3.1. DR‑модель. Точное вычисление показателей - Управление риском. Риск. Устойчивое развитие. Синергетика - Неизвестен - Синергетика

Аналитическое нахождение точных значений показателей для критических систем является весьма сложной задачей, которую обыкновенно удается решить лишь частично. Т.е. значения нескольких основных показателей получаются из эксперимента (компьютерного или натурного) либо находятся при помощи приближенных методов, а остальные выражаются через них при помощи скейлинговых соотношений.

Одним из немногочисленных исключений из этого правила служит предложенная в 1989 г. Дхаром и Рамасвами DR-модель, все показатели которой могут быть вычислены точно

Модель формулируется на двумерной гексагональной решетке (см. рис. 5a) с периодическими граничными условиями на боковых сторонах и открытыми на нижней (т.е. поле "свернуто" в вертикальный цилиндр, причем предполагается, что ширина поля не меньше его высоты). Пороговое значение, при превышении которого ячейка теряет устойчивость, равно 1. При осыпании неустойчивой ячейки по одной единице из нее передается двум нижележащим ячейкам в соответствии с рис. 5а. Привод модели осуществляется путем увеличения на единицу значения в случайно выбранной ячейке верхнего слоя.

Правила DR-модели являются существенно анизотропными – лавина, распространясь строго сверху вниз, никогда не затрагивает дважды один и тот же участок. Это обстоятельство, с одной стороны, существенно упрощает аналитическое исследование модели, а с другой, позволяет давать ей простые и наглядные интерпретации, самой распространенной из которых является экономическая 

Каждая ячейка рассматривается как экономический агент – производитель определенного вида продукции, для создания двух единиц которой он использует по единице продукции каждого из двух нижележащих агентов. Число в ячейке соответствует количеству единиц продукции, запрошенной смежниками сверху. Как только накапливается более одного запроса, агент, в свою очередь, посылает по запросу смежникам снизу, чтобы произвести свою продукцию и удовлетворить запросы вышележащих[6].

Слои модели при этом можно трактовать как различные уровни экономики: (внизу – сырьевые и добывающие отрасли, в середине – перерабатывающие, наверху – производители готовой продукции), а добавление единичек в верхний слой – как запрос на единицу товара от конечного потребителя.

Можно показать, что число экономических агентов и слоев экономики, затронутых лавиной запросов, которую вызывает единичный запрос от конечного потребителя, характеризуются СЗРВ с показателями, соответственно, 1/3 и 1/2 . В самом деле, как нетрудно понять, область лавины не может иметь полостей, поэтому полностью определяется на каждом слое своими двумя крайними точками. Если ячейка на краю лавины имела до ее прохождения нулевое значение, то на следующем слое край сдвинется на полклетки внутрь области лавины, а если единичное – наружу (см. рис. 5б). Поэтому от слоя к слою ширина области лавины будет случайным образом уменьшаться или увеличиваться на одну клетку либо оставаться неизменной с вероятностями, зависящими лишь от концентрации нулей и единиц в системе. Легко видеть, что продвижение лавины по слоям представляет собой не что иное, как описанную в части §1 задачу о разорении азартного игрока, характеризуемую значением  = 1/2 – см. формулу(5). Поскольку в критическом состоянии события не имеют собственных характерных размеров, коэффициент b в этой формуле будет нулевым и нарушаться степенная зависимость будет лишь из-за конечности размеров системы.

Таким образом, лавина завершается на l‑м слое с вероятностью P(l) ~ l ‑(l+) и, соответственно, минует его с вероятностью, пропорциональной l ‑. При этом ее ширина в этом слое будет w(l) ~ l , поскольку средний поток заказов через слой не должен зависеть от его номера. Следовательно, число агентов, затронутых лавиной, завершившейся на l‑м слое (ее площадь) будет

.         (19)

Скейлинговое соотношение (19) легко позволяет выразить показатель распределения Ps(s) лавин по площадям s через . В силу сохранения вероятностей P(l)dl ~ Ps(s)ds, что с учетом (19) дает /s = +1, откуда s = 1/3.

Поскольку отклик модели экономики на элементарное воздействие не имеет характерного размера, то в ней возможны гигантские события без отчетливых причин, которые можно интерпретировать как кризисы или бумы.

Хотя ничто не мешает экономистам a posteriori указать на ту конкретную песчинку, которая сорвала лавину (что обычно и делается при анализе кризисных явлений) причина лавины вовсе не в песчинке, а целостном критическом поведении экономики, склонной к кризисам и бумам, т.е. к катастрофическому поведению.