (3.34) – (3.37) приводят к таким вариантам Вселен­ной, в которых её развитие останавливается на уровне задолго до суще­ст­ву­ю­щего сегодня. Например, оказывается невозможным образование ато­мов с атомными номерами, которые больше одного-двух, и подобное.

            Такие остановки развития Вселенной при мысленном независимом изменении величины мировых фундаментальных безразмерных постоян­ных подтверждают, что величину фундаментальных мировых постоян­ных определяет второе начало термодинамики с помощью прин­ци­па максимума производства энтропии, сформулированного в работах [2] – [6] и в главе I.

            Как именно работает принцип максимума производства энтропии в этих задача, каков критерий перехода по ступеням иерархии энтропии, почему энтропия есть функция комплексного переменного – расскажу отдельно в продолжении этой книги.

            Здесь повторю только, что Р. Клаузиус выбрал термин энтропия по­то­му, что это слово означает – способность к превращениям. Макси­мум производства энтропии есть максимум способности к превра­ще­ниям. Именно поэтому любые мысленные изменения мировых конс­тант, которые не согласованы с этим принципом, приводят к моделям с остановками развития Вселенной на уровнях иерархии гораздо более низких, чем реализуемые сегодня. Именно поэтому во Вселенной зако­номерно возникли жизнь и разум как высокие иерархические ступени роста энтропии.

Время в классической механике и его связь со случайностью начальных условий

Если действие в классической механике есть энтропия-информа­ция, то должна суще­ст­вовать соп­ря­жен­ная с действием пере­менная, ко­то­рая с участием случай­ных на­чаль­ных условий есть темпера­ту­­ра сис­те­мы. Её опреде­ле­ние долж­но быть свя­зано с постоян­ными ин­тег­ри­ро­ва­ния и должно су­ще­ст­вовать уравне­ние для определе­ния тем­пературы без интегрирования уравнений Га­миль­тона (2.3). Покажу, что это дей­ст­ви­тельно так, приняв за основу работу Якоби [13], и, что след­ст­­вие этого есть определение единицы времени в механике.

Исходной является система уравнений, например, в форме:

,                 (3.44)

где Xj есть произвольные функции xj. В част­но­сти, при  это есть урав­не­ния Га­миль­тона для замкнутой системы при условиях предпосылок  2.1 – 2.3:

,   …,   ,  ,   …,        (2.3)

Система (3.44) интегрируется в смысле первых интегралов с помо­щью системы уравнений (3.5), записанных относительно постоянных ин­тегрирования  j.

Для этого значения xj можно подставить в Xj  и получить dxj/dt   как функ­цию от  x  и  n = 2f  произвольных постоянных j. Система (3.44) будет тогда удовлетворяться тождественно при всех значениях  пе­ре­менной  xj  и произвольных постоянных  j.  Поэтому можно диффе­рен­­­цировать по каждой из постоянных  j.  Каждое из уравнений (3.44) даст 2f  уравне­ний, то есть в целом получится система из  (2f)2  урав­не­ний. Для них мож­но ввести определитель:

                               (3.45)

и образовать полную производную по  x = t  от  ln R,  которая имеет вид:

Если интегралы системы (3.44) известны, то можно найти  R  из (3.46) квадратурой по  x,  то есть по  t.

Правая часть в (3.46) имеет размер­но­сть [обратное время]. В силу отмеченной в главе II предпосылки тео­рем су­ще­ст­во­вания и единст­венности решений систем дифферен­ци­аль­ных урав­не­ний о пере­ста­но­воч­ности дифференцирования во вторых смешанных про­изводных  2.3  правая часть в (3.47) равна нулю:

,                                            (3.47)

а определитель

.                                            (3.48)

            Условие (3.47) (как следствие предпосылки 2.3) будет также вы­пол­няться, если правую часть с помощью уравнений Гамиль­то­на преоб­разовать в полную производную по t,  а также при ещё более уз­кой пред­посылке, когда все  Xj  не зависят  xj, то есть в многократно выде­ленном выше случае цик­лических координат.

            Опять на первый план выходят вопросы – что есть такое уравнения Гамильтона и входящие в них переменные?

Исторически [13] уравнениям Гамильтона предшествовали по­доб­ные им уравне­ния Пуассона. Главный смысл этих уравнений Пуассо­на в том, что существует одна и та же функция – энергия, про­из­водные от которой определяют изменение во времени тех переменных  qj  и  pj,  по которым берутся производные. Отличие уравнений, полу­чен­ных Пуас­соном, от уравнений Гамильтона в том, что использован част­ный вид энергии – кинетическая.

Уравнения Гамильтона есть более полное отображение того же принципа – существует одна и та же функция – энергия, производные от которой определяют изменение во времени тех переменных qj  и  pj, по которым берутся производные. Уравнения Гамильтона связывают изменения энергии и измене­ния переменных, задающих фазовое прост­ран­ство. У Гамильтона этот принцип выражен в общей фор­ме – энергия у него есть пол­ная энергия системы.

Как я многократно подчеркивал выше, в механике уравнения Гамильтона связывают не сами переменные qj и pj, а только их изменения в пространстве с изменениями во времени.

Поэтому уравнения Гамильтона могут иметь смысл только в том слу­­чае, если заданным единицам  qj  и  pj  сопоставлена зависящая от них единица времени. Иначе производные энергии по  qj  и  pj  будут несовместны с производными по времени этих же пере­менных.

Для того, чтобы учесть эту особенность времени в механике, запи­шем систему (3.44) в форме пропорций:

,                   (3.49)

умножим на произвольную величину  X  и, заменяя соответственно  Xj частными   Xj /X,  получим систему уравнений, в которой учтена возмож­ность разных масштабов времени в механике:

.                      (3.50)

Смысл введеной при этом переменной  X(x1, x2, …, xn, t)  в том, что она есть множитель пропорциональности между прираще­ниями во вре­ме­ни координат q, p и приращениями энергии вдоль этих координат – множитель связи между изменениями времени и изменениями энергии (напомню, что переменные  Xj  зависят от тех же аргументов).

С учётом возможности разных масштабов времени уравнение (3.46) переходит в уравнение:

В частности, соотношения    позволяют привести второй член в правой части (3.51) к виду:

                       (3.52)

или

.                                        (3.53)

            Если (3.53) подставить в (3.51) то получится:

           (3.54) 

или:

.                 (3.55) 

В случае, когда правую часть в (3.55) с использованием (3.50) мож­но пре­обра­зовать в полную производную по t или выражение в скобках в правой части равно нулю, выполняется , а определитель R как функция случайных начальных условий есть:  и может быть оп­ре­делён без интегрирования уравнений Гамильтона.

Если учтено (как состав­ляющая определения энергии) уравнение состояния в частной форме (2.11) с нулевой конс­тан­той в правой части или в общем строгом виде (2.15), то энергия в зада­чах механики оп­ре­де­ле­на строго. Поэтому набор (2f – 1) первых интегралов уравнений Га­миль­­тона су­ще­ст­вует. Недостаёт только того первого интеграла, кото­рый замы­кает сис­те­му уравнений Гамильтона, определяя единицу изме­ре­ния времени.

В этом случае можно (2f – 1) уравнений (3.5) представить в виде:

x2   (t, x1, 2, ..., 2f),

x3   (t, x1, 2, ..., 2f),

... ,                                 ( 3.56)

 x2f  2f (t, x1, 2, ..., 2f),     

и останется непроинтегрированным только одно уравнение, записанное в полных дифференциалах:

   или   .                        (3.57)

            С учётом (2.3) это уравнение связывает координату  q  (длину в кон­фигураци­он­ном пространстве) энергию  H  и время  t.  Его интеграл в форме (3.56) есть:

x1   (t, 1, 2, ..., 2f).                                (3.58)

            Сравнение (3.58) с (3.56) и (3.5) показывает, что что функции    в (3.56) и функции    в (3.5) переходят друг в друга при подстановке вме­сто  x1  его знаячения  1. 

Можно ввести производные от  как функций . Для них производная по постоянным интегрирова­ния есть, напри­мер:

,                              (3.59)   

где скобки поставлены для того, чтобы отличить производные при сформулированном в этом абзаце усло­вии. Индексы изменяются от 2 до 2f  включительно. Для  i = 1 выполняется:

,                                      (3.60)

а производные

.                          (3.61)

            На этой основе, опуская громоздкие выкладки, которые есть, на­при­мер, в [13], можно ввести определитель:

,                          (3.62)

который связан с определителем  R  соотношением:

.                                             (3.63)

Якоби пишет в [13] о (3.63) – “Это уравнение имеет величайшую важность”. Это действительно так, причём даже в большей степени, чем это выделил сам Якоби.

Определитель  R,  как ясно из предыдущего, можно найти без ин­тег­ри­рования уравнений Гамильтона. Определитель  Q  как функция слу­­чайных начальных условий (от­раженных закономерностями посто­ян­ных интегрирования) задан (2f – 1) уже произведенным интегрировани­ем.

Уравнение (3.57), позволяющее ввести в механику время вместе с его единицей, есть уравнение в полных дифференциалах, в котором  X  и  X1 есть функции от  x = t  и  x1.  Если, используя вышеизложенное, найти для не­го интегрирующий множитель, то задачи механики исчерпывающе определены как в условиях обратимого време­ни (то есть при пред­по­сыл­ках 2.1 – 2.3), так и при времени, как необратимой пере­менной.

Пусть для (3.57) полный интеграл есть:

                                            (3.64)

Разрешая (3.64) относительно  x1  получим выражение (3.58), под­ста­новка которого в (3.64) превращает его в тождество. Тогда дифферен­ци­рование по   даёт:

.                                           (3.65)

На основании (3.63) следует, что:

.                                             (3.66)

Если обозначить  интегрирующий множитель для (3.57), то мож­но записать:

   и   ,                             (3.67)

то есть

.                                       (3.68)

Итог изложенного выше сформулирован Якоби в виде теоремы об интегрирующем множителе для уравнения в полных дифференциалах (3.57). Приведу её формулировку полностью.

Если в системе дифференциальных уравнений (3.50) выражение

                                (3.63)    

есть полная производная по времени  t, а также, если известны  n – 1 ин­тегралов данной системы, и из этих интегралов можно определить пере­мен­ные как функции от    и  n – 1 произвольных пос­то­янных интегрирования в виде (3.56); и если поэтому остаётся проин­тегрировать только дифференциальное уравнение (3.57), то выражение:

                                              (3.64)

есть интегрирующий множитель этого дифференциального уравнения, а

                              (3.65) 

и определитель Q есть (3.62).

            В частности, если

,                               (3.66)

то

                                            (3.67)

и сам определитель  Q  есть интегрирующий множитель.

Если ввести

,                                              (3.66)

то в предположения сформулированной теоремы Якоби интег­рирующий множитель уравнения (3.57) может быть опре­де­лён из уравнения в част­ных производных:

                        (3.67)  

или в переменных  q и  p уравнение (3.67) будет иметь вид:

    (3.68)

Уравнение (3.57) связывало между собой конфигурационное про­ст­­ранство, энергию и время. Обратите внимание на (3.53), (3.55), учиты­вая то, что многократно под­чер­кивалось в главе II. Перестановочность дифференцирования во вто­рых смешанных производных есть предпо­ло­же­ние, которое тож­дест­вен­но, неуст­ра­нимо задаёт обрати­мость времени в меха­ни­ке. След­ствия этого – равенство частных и пол­ных про­изводных по времени в (3.53). С учётом этого из проиллюст­рированных вы­ше преоб­ра­зо­ваний следует однозначный вывод.

            Существует универсальная функция случайных начальных ус­ло­­вий в виде определителя  R,  выраженная через постоянные интег­ри­ро­вания, которая может быть однозначно определена без интег­ри­ро­вания уравнений движения Гамильтона в двух случаях:

при обратимости времени;

при необратимом времени и возможности конкретной записи пол­ных производных по времени, которые отличаются в этом слу­чае от частных производных по времени (см. (2.43)).

Последний множитель Якоби определяет, что обратимое время в клас­сической механике есть параметрическая пере­менная и мас­­ш­таб, с которым оно входит в уравнения Гамиль­то­на, уста­нав­ли­вается равным единице самими урав­не­ниями Га­миль­тона.

Решающая особенность механики – анализ первых интегралов и их зависимости от времени. Исходно первые интегралы определены для кон­сервативной системы, которую описывают функции сос­то­яния. Для неконсервативной системы в общем строгом случае первые интегралы не определены. Однако локально они существуют. Поэтому всё сказан­ное выше распространяется и на неконсервативные системы. Для локаль­но консервативных систем возникают существенные особенности.

Идеальная замкнутая система имеет обратимое время. Но замк­нутые системы есть частный случай природы с необратимым временем. Их сопоставление друг с другом должно включать в себя сопо­став­ление мас­штабов времени в них.

Если система консервативна, то как подчеркивалось выше, с помо­щью интеграла энергии можно исключить одну из переменных, выразив её как функ­цию остальных переменных и постоянной  E.  Для задач с циклическими ко­ор­динатами существует интеграл вида (2.50), который вводит частоты . Тогда последнее интегрирование уравнения типа (3.57) может быть квадратурой, связывающей последний множитель Якоби и частоты. В частности, такую частоту, которая задаёт мини­маль­­ный масштаб времени в системе (о котором говорилось в связи с (2.94) параграфа 8 предыдущей главы).

            Перестановочность дифференцирования 2.3 не входит в обязатель­ные условия существования последнего множителя Якоби. Поэтому в общем строгом случае последний множитель Якоби определяет харак­тер­ную для системы частоту. Именно этот смысл име­ет решённая Якоби около 150 лет назад задача о его по­след­нем множителе.

Задача Якоби о последнем множителе и введенная в связи с этим переменная X определяют при какой единице измерения времени уравне­ния Гамильтона имеют смысл – совместны. Но Якоби огра­ни­чен предпосылками 2.1 – 2.3, поэтому в их рамках для такой постановки задачи он получает строгий, но, казалось бы, очевидный результат – множитель  X  есть единица, что в общем случае быть не должно. Тот факт, что Якоби такую задачу поставил и решил, есть свидетельство по­ни­ма­ния им неочевидности принятого в механике понятия о времени. Поколе­ния, наследовавшие ему, это понимание утратили, сведя его ре­зуль­таты к техническому приёму интегрирования уравнений Гамиль­то­на. Не исключено, что если бы Якоби прожил ещё те тридцать лет, кото­рые бы­ли от­пу­щены многим людям даже в XIX веке, то Пуанкаре не смог бы разорвать естественно развивавшуюся связь ме­ха­ники и термо­динамики, задавив и запутав всех своим авторитетом.

Вернусь к урав­нениям Гамильтона и ещё одному спо­собу вывода урав­не­ния для пос­леднего множителя, приведенному в ори­ги­нальной ра­бо­те Якоби [13].

            По определению в виде (2.27), (2.28) первого интеграла системы уравнений Гамильто­на, если функции  Fj  есть первые интегралы, то долж­но выполняться:

,

,                      (3.71)   

                                                                                                  …,

.

Независимыми являются  2f – 1 первых интегралов. Это возможно при усло­вии, что определитель:

.     (3.72)

Если адъюнкта, соответствующая  j-тому элементу определителя R  есть  Aj,  то условие  R = 0  можно записать в форме:

,                       (3.73)        

что есть условие необходимое и достаточное для того, чтобы функция  F  была интегралом уравнений Гамильтона. Сравнение (3.71) и (3.73) пока­зы­вает, что должно выполняться:

.                                (3.74)

            Если между адъюнктами  Aj  существует тождественное соотноше­ние:

,                               (3.75)

то с учетом (3.74) справедливо дифференциальное уравнение в частных производных для определения множителя  M,  которое имеет вид:

.                        (3.76) 

            После выполнения дифференцирования и деления обеих частей ре­зультата на MX1, используя преобразования, аналогичные предыду­ще­му параграфу, получим уравнение типа (3.69). Откуда следует, что  M  в (3.74) имеет тот же смысл последнего множителя Якоби, что и в преды­ду­щем параграфе.

            Равенство нулю для (3.75) возможно, если все коэффициента при членах этой суммы равны нулю.

Это можно доказать, если учесть, что левая часть (3.75) с учётом (3.74) есть линейная однородная функция вторых произ­вод­ных от функций   F1, F2, …, F2f – 1 ,  которые входят в неё только в форме вто­рых смешанных производных. При этом используется, что одинаковых (с точ­ностью до перестановочности дифференцирования) производных в составе сум­мы (3.75) может быть только две.

            Каждая из адъюнкт в членах с конкретными индексами m и l, соот­ветствующих перестановке порядка дифференцирования, равна:

,

.

            Тогда коэффициент при попарных смешанных производных есть:

.                                         (3.78)

            Сами адъюнкты выражаются как производные от определителя  R  в виде:

    и    .                            (3.79)

Но тогда по основному свойству определителей равно нулю вы­ра­же­­­ние, которое есть искомый коэффициент:

.                            (3.80)

Как подчеркивалось в параграфе 1 главы II, связь между независи­мыми переменными, необходимая для существования понятия – энергия, в классической механике задаётся самими уравнениями Гамильтона. Это же подчеркивают и приведенные выводы уравнений для последнего мно­жителя Якоби. Второе уравнение состояния (которое в термодинамике на­зывают калорическим) в виде определения последнего множителя Яко­­би может быть при обратимом времени получено из самих урав­не­ний Гамильтона. Опять всё замыкается на перестановочность дифферен­ци­рова­ния во вторых смешанных производных. Она делает неспецифи­чески­ми все уравнения состояния при определении энергии с помощью уравнений Гамильтона.

Однако в общем случае выполнения адиабатического уравнения состояния в форме (2.15) уравнения состояния независимы от урав­нений Гамильтона. Их нельзя получить из самих уравнений Га­миль­­тона ни при какой строгости вы­водов. Они должны быть получены лю­бым независимым от них спосо­бом (в том числе могут быть и просто угаданы).

Множитель Якоби в классической механике безразмерный. Однако во все соотношения и в промежуточных выкладках он (и связанный с ним определитель R) могут быть выражены в виде произведений XR, XM, то есть M = , как и полагается температуре системы, при независимом втором уравнении состояния может иметь размер­ность обратного време­ни. Соответственно время в уравнениях Гамиль­тона станет безразмер­ным, имеющим свою конкретную единицу измере­ния, подобно тому, как в теории колебаний оно всегда имеет безразмер­ную форму t. 

В строгом понимании время в классической механике всегда выра­жа­ется в форме t,  где  – некоторая характерная час­тота (и соот­вет­ствующая ей единица времени) в независимых от уравнений Гамиль­тона уравне­ниях состояния.

Смысл температуры как физической перемен­ной:  температура в термодинамике и в механике есть множитель, устанавливающий масштаб времени в замкнутой системе.

Соотношение неопределённости (уравнения состояния в механике) – причина детерминизма природы

В классической механике процесс называется детерминирован­ным, если его будущее и прошлое однозначно определяется состояни­ем в данный момент времени. Эталоном детерминизма при­ни­мается тра­ек­то­рия ма­те­ри­аль­ной точки клас­сической механики, описываемая уравнениями Га­мильтона (2.3) при за­дан­ных начальных условиях.

Классический де­тер­минизм явно или неявно включает в себя об­ра­ти­мость траектории (вре­мени). Например, в литературе достаточно высо­кого уровня можно встретить утверждения, что процессы распростра­не­ния тепла относятся к недетерминированным, так как описывающие их уравнения в частных производных параболического типа не позволяют однозначно описать предисторию. Будущее при теплопере­даче (необра­ти­мом процессе) отпределяется состоянием системы в данный момент, прошлое – нет.

Передача тепла есть один из самых распространённых процессов в природе. Если его отнести к недетерминированным, то что вообще ос­та­нет­ся от определения детерминизма? Поэтому ясно, что исходное опре­де­ление детерминизма в науке весьма далеко от совершенства. Обра­ти­мость и детерминизм надо, всё-таки, разделять.

На уровне одного элемента механической системы или законов взаи­модействия двух (изолированных от остальных) элементов системы понятие детер­ми­низм есть синоним существования самого элемента и законов взаимо­действия изолированной их пары.

Начальные условия в случае одного элемента зависят только от его окружения отличными от него элементами. Их влияние на него и есть его свойства как элемента системы.

Законы взаимодействия изолированной пары элементов вводят во влияние начальных условий (как свойство элемента системы) возмож­ность его окружения не только чужеродными, но и тождественными с ним элементами.

Для трёх и более элементов возникает понятие системы элементов. Его отличие в том, что начальные условия не могут быть заданы только опи­санием состояния чужеродных элементов окружения – они включают в себя взаимодействие однородных элементов системы. Не случайно труд­­ности в классической механике начинаются от задач трёх тел.

Поня­тие – детерминизм для системы элементов есть синоним ут­верж­дения, что в любой момент времени, для любого состояния сис­темы её можно хотя бы мысленно остановить и “запустить” вновь. При этом поведение системы (допуская возможность конечного во вре­ме­ни и в пространстве переходного периода) не будет отличаться от по­ведения системы, в предистории которой остановки не было.

При такой формулировке понятия – детерминизм теплопровод­ность парадоксов не создаёт. Однако, если речь идёт даже об единствен­ной материальной точке классической ме­ха­ники, то в таком оп­­­ределении детерминизма необхо­ди­мы оговорки. Например, при движении мате­ри­аль­­ной точки между вы­­пук­лыми идеаль­но отража­ю­щими стенками ошиб­­ка на­чаль­ных усло­вий для направления движения может нарастать экспонен­ци­ально. По­это­му остановка и последующее про­дол­жение дви­же­ния даже единст­вен­ной материальной точки может те­рять тот смысл, ко­торый связан с понятием – детерминизм. Ис­сле­до­ва­ния подобных за­дач сформировались в са­мо­стоятельную область [64].

Если система сос­то­ит из мно­гих взаимодействующих между собой элементов (например, газ “би­льярд­ных шаров” Больцмана), то экспонен­ци­альное нарастание оши­бки обрывается, но система хаотизируется. Пос­ле этого о детер­мини­рован­ной траектории в классическом понима­нии и речи быть не мо­жет. 

Поэтому многочисленные и разнооб­раз­ные рас­суждения о детер­ми­низ­ме, основанные на уравнениях Гамильто­на в их классическом по­ни­мании (и начальных условиях для них), справедливы в редких конк­ретных случаях. Это элементарно понятно, поэтому ещё Якоби начал ис­кать выходы из этого противоречия, формулируя теоремы “о возвра­ще­нии” – в определённых условиях траектории всюду плотно покрывают не­ко­торую об­ласть. В результате любое сос­­тояние в этой области много­крат­но дости­жи­мо, что можно пытаться использовать для обоснования классического детерминизма. Пуанкаре распространил эти теоремы конк­ретно на фазо­вое пространство.

Анали­зу возможных вариантов поведения механичес­ких систем с учётом тео­рем о возвращении посвящена обширная лите­ра­ту­ра. Главный вы­вод из из­вест­ных результатов – в механичес­ких системах, состоящих из мно­гих элементов, траектория кон­крет­ного элемента системы неус­тойчива по отношению к малым возму­ще­ниям начальных условий. При этом ско­рость роста возмущений отно­сится к одной из самых больших среди из­вестных в природе неустойчи­во­­стей. 

Этот бесспорный, многократно и тщательно исследованный факт оз­начает необходимость признать, что определение детерминизма с по­мощью уравнений Гамильтона и однозначно заданных на­чаль­ных ус­ло­вий не может быть без существенных оговорок реа­ли­зо­вано в при­роде, а потому ошибочно. Подчеркну: не может быть оспо­рено опре­де­ление понятия – детер­ми­низм как связи настоящего с будущим (и при сущест­вен­ных ого­ворках и с прошлым). Но кон­к­ретное оп­ре­де­ление по­ня­тия – детерминизм с помощью траекторий, опи­сы­ваемых уравнениями Гамильтона при пред­посылках 2.1 – 2.3 и за­данных началь­ных условиях, содержит некор­рек­тность, превратившуюся в длительно суще­ствующую ошиб­ку.

Для того, чтобы в механической систе­ме из многих элементов су­щест­вовал детерминизм, должно быть исключено влияние на её эволю­цию малых изменений начальных условий.

Проблемы детерминизма для деятельности человека универсаль­ны. Понятие де­тер­минизм выражают без парадоксов законы логики – ДА, НЕТ, ИЛИ. В частности, их реализацией является арифметический счёт. В нём нет экспоненциального роста ошибок. Более того, в нём нет необратимости – точный результат может быть обращён столь же точно до исходных величин. Если человеку известны случаи точного обра­ти­мо­го во времени де­терминизма, не зависящего от малых ошибок, то их осо­бенности ло­гич­но принять за основу самого понятия – детер­ми­низм.

Поэтому можно определить:  детерминизм есть возможность остановить систему в данный момент времени и после этого тож­дест­венно продолжить её эволюцию, несмотря на ошибки, не выхо­дя­щие за пределы заданного двустороннего порога. При этом уровень отклонений па­ра­ме­т­ров, принятый порогом, ограничивающим ошибки начальных ус­ловий, сохра­ня­ет­­ся как в процессе всех взаимодейст­вий, так и в окон­ча­тельном ре­зуль­­та­те. Результат детермини­ро­ван­но­го про­цес­са может слу­жить новыми на­чальными ус­ло­вия­ми (как и лю­бое про­межуточное сос­тояние системы). Такое определение конк­ретно ука­зы­ва­ет, что значит по дан­но­му состоянию предсказать будущее сис­темы и, если система обра­ти­ма, вклю­ча­ет возможность восстановить про­шлое. Будущее и прошлое по­ни­маются как конечные интер­валы, завися­щие от постановок задач.

Поясню такое понимание детерминизма и малых ошибок на при­мере арифметических вычислений как некоторой ма­шин­ной процедуры.

Устройство для вычислений, реализующее вышепри­ве­денное оп­ре­деление детерминизма, есть, например, архаичный сегодня меха­ни­чес­кий арифмомет­р. В нём задана единица в виде зубца на колесе. Малые ошиб­ки в изготовле­нии этих зубцов не меняют результата работы ариф­мо­мет­ра. Понятие – малые в этом случае есть всё, что гарантирует невозмож­ность “проскакивания” зубцов или “заклинивания” колёс. Если ошибки превышают этот двусторонний порог, то арифмометр как изде­лие не существует. Если они внутри этого порога, то результат вы­чис­ле­ний детер­миниро­ван­ный – задан начальными условиями и законом эво­лю­ции сис­темы.

Логика в виде взаимодействий элект­ри­чес­ких им­пульсов ДА, НЕТ, ИЛИ есть эволюционно первичное в ра­бо­те нервных систем  всех видов жизни [2], [3], [65]. В этом случае также результат не зависит от малых оши­бок амплитуды этих импульсов. Опять – малы означает пороги, в пре­­делах которых существует нервная система как таковая. В основе сов­­ре­менных компьютеров и телефонной связи ле­­жит этот же принцип.

В продуктах человеческой деятельности величину допустимой ошиб­­ки – порог срабатывания для операций ДА, НЕТ, ИЛИ при вза­и­мо­действиях элементов системы – задаёт человек. Для нервных систем это же реализуют законы электрохимических реакций в сочетании с естест­­венным отбором.

В общем случае детерминизм в  природе возможен тогда, когда су­ще­ствуют фундаменталь­ные точные пороги допустимых ошибок, ко­то­рые заданы независимо от человека.

Однако логика или арифметический счёт используют импульсы – диск­рет­ные состояния, а в при­роде детерминизм преимущественно определён по отношению к не­пре­рывным процессам. Принцип порога ошибок должен участвовать в опреде­ле­нии понятия детерминизм для непрерывных траекторий.

Поясню до­пол­нительно к главе II как урав­не­ния состояния в фор­ме соотношений неопределённости (2.15), (2.77), (2.81) задают для меха­ни­ческой системы по­рог оши­бок с явно вы­ра­жен­ной границей, то есть задают детерминизм механики, по­доб­ный детерминизму арифмометра.

Существуют абстракции – предел функции в точке и понятие о не­пре­рывности. Их основа – введение бесконечно малых приращений, на­пример, .

Неоднократно подчёркнутая выше особенность механики в том, что уравнения Ньютона связывают силы и ускорения – вторые произ­вод­ные по времени. Начальные поло­же­­ния и начальные скорости могут быть выб­ра­­ны произвольно. Каса­тельные, в частности, канонические пре­об­разо­ва­ния С. Ли используют это и описывают движение мате­ри­аль­ной точки механики как взаимо­дейст­вие областей при преобразо­ва­ниях фазового пространства. В ре­зуль­тате для урав­нений Га­миль­тона пре­делы  теряют то своё исклю­чи­тельное значение, которое создало ньютоновскую механику.

Предпосылки 2.1 – 2.3 сохраняют в классической механике прак­ти­ческую роль этих пределов, но она не обязательно ре­ша­ю­щая – можно обойтись и без них. В частности, области, взаимосвя­зан­ные канони­чес­кими преобразования­ми, могут быть конечными.

Поскольку в механике начальные положения и начальные импуль­сы могут быть выбраны произвольно, то можно сформу­ли­ро­вать незави­си­мое от уравнений Гамильтона условие связи между ними – уравнение состояния. Эта же специфика задаёт, что взаимная связь координат и им­пуль­сов должна быть сформулирована для приращений dqj, dpj, в част­но­сти, так, что они получают конечный предел снизу (см. параграф 5 главы II). Возникает неопределённость классической траектории, в пределах ко­­торой условно само по­нятие траектории (как для зубца арифмометра).

Урав­нения сос­тояния независимы от уравнений Гамильтона. В ре­зуль­тате урав­нения состояния вводят в механику конечные интервалы приращений там, где классически при предпосылках 2.1 – 2.3 сущест­во­вал для них нулевой предел. Например, адиабати­чес­кое уравнение состо­я­ния в форме (2.15) и связанные с ним уравнения состояния (2.77), (2.81). В результате конечный предел для традиционно бесконечно ма­лых прираще­ний устанавливает верхний предел таких возмущений, ко­то­рые не могут повлиять на будущее системы или сказаться в попытках восстановить её прошлое. Математическая кривая с пределом в точке – абстракция. Реальность, а с ней и детерминизм, определяются иным.

Детерминированные законы движения для материаль­ных точек ме­ха­ники и всех видов полей в виде канони­чес­ких преобразо­ва­ний С. Ли  ос­таются. Абстракция математической кри­вой с пределом в точке – по­лу­чает ограничение области применения. Ну и что? Бесконечно тонкий оптический луч благополучно уступил место конечной по ши­ри­не об­ла­сти нулевого порядка диф­рак­ции. Кроме пользы от этого в науке ничего не произошло.

Уравнения состояния как условия взаимосвязанной конечности малых приращений вводят в определение детерминизма для непрерыв­ных траекторий важ­ней­шую особенность, каза­лось бы, присущую толь­ко дискретным сиг­на­лам – ошибки в пре­де­лах величин, не вы­хо­дящих за ограничения уравне­ний состояния (2.15), (2.77), (2.81), не могут изме­нить результирующее состояние системы.  

Для механических траекторий появляются и действуют пороговые условия, за­дан­ные по своей конкретной величине одним из самых фун­да­менталь­ных понятий науки – определением энергии. Они зависят от адиаба­ти­чес­­кого инварианта системы и размеров области, в которой происходят про­цес­сы. Величину адиабатического инварианта опреде­ля­ет принцип максимума про­изводства энтропии – максимум способности к превраще­ниям. Раз­ме­ры области в частных случаях заданы внешними усло­ви­ями или формируются фундаментальными законами природы.

Например, как известно из оригинальной работы Шрёдингера [16], нет необходимости предваритель­но знать границы области, в которой рас­­смат­­­ривается нормировка дейст­вия-энтропии-информации (напри­мер, размер ато­­­ма). Конечный размер атома можно получить из условий ограничен­но­­­сти функций в нуле и на бесконечности.

Кроме того, уравнения Гамильтона-Якоби описывают закономер­но­­сти реакции системы на случайные начальные условия в той их части, которая зависит от самих элементов системы. Результат – в  механике есть переменная – действие, которая описывает как закономерности, за­дан­ные случайными начальными условиями, так и их связь с про­цессами предыдущего уровня иерархии действия-энтропии-информации. Поэто­му де­тер­ми­низм механики существует не вопреки, а на основе обяза­тель­но присутствующих в ней случайностей.

Траек­то­рии в классической механике включают в себя неопре­де­­­лён­­ность. Но она для системы из многих элементов мала по срав­не­нию с результатами неустойчивости траектории из-за вза­и­мо­дей­ст­­вий элементов. Неопределённость траекторий уже присутствует в меха­ни­ке, например, в виде 300 про­из­вод­ных Мозера [46]. Численные экс­пе­ри­менты (см., например, [50]) подтверж­да­ют её существование. Ме­ха­ника ос­та­ется в таком виде детермини­стич­ной, но это детерминизм наиболее ве­ро­ятных состояний, детерминизм экстремума действия как характе­ри­стики реальной траектории.  Невероятная острота этого экстремума – это и есть детерминизм природы.

Вариационные принципы в форме Гамильтона и Лагранжа, кото­рые вводят действие-энтропию-информацию, и уравне­ние в частных про­­изводных Гамильтона-Якоби для этой переменной есть источники детерминиз­ма приро­ды.

Понятие – детерминизм означает, что для системы опре­деле­ны энергия, информация о системе и масштаб времени в ней, а пото­му её будущее как замкнутой или локально замкнутой системы зада­но в конкрет­ных пределах во времени и в пространстве, несмотря на возмож­ность малых ошибок в реальных траекториях системы.

Связь такого определения с классическими под­хо­дами механики за­даётся тем, что урав­не­ние Гамильтона-Яко­би в частных произ­водных может быть получено из урав­нений Гамиль­тона, и наоборот.

Соотношение неопределённости Гейзен­бер­га с символом (в фор­мах, принятых в физике (2.13), (2.78), (2.82)) также вводит пороги воз­можных ошибок в системе. Такой под­ход к информационному содержа­нию соотношения неопределённости Гейзенберга использован в [66]. Но в этом случае неоправданно вводится индетерминизм вероятностного описания. Имен­но об­ще­при­ня­тый символ  d  бесконечно ма­лых прира­ще­ний, но ограничен­ных конкрет­ны­ми условиями снизу, позво­ляет за­дать точный порог оши­бок, необхо­ди­мый для существования де­терми­низма. Существуют малые воз­мущения, не противоречащие одно­знач­ности планетных орбит.