5.2. Задача "паразит–хозяин" - Управление риском. Риск. Устойчивое развитие. Синергетика - Неизвестен - Синергетика

Эта задача тоже моделируется системой уравнений (29), в которой N1(t) – численность популяции хозяина, а N2(t) – паразита. Рассмотрим наиболее интересный с биологической точки зрения случай, когда популяция паразита достаточно плодовита, т.е.

. (33)

При этом условии изучим вопрос о стационарных режимах системы (29). Оказывается, что характер этих режимов существенно зависит от того, обладает ли кормовая база (популяция хозяина) собственными (в отсутствии паразита) колебаниями или нет.

Предположим сначала, что в отсутствии паразита (N2(t) º 0) положительное состояние равновесия для численности популяции хозяина является устойчивым. Математически это означает, что 2r1h1 < . Тогда при всех достаточно больших r2 единственным устойчивым стационарным режимом системы (29), представляющим интерес с биологической точки зрения, является медленно осциллирующее периодическое решение N10(t), N20(t). Приведем некоторые характеристики этого режима. Максимум N10(t) не зависит от r2, а

Для периода T(r2) верна асимптотическая формула:

.

Предположим затем, что

,           (34)

т.е. популяция хозяина совершает (в отсутствии паразита) устойчивые периодические с периодом T0 колебания по некоторому закону (1+a)N0(t). В этом случае стационарные режимы системы (29) существенно сложнее.

На довольно большом промежутке времени численность паразита незначительна. При этом жертва совершает колебания в режиме (1+a)N0(t), а численность паразита растет и достигает в некоторый момент t = 1 своего среднего значения. Дальнейшее увеличение t приводит к резкому падению численности хозяина и к быстрому возрастанию (до величины примерно равной K2r2(1+a)2(ar1)‑1N0(1)) численности паразита. Последняя мало меняется на протяжении отрезка времени длины h2, а затем резко падает. Обе популяции постепенно восстанавливают численность до своих средних значений, причем популяция хозяина делает это гораздо раньше, выходя опять на режим (1+a)N0(t). Затем в некоторый момент 2 численность паразита достигает своего среднего значения (K2), и ситуация примерно повторяется.

Важным здесь является то, что момент 2 определяется фактически случайным образом. Более точно, 20 = 2 (mod T0) зависит в основном лишь от 10 = 1 (mod T0) и r2, т.е.

.      (35)

Функция  осуществляет отображение отрезка [0;T0] в себя, причем каждый отрезок длины r2‑1 преобразуется на все множество [0;T0] (см. рис. 6). Это говорит о том, что для системы (29) при условиях (33) и (34) характерны достаточно сложные нерегулярные колебания.

Обсудим зависимость стационарных режимов от коэффициента давления a. Если популяции хозяина всегда выгодно уменьшить этот коэффициент (что биологически вполне очевидно), то для паразита благоприятнее всего случай, когда a » 1. Поэтому, имея в виду (30), можно сформулировать довольно любопытный вывод: хорошо приспособившаяся популяция паразита уменьшает среднюю численность популяции хозяина примерно в два раза.

Рис. 6. Примерный вид функции (35)

Уменьшение плодовитости хозяина r1 и времени запаздывания h1 для паразита приводит к стабилизации колебаний. Уменьшение h1 стабилизирует "собственный" стационарный режим хозяина, а тем самым и стационарный режим всей системы.

Следующие замечания относятся только к случаю (34). Размах колебаний численности паразита N2 существенно зависит от значения численности популяции хозяина N1(t0), где t0 – момент времени, когда начинается интенсивный рост численности паразита. Чем больше значение N1(t0), тем до больше величины возрастает N2(t), но тем резче и до меньших значений происходит затем падение численностей обеих популяций. Соответственно время, в течение которого численности популяций ниже средней, тоже возрастает. При этом популяция хозяина получает возможность более длительное время существовать, практически не испытывая влияния паразита.