Приложение Б. Статистика и обработка данных - Что такое психология Ч.2 - Годфруа

Введение

Слово «статистика» часто ассоциируется со словом «математика», и это пугает студентов, связывающих это понятие со сложными формула­ми, требующими высокого уровня абстрагирования.

Однако, как говорит Мак-Коннелл, статистика - это прежде всего способ мышления, и для ее применения нужно лишь иметь немного здравого смысла и знать основы математики. В нашей повседневной жизни мы, сами о том не догадываясь, постоянно занимаемся статисти­кой. Хотим ли мы спланировать бюджет, рассчитать потребление бензина автомашиной, оценить усилия, которые потребуются для усвое­ния какого-то курса, с учетом полученных до сих пор отметок, преду­смотреть вероятность хорошей и плохой погоды по метеорологической сводке или вообще оценить, как повлияет то или иное событие на наше личное или совместное будущее,-нам постоянно приходится отбирать, классифицировать и упорядочивать информацию, связывать ее с други­ми данными так, чтобы можно было сделать выводы, позволяющие принять верное решение.

Все эти виды деятельности мало отличаются от тех операций, которые лежат в основе научного исследования и состоят в синтезе данных, полученных на различных группах объектов в том или ином эксперименте, в их сравнении с целью выяснить черты различия между ними, в их сопоставлении с целью выявить показатели, изменяющиеся в одном направлении, и, наконец, в предсказании определенных фактов на основании тех выводов, к которым приводят полученные результаты. Именно в этом заключается цель статистики в науках вообще, особенно в гуманитарных. В последних нет ничего абсолютно достоверного, и без статистики выводы в большинстве случаев были бы чисто интуитивны­ми и не могли бы составлять солидную основу для интерпретации данных, полученных в других исследованиях.

Для того чтобы оценить огромные преимущества, которые может дать статистика, мы попробуем проследить за ходом расшифровки и обработки данных, полученных в эксперименте. Тем самым, исходя из конкретных результатов и тех вопросов, которые они ставят перед исследователем, мы сможем разобраться в различных методиках и не­сложных способах их применения. Однако, перед тем как приступить к этой работе, нам будет полезно рассмотреть в самых общих чертах три главных раздела статистики.

1. Описательная статистика, как. следует из названия, позволяет описывать, подытоживать и воспроизводить в виде таблиц или графиков

данные того или иного распределения, вычислять среднее для данного распределения и его размах и дисперсию.

1. Задача индуктивной статистики-прочерка того, можно ли рас­пространить результаты, полученные на данной выборке, на всю популя­цию, из которой взята эта выборка. Иными словами, правила этого раздела статистики позволяют выяснить, до какой степени можно путем индукции обобщить на большее число объектов ту или иную закономер­ность, обнаруженную при изучении их ограниченной группы в ходе какого-либо наблюдения или эксперимента. Таким образом, при помо­щи индуктивной статистики делают как1 s-то выводы и обобщения. исходя из данных, полученных при изучении выборки.

3. Наконец, измерение корреляции позволяет узнать, насколько связа­ны между собой две переменные, с тем чтобы можно было предсказы­вать возможные значения одной из них, если мы знаем другую.

Существуют две разновидности статистических методов или тестов. позволяющих делать обобщение или вычислять степень корреляции. Первая разновидность-это наиболее широко применяемые параметри­ческие методы, в которых используются такие параметры, как среднее значение или дисперсия данных. Вторая разновидность - это непарамет­рические методы, оказывающие неоценимую услугу в том случае, когда исследователь имеет дело с очень малыми выборками или с качествен­ными данными (см. документ Б.1); эти методы очень просты с точки зрения как расчетов, так и применения. Когда мы познакомимся с раз­личными способами описания данных и перейдем к их статистическому анализу, мы рассмотрим обе эти разновидности.

Как уже говорилось, для того чтобы попытаться разобраться в этих различных областях статистики, мы попробуем ответить на те вопросы, которые возникают в связи с результатами того или иного исследования. В качестве примера мы возьмем тот эксперимент, который приведен в главе 3, а именно - изучение влияния потребления марихуаны на глазодвигательную координацию и на время реакции. Методика, ис­пользуемая в этом гипотетическом эксперименте, а также результаты, которые мы могли бы в нем получить, представлены в дополнении Б.21.

При желании вы можете заменить какие-то конкретные детали этого эксперимента на другие - например, потребление марихуаны на потреб­ление алкоголя или лишение сна,—или, что еще лучше, подставить вместо этих гипотетических данных те, которые вы действительно получили в вашем собственном исследовании. В любом случае вам

' Важное примечание. В разделах, посвященных описательной и индукижной статистике, мы будем рассматривать только те данные эксперимента, коюрыс имеют отношение к зависимой переменной «поражаемые мишени». Что касается такого показателя, как время реакции, то мы обратимся к нему только в разделе о вычислении корреляции. Однако само собой разумеется, что уже с самого начала значения этого показателя надо обрабатывать так же, как и переменную «поражаемые мишени». Мы предоставляем читателю заняться этим самостоя­тельно с помощью карандаша и бумаги.

придется принять «правила нашей игры» и выполнять те расчеты, которые здесь от вас потребуются; только при этом условии до вас «дойдет» существо предмета, если это уже не случилось с вами раньшеl.

 Дополнение Б.1. Некоторые основные понятия Популяция и выборка2

Одна из задач статистики состоит в том, чтобы анализировать данные, полученные на части популяции, с целью сделать выводы относительно популяции в целом. Популяция в статистике не обязательно означает какую-либо группу людей или естественное сообщество; этот термин относится ко всем существам или предметам, образующим общую изучаемую совокуп­ность, будь то атомы или студенты, посещающие то или иное кафе. Выборка - это небольшое количество элементов, отобранных с по­мощью научных методов так, чтобы она была репрезентативной, т. е. отражала популяцию в целом.

 Данные и их разновидности

Данные в статистике-это основные элементы, подлежащие анализу. Данными могут быть какие-то количественные результаты, свойства, присущие определенным членам популяции, место в той или иной последовательности - в общем любая информация, которая может быть классифицирована или разбита на категории с целью обработки3.

 Построение распределения - это разделение первичных данных, полу­ченных на выборке, на классы или категории с целью получить обобщен­ную упорядоченную картину, позволяющую их анализировать.

 Существуют три типа данных:

1. Количественные данные, получаемые при измерениях (например, данные о весе, размерах, температуре, времени, результатах тестирова­ния и т.п.). Их можно распределить по шкале с равными интервалами.

2. Порядковые данные, соответствующие местам этих элементов в последовательности, полученной при их расположении в возрастаю­щем порядке (1-й, .... 7-й, .... 100-й, ...; А, Б, В. ...).

1 Для того чтобы облегчить задачу, мы советуем вам снять фотокопии таблиц Б.1 и Б.2: тогда на всех этапах рассуждений и расчетов данные будут у вас перед глазами.

2 В отечественной литературе приняты термины соответственно «генераль­ная совокупность» и «выборочная совокупность» .-Прим. перев.

3 Не следует смешивать «данные» с теми «значениями», которые эти данные могут принимать. Для того чтобы всегда различать их, Шатийон (Chatillon, 1977) рекомендует запомнить следующую фразу: «Данные часто принимают одни и те же значения» (так, если мы возьмем, например, шесть данных -8, 13, 10, 8, 10 и 5. то они принимают лишь четыре разных значения-5, 8, 10 и 13).

3. Качественные данные, представляющие собой какие-то свойства элементов выборки или популяции. Их нельзя измерить, и единственной их количественной оценкой служит частота встречаемости (число лиц с голубыми или с зелеными глазами, курильщиков и не курильщиков утомленных и отдохнувших, сильных и слабых и т. п.).

Из всех этих типов данных только количественные данные можно анализировать с помощью методов, в основе которых лежат пара метры (такие, например, как средняя арифметическая). Но даже к количествен­ным данным такие методы можно применить лишь в том случае, если число этих данных достаточно, чтобы проявилось нормальное распреде­ление. Итак, для использования параметрических методов в принципе необходимы три условия: данные должны быть количественными, их число должно быть достаточным, а их распределение-нормальным^ Во всех остальных случаях всегда рекомендуется использовать непара­метрические методы.

Дополнение Б.2. Влияние потребления марихуаны

на глазодвигательную координацию и время реакции (гипотетический эксперимент)

Процедура

На группе из 30 добровольцев-студентов и студенток, курящих обычные сигареты, но не марихуану,-был проведен опыт по изучению глазодвигательной координации. Задача испытуемых заключалась в том. чтобы поражать предъявляемые на дисплее движущиеся мишени, манипулируя подвижным рычагом. Каждому испытуемому были предъ­явлены 10 последовательностей из 25 мишеней.

Для того чтобы установить исходный уровень, рассчитали среднее число попаданий из 25, а также среднее время реакции для 250 попыток. Далее группа была разделена на две подгруппы как можно более равным образом. Семь девушек и восемь юношей из контрольной грпны получили сигарету с обычным табаком и сушеной травой, дым от которой напоминал по запаху дым марихуаны В отличие от этого семь девушек и восемь юношей из опытной (эксперимента шюй) группы получили сигарету с табаком и марихуаной. Выкурив сигарету, каждый испытуемый снова был подвергнут тесту на глазодвигательную коорди­нацию. (Более подробно этот опыт описан в главе 3).

В табл. Б.2.1 и Б 2.2 представлены средние результаты обоих измере­нии для испытуемых той и другой труппы до и после воздействия.

282          Приложение Б

Девушки: Д1-Д14               Юноши: Ю1-Ю16

Описательная статистика

Описательная статистика позволяет обобщать первичные результа­ты, полученные при наблюдении или в эксперименте. Процедуры здесь сводятся к группировке данных по их значениям, построению распреде­ления их частот, выявлению центральных тенденций распределения (например, средней арифметической) и, наконец, к оценке разброса данных по отношению к найденной центральной тенденции.

Группировка данных

Для группировки необходимо прежде всего расположить данные каждой выборки в возрастающем порядке. Так, в нашем эксперименте для переменной «число пораженных мишеней» данные будут распола­гаться следующим образом:

Контрольная группа

Фон:

После воздействия:

10 12 13 14 14 15 15 15 17 17 17 18 19 19 22 8 11 12 13 15 15 15 15 16 17 18 19 20 21 25

Опытная группа (дополнить цифрами) Фон:              ............

После воздействия:

Распределение частот (числа пораженных мишеней)

Уже при первом взгляде не полученые ряды можно заметить, что многие данные принимают одни и те же значения, причем одни значения встречаются чаще, а другие-реже. Поэтому было бы интересно вначале гра4>ически представить распределение различных значений с учетом их частот. При этом получают следующие столбиковые диаграммы:

Контрольная группа

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

После воздействия

(дополнить столбиками)

Опытная группа

Ю 1'1 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 Фон

"6?89 10 1'1 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 После воздействия

(дополнить столбиками)

Такое распределение данных по их значениям дает нам уже гораздо больше, чем представление в виде рядов. Однако подобную группировку используют, в основном лишь для качественных данных, четко разде­ляющихся на обособленные категории (см. дополнение Б.1).

Что касается количественных данных, то они всегда располагаются на непрерывной шкале и, как правило, весьма многочисленны. Поэтому такие данные предпочитают группировать по классам, чтобы яснее видна была основная тенденция распределения.

Такая группировка состоит в основном в том, что объединяют данные с одинаковыми или близкими значениями в классы и определяют частоту для каждого класса. Способ разбиения на классы зависит от того, что именно экспериментатор хочет выявить при разделении изме­рительной шкалы на равные интервалы. Например, в нашем случае можно сгруппировать данные по классам с интервалами в две или три единицы шкалы:

Контрольная группа

Фон

(с интервалами в 2 ед.)

Фон

(с интервалами в 3 ед.)

После воздействия

(с интервалами в 2 ед.)

После воздействия

(с интервалами в 3 ед )

 (заполнить таким же образом)

Выбор того или иного типа группировки зависит от различных соображений. Так, в нашем случае группировка с интервалами между классами в две единицы хорошо выявляет распределение результатов вокруг центрального «пика». В то же время группировка с интервалами в три единицы обладает тем преимуществом, что дает более обобщен­ную и упрощенную картину распределения, особенно если учесть, что число элементов в каждом классе невелико1. Именно поэтому в дальней­шем мы будем оперировать классами в три единицы.

Опытная группа

После воздействия

(с интервалами в 3 ед.)

Данные, разбитые на классы по непрерывной шкале, нельзя предста­вить графически так, как это сделано выше. Поэтому предпочитают

1 При большом количестве данных число классов по возможности должно быть где-то в пределах от 10 до 20, с интервалами до 10 и более.

использовать так называемые гистограммы- способ графического представления в виде примыкающих друг к другу прямоугольников:

Частоты

Наконец, для еще более наглядного представления общей конфигу­рации распределения можно строить полигоны распределения частот. Для этого отрезками прямых соединяют центры верхних сторон всех прямоугольников гистограммы, а затем с обеих сторон «замыкают» площадь под кривой, доводя концы полигонов до горизонтальной оси (частота = 0) в точках, соответствующих самым крайним значениям распределения. При этом получают следующую картину:

Если сравнить полигоны, например, для фоновых (исходных) значе­ний контрольной группы и значений после воздействия для опытной группы, то можно будет увидеть, что в первом случае полигон почти симметричен (т. е. если сложить полигон вдвое по вертикали, проходя­щей через его середину, то обе половины належатся Друг на друга), тогда как для экспериментальной группы он асимметричен и смещен влево (так что справа у него как бы вытянутый шлейф).

Полигон для фоновых данных контрольной группы сравнительно близок к идеальной кривой, которая могла бы получиться для бесконеч­но большой популяции. Такая кривая-кривая нормального распределе­ния-имеет колоколообразную форму и строго симметрична. Если же количество данных ограничено (как в выборках, используемых для научных исследований), то в лучшем случае получают лишь некоторое приближение (аппроксимацию) к кривой нормального распределения.

Если вы построите полигон для фоновых значений опытной группы и значений после воздействия для контрольной группы, то вы наверняка заметите, что так же будет обстоять дело и в этих случаях.

Оценка центральной тенденции

Если распределения для контрольной группы и для фоновых значе­ний в опытной группе более или менее симметричны, то значения, получаемые в опытной группе после воздействия, группируются, как уже говорилось, больше в левой части кривой. Это говорит о том, что после употребления марихуаны выявляется тенденция к ухудшению показате­лей у большого числа испытуемых.

Для того чтобы выразить подобные тенденции количественно, ис­пользуют три вида показателей моду, медиану и среднюю.

1. Мода (Мо)-это самый простой из всех трех показателей. Она соответствует либо наиболее частому значению, либо среднему значе­нию класса с наибольшей частотой. Так, в нашем примере для экспери­ментальной группы мода для фона будет равна 15 (этот результат встречается четыре раза и находится в середине класса 14-15-16). а после воздействия - 9 (середина класса 8-9-10).

Мода используется редко и главным образом для того, чтобы дать общее представление о распределении В некоторых случаях у распреде­ления могут быть две моды; тогда говорят о бимодальном распределе­нии. Такая картина указывает на то, что в данном совокупности имеются две относительно самостоятельные группы (см., например, данные Триона, приведенные в документе 3.5).

Бимодальное распределение

2. Медиана (Me) соответствует центральному значению в последова­тельном ряду всех полученных значений. Так, для фона в эксперимен­тальной группе, где мы имеем ряд

10 11 12 13 14 14 15 15 15 15 17 17 19 20 21,

медиана соответствует 8-му значению, т.е. 15. Для результатов воздей­ствия в экспериментальной группе она равна 10.

В случае если число данных и, четное, медиана равна средней арифметической между значениями, находящимися в ряду на и/2-м и п/2 + 1-м местах. Так, для результатов воздействия для восьми юношей опытной группы медиана располагается между значениями. находящимися на 4-м (8/2 = 4) и 5-м местах в ряду. Если выписать весь

ряд для эгих данных, а именно

7 8 9 11 12 13 14 16,

то окажется, что медиана соответствует (11 + 12)/2 = 11,5 (видно.^что медиана не соответствует здесь ни одному из полученных значении).

3 Средняя арифметическая (М) (далее просто «средняя») - это наибо­лее часто используемый показатель центральной тенденции. Ее приме­няют, в частности, в расчетах, необходимых для описания распределения и для его дальнейшего анализа. Ее вычисляют, разделив сумму всех значений данных на число этих данных. Так, для нашей опытной группы она составит 15,2(228/15) для фона и 11,3(169/15) для результатов

воздействия.

Если теперь отметить все эти три параметра на каждой из кривых для экспериментальной группы, то будет видно, что при нормальном расп­ределении они более или менее совпадают, а при асимметричном

распределении - нет.

Прежде чем идти дальше, полезно будет вычислить все эти показате­ли для обеих распределений контрольной группы-они пригодятся нам в дальнейшем:

9 10 11 12131415161718192021 222324 Фон

Mo=15 Me =15 М=15,2

678 9101112131415161718192021 После воздействия

Мо=9 Ме=10 М=11.3

288          Приложение Б

Оценка разброса

Как мы уже отмечали, характер распределения результатов после воздействия изучаемого фактора в опытной группе дает существенную информацию о том, как испытуемые выполняли задание. Сказанное относится и к обоим распределениям в контрольной группе:

Контрольная группа      Мода (Мо)   Медиана (Me) Средняя М)

Ф°":               ............   ............   ............

После воздействия: ............   ............   ............

8 9 10 11 12 1314 1516 171819 2021 22232425 После воздействия

Сразу бросается в глаза, что если средняя в обоих случаях почти одинакова, то во втором распределении результаты больше разбросаны, чем в первом. В таких случаях говорят, что у второго распределения больше диапазон, или размах вариаций, т. е. разница между максималь­ным и минимальным значениями.

Так, если взять контрольную группу, то диапазон распределения для фона составит 22 — 10 = 12, а после воздействия 25 — 8 = 17. Это позво­ляет предположить, что повторное выполнение задачи на глазодвига-тельную координацию оказало на испытуемых из контрольной группы определенное влияние: у одних показатели улучшились, у других ухуд­шились1. Однако для количественной оценки разброса результатов

' Здесь мог проявиться зффект п.шцебо, связанный с тем. что запах дыма травы вызвал у испытуемых уверенность в том, что они находятся под воз­действием наркотика. Для проверки этого предположения следовало бы повто­рить эксперимент со второй контрольной группой, в которой испытуемым будуг 1;|вать только обычную сигарету.

относительно средней в том или ином распределении существуют более точные методы, чем измерение диапазона.

Чаще всего для оценки разброса определяют отклонение каждого из полученных значений от средней (М-М), обозначаемое буквой d, а затем вычисляют среднюю арифметическую всех этих отклонений. Чем она больше, тем больше разброс данных и тем более разнородна выборка. Напротив, если эта средняя невелика, то данные больше сконцентриро­ваны относительно их среднего значения и выборка более однородна.

Итак, первый показатель, используемый для оценки разброса,-это среднее отклонение. Его вычисляют следующим образом (пример, кото­рый мы здесь приведем, не имеет ничего общего с нашим гипотетиче­ским экспериментом). Собрав все данные и расположив их в ряд

356911 14, находят среднюю арифметическую для выборки:

3+5+6+9+11+14  48

__————^———————=^=8.

Затем вычисляют отклонения каждого значения от средней и сумми­руют их:

-5       -3       -2       +1       +3        +6 (3 - 8) + (5 - 8) + (6 - 8) + (9 - 8) + (11 - 8) + (14 - 8).

Однако при таком сложении отрицательные и положительные отклоне­ния будут уничтожать друг друга, иногда даже полностью, так что результат (как в данном примере) может оказаться равным нулю. Из этого ясно, что нужно находить сумму абсолютных значений индиви­дуальных отклонений и уже эту сумму делить на их общее число. При этом получится следующий результат:

Общая формула:

2^| п

Среднее отклонение =

где Т. (сигма) означает сумму; | d - абсолютное значение каждого инди­видуального отклонения от средней; и-число данных.

Однако абсолютными значениями довольно трудно оперировать в алгебраических формулах, используемых в более сложном статистиче­ском анализе. Поэтому статистики решили пойти по «обходному пути», позволяющему отказаться от значений с отрицательным знаком, а имен­но возводить все значения в квадрат, а затем делить сумму квадратов на

число данных. В нашем примере это выглядит следующим образом:

(_5)2 + (-З)2 + (-2)2 + (+1)2 + (+3)2 + (+6)2 _

6 _25+9+4+1+9+36_84_

6                - 6 ~    '

В результате такого расчета получают так называемую вариансу1 Формула для вычисления вариансы, таким образом, следующая:

Варианса -=•

Наконец, чтобы получить показатель, сопоставимый по величине со средним отклонением, статистики решили извлекать из вариансы квад­ратный корень. При этом получается так называемое стандартное отклонение:

Стандартное отклонение =

В нашем примере стандартное отклонение равно ^14 = 3,74.

Следует еще добавить, что для того, чтобы более точно оценить стандартное отклонение для малых выборок (с числом элементов менее 30), в знаменателе выражения под корнем надо использовать не п, an—I:

Вернемся теперь к нашему эксперименту и посмотрим, насколько полезен оказывается этот показатель для описания выборок.

На первом этапе, разумеется, необходимо вычислить стандартное

* Варианса представляет собой один из показателей разброса, используемых в гекоторых статистических методиках (например, при вычислении критерия F, <.м. следующий раздел). Следует отметить, что в отечественной литературе вариансу часто называют дисперсией. -Прим. перед.

* Стандартное отклонение для популяции обозначается маленькой греческой буквой сигм! (ст), а для выборки - буквой s. Это касается и вариансы, т.е кзадрага стандартного отклонения, для популяции она обозначается ет2, а для выборки s2.

Статистика и обработка данных

отклонение для всех четырех распределений. Сделаем это сначала для фона опытной группы:

Расчет стандартного отклонения ^ для фона контрольной группы

Испытуемые Число пора-    Средняя     Отклоне-   Квадрат от-женных мише-                ние от    клонения от ней в серии               средней (d)  средней (d2)

19 10

12

15,8 15,8 15,8

-3,2 +5.8 +3,8

10.24 33,64 14,44

15            22            15,8         -6,2 38,44

Сумма (^)d2 =       131,94

131,94

Варианса (s2} = •              = 9,42.

Н-1    14 Стандартное отклонение (?) = ^'варианса = л/9,42 == 3,07.

' Формула для расчетов и сами расчеты приведены здесь лишь в качестве иллюстрации В наше время гораздо проще приоб­рести гакой карманный микрокалькулятор, в котором подобные расчеты уже заранее запрограммированы, и для расчета стан­дартного отклонения достаточно лишь ввести данные, а затем нажать клавишу s.

О чем же свидетельствует стандартное отклонение, равное 3,07? Оказывается, оно позволяет сказать, что большая часть результатов (выраженных здесь числом пораженных мишеней) располагается в пре­делах 3,07 от средней, т.е. между 12,73 (15,8 - 3,07) и 18,87 (15,8 + 3,07).

Для того чтобы лучше понять, что подразумевается под «большей частью результатов», нужно сначала рассмотреть те свойсгва стандарт­ного отклонения, которые проявляются при изучении популяции с нор­мальным распределением.

Статистики показали, что при нормальном распределении «большая часть» результатов, располагающаяся в пределах одного стандартного отклонения по обе стороны от средней, в процентном отношении всегда одна и та же и не зависит от величины стандартного отклонения: она соответствует 68% популяции (т.е. 34% ее элементов располагается слева и 34%-справа от средней):

Точно так же рассчитали, что 94,45% элементов популяции при нормальном распределении не выходит за пределы двух стандартных отклонений от средней:

и что в пределах трех стандартных отклонений умещается почти вся популяция - 99,73 %.

99.73%

Учитывая, что распределение частот фона контрольной группы довольно близко к нормальному, можно полагать, что 68% членов всей популяции, из которой взята выборка, тоже будет получать сходные результаты, т.е. попадать примерно в 13-19 мишеней из 25. Распределе­ние результатов остальных членов популяции должно выглядеть следу­ющим образом:

293

Статистика и обработка данных

99,7%

95,4%

68,3%

34,1 % 34,1 %         2,2%

0,13%

13,6%

13,6%

0,13%

6,59 9,66  12,73 15,8   18,87 21,94 25,01

-Id    +1(7

-2а         +2о

-За               +3а

Гипотетическая популяция,

из которой взята контрольная группа (фон)

Что касается результатов той же группы после воздействия изучаемо­го фактора, то стандартное отклонение для них оказалось равным 4,25 (пораженных мишеней). Значит, можно предположить, что 68% резуль­татов будут располагаться именно в этом диапазоне отклонений от средней, составляющей 16 мишеней, т.е. в пределах от 11,75 (16 — 4,25) до 20,25 (16 + 4,25), или, округляя, 12 — 20 мишеней из 25. Видно, что здесь разброс результатов больше, чем в фоне. Эту разницу в разбросе между двумя выборками для контрольной группы можно графически представить следующим образом:

12,73      15,8       18,87

-la      +lo Фон

-1о       +1о После воздействия

Поскольку стандартное отклонение всегда соответствует одному и тому же проценту результатов, укладывающихся в его пределах вокруг средней, можно утверждать, что при любой форме кривой нормального распределения та доля ее площади, которая ограничена (с обеих сторон) стандартным отклонением, всегда одинакова и соответствует одной и той же доле всей популяции. Это можно проверить на тех наших выборках, для которых распределение близко к нормальному,-на дан­ных о фоне для контрольной и опытной групп.

Итак, ознакомившись с описательной статистикой, мы узнали, как можно представить графически и оценить количественно степень разбро­са данных в том или ином распределении. Тем самым мы смогли понять, чем различаются в нашем опыте распределения для контрольной группы до и после воздействия. Однако можно ли о чем-то судить по этой разнице - отражает ли она действительность или же это просто артефакт, связанный со слишком малым объемом выборки? Тот же вопрос (только еще острее) встает и в отношении экспериментальной группы, подверг­нутой воздействию независимой переменной. В этой группе стандартное отклонение для фона и после воздействия тоже различается примерно на 1 (3,14 и 4,04 соответственно). Однако здесь особенно велика разница между средними-15,2 и 11,3. На основании чего можно было бы утверждать, что эта разность средних действительно достоверна, т.е.-достаточно велика, чтобы можно было с уверенностью объяснить ее влиянием независимой переменной, а не простой случайностью? В какой степени можно опираться на эти результаты и распространять их на всю популяцию, из которой взята выборка, i. е. утверждать, что потребление марихуаны и в самом деле обычно ведет к нарушению глазодвигатель-ной координации?

На все эти вопросы и пытается дать ответ индуктивная статистика.

Индуктивная статистика

Задачи индуктивной статистики заключаются в том, чтобы опреде­лять, насколько вероятно, что две выборки принадлежат к одной

популяции.

Давайте наложим друг на друга, с одной стороны, две кривые-до и после воздействия-для контрольной группы и, с другой стороны, две аналогичные кривые для опытной группы. При этом масштаб кривых должен быть одинаковым.

Видно, что в контрольной i руппе разница между средними обоих распределений невелика, и поэтому можно думать, что обе выборки прик длежат к одной и той же популяции. Напротив, в опытной группе большая разность между средними позволяет предположить, что рас­пределения для фона и воздействия относятся к двум различным популяциям, разница между которыми обусловлена тем, что на одну из них повлияла независимая переменная.

Проверка гипотез

Как уже говорилось, задача индуктивной статистики- определять. достаточно ли велика разность между средними двух распределений для того, чтобы можно было объяснить ее действием независимой перемен­ной, а не случайностью, связанной с малым объемом выборки (как,

по-видимому, обстоит дело в случае с опытной группой нашего экспе­римента).

При этом возможны две гипотезы:

1) нулевая гипотеза (Нд), согласно которой разница между распреде­лениями недостоверна; предполагается, что различие недостаточно зна­чительно, и поэтому распределения относятся к одной и той же популя­ции, а независимая переменная не оказывает никакого влияния;

2) альтернативная гипотеза (Н^), какой является рабочая гипотеза нашего исследования. В соответствии с этой гипотезой различия между обоими распределениями достаточно значимы и обусловлены влиянием независимой переменной.

Основной принцип метода проверки гипотез состоит в том, что выдвигается нулевая гипотеза Нд, с тем чтобы попытаться опровергнуть ее и тем самым подтвердить альтернативную гипотезу Hi. Действитель­но, если результаты сгатистического теста, используемого для анализа разницы между средними, окажутся таковы, что позволят отбросить Нд, это будет означать, что верна Нц т.е. выдвинутая рабочая гипотеза подтверждается.

В гуманитарных науках принято считать, что нулевую гипотезу можно отвергнуть в пользу альтернативной гипотезы, если по результа­там статистического теста вероятность случайного возникновения най­денного различия не превышает 5 из 1001. Если же этот уровень достоверности не достигается, считают, что разница вполне может быть случайной и поэтому нельзя отбросить нулевую гипотезу.

Для того чтобы судить о том, какова вероятность ошибиться, принимая или отвергая нулевую гипотезу, применяют статистические методы, соответствующие особенностям выборки.

Так, для количественных данных (см. дополнение Б.1) при распреде­лениях, близких к нормальным, используют параметрические методы, основанные на таких показателях, как средняя и стандартное отклоне­ние. В частности, для определения достоверности разницы средних для двух выборок применяют метод Стьюдента, а для того чтобы судить о различиях между тремя или большим числом выборок,-тест F, или дисперсионный анализ.

Если же мы имеем дело с неколичественными данными или выборки слишком малы для уверенности в том, что популяции, из которых они взяты, подчиняются нормальному распределению, тогда используют непараметрические методы-критерии у2 (.та-квадрат) для качественных данных и критерии знаков, рангов, Манна-Уитни, Вилкоксона и др. для порядковых данных.

Кроме того, выбор статистического метода зависит от того, явля­ются ли те выборки, средние которых сравниваются, независимыми (т. е., например, взятыми из двух разных групп испытуемых) или зависимыми

__'_Разумеется, риск ошибиться будет еще меньше, если окажется, что эта вероятное гь составляет 1 на 100 или, еще лучше, 1 на 1000

(т. е. отражающими результаты одной и той же группы испытуемых до и после воздействия или после двух различных воздействий).

Дополнение Б.З. Уровни достоверности (значимости)

Тот или иной вывод с некоторой вероятностью может оказаться ошибочным, причем эта вероятность тем меньше, чем больше имеется данных для обоснования этого вывода. Таким образом, чем больше получено результатов, тем в большей степени по различиям между двумя выборками можно судить о том, что действительно имеет место в той популяции, из которой взяты эти выборки.

Однако обычно используемые выборки относительно невелики, и в этих случаях вероятность ошибки может быть значительной. В гумани­тарных науках принято считать, что разница между двумя выборками отражает действительную разницу между соответствующими популя­циями лишь в том случае, если вероятность ошибки для этого утвержде­ния не превышает 5%, т.е. имеется лишь 5 шансов из 100 ошибиться, выдвигая такое утверждение. Это так называемый уровень достоверно­сти (уровень надежности, доверительный уровень) различия. Если этот уровень не превышен, то можно считать вероятным, что выявленная нами разница действительно отражает положение дел в популяции (отсюда еще одно название этого критерия-порог вероятности).

Для каждого статистического метода этот уровень можно узнать из таблиц распределения критических значений соответствующих крите­риев (t, /2 и т. д.); в этих таблицах приведены цифры для уровней 5% (0,05), 1% (0,01) или еще более высоких. Если значение критерия для данного числа степеней свободы (см. дополнение Б.4) оказывается ниже критического уровня, соответствующего порогу вероятности 5%, то нулевая гипотеза не может считаться опровергнутой, и это означает, что выявленная разница недостоверна.

Параметрические методы Метод Стьюдента (^-тест)

Это параметрический метод, используемый для проверки гипотез о достоверности разницы средних при анализе количественных данных о популяциях с нормальным распределением и с одинаковой вариан-сой1.

Метод Стьюдента различен для независимых и зависимых выборок. Независимые выборки получаются при исследовании двух различных

' К сожалению, метод Стьюдента слишком часто используют для малых выборок, не убедившись предварительно в том, что данные в соответствующих популяциях подчиняются закону нормального распределения (например, ре­зультаты выполнения слишком легкого задания, с которым справились все испытуемые, или же, наоборот, слишком трудного задания не дают нормального распределения).

групп испытуемых (в нашем эксперименте это контрольная и опытная группы). В случае независимых выборок для анализа разницы средних применяют формулу

где М ^- средняя первой выборки;

Мд-средняя второй выборки;

s^ -стандартное отклонение для первой выборки;

s^- стандартное отклонение для второй выборки;

Hi и Ид-число элементов в первой

и второй выборках.

Теперь осталось лишь найти в таблице значений t (см. дополнение Б. 5) величину, соответствующую п — 1 степеням свободы, где и-общее число испытуемых в обеих выборках (см. дополнение Б.4). и сравнить эту величину с результатом расчета по формуле.

Если наш результат больше, чем значение для уровня достоверности 0,05 (вероятность 5%), найденное в таблице, то можно отбросить нулевую гипотезу (Но) и принять альтернативную гипотезу (Нд), т.е. считать разницу средних достоверной.

Если же, напротив, полученный при вычислении результат меньше, чем табличный (для и - 2 степеней свободы), то нулевую гипотезу нельзя отбросить и, следовательно, разница средних недостоверна.

В нашем эксперименте с помощью метода Стьюдента для независи­мых выборок можно было бы, например, проверить, существует ли достоверная разница между фоновыми уровнями (значениями, получен­ными до воздействия независимой переменной) для двух групп. При этом мы получим:

,= У5^-15'2^- °'60   =053

/0,62 - 0,66

/3,072   3,172

^ly

15

Сверившись с таблицей значений t, мы можем прийти к следующим выводам: полученное нами значение t = 0,53 меньше того, которое соответствует уровню достоверности 0,05 для 26 степеней свободы (г| = 28); следовательно, уровень вероятности для такого t будет выше 0,05 и нулевую гипотезу нельзя отбросить; таким образом, разница между двумя выборками недостоверна, т. е. они вполне могут принадле­жать к одной популяции.

Сокращенно этот вывод записывается следующим образом:

/ = 0,53; г) = 28; р > 0,05; недостоверно. Однако наиболее полезным г-тест окажется для нас при проверке

' Как уже говорилось, поскольку объем выборок в данном случае невелик, а результаты опытной группы после воздействия не соответствуют нормальному распределению, лучше использовать непараметрический метод, например U-тест Манна-Уитни.

гипотезы о достоверности разницы средней между результатами опыт­ной и контрольной групп после воздействия'. Попробуйте сами найти для этих выборок значения и сделать соответствующие выводы:

Значение t ...... чем табличное для 0,05 (..... степеней свободы).

Следовательно, ему соответствует порог вероятности ...... чем 0,05.

В связи с этим нулевая гипотеза может (не может) быть отвергнута. Разница между выборками достоверная (недостоверна?):

(<, =, > ?)0,05; .....

t =

.; Р.

.; П =

Дополнение Б.4. Степени свободы

Для того чтобы свести к минимуму ошибки, в таблицах критических значений статистических критериев в общем количестве данных не учитывают те, которые можно вывести методом дедукции. Оставшиеся данные составляют так называемое число степеней свободы, т. е. то число данных из выборки, значения которых могут быть случайными.

Так, если сумма трех данных равна 8, то первые два из них могут принимать любые значения, но если они определены, то третье значение становится автоматически известным. Если, например, значение первого данного равно 3,а второго-1, то третье может быть равным только 4. Таким образом, в такой выборке имеются только две степени свободы. В общем случае для выборки в п данных существует п- степень свободы.

Если у нас имеются две независимые выборки, то число степеней свободы для первой из них составляет п^-, а для второй-Ид-1. А поскольку при определении достоверности разницы между ними опираются на анализ каждой выборки, число степеней свободы, по которому нужно будет находить критерий t в таблице, будет составлять (я, + и,) - 2.

Если же речь идет о двух зависимых выборках, то в основе расчета лежит вычисление суммы разностей, полученных для каждой пары результатов (т. е., например, разностей между результатами до и после воздействия на одного и того же испытуемого). Поскольку одну (любую) из этих разностей можно вычислить, зная остальные разности и их сумму, число степеней свободы для определения критерия t будет равно л-1.

Метод Стьюдента для зависимых выборок

К зависимым выборкам относятся, например, результаты одной и той же группы испытуемых до и после воздействия независимой переменной. В нашем случае с помощью статистических методов для зависимых выборок можно проверить гипотезу о достоверности разницы между фоновым уровнем и уровнем после воздействия отдельно для опытной и для контрольной группы.

Для определения достоверности разницы средних в случае зависимых выборок применяется следующая формула:

где d- разность между результатами в каждой паре;

I.d- сумма этих частных разностей;

£u?2-сумма квадратов частных разностей.

Полученные результаты сверяют с таблицей /, отыскивая в ней значения, соответствующие п — 1 степени свободы; и-это в данном случае число пар данных (см. дополнение Б.З).

Перед тем как использовать формулу, необходимо вычислить для каждой группы частные разности между результатами во всех парах, квадрат каждой из этих разностей, сумму этих разностей и сумму их квадратов1.

Необходимо произвести следующие операции:

Контрольная группа. Сравнение результатов для фона и после воздействия

+3 +3 +3

= 0,39.

V

/(15 х 55)-32           /825-9     /58,28

15- 1          14

' Все эти расчеты необходимо сделать в чисто учебных целях. Сегодня существуют более быстрые методы, при которых основная работа сводится к вводу данных в программируемый микрокалькулятор или в компьютер, который автоматически выдает результат. Приведенная здесь таблица помогает понять все расчеты, которые осуществляются такими машинами.

Величина t = 0,39 ниже той, которая необходима для уровня значимости 0,05 при 14 степенях свободы. Иными словами, порог вероятности для такого / выше 0,05. Таким образом, нулевая гипотеза не может быть отвергнута, и разница между выборками недостоверна. В сокращенном виде это записывается следующим образом:

t = 0,39; г| = 14; Р > 0,05; недостоверно.

Теперь попробуйте самостоятельно применить метод Стьюдента для зависимых выборок к обоим распределениям опытной группы с учетом того, что вычисление частных разностей для пар дало следующие результаты:

•Ld= -59 и ~Ld2 =349;

Значение t ...... чем то, которое соответствует уровню значимости 0,05

для ..... степеней свободы. Значит, нулевая гипотеза ...... а различие

между выборками .....

Запишите это в сокращенном виде.

Дисперсионный анализ (тест F Снедекора)

Метод Снедекора - это параметрический тест, используемый в тех случаях, когда имеются три или большее число выборок. Сущность этого метода заключается в том, чтобы определить, является ли разброс средних для различных выборок относительно общей средней для всей совокупности данных достоверно отличным от разброса данных относи­тельно средней в пределах каждой выборки. Если все выборки принадле­жат одной и той же популяции, то разброс между ними должен быть не больше, чем разброс данных внутри их самих.

В методе Снедекора в качестве показателя разброса используют вариансу (дисперсию). Поэтому анализ сводится к тому, чтобы сравнить вариансу распределений между выборками с вариансами в пределах каждой выборки, или:

(<, =, > ?) 0,05; различие

где с^рж.ву- варианса средних каждой выборки относительно общей средней;

внутри- варианса данных внутри каждой выборки. Если различие между выборками недостоверно, то результат должен быть близок к 1. Чем больше будет F по сравнению с 1, тем более досговерно различие.

Таким образом, дисперсионный анализ показывает, принадлежат ли выборки к одной популяции, но с его помощью нельзя выделить те выборки, которые отличаются от других. Для того чтобы определить те пары выборок, разница между которыми достоверна, следует после дисперсионного анализа применить метод Шеффе. Поскольку, однако. этот весьма ценный метод требует достаточно больших вычислений. а к нашему гипотетическому эксперименту он неприменим, мы рекомен­дуем читателю для ознакомления с ним обратиться к какому-либо специальному пособию по статистике.

Непараметрические методы Метод /2 («хи-квадрат»)

Для использования непараметрического метода у2 не требуется вычислять среднюю или стандартное отклонение. Его преимущество состоит в том, что для применения его необходимо знать лишь зависи­мость распределения частот результатов от двух переменных; это позволяет выяснить, связаны они друг с другом или, наоборот, независи­мы. Таким образом, этот статистический метод используется для обра­ботки качественных данных (см. дополнение Б.1). Кроме того, с его помощью можно проверить, существует ли достоверное различие между числом людей, справляющихся или нет с заданиями какого-то интеллек­туального теста, и числом этих же людей, получающих при обучении высокие или низкие оценки; между числом больных, получивших новое лекарство, и числом тех, кому это лекарство помогло; и, наконец, существует ли достоверная связь между возрастом людей и их успехом или неудачей в выполнении тестов на память и т.п. Во всех подобных случаях этот тест позволяет определить число испытуемых, удовлетво­ряющих одному и тому же критерию для каждой из переменных.

При обработке данных нашего гипотетического эксперимента с по­мощью метода Стьюдента мы убедились в том, что употребление марихуаны испытуемыми из опытной группы снизило у них эффектив­ность выполнения задания по сравнению с контрольной группой. Одна­ко к такому же выводу можно было бы прийти с помощью другого метода-/2. Для этого метода нет ограничений, свойственных методу Стьюдента: он может применяться и в тех случаях, когда распределение не является нормальным, а выборки невелики.

При использовании метода у2 достаточно сравнить число испытуе­мых в той и другой группе, у которых снизилась результативность, и подсчитать, сколько среди них было получивших и не получивших наркотик; после этого проверяют, есть ли связь между этими двумя переменными.

Из результатов нашего опыта, приведенных в таблице в дополнении Б.2, видно, что из 30 испытуемых, составляющих опытную и контроль­ную группы, у 18 результативность снизилась, а 13 из них получили марихуану. Теперь надо внести значение этих так называемых эмпириче­ских частот (Э) в специальную таблицу:

Результаты

Ухудшение Без изменений   Итого или улучшение

Эмпирические частоты (Э)

Далее надо сравнить эти данные с теоретическими частотами (Т), которые были бы получены, если бы все различия были чисто случайны­ми. Если учитывать только итоговые данные, согласно которым, с од­ной стороны, у 18 испытуемых результативность снизилась, а у 12-по­высилась, а с другой -15 из всех испытуемых курили марихуану, а 15 -нет, то теоретические частоты будут следующими:

Результаты

Ухудшение Без изменений   Итого или улучшение

После употреб- 18 • 15       12-15

———=9               ———=6 15

ления накортика 30            30

Без наркотика

18-15

=9

12-15

" — 0

15

30          30

Итого     18 12 30

Теоретические частоты (Т)

Метод /2 состоит в том, что оценивают, насколько сходны между собой распределения эмпирических и теоретических частот. Если разни­ца между ними невелика, то можно полагать, что отклонения эмпириче­ских частот от теоретических обусловлены случайностью. Если же, напротив, эти распределения будут достаточно разными, можно будет считать, что различия между ними значимы и существует связь между действием независимой переменной и распределением эмпирических частот.

Для вычисления у2 определяют разницу между каждой эмпирической

и соответствующей теоретической частотой по формуле (Э - Т)2 Т'

а затем результаты, полученные по всех таких сравнениях, складываю-;

, ^(Э-Т)2

х ^-т—

В нашем случае все это можно представить следующим образом:

Э             т              э-т О - Т)2 (э - т)2

16

,77

Без наркотика,    5    б      —4 ухудшение

16

2,66

Без наркотика,

улучшение     10    б      +4

^(Э-Т)2 X = Е——-—— =         8,66

Для расчета числа степеней свободы число строк в табл. 2 (в конце приложения Б) за вычетом единицы умножают на число столбцов за вычетом единицы. Таким образом, в нашем случае число степеней свободы равно (2— 1)-(2— 1)=1.

Табличное значение /2 (см. табл. 2 в дополнении Б. 5) для уровня значимости 0,05 и 1 степени свободы составляет 3,84. Поскольку вычис­ленное нами значение /2 намного больше, нулевую гипотезу можно считать опровергнутой. Значит, между употреблением наркотика и гла-зодвигательной координацией действительно существует связь1.

Критерий знаков (биномиальный критерий)

Критерий знаков-это еще один непараметрический метод, позволя­ющий легко проверить, повлияла ли независимая переменная на выпол-

' Следует, однако, отметить, что если число степеней свободы больше 1, то критерий /2 нельзя применять, когда в 20 или более процентах случаев теоре­тические частоты меньше 5 или когда хотя бы в одном случае теоретическая частота равна 0 (Siegel, 1956).

нение задания испытуемыми. При этом методе сначала подсчитывают число испытуемых, у которых результаты снизились, а затем сравни­вают его с тем числом, которого можно было ожидать на основе чистой случайности (в нашем случае вероятность случайного события 1:2). Далее определяют разницу между этими двумя числами, чтобы выяс­нить, насколько она достоверна.

При подсчетах результаты, свидетельствующие о повышении эффек­тивности, берут со знаком плюс, а о снижении - со знаком минус; случаи отсутствия разницы не учитывают.

Расчет ведется по следующей формуле:

(X + 0,5)

Z=

где Х- сумма «плюсов» или сумма «минусов»;

и/2 - число сдвигов в ту или в другую сторону при чистой случайности (один шанс из двух 1);

0,5-поправочный коэффициент, который добавляют к X, если Х < п/2, или вычитают, если Х > и/2.

Если мы сравним в нашем опыте результативность испытуемых до воздействия (фон) и после воздействия, то получим

Опытная группа

Фон:                       12 21 10 15 15 19 17 14 13 11 20 15 15 14 17 После воздействия:          8 20 6 8 17 10 10 9 7 8 14 13 16 11 12 Знак:                       ____-(-- ----_--)---

Итак, в 13 случаях результаты ухудшились, а в 2-улучшились. Теперь нам остается вычислить Z для одного из этих двух значений X:

(13-0,5)

15

либо Z =

15 2

(2 + 0,5) -

15

12,5 - 7,5 ^ZT^-1'83'

либо Z =

/L5 2

' Такая вероятность характерна, например, для п бросаний монеты. В случае же если п разбросают игральную кость, то вероятность выпадения той или иной грани уже равна одному шансу из 6 (nid).

Из таблицы значений Z можно узнать, что Z для уровня значимости 0,05 составляет 1,64. Поскольку полученная нами величина Z оказалась выше табличной, нулевую гипотезу следует отвергнуть; значит, под действием независимой переменной глазодвигательная координация действительно ухудшилась.

Критерий знаков особенно часто используют при анализе данных, получаемых в исследованиях по парапсихологии. С помощью этого критерия легко можно сравнить, например, число так называемых телепатических или психокинетических реакций (X) (см. досье 5.1) с числом сходных реакций, которое могло быть обусловлено чистой случайностью (и/2).

Другие непараметрические критерии

Существуют и другие непараметрические кригерии, позволяющие проверять гипотезы с минимальным количеством расчетов.

Критерий рангов позволяет проверить, является ли порядок следова­ния каких-либо событий или результатов случайным, или же он связан с действием какого-то фактора, не учтенного исследователем. С по­мощью этого критерия можно, например, определить, случаен ли порядок чередования мужчин и женщин в очереди В нашем опыте этот критерий позволил бы узнать, не чередуются ли плохие и хорошие резульгаты каждого испытуемого опытной группы после воздействия каким-то определенным образом или не приходятся ли хорошие резуль­таты в основном на начало или конец испытаний.

При работе с этим критерием сначала выделяют такие последова­тельности, в которых подряд следуют значения меньше медианы, и такие, в которых подряд идут значения больше медианы. Далее по таблице распределения R (от англ. runs- последовательности) проверя­ют, обусловлены ли эти различные последовательности только случай­ностью.

При работе с порядковыми данными1 используют такие непараметри­ческие тесты, как тест U (Манна-Уитни) и тест Т Вилкоксона. Тест U позволяет проверить, существует ли достоверная разница между двумя независимыми выборками после того, как сгруппированные данные этих выборок классифицируются и ранжируются и вычисляется сумма рангов для каждой выборки. Что же касается критерия Т, то он используется для зависимых выборок и основан как на ранжировании, так и на знаке различий между каждой парой данных.

Чтобы показать применение этих критериев на примерах, потребова­лось бы слишком много места. При желании читатель может подробнее ознакомиться с ними по специальным пособиям.

1 Такие данные чаще всего получаются при ранжировании количественных данных, которые нельзя обработать с помощью параметрических тестов

Корреляционный анализ

При изучении корреляций стараются установить, существует ли ка­кая-то связь между двумя показателями в одной выборке (например, между ростом и весом детей или между уровнем IQ и школьной успеваемостью) либо между двумя различными выборками (например, при сравнении пар близнецов), и если эта связь существует, то сопровож­дается ли увеличение одного показателя возрастанием (положительная корреляция) или уменьшением (отрицательная корреляция) другого.

Иными словами, корреляционный анализ помогает установить, мож­но ли предсказывать возможные значения одного показателя, зная величину другого.

До сих пор при анализе результатов нашего опыта по изучению действия марихуаны мы сознательно игнорировали такой показатель, как время реакции. Между тем было бы интересно проверить, сущест­вует ли" связь между эффективностью реакций и их быстротой. Это позволило бы, например, утверждать, что чем человек медлительнее, тем точнее и эффективнее будут его действия и наоборот.

С этой целью можно использовать два разных способа: параметриче­ский метод расчета коэффициента Браве - Пирсона (г) и вычисление коэффициента корреляции рангов Спирмена (г,), который применяется к порядковым данным, т. е. является непараметрическим. Однако разберемся сначала в том, что такое коэффициент корреляции.

Коэффициент корреляции

Коэффициент корреляции - это величина, которая может варьировать в пределах от +1 до — 1. В случае полной положительной корреляции этот коэффициент равен плюс 1, а при полной отрицательной - минус 1. На графике этому соответствует прямая линия, проходящая через точки пересечения значений каждой пары данных:

. Переменная 8

Полная положительная корреляция (г =+1)

Переменная В

Полная отрицательная корреляция (/" ^-l)

В случае же если эти точки не выстраиваются по прямой линии, а образуют «облако», коэффициент корреляции по абсолютной величине становится меньше единицы и по мере округления этого облака прибли­жается к нулю:

' -0,30                 r=0

В случае если коэффициент корреляции равен 0, обе переменные полностью независимы друг от друга.

В гуманитарных науках корреляция считается сильной, если ее коэффициент выше 0,60; если же он превышает 0,90, то корреляция считается очень сильной. Однако для того, чтобы можно было делать выводы о связях между переменными, большое значение имеет объем выборки: чем выборка больше, тем достовернее величина полученного коэффициента корреляции. Существуют таблицы с критическими значе­ниями коэффициента корреляции Браве - Пирсона и Спирмена для разного числа степеней свободы (оно равно числу пар за вычетом 2, т. е. п — 2). Лишь в том случае, если коэффициенты корреляции больше этих критических значений, они могут считаться достоверными. Так, для того чтобы коэффициент корреляции 0,70 был достоверным, в анализ должно быть взято не меньше 8 пар данных (г| = п — 2 = 6) при вычислении г (табл. В.4) и 7 пар данных (г| = и — 2 = 5) при вычислении г, (табл. 5 в дополнении 6.5).              - ——-

Коэффициент Браве - Пирсона

Для вычисления этого коэффициента применяют следующую форму­лу (у разных авторов она может выглядеть по-разному):

_ (SXYj - nXY (п - 1)^5у

где XX У-сумма произведений данных из каждой пары;

и-число пар;

Х-средняя для данных переменной X;

У-средняя для данных переменной У;

Дд. - стандартное отклонение для распределения х;

sy- стандартное отклонение для распределения у. Теперь мы можем использовать этот коэффициент для того, чтобы установить, существует ли связь между временем реакции испытуемых и эффективностью их действий. Возьмем, например, фоновый уровень контрольной группы.

Испытуемые

Эффектив­ность (X)

XY

Время

реакции (Y)

Д1

Д2

дз

19 10 12

152 150 156

Ю8          22 14 308

3142

/I XY = 15-15,8- 13,4 = 3175,8;

(n- 1)V,= 14-3,07-2,29 =98,42;

3142-3175,8   -33,8 r = ———————— = ——— = -0,34.

98,42        98,42

Отрицательное значение коэффициента корреляции может означать, что чем больше время реакции, тем ниже эффективность. Однако величина его слишком мала для того, чтобы можно было говорить о достоверной связи между этим двумя переменными.

Теперь попробуйте самостоятельно подсчитать коэффициент корре­ляции для экспериментальной группы после воздействия, зная, что ЕХУ= 2953:

nXY=..... {п- l),^Sy= .....

Какой вывод можно сделать из этих результатов? Если вы считаете что между переменными есть связь, то какова она-прямая или обраг-ная? Достоверна ли она [см. табл. 4 (в дополнении Б. 5) с критическими значениями г]?

Коэффициент корреляции рангов Спирмена г,

Этот коэффициент рассчитывать проще, однако результаты полу­чаются менее точными, чем при использовании г. Это связано с тем, что при вычислении коэффициента Спирмена используют порядок следо­вания данных, а не их количественные характеристики и интервалы между классами.

Дело в том, что при использовании коэффициента корреляции рангов Спирмена (г,) проверяют только, будет ли ранжирование данных для какой-либо выборки таким же, как и в ряду других данных для этой выборки, попарно связанных с первыми (например, будут ли одинаково «ранжироваться» студенты при прохождении ими как психологии, так и математики, или даже при двух разных преподавателях психологии?). Если коэффициент близок к + 1, то это означает, что оба ряда практи­чески совпадают, а если этот коэффициент близок к — 1, можно говорить о полной обратной зависимости.

Коэффициент ^ вычисляют по формуле

где (/-разность между рангами сопряженных значений признаков (неза­висимо от ее знака), а и-число пар.

Обычно этот непараметрический тест используется в тех случаях, когда нужно сделать какие-то выводы не столько об интервалах между данными, сколько об их рангах, а также тогда, когда кривые распреде­ления слишком асимметричны и не позволяют использовать такие параметрические критерии, как коэффициент г (в этих случаях бывает необходимо превратить количественные данные в порядковые).

Поскольку именно так обстоит дело с распределением значений эффективности и времени реакции в экспериментальной группе после воздействия, можно повторить расчеты, которые вы уже проделали для этой группы, только теперь не для коэффициента г, а для показателя г,. Это позволит посмотреть, насколько различаются эти два показателя.

* Следует помнить, что

1) для числа попаданий 1-й ранг соответствует самой высокой, а 15-й-самой низкой результативности, тогда как для времени реакции 1-й ранг соответствует самому короткому времени, а 15-и-самому долгому,

2) данным ex aequo придается средний ранг.

6-428

153- 15

== 1

2568

3360

= 0,24.

Таким образом, как и в случае коэффициента г, получен положитель­ный, хотя и недостоверный, результат. Какой же из двух результатов правдоподобнее: г = —0,48 или г, = +0,24? Такой вопрос может встать лишь в том случае, если результаты достоверны.

Хотелось бы еще раз подчеркнуть, что сущность этих двух коэф­фициентов несколько различна. Отрицательный коэффициент г указы­вает на то, что эффективность чаще всего тем выше, чем время реакции меньше, тогда как при вычислении коэффициента г, требовалось про­верить, всегда ли более быстрые испытуемые реагируют более точно, а более медленные - менее точно.

Поскольку в экспериментальной группе после воздействия был полу­чен коэффициент г,, равный 0,24, подобная тенденция здесь, очевидно, не прослеживается. Попробуйте самостоятельно разобраться в данных для контрольной группы после воздействия, зная, что ^_d2 = 122,5:

г, = 1 — ——————— = I — ——————— == 1 —      ; достоверно ли?

Каков ваш вывод?..........................................

Итак, мы рассмотрели различные параметрические и непараметри­ческие статистические методы, используемые в психологии. Наш обзор

был весьма поверхностным, и главная задача его заключалась в том чтобы читатель понял, что статистика не так страшна, как кажется, и требует в основном здравого смысла. Напоминаем, что данные «опыта», с которыми мы здесь имели дело,-вымышленные и не могут служить основанием для каких-либо выводов. Впрочем, подобный экс­перимент стоило бы действительно провести. Поскольку для этого опыта была выбрана сугубо классическая методика, такой же статисти­ческий анализ можно было бы использовать во множестве различных экспериментов. В любом случае нам кажется, что мы наметили какие-то главные направления, которые могут оказаться полезны тем, кто не знает, с чего начать статистический анализ полученных результатов.

Резюме

Существуют три главных раздела статистики: описательная ста­тистика, индуктивная статистика и корреляционный анализ.

I. Описательная статистика

1. Задачи описательной статистики - классификация данных, постро­ение распределения их частот, выявление центральных тенденций этого распределения и оценка разброса данных относительно средних.

2. Для классификации данных сначала располагают их в возрастаю­щем порядке. Далее их разбивают на классы по величине, интервалы между которыми определяются в зависимости от того, что именно иследователь хочет выявить в данном распределении.

3. К наиболее часто используемым параметрам, с помощью которых можно описать распределение, относятся, с одной стороны, такие величины, как мода, медиана и средняя арифметическая, а с другой -показатели разброса, такие как варианса (дисперсия) и стандартное отклонение.

4. Мода соответствует значению, которое встречается чаще других или находится в середине класса, обладающего наибольшей частотой.

Медиана соответствует значению центрального данного, которое может быть получено после того, как все данные будут расположены в возрастающем порядке.

Средняя арифметическая равна частному от деления суммы всех данных на их число.

Распределение считается нормальным, если кривая распределения имеет колоколообразный вид, а все показатели центральной тенденции совпадают, что свидетельствует о симметричности распределения.

5. Диапазон распределения (размах вариаций) равен разности между наибольшим и наименьшим значениями результатов.

6. Среднее отклонение-это более точный показатель разброса, чем диапазон распределения. Для расчета среднего отклонения вычисляют среднюю разность между всеми значениями данных и средней арифме-

тической, или, упрощенно,

Среднее отклонение =

7. Еще один показатель разброса, вычисляемый из среднего откло­нения,-это варианса (дисперсия), равная среднему квадрату разностей между значениями всех данных и средней:

Yd2 Варианса = ——. п

8. Наиболее употребительным показателем разброса служит стан­дартное отклонение, равное квадратному корню из вариансы. Таким образом, это квадратный корень из суммы квадратов всех отклонений от средней:

Стандартное отклонение =       или

п          V п - 1

9. Важное свойство стандартного отклонения заключается в том. что независимо от его абсолютной величины в нормальном распределении оно всегда соответствует одинаковому проценту данных, располага­ющихся по обе стороны от средней: 68% результатов располагаются в пределах одного стандартного отклонения в обе стороны от средней, 95%-в пределах двух стандартных отклонений и 99,7%-в пределах трех стандартных отклонений.

10. С помощью перечисленных выше показателей можно осущест­вить оценку различий между двумя или несколькими распределениями, позволяющую проверить, насколько эти различия могут быть экстра­полированы на популяцию, из которой взяты выборки. Для этого применяют методы индуктивной статистики.

II. Индуктивная статистика

1. Задача индуктивной статистики заключается в том, чтобы оце-' нить значимость тех различий, которые могут быть между двумя распределениями, с целью выяснить, можно ли распространить найден­ную закономерность на всю популяцию, из которой были взяты выборки.

2. Для того чтобы определить, достоверны ли различия между распределениями, следует выдвинуть гипотезу, которую нужно будет затем проверить статистическими методами. Нулевой гипотезой на­зывают предположение, согласно которому различие между распре­делениями недостоверно, тогда как альтернативная гипотеза утверж­дает противоположное.

3. В том случае, если данных достаточно, если эти данные количест­венные и подчиняются нормальному распределению, для проверки гипотез используют параметрические критерии. Если же данных мало либо они

являются порядковыми или качественными (см.дополнение Б.1), исполь­зуют непараметрические критерии.

4. Из параметрических критериев наиболее эффективен и чаще всего используется критерий t Стьюдента. Этот критерий позволяет сравнить средние и стандартные отклонения для двух распределений. В случае если эти показатели принадлежат независимым выборкам, используют формулу

Х,-Х,

Для сопряженных выборок используют иную формулу:

^-^ .

lny--(W

5. Если необходимо сравнить три или большее число распределений. используют иной параметрический метод-дисперсионный анализ. При этом с помощью метода Шеффе можно выявить пары выборок, разли­чия между которыми достоверны либо недостоверны.

6. Критерий 72 (хи-квадрат)-это непараметрический критерий, по­зволяющий проверить, являются ли две переменные независимыми друг от друга. По этому методу сравнивают, как распределяются эмпири­ческие частоты в зависимости от критериев для каждой переменной, с тем, как они распределились бы теоретически, если бы переменные были независимыми. Далее с помощью таблицы, в которую сводятся все частоты, вычисляют критерий у/. Для этого сначала находят разницу между каждой эмпирической (Э) и соответствующей теоретической (Т) частотой, а затем сумму этих разностей:

,   у(Э-Т)2

X— — _____

t—i     -у

7. Критерий знаков (биномиальный тест)-еще один непараметри­ческий метод, позволяющий легко определить, оказала ли независимая переменная существенное влияние по сравнению с исходным уровнем (ф:'ном). Для этого сначала подсчитывают число «ухудшений» (-) или число «улучшений» (+), а затем сравнивают одно из этих двух чисел с тем. что могло бы получиться в результате чистой случайности (1 шанс из 2, или п/2). Для этого применяют формулу

(X ± 0.5) - ,

Z

/" V 2

8. Существуют и другие непараметрические тесты, которые прихо­дится использовать для проверки гипотез тогда, когда нельзя применить параметрические критерии. К этим методам, в частности, относится критерий рангов, позволяющий определить, случайна или нет очеред­ность событий в той или иной последовательности, а также критерий U и критерий Т. Последние два критерия используют в случае поряд­ковых переменных соответственно для независимых и зависимых выборок.

9. Какой бы критерий ни использовался, его вычисленное значение следует сравнить с табличным для уровня значимости 0.05 с учетом числа степеней свободы. Если при этом вычисленный результат ока­жется выше, нулевая гипотеза может быть отвергнута и можно, следо­вательно, утверждать, что разница достоверна.

III. Корреляционный анализ

1. Задача корреляционного анализа заключается в том, чтобы устано­вить возможную связь между двумя показателями, полученными на одной и той же или на двух различных выборках. При этом устанавли­вается. приводит ли увеличение какого-либо показателя к увеличению или уменьшению другого показателя.

2. Коэффициент корреляции колеблется в пределах от +1, что соответствует полной положительной корреляции, до — 1 в случае полной отрицательной корреляции. Если этот коэффициент равен 0, то никакой корреляции между двумя рядами данных нет.

3. Коэффициент корреляции Браве - Пирсона (г)-это параметрический показатель, для вычисления которого сравнивают средние и стандарт­ные отклонения результатов двух измерений. При этом используют формулу

4. Коэффициент корреляции рангов Спирмена (г,) - это непараметри­ческий показатель, с помощью которого пытаются выявить связь между рангами соответственных величин в двух рядах измерений.

5. Коэффициент корреляции может быть значимым лишь при доста­точном числе пар данных, взятых в анализ. Это можно проверить с помощью таблицы пороговых значений г или г, для уровня значимости 0,05.

Результаты вычислений, которые предложено было сделать читателям

Различие между данными контрольной и опытной группы после воздействия (критерий / для независимых выборок):

t = 3,11; r| = 28; р < 0,05; достоверно.

Различие между данными до и после воздействия для опытной группы (критерий t для зависимых выборок):

t = — 8,14; r| = 14; р < 0,05; достоверно.

Сравнение показателей эффективности и времени реакции для опыт­ной группы после воздействия (коэффициент г Браве-Пирсона):

г = — 0,48; г) = 13; р > 0,05; недостоверно.

Сравнение показателей эффективности и времени реакции для конт­рольной группы после воздействия (коэффициент г^ Спирмена):

i = + 0,73; t) == 13; /? < 0,05; достоверно.

Дополнение Б.5. Таблицы

Таблица 1. Значения кри­терия t Сльюдента

п             0.05

Таблица 2. Значения кри­терия к2

0.05

Таблица З. Достоверные значения Z

0.05 0,01

1,64

2,33

Таблица 4. Достоверные (критические) значения г

Таблица 5. Достоверные (критические) значения Сд

Л - (N - 2)               р = 0,05

Примечания. 1) Для больших выборок или уровня значимости меньше 0,05 следует обратиться к таблицам в пособиях по статис­тике.

2) Таблицы значений других непараметрических критериев можно наши в специальных руководствах (см. библиографию).

Литература

Chatillon G., 1977. Statistique en Sciences humaines, Trois-Rivieres, Ed. SMG. Gilbert N.. 1978. Statistiques, Montreal, Ed. HRW. Moroney M.J., 1970. Comprendre la Statistique, Verviers, Gerard et Cie. Siege! S., 1956. Non-parametric Statistic, New York, MacGraw-Hill Book Co.