Страница 72 - Разум природы и разум человека - А.М. Хазен

Система аксиом термодинамики приведена в любом учебнике. Её образуют три начала. Первое из них есть закон сохранения энергии с учётом тепловых процессов. Про него много написано ещё в первой четверти ХХ века.

Второе начало термодинамики есть решающая аксиома термодинамики. Оно вводит в науку одно из исторически не имеющих прототипа фундаментальных понятий – энтропию S и её свойства. Хотя речь идёт о “первом принципе”, второе начало термодинамики имеет множество формулировок. Такое возможно тогда, когда в аксиоматике есть незавершённость. Её я устранил в [3], [5], [11] и в этой книге.

Для того, чтобы проиллюстрировать необходимость конкретизации аксиоматики термодинамики приведу и проанализирую более десятка наиболее известных формулировок второго начала термодинамики. При этом должен подчеркнуть, что этот список его формулировок далеко не полный, а также то, что не обсуждаются чисто математические определения энтропии. Например в книге из серии “Энциклопедия математики и её приложений”, том 12 [112], которая полностью посвящена энтропии, ни разу не упоминаются Карно, Клаузиус, Томсон, Больцман, Планк, Каратеодори, а Гиббс встречается один раз мельком в связи со второстепенным вопросом. Математика есть только язык науки. Словотворчество без оглядки на реальность окружения не имеет эффективности, достойной хорошего языка.

Надо подчеркнуть, что нижеследующий анализ не имеет цели указать на ошибочность каких-то из приведенных или не приведенных ниже формулировок второго начала термодинамики – ошибок в них нет. Речь идёт о другом – что кратко и исчерпывающе характеризует понятие об энтропии? – (в том числе и в составе известных формулировок). Следуя основополагающей для аксиоматизации работе Д. Гильберта [113], система аксиом, определяющая физическую или абстрактную переменную, должна быть полной, независимой, непротиворечивой, то есть замкнутой. Ни одна из существующих форм второго начала термодинамики этим требованиям не удовлетворяет.

Итак, некоторые из формулировок второго начала термодинамики.

Превращение, единственный конечный результат которого состоит в переводе в работу тепла, извлечённого из источника, который на всём протяжении имеет одинаковую температуру, невозможно (М. Планк).

Невозможно при помощи неодушевлённого материального двигателя непрерывно получать работу, только охлаждая какую-либо массу вещества ниже температуры самой холодной части окружающей среды (В. Томсон (Кельвин)).

Невозможно построить “вечный двигатель второго рода”, то есть периодически работающую машину, которая производила бы только подъём груза за счёт охлаждения теплового резервуара (В. Оствальд).

Тепло не может самопроизвольно переходить от более холодного к более тёплому телу (Р. Клаузиус).

Превращение механической работы в тепло может быть полным, однако обратное превращение тепла в работу обязательно должно быть неполным, поскольку всякий раз, когда количество тепла преобразуется в работу, другое количество тепла должно подвергнуться соответствующему компенсирующему изменению (М. Планк).

В силу пояснений, которые даны в предыдущем параграфе, эти формулировки тавтологично и строго утверждают, что энтропия есть функция состояния системы. Они повторяются в учебниках наиболее часто, хотя именно они наименее специфичны в описании отличия энтропии от переменных, описывающих поля в физике. Поэтому как аксиоматическое утверждение вместо них должна быть краткая и исчерпывающая формулировка – энтропия есть функция состояния системы. Тогда утверждения 1 – 5 теряют статус аксиом и становятся строго логически доказуемыми следствиями аксиомы о том, что энтропия есть функция состояния системы. Именно так формулирует второе начало термодинамики А. Зоммерфельд в своём классическом учебнике [15], разбивая свою формулировку на две части.

Каждая термодинамическая система обладает функцией состояния, называемой энтропией. Энтропия вычисляется следующим образом. Система переводится из произвольно выбранного начального состояния в соответствующее конечное состояние через последовательность состояний равновесия; вычисляются все подводимые при этом к системе порции тепла dQ, делятся каждая на соответствующую ей абсолютную температуру  и все полученные таким образом значения суммируются. (Первая часть второго начала термодинамики.). При реальных (не идеальных) процессах энтропия замкнутой системы возрастает. (Вторая часть второго начала термодинамики). (А. Зоммерфельд).

В такой формулировке первое предложение этой аксиомы утверждает существование тепловой энергии, то есть устанавливает свойство энтропии общее со свойствами переменных, описывающих все другие поля, для которых справедливо понятие энергии.

Дальнейшее в первой части аксиомы Зоммерфельда определяет конкретный вид энтропии как функции состояния. Он задан путём описания процедуры, эквивалентной введению температуры как интегрирующего множителя в виде формулы типа (1.2). Энергия в неадиабатических процессах квантуется. Неявной констатацией этого факта в формулировке Зоммерфельда является специальная приближённая форма процедуры, описывающей переход системы между её состояниями.

Энтропия есть функция состояния системы, а тепло – нет. Формула (1.2) отражает обычные в математике преобразования, когда с помощью интегрирующего множителя произвольную функцию приводят к виду функции состояния. В этой процедуре (как она формулируется Зоммерфельдом в аксиоме 6 и используется при описании цикла Карно в любом учебнике) есть существенная особенность, которая в другой форме отображает сделанное выше замечание о квантовании.

Отец Сади Карно, образованный человек и активный деятель Французской революции, Лазарь Карно сделал работу о к.п.д. обычных механических машин. В ней он показал, что максимум их к.п.д. достигается тогда, когда в машине отсутствуют удары механических деталей друг о друга, то есть тогда, когда механические процессы обратимы. Идея безударности, обратимости была понята и использована как главная в работе Сади Карно. Для того, чтобы обеспечить безударность, цикл Карно должен быть представлен как сумма бесконечно малых обратимых циклов. Этот факт отображён в формулировке 6 упоминанием о последовательности состояний равновесия. Такое разбиение (как и у Зоммерфельда) подразумевает существование нулевого предела для “толщины элементарных циклов”, то есть нулевого предела приращений энергии. Как отмечено выше, в строгом виде такой предел невозможен. Не случайно в формулировке 6 Зоммерфельда упоминание о предельном переходе отсутствует. Поэтому ошибки в формулировке Зоммерфельда нет, но в ней присутствует умолчание.

Свойства энтропии по отношению к её приращениям выводит на первый план формулировку второго начала термодинамики, принадлежащую К. Каратеодори.

В окрестности любого адиабатически достижимого состояния имеются другие состояния, которые нельзя достичь адиабатическим и обратимым путём, то есть либо недостижимые вообще, либо такие, в которые система может попасть лишь в результате необратимого процесса (К. Каратеодори).

Эта формулировка вводит в термодинамику принципиально новое – изменения энтропии в неадиабатических процессах дискретны. Вот почему Зоммерфельд (цитирующий формулировку Каратеодори 7 в той же книге [15], в которой он приводит свою формулировку 6), умалчивает в своей формулировке о предельном переходе. Как всегда, обман природы не проходит. Поэтому среди формулировок второго начала термодинамики “скачки-удары” присутствуют в виде главнейшей идеи второго начала термодинамики – необратимости. Это отражает вторая часть формулировки Зоммерфельда 6, а также, например, следующая формулировка второго начала термодинамики.

В адиабатических процессах энтропия или увеличивается или остаётся неизменной: , где знак – больше – относится к необратимому, а знак равенства к обратимому процессу (П. Эпштейн).

Существуют формулировки второго начала термодинамики, которые вводят в аксиоматику термодинамики утверждение о детерминизме состояния максимума энтропии и его связи с равновесием.

Состояние с максимальной энтропией – наиболее устойчивое состояние для изолированной системы (Э. Ферми).

Природа стремится к переходу от менее вероятных состояний к более вероятным (Л. Больцман).

Для равновесия любой изолированной системы необходимо и достаточно, чтобы во всех возможных изменениях состояния системы, при которых не изменяется её энергия, изменение её энтропии было бы нулевым или отрицательным (Дж. Гиббс).

Строго говоря, такие утверждения есть следствие процедуры нормировки энтропии (глава I), то есть установления связи количества энергии с количеством элементов системы и с величиной её энтропии.

Утверждение о том, что энтропия характеризует максимум вероятности состояния системы присутствует не только в формулировке Ферми 9, но есть главное в формулировках свойств энтропии у Больцмана 10 и Гиббса 11. Больцман впервые вводит определение энтропии типа (1.1). Гиббс нашёл для энтропии форму (1.1а).

Теперь изложу первичную формулировку второго начала термодинамики у Карно, приведенную к виду:

Максимальный к.п.д., теоретически возможный для тепловых машин, определяется лишь предельными температурами, между которыми работает машина, но не зависит от природы её рабочего тела (С. Карно).

Как было показано выше в этой главе и в [3], [5], [11] эта формулировка означает, что рабочим телом при преобразовании тепла в работу является энтропия как мера информации. В частности, эта формулировка утверждает, что информация есть физическая переменная.

Наиболее фундаментальными в масштабе науки в целом среди формулировок второго начала термодинамики являются те утверждения, в которых свойства энтропии связывают со свойствами времени и Вселенной в целом.

Энтропия – стрелка, отмеряющая время (А. Эддингтон).

Энергия Вселенной постоянна; энтропия же стремится к максимуму (Р. Клаузиус).

В природе каждый физический или химический процесс происходит таким образом, чтобы увеличить сумму энтропий всех тел, участвующих в этом процессе. В пределе, то есть для обратимых процессов, эта сумма энтропий остаётся постоянной (М. Планк).

Эти формулировки второго начала термодинамики о связи энтропии с направлением времени и о роли энтропии в определении направления самопроизвольных процессов в наглядном виде трудно сопоставимы с экспериментами. Именно здесь – в самом важном для определения понятия об энтропии как физической переменной – возник главный пробел существующей аксиоматики термодинамики.

Время необратимо. Определение необратимости времени явно, бесспорно (как это подчеркнул Эддингтон в 13) выражают свойства энтропии как физической переменной. Однако в общепринятом математическом аппарате оси пространственных координат и ось времени тождественны по своим свойствам относительно изменения направления отсчёта вдоль них. Этого быть не может “потому, что не может быть никогда”, так как это жаргонное выражение тавтологично понятию – аксиома. Стрелка потому стрелка, что имеет направление. Равноправные математические оси пространственных координат и времени не есть стрелки Эддингтона, так как для них прямое и обратное направления равноправны. Обозначения в виде стрелок на осях координат математических графиков этого не устраняют. Их можно направлять произвольно.

В той же мере, в какой невозможны “вечные двигатели”, ось координат, математически описывающая время, должна быть отлична от других математических осей. В математике известна только одна система неравноправных осей координат – функции комплексного переменного. Для них неравноправие осей координат отражает мнимая единица.

Время в таком фундаментальном виде в термодинамике не вводится. Но аксиоматически свойство необратимости времени отражает энтропия. Именно поэтому больцмановская процедура нормировки энтропии, устанавливающая количественно её свойства как характеристики максимума вероятности состояния системы (как показано в [5], [12] и в этой книге) приводит к необходимости использовать функции комплексного переменного.

Отдельно нужно остановиться на формулировке Клаузиуса 14. Именно она первично вводит понятие о “тепловой смерти Вселенной”. Концепция “тепловой смерти” сейчас не упоминается серьёзными научными работниками. Однако альтернативы ей в современной науке не было. Пусть неявно, но даже в “возникающем” Пригожина [26] присутствует цель в виде равновесия. На вопрос как и почему в пророде может происходить развитие, преодолевающее “тупик равновесия”, впервые ответ дан в работах [3], [5], [11]. Его выражает введенный в них принцип максимума производства энтропии. Что касается постулата Клаузиуса о постоянстве энергии Вселенной, то это отдельный вопрос, ответ на который дан в [12]. Кстати, ещё Э. Нетер [114] строго показала, что сохранение энергии есть следствие однородности времени. Для истории Вселенной такой постулат заслуживает самого серьезного обсуждения, а потому утверждение, что энергия Вселенной сохраняется, в период жизни Клаузиуса, несомненно, было правильным и передовым. Но сегодня оно может восприниматься только как одна из моделей в истории науки.

Можно спорить о гипотезе Большого Взрыва. Однако главное, что она утверждает в том, что есть неоднородность времени, которая особенно велика при возникновении Вселенной. Посмотрите литературу о Большом Взрыве. Несохранение энергии, которое вводит эта модель, стыдливо вуалируется. Возникновение Вселенной это есть возникновение энергии и энтропии-информации. Жизнь, человек, его разум существуют потому, что на поздних стадиях эволюции Вселенной неоднородность времени хоть и мала, но присутствует. Это означает, что энергия Вселенной не сохраняется, а растёт. Если энергия системы растёт, то в формулировках второго начала термодинамики типа 8 знак равенства невозможен – энтропия Вселенной должна расти. В частности, жизнь, человек, его разум есть выражение составляющих этого роста.

Человек удивительно самонадеян, утверждая, что может понять то, чему свидетелем он никогда не был и быть не может – возникновение Вселенной. История человечества, история науки показывают, что самонадеянность разума человека может быть оправдана только в том случае, когда он делает из своих открытий те выводы, которые из них реально следуют. Теорема Э. Нетер [114] утвержает несохранение энергии при возникновении Вселенной. Это необходимо признать в явной форме. Сохранение энергии в строгом виде означает только то, что для возникающей вновь энергии (“нарушений” закона сохранения энергии) должен быть указан источник этой энергии. Сегодня он известен [12] – время как материальная физическая переменная и его необратимость.

Если понимать формулировки второго начала термодинамики как отображение разных свойств энтропии, то в таком смысле (на основе изложенного ранее в этой книге) можно предложить ещё одну частную формулировку второго начала термодинамики.

16. Энтропия есть мера системы в фазовом пространстве, которая (по аналогии с увеличением размеров при расширении объёмов в трёхмерном пространстве), стремится к максимуму, совместимому с условиями, в которых находится система. (А. Хазен)

Из приведенного (ещё раз повторю – далеко не полного) перечисления известных формулировок второго начала термодинамики видно, что каждая из них описывает разные свойства одного и того же понятия – энтропии. Общепринято считать любую из них аксиоматическим единственным определением свойств энтропии и спорить, какое из таких определений лучше и полнее. Надеюсь, что из проведенного анализа наглядно и исчерпывающе понятно, что это не так.

Множественность формулировок второго начала термодинамики возникла и существует потому, что ни одна из них не обеспечивает полноту и замкнутость аксиоматического введения понятия о физической переменной – энтропии. Нельзя считать аксиоматическим описанием энтропии суммирование представителей групп аксиом (разбитых на группы примерно так, как выше). Например, формулировка Зоммерфельда 6 и формулировка Каратеодори 7 относятся к существенно разным моделям природы – классической и квантовой. Совместное их использование неизбежно создаёт путаницу. Полностью исключить из аксиоматики одну из них – неправильно. Это абсолютизирует только одну из моделей, когда они в природе существуют обе – модель Каратеодори при этом более общая. Но для тепловых задач общность формулировки Каратеодори обычно избыточна.

В дополнение к определениям энтропии (1.1) на основе числа возможных состояний системы (вероятностей состояний (1.1а)) или с помощью интегрирующего множителя (1.2) существует определение энтропии, использующее функцию распределения f. Его ввёл А. Эйнштейн в классической работе [115]:

Аналогичное определение на основе вероятностей состояний использовал в своих работах К. Шеннон. Эти выражения могут быть получены как следствия (1.1) или (1.1а), а потому для аксиоматики не являются решающими.

Общепринятую классическую аксиоматику термодинамики завершает её третье начало. Его ввели работы В. Нернста 1906 г. Оно устанавливает нуль отсчёта энтропии как переменной термодинамики.

Аксиоматические свойства энтропии вводит второе начало термодинамики. Нуль её отсчёта есть аксиоматическое свойство. Поэтому неоправданно выносить определение нуля отсчёта энтропии вне рамок второго начала термодинамики

Надо отметить, что исторически термодинамика возникла как наука об общих связях тепловых процессов с механикой. Однако в современной физике уже давно её роль намного шире. Привычное название – второе начало термодинамики – оказывается неоправданно узким.

Страница 72 - Разум природы и разум человека - А.М. Хазен - Философия как наука