Страница 120 - Разум природы и разум человека - А.М. Хазен

Заголовок этого параграфа перефразирует название известной работы Е. Вигнера – “Непостижимая эффективность математики в естественных науках” [169]. Её содержание выражает удивление тем, что законы природы существуют, и ещё большее удивление тем, что математика их почему-то может описывать, исходя из заведомо неточных и неполных наблюдательных данных. Вигнер предлагает называть эмпирическим законом эпистемологии (науки об основах теории познания) эффективность и точность математической формулировки законов природы на языке таких понятий, с которыми удобно производить различные манипуляции.

Ниже покажу, что не удивление и не эмпирический закон, формализующий его, а синтез информации как отражение стремления к максимуму энтропии-информации однородно задаёт существование как самих законов природы, так и возможность их познания человеком, в частности, в форме описания языком-математикой. Сначала введу определения:

Законы природы есть отображение реальных объектов и процессов, которые являются на данной ступени иерархии энтропии-информации элементами, сформированными на предыдущих ступенях её иерархии.

Определяющие переменные задачи, описываемой законами природы, есть переменные, которые входят в сам закон и в условия при синтезе информации о нём.

Термин – закон природы – здесь используется в широком смысле от физики и химии до биологии, медицины, философии и социальных наук – всех областей, в которых память о предистории задана такими же законами природы. В задачах познания природы могут участвовать определяющие переменные и переменные, которые для данной задачи несущественны, хотя бы приближённо. В п. 2 выше сформулировано правило, позволяющее формально отличить их друг от друга.

Законы природы вне человека выражают её реально существующие объекты и процессы – результаты такого же синтеза информации, какой происходит на всех ступенях иерархии роста энтропии-информации. Существование, например, камня или Вселенной, реки или солнечного ветра – это и есть законы природы, выраженные вне сознания человека. Они порождены экстремумами энтропии-информации и её производства, которые формируются в реальных природных процессах путём запоминания случайного выбора в данных условиях. Этим они являются результатами специфического осреднения случайностей на своих ступенях иерархии. В частности, законы механики, физики, химии, выраженные реальными объектами, отличает то, что синтез информации о них относится к далёким прошлым ступеням иерархии.

С высоты ступеней иерархии, ответственных за формы жизни (не обязательно имеющие мозг и тем более мозг человека разумного), они наблюдаются “издали” (в смысле рис. 4.1 в главе IV). Их точность в таких условиях приближается к пределу математической точки. Например, основные физические законы (типа закона Кулона) в экспериментах выполняются с ошибкой, которая во всяком случае не больше, чем в ~12 знаке после запятой. Иерархическое “издали” есть наблюдаемый результат осреднения поведения тем большего числа элементов системы, чем младше наблюдаемая ступень иерархии. Флуктуации в самых незыблемых законах природы, в самых фундаментальных постоянных присутствуют обязательно. В каком именно знаке после двенадцатого? – пока неизвестно, но они есть.

Законы природы в виде её процессов и объектов существуют вне человека и его разума. Их создаёт разум природы как младшие иерархические ступени синтеза информации. В таком виде они однозначны и единственны. Иерархичность управляет диапазоном действия законов природы. Чем младше, первичнее уровень иерархии, тем более глобальны относящиеся к нему законы, тем больше и универсальнее диапазон их действия. В терминах параграфа 12 главы I тем больше ценность и незаменимость информации, содержащейся в них. Например, законы тяготения, электромагнетизма относятся к первым шагам эволюции Вселенной. Прямо или косвенно они участвуют во всех явлениях природы. И наоборот. Синтез информации об адениловых нуклеотидах и АТФ как рабочем теле термодинамических циклов энергетики жизни приводит к законам, справедливым только для живых организмов. Роль ягодиц и секса в эволюции мозга ответственна за законы образования и работы собственно разума человека.

Разум человека всегда может построить в абстрактных терминах состояний и процессов для своих элементов (нейронов, нейромедиаторов, нейропептидов, гормонов, факторов роста нервов и отражающих их языков) аналогии законов природы – синтез информации в мозге тождественен по типам процессов с синтезом информации в природе. В частности, в его работе представлены действительная и мнимая составляющие энтропии-информации как функции комплексного переменного.

В первую очередь две переменные определяют всё разнообразие природы – энтропия-информация и энергия. Аппарат математики (языка науки) основан на их абстрактных аналогах. В природе значительную роль играют функции состояния и их взаимодействия с работой как в циклических процессах (в плоскости функций состотяния), так и в неравновесных. В работе мозга функции состояния представлены в логике и в осреднениях случайных процессов, например, марковских. Обработка информации в мозге может быть аналогией адиабатических и неадиабатических процессов. Повторю, знаменитые споры схоластиков средневековья есть пример адиабатических процессов мозга и их тупиков. Можно считать классическим адиабатическим процессом обработки информации в сознании многовековой спор о том имели ли Адам и Ева пупок или нет. Он приближается к доказательствам некоторых теорем в теории алгоритмов, когда в ней пытаются доказать то, что есть аксиомы.

Однородность процессов синтеза информации в природе и в мозге человека приводит к тому, что законы природы в мозге человека уже сформулированы на математическом языке. Человеку остаётся только сделать с помощью синтеза информации эти формулировки явными.

Ещё Пифагор утверждал, что природа устроена по математическим законам. Это так “с точностью до наоборот” – математика как язык оказалась аналогичной широкой группе основополагающих законов природы. Этот язык, как и всё в природе, стал результатом запоминания выбора из многочисленных случайностей, которые накапливались десяток тысячелетий истории человечества (а может быть и больше). Экспоненциальное развитие современной науки (которая всего лет 400 – 500 назад перешла к показателям экспоненты, большим единицы) есть обычное для природы выражение эффективного запоминания.

Законы природы, выраженные процессами и объектами, однозначны и единственны. Но физические и другие теории (законы), которые устанавливают, описывают и применяют эти законы (как работу разума человека), не только не единственны по своей форме, но, скорее, многовариантны. Они всегда образуются по принципу всё более уточняющихся последовательных приближений. В одно и то же историческое время в одном и том же обществе они могут одновременно применяться в разных формах.

Примеры: механика Ньютона и механика Лагранжа, а также механика Гамильтона-Якоби; относительность по Галилею и по Эйнштейну, квантовая и классическая механика, и многие другие. Более того, механика Ньютона и механика Лагранжа по своим аксиоматическим основам тождественны, но математически, по аппарату есть разные теории, сосуществующие одновременно. Механика Гамильтона-Якоби по аксиоматике принципиально отличается от механики Ньютона и Лагранжа, но это игнорируется.

Физические теории описывают окружающую природу неоднозначно. В этом их существо и сила. Физическая теория есть логические связи на основе понятий, заданных аксиомами. Аксиомы имеют конечный срок существования, после которого они (если эффективны) становятся следствием логических построений на основе новых аксиом. Теория, которая была абсолютной истиной в пределах своих границ применения таковой и остаётся. Но эти границы изменяются. Далее возможны разные случайные варианты.

Первый из них в том, что новая аксиоматика позволяет более полно и просто получить старые абсолютные истины. Второй – новое не упрощает изложения старого, но ограничивает область его справедливости. Тогда старые и новые аксиомы сосуществуют неопределённо долго. Наконец, третий случай в том, что для старых аксиом не остаётся области справедливости. Они становятся абсолютными ошибками. Если понимания этого нет, то в истории науки возникают драматические ситуации.

Рассказывая про возникновение и эволюцию жизни, я многократно подчёркивал роль “подсказок” в этом физических законов. Математика играет ту же самую роль в научном творчестве человека.

Вигнер в [169] пишет, что “математическая формулировка результатов наблюдений физиков, часто довольно грубых, приводит в неправдоподобно многочисленных случаях к удивительно точному описанию большого класса явлений”. Объясню разрешение этого парадокса на примере соотношений Максвелла, о которых говорилось в главе VI.

Закон сохранения энергии в природе нарушаться не может. Человек исследует природную систему, проводя измерения. Они всегда содержат ошибку. Она может быть очень маленькой. Сегодня погрешность измерений, не превышающая 10–6, достаточно обыденна, но это всё равно некоторая ошибка. Когда человек производит измерения разных переменных в природной системе, подчиняющейся закону сохранения энергии, то даже такая ошибка принципиально изменяет задачу – измерения вводят в неё невыполнимость закона сохранения энергии.

Если измерения участвуют в задаче, имеющей математическое описание, то роль ошибок изменяется. В таком случае можно измерять только часть переменных задачи. Остальные вычисляются на основе математических правил. В данном примере правила – это соотношения Максвелла, отражающие абсолютное, бесконечно точное выполнение закона сохранения энергии. Измеряемая часть переменных может содержать в себе даже большие ошибки (в единицы и десятки процентов). Однако за счёт того, что другая часть переменных не измеряется, а вычисляется, закон сохранения энергии будет выполняться абсолютно.

Даже сама постановка задачи может содержать при этом ошибки, например, заведомый неучёт форм энергии, дающих вклад в результат, опять-таки, относительно большой величины (например, порядка процентов). Несмотря на них, результаты экспериментов, как правило, получаются высоко достоверными. На их основе можно формулировать новые физические законы, выявлять неочевидные эффекты. Например, введение уравнения состояния для магнитострикционных материалов в [109], [110] и его следствие в виде отрицательного модуля упругости для намагничивающихся сталей.

Если математическая обработка наблюдений проведена так, что гарантирует выполнение фундаментальных законов природы, то, несмотря на ошибки при измерениях или огрубления в постановке задачи, результат будет иметь смысл и будет отражать процессы природы. Это и есть “удивительно точное описание широкого класса явлений”. Естественно, если точность измерений и постановки задач больше, то результаты будут и количественно “удивительно точными”. Именно поэтому применение математики позволяет получать фундаментальные результаты на основе заведомо неполных и неточных экспериментальных данных (что вызывает недоумение у Вигнера).

Автоматизма в этом нет. Мало использовать математический аппарат как основу постановки исследовательской задачи. Надо понимать его особенности по отношению к данной задаче. Математический аппарат отличается тем, что его надо знать и понимать, независимо от того пишутся ли формулы в явном виде или нет. Он имеет отображение в обычном разговорном языке (в теории алгоритмов говорят – метаязыке). Хотя в инженерной и научной литературе нередок стиль, когда формулы пишутся “для красивости”, для соблюдения “приличий”. Такое применение математики от ошибок не защищает и её профанирует.

Однако не следует забывать, что ошибки постановок задач и измерений есть ошибки. Они количественно проявятся в результатах. В практических задачах для тех областей, где фундаментальные закономерности известны, точность измерений и вычислений выходит на первый план, независимо от нарушения при этом фундаментальных законов. Это сегодня неожиданно проявляет себя при применениях компьютеров.

Сила языка-математики в абстрактности, идеализации его правил. Вычислительные машины решают задачи на основе той же математики-языка, но они – машины. Их особенности как машин ограничивают идеализации. Например, задачи обтекания тел идеальной (в частности, без трения) жидкостью решают с использованием дифференциальных уравнений в частных производных. Они в силу принципов языка-математики гарантируют выполнение закона сохранения механической энергии.

Решение уравнений обтекания как “текстов языка-математики” на бумаге гарантирует высокую точность даже при заведомо ошибочной постановке задачи, каковой является модель идеальной жидкости. Решение уравнений в рамках этой же модели с помощью операций с числами в компьютере вводит свои правила, разрушающие идеализацию правил языка-математики. В частности, неизбежное округление чисел (даже в далёком знаке после запятой) вводит нарушение закона сохранения энергии. Оно в природе существует как результат трения, превращающего механическую энергию в тепло. В математической задаче об идеальной жидкости такого нет. При численном решении уравнений идеальной жидкости возникает трение, созданное компьютером – “машинная вязкость”. Её законы иные, чем при трении в природе и искажают задачу, решаемую компьютером. Подобное возможно и при исходных уравнениях, учитывающих реальную вязкость жидкостей и газов.

Вычислительные методы могут лишать математику способности давать “удивительно точные” результаты, несмотря на огромную точность самих вычислений.

Математика содержит в себе и ещё одну особенность. Строгие правила языка-математики наделяют её возможностью давать численно правильные результаты, не являющиеся истиной. Известный астрономам классический пример я приводил в [14]. Повторю его здесь. Система Птолемея есть разложение в ряд Фурье истинного движения планет вокруг Солнца, записанное относительно начала координат в центре Земли. Пример разложения Фурье приводился на рис. 8.8 в главе VIII. Для планет члены ряда Фурье выражаются эпициклами Птолемея. Количество членов ряда (эпициклов) можно выбирать большим, тогда точность вычислений и совпадение результатов теории с наблюдениями будут сколь угодно велики. Результат парадоксален – система Птолемея ошибочна, а результаты вычислений на её основе могут быть сколь угодно точными.

Выражение законов природы математическим языком неоднозначно. В частности, физические теории не обязательно имеют единственную форму. Совпадение с экспериментом физических теорий не гарантирует их истинности. И наоборот. Удачный выбор математической формулы для описания заведомо неточных экспериментальных данных определил всё развитие физики ХХ века и ещё вперёд лет на сто. Это пример формулы Планка для спектра излучения абсолютно черного тела, который я приводил в своих предыдущих книгах [11], [170].

Логика как основа математики-языка есть запомненный случайный выбор, представленный в форме действительной составляющей функции комплексного переменного. В ней важнейшие – преобразования функций состояния, в частности, абстрактных аналогов энергии. Они определены в математике при справедливости предельного перехода к бесконечно малому объёму в фазовом пространстве. Поэтому становление математики оказалось связанным с отказом от понимаемой ещё древними греками идеи атомизма. Триумф науки создал переход к, казалось бы, абсурдному понятию о пределе в точке и непрерывности. В результате в классической математике и механике всё состоит из ничего, но именно этот предельный переход создал эффективность математики. Он обеспечил экспоненциальное развитие науки. Это является синонимом запомненного случайного выбора – математика-язык есть результат синтеза информации в виде перехода на новую иерархическую ступень роста энтропии-информации.

В пределах новой иерархической плоскости синтеза информации математика-язык использует синтезы информации типа рис. 1.2. Например, как узнать какие переменные в данной задаче определяющие? Формальных правил нет. Определение п. 2 справедливо, но, чтобы удовлетворить его, существует один путь – повторить аналогии синтеза информации – рассмотреть случайности, которые могут участвовать в данной задаче, выявить условия, рассмотреть, что есть критерии устойчивости. Как это сделать? Только так же, как и в природе – перебором случайностей. Использовать при этом наблюдения, эксперименты, сам язык-математику для проверки выбора условий. Запомнить устойчиво воспроизводимый результат в виде статей, книг, практических приёмов.

История науки даёт многократные примеры ведущей роли случайностей в открытиях науки. Но это должны быть те случайности, которые участвуют в синтезе информации в природе, выраженные в виде состояний и процессов в работе мозга. Реализация такого выбора из случайностей и есть то, что называют творческой работой. Сама по себе случайность результатов не даёт, даже если она явно наблюдается многими. Она пройдёт мимо не запомненной – закон не сформулирован. Например, открытие явления, названного квантовый эффект Холла и отмеченного Нобелевской премией. Выражающие его факты наблюдались и до его открытия, но считались случайными ошибками эксперимента. Когда эти “ошибки” были выражены языком-математикой, возникло открытие – устойчивость результата, которая есть синоним запоминания.

Разум природы, перебирая случайности, имеет физические критерии устойчивости. Запоминание в природе – физически обусловленный процесс. В случае разума природы критерии устойчивости срабатывают в физическом процессе. В отличие от этого результат синтеза информации в терминах биохимии и биофизики мозга, метаболизма и физиологии организма – неоднозначен. Он зависит от факторов, не связанных с решаемой задачей – от общего состояния организма, предыдущего обучения, случайных внешних воздействий, не относящихся к задаче. Это влияет биохимически и биофизически, но алгоритмы такого влияния длинные и сложные, а потому в явном виде их описать трудно.

Триумфальное шествие всё наперёд знающих и строго доказывающих формулами гениев – это миф в истории науки. Он поддерживается психологией человека, который воспринимает окружающую природу с позиции существования в ней цели, которой он считает и себя самого.

Законы математики повторяют физические законы в терминах алфавита, слов и правил языка-математики. Поэтому математика вводит в работу мозга, хоть и искажённую, но однозначность условий, которая существует вне мозга человека при синтезе информации в природе. В результате часть из того, что не является случайным в природе (задано условиями) может описываться манипуляциями, заданными правилами языка – математики.

Математика вводит составляющие и законы условий, действующих при синтезе информации в природе (как физическом процессе), в абстрактный синтез информации в мозге человека.

В этом есть постижение “непостижимой” эффективности математики в естественных науках.

Математика содержит в себе и ещё одну особенность из тех, что проявляются в природе. В законах природы участвуют правила плотной упаковки, примером которых являются кристаллы. Существует форма законов движения в механике, которую выражают канонические преобразования и группы Ли. В наглядных терминах это всё однородно называют симметриями в природе, иногда даже возводя их в ранг самостоятельного закона природы. Симметрии участвуют в образовании объектов и процессов неживой природы. Первично они есть выражение законов синтеза информации на младших ступенях иерархии энтропии-информации – запомненные экстремумы энтропии-информации и её производства. Возникновение и эволюция жизни продолжают эту иерархию. Роль в ней симметрий в 6N-мерном фазовом пространстве была рассмотрена в главе VI. Её выражают квазикристаллы. Жизнь возможна, в частности, потому, что в неживой природе существует принцип структурной комплементарности, основанный на симметриях квазикристаллов в фазовом пространстве. Они действуют по отношению к конкретным классам биомолекул. Всё это есть разум природы, если, как сделано в этой работе, определять разум в виде иерархического синтеза энтропии-информации, ограниченного условиями.

Разум человека – такая же иерархия синтеза энтропии-информации, как и разум природы, но для состояний нейронов в его мозге и их взаимных статических и динамических связей. Человек может познавать природу в результате аналогий процессов синтеза информации в природе и в его мозге.

Математика в роли языка науки возникла в результате длительных случайных проб и ошибок. Их ограничивали условия подобия законов логики с законами функций состояния в природных процессах. Запоминание в процессе синтеза информации о математике как языке происходило путём использования её результатов для выживания людей.

В силу выполнения всех этих составляющих синтеза информации математика как язык в своих абстрактных терминах повторила то, что называют законами природы. В частности, в неё оказался включенным математический аналог принципа “структурной комплементарности” – симметрии в природе имеют аналогии в алфавите, словах, правилах – в математике как языке. Потому в математике возможны тысячи последовательных взаимодействий, которые гарантированно “безотходны”.

В биохимии принцип структурной комплементарности применяется к объектам со сложными симметриями. Цепочки безотходных реакций не длиннее первых десятков звеньев. В математике его аналог действует для простых понятий типа законов сохранения энергии, импульса, момента импульса. Симметрии проще, а длина “безотходных цепочек” примерно в сотни раз больше.

Вигнер в своей работе [169] выделяет начальные условия при решении математических задач. Они произвольны. Вигнер считает, что с учётом этого могут исчезать строгие закономерности. Его выводы сводятся к тому, что произвол начальных условий может стирать границы между законами или приводить к автономизации и даже противопоставлению законов природы. Как подробно было пояснено в моей работе [11], для такой постановки вопроса и таких выводов оснований нет.

Дифференциальные уравнения движения в механике связывают силы и ускорения. Поэтому для них начальные условия (положения и скорости) действительно произвольны. Но это не означает произвола решений (то есть движений, описываемых этими уравнениями). В дифференциальных уравнениях движения механики реакцию на начальные условия описывают постоянные интегрирования. В них содержатся закономерности реакции системы на любые, самые невероятные начальные условия. Более того, для описания этих закономерностей существует своё уравнение – уравнение в частных производных Гамильтона-Якоби. Оно записано относительно переменной механики – действия. Действие есть функция Ляпунова механической системы, которая первична для устойчивости (запоминания). Поэтому именно оно вводит информацию в классическую механику и выражает её свойства.

Существование в классической механике информации о системе определяет однозначность законов природы не вопреки, а именно в силу произвола начальных условий. Уравнения состояния в механике [11] вводят пороги и тем самым детерминизм природы. Начальные условия, хотя и произвольны, но не изменяют результатов движения, когда они остаются в пределах порогов, заданных уравнениями состояния. В неадиабатических задачах изменение начальных условий создаёт скачок траекторий, если начальные условия изменяются на бльшую величину, чем разрешена иерархическими уравнениями состояния. Всём этим введенным в [11], вопрос о, якобы, непредсказуемости природы из-за произвола начальных условий – исчерпан.

Случайность начальных условий не противоречит детерминизму законов природы и их выражению языком-математикой потому, что участвует в формировании энтропии-информации как физической переменной в виде переменной механики – действия.

Уравнения состояния в механике (и соответственно в её отображении языком-математикой) вводят пороги, задающие детерминизм природы.

Классическая механическая траектория есть геометрическое место точек экстремума энтропии-информации. Экстремумы энтропии-информации и её производства однородно определяют процессы живой и неживой природы. Поэтому на основе [11] описание жизни с участием фазового пространства и механики Гамильтона-Якоби возможно и продуктивно.

Нужно ответить на вопрос об автономизации или даже противопоставлении законов природы, который вызывает недоумение у Вигнера.

Законы природы в том виде, в котором они определяют процессы природы (независимо от их понимания и выражения на языках человека) есть результат иерархического синтеза информации. Синтез информации (как физические процессы и объекты, то есть законы природы) иерархичен – синтез информации на младших ступенях иерархии не зависит от процессов на последующих ступенях иерархии. В таком смысле возможны “автономные” или даже “противоречивые” физические законы, но только в кавычках. Единая взаимосвязанная картина природы существует объективно, независимо от разума человека. Процессы на старших ступенях иерархии могут приводить к иным результатам синтеза информации (как самоорганизации на основе критериев устойчивости рис. 1.2), используя элементы (законы) младших ступеней иерархии. Причина – закономерная связь между ступенями иерархии, выражаемая принципом максимума производства энтропии (принципом максимума способности к превращениям) [3], [11].

Существование и вид любого закона природы, синтезированного на старших ступенях иерархии, заданы конкретной реализацией принципа максимума способности к превращениям на всех последовательных младших ступенях иерархии. Это и есть разум природы.

Иначе обстоит дело с законами природы, как конструкциями, возникшими на основе синтеза информации в мозге человека – результатами работы разума человека. Аксиомы, исходные для его работы, случайны и произвольны. Иногда они соответствуют иерархии синтеза информации в природе, но это не только не обязательно, но наоборот, чаще всего не так. Поэтому человеческие физические законы, как правило, первично возникают в автономном виде. Они часто противоречивы. Историческое развитие науки есть сокращение на основе новых аксиом числа автономных и противоречивых законов. Нередко при этом происходит (кажущееся парадоксальным) превращение в абсолютную истину законов, заведомо заменённых новыми.

Иерархичность синтеза информации в мозге, в частности, означает, что описание жизни может быть полным только на языке, включающем в себя предыдущие плоскости синтеза информации. Они есть механика, физика, химия и их выражение на языке математики.

Страница 120 - Разум природы и разум человека - А.М. Хазен - Философия как наука