Страница 119 - Разум природы и разум человека - А.М. Хазен - Философия как наука

Случайных языков на Земле было намного больше, чем осталось за­помненных. Они были и есть разные. Исторически позд­но и не без за­бы­тых слу­чай­ных вариантов возник специфический язык – ма­те­матика. Её главное отличие от разговорных языков в том, что в ней законы вза­и­мо­действий объектов в природе отражены алфавитом, сло­ва­ми, прави­ла­ми, которые повторяют законы при­роды в форме аналогий при синтезе информации. Отличие ма­те­матики от разговорных языков в том, что в ней главное есть условия. Разговорные языки образуют преи­му­щест­венно наборы ак­си­ом почти без участия правил. Математику как язык отличает ведущая роль правил при малом числе аксиом.

Человеческие фонетические разговорные языки возникли на осно­ве случайностей, ограниченных условиями анатомии и метаболизма ор­га­низма. Они стали средством для передачи и преоб­ра­зо­ва­ния обиход­ной информации. Однако в строгом виде информация опре­де­лена как функ­ция комплексного переменного в координатах рис. 1.7. Разговорные язы­ки описываются почти полностью в пределах её мнимой составля­ю­щей. Поэтому разговорные языки вводят не­пол­ноту при описании природы.

Математика есть такой же язык, как и разговорные. Но алфа­вит и боль­шинство слов разговорного языка определены аксиомати­чес­ки на ос­­нове анатомических и физиологических условий. В математике дело в ином. Е. Вигнер в [169] в качестве предваряющей свою работу шутки при­водит определение – “математика является наукой изощрённого ма­ни­пулирования понятиями и правилами, придуманными как раз для этой цели”. Однако именно эта шутка является наиболее полным и стро­гим определением математики как области науки. Сформулирую его:

Математика есть язык, содержащий алфавит и образованные из не­го слова, который определяет правила действия с ними. 

Определение математики как языка формально тождественно оп­ре­делению разговорных языков. Но существенное отличие матема­ти­ки от разговорных язы­ков в малочисленности аксиоматических по­ня­тий её как языка и большой роли правил манипулирования ими. Математика эффективна потому, что сформулирована в перемен­ных плос­ко­стей син­теза информации так, что в ней велика роль семан­ти­чес­кой информации (в терминологии этой работы). Но в основах её ме­то­дологии отсутст­ву­ет явное упоминание и использование указанной вы­­ше особенности.

Для математики понятия, возникающие как ана­ло­гии с понятиями разговорных языков, есть – алфавит языка, сам язык как набор правил, дока­за­тельства с помощью языка, отражение истины в языке.

Содержание главы I и всей этой книги позволяет мне ввести ос­нов­ные определения сразу в виде чётких формулировок, сопроводив их минимальными пояснениями. Напомню, что опре­де­ле­ния энтро­пии-ин­фор­мации равноправно можно формулировать в терми­нах числа возмож­ных состояний системы и вероятностей её состояний. Приведенные формулировки универсальны по отношению к лю­­бым языкам.

Алфавит есть перечень элементов, возможные состояния которых (или вероятности состояний) полностью описывают дан­ный уровень иерархии энтропии-информации.

Слова есть обозначения объектов и их отно­ше­ний, обра­зо­ван­­ные с помощью алфавита ак­си­ома­ти­чес­ки или ло­ги­чески.

Язык есть перечень общих правил, которые ограничивают воз­можные состояния (или вероятности состояний) символов ал­фавита и образованных из них слов на данном уровне иерархии энт­ро­пии-информации.

Доказательство есть цепочка логических построений в пре­делах действительной составляющей информации как функции ком­п­­лекс­ного переменного.

Истина есть результат, который может быть получен пу­тём доказательств.

Абсолютная истина есть результат доказательства, по­лу­чен­ный в границах языка, для которого точно известно, что он оши­боч­ен и точно известны границы, за которыми он ошибочен.

В отличие от разговорных фоне­ти­ческих языков, правила в мате­ма­ти­ке как языке устанавливают строгие соот­но­шения в пределах самого языка и его составлющих. Язык математики принадлежит иерар­хи­чес­кой плоскости (рис.10.2) син­теза инфор­ма­ции. Правила язы­ка-мате­ма­ти­ки опи­сы­вают за­дачи природы в процессах пе­­реме­щения на плоскости синтеза ин­фор­мации по вза­и­мосвязанным слоям, параллель­ным её дей­ствительной оси I. Процессы в этих плоскостях могут быть адиабатическими и неадиаба­ти­ческими. В последнем случае есть приток к мозгу информации извне. Слои имеют “толщину”, выражающую по­роги, необходимые для детерминизма при­­роды и самой математики как отра­жа­ющего её языка. Пороги определяют урав­нения состояния, которые появля­ют­ся все­г­да, когда речь идёт о функ­циях состоя­ния. Логика, которая описывает преобра­зо­вания семантической информации, ра­бо­­тает с функциями состояния.

Переход между слоями, показан­ны­ми на рис. 10.2, в каждой из плос­костей син­теза информации о математике, как языке, происходит путём обмена ин­формацией с окружением. В него может входить изме­нение акси­о­матики, возникшее за счёт такого обмена. Оно может происходить в фор­ме перехода на новые плоскости синтеза информации. Про­цес­сы внут­ри плос­костей синтеза информации рис. 10.2 подчиняются кри­тери­ям устой­чи­­вос­ти (запоминания) рис.1.2 в первой главе. На осно­ве прин­ци­па максимума производства энтропии-инфор­мации (рис. 1.4) об­­ра­зу-ют­ся аксиомы, которые создают новые иерархические плос­ко­сти син­те­за информации, расширяющие язык-математику.

Надо отметить парадокс современной математики – основное для математики понятие доказательства не имеет в ней строгого опре­деле­ния. Выше оно введено в п. 4, включая формализацию понятия истины и абсолютной истины в п.п. 5, 6. Самое важное в этих определениях – они заведомо, неустранимо неполные. Над ними главенствует признание ак­си­оматического факта – доказательства не могут ис­чер­пать всех ис­тин­­ных утверждений. Обязательно существуют такие истин­ные утверж­де­ния, которые не могут быть получены путём доказа­тель­ст­ва. Строго это вводит теорема Гёделя, которая рассмотрена в параграфе 6 этой главы.

Однозначный формализованный ответ на вечный воп­рос – Что есть истина? – существует только в том случае, если досто­вер­но ус­та­­нов­лены ошибки аксиоматики и их границы. В таком смысле фор­му­лировки п.п. 5, 6 бесспорно есть истина именно потому, что они спра­вед­ливы в условиях за­ве­домых ошибок.

Повторю. В строгом смыс­ле, дока­за­тель­ство возможно и сущест­ву­ет тогда и только тогда, когда существует абсолют­ная истина. Но абсо­лют­ная ис­ти­на суще­ст­вует только в пределах языка (модели), для кото­рых точно из­вест­на их оши­боч­ность и точно установлены её границы. Перефразируя известные слова Ф. Тют­че­ва – “Мысль изречённая есть ложь” – можно сказать, что истина есть ложь, ко­то­рая больше по­хо­жа на правду, чем сама прав­да.

Поэтому тех, кто хочет сказать мне об этой ра­боте – Докажи! – должен предупредить:  если бы всё в этой работе мог­ло быть доказано как теоремы, то она ничего бы не стоила, так как толь­ко повторяла бы ошибки известного. Логика не исчерпывает всех истинных утверждений!

В пределах самой математики нет однозначных правил, устанав­ли­ва­ющих переход в ней как в языке по ступеням иерархии энтропии-ин­фор­­мации (образованный принципом мак­си­мума произ­вод­ства энтро­пии-информации) – синтез аксиом в математике столь же произволен, как и обра­зо­ва­ние аксиом в любой форме разговорного языка.

Существует обширная самостоятельная область математики – тео­рия алгоритмов, которая имеет целью формализовать поиск истины путём логических доказательств. Если принять как окончатальные акси­омы п.п. 5, 6 перечисления на предыдущей странице, то де­таль­нос­ть и завершённость теории алго­рит­мов огромна. Но, к сожалению, теория ал­го­ритмов явно или неявно пытается свести к доказательствам и сам процесс образования аксиом. В таких попытках теория алгоритмов неиз­беж­­но попадает в тупик пре­дела беско­нечно длинных доказательств или неразрешимости средневекового спора – “имели ли пупок Адам и Ева?”. Суще­ст­вуют аксиомы и они доказаны быть не могут – это есть главная особенность понятия об истине.