§3. Локализация режимов с обострением - Управление риском. Риск. Устойчивое развитие. Синергетика - Неизвестен - Синергетика

Как уже отмечалось, один из принципиальных вопросов теории режимов с обострением состоит в изучении структуры множеств L и L, которые характеризуют строгую и эффективную локализацию режимов с обострением. В этом параграфе приведены некоторые примеры уравнений типа (1) и соответствующих задач, в которых изучается возможность локализации процессов, здесь также обсуждается математическая техника анализа этого явления.

Рассмотрим сначала достаточно простую краевую задачу для уравнения (1) без источника в одномерном случае:

,            (23)

,            (24)

.   (25)

Мы уже упоминали точное автомодельное решение (5) этой задачи, развивающееся в режиме с обострением и локализованное как в строгом смысле (у него неподвижный фронт), так и в эффективном смысле. Ему отвечает граничный режим u1(t) = (T‑t)‑1/ ® ¥ при t ® T. Наличие или отсутствие локализации при других граничных режимах устанавливается в следующем утверждении.

Утверждение 7 Пусть в задаче (23)–(24)–(25) граничный режим удовлетворяет неравенству u1(t) £ (T‑t)n ® ∞ при t ® T, n < 0. Тогда, если n Î (‑1/;0) и u0(x) – финитная функция, то решение локализовано в строгом и в эффективном смысле и

,

где C(n,) > 0 – некоторая постоянная.

Если n = ‑1/ < 0 и u1(t) £ (T‑t)‑1/, t Î (0;T),

, то

,

т.е. решение локализовано строго.

Если n < ‑1/ и u1(t) ³ (T‑t)n при t Î (0;T) то локализация решения отсутствует и

.

Доказательство утверждения 7 основано на сравнении решения u(t,x) задачи (23)–(24)–(25) с решением в разделяющихся переменных (5) и с автомодельными решениями уравнения (23) вида

,

развивающимися в режиме с обострением с граничным законом u1(t) = (T‑t)n ® ∞ при t ® T ‑. Особо интересен первый случай в утверждении 7 (LS‑режим с обострением). Видно, что граничный режим при таких значениях n < 0 достаточно интенсивный, а решение обращается в бесконечность лишь в одной точке – на границе x = 0! Рассматривая (23) как уравнение теплопроводности, можно сказать, что происходит инерция тепла. Если говорить о соответствии параметров среды (k(u) = u) и граничного воздействия u1(t), то мы имеем дело с таким их взаимодействием, когда сколь угодно большие поступления ресурсов извне в среду аккумулируются в очень малом слое.

Рассмотрим снова задачу Коши (7)–(8) при N = 1

,         (26)

В зависимости от параметров  и  автомодельные решения uA(t,x) этой задачи (см. (9)) могли быть локализованными или не быть таковыми. В частности, при  > +1 (LS‑режим с обострением) uA(t,x) > 0 при x Î (‑∞;+∞), т.е. оно строго нелокализовано. Будет ли решение локализованным, если при этих же параметрах мы рассмотрим финитную (неавтомодельную) начальную функцию в (26)? Нижеследующие утверждения показывают, что произвольные решения задачи (26) в основном повторяют свойства автомодельных решений (9).

Для дальнейших рассуждений предположим, что начальная функция u0(x) в (26) финитная со связным носителем (носитель решения – это то множество значений x, где решение положительно):

.

Тогда известно, что носитель (t) решения u(t,x) задачи (26) при каждом t > 0 из интервала существования (0;T) неограниченного решения также является ограниченным

.

Размер носителя решения обозначается в дальнейшем как mes (t), и в нашем случае mes (t) = h+(t)‑h‑(t).

Утверждение 8. Пусть  = +1, тогда неограниченное решение задачи (26) локализовано и для границ носителя решения h±(t) к моменту обострения решения t = T справедливы следующие оценки:

,

где LS = 2(+1)1/2/ – фундаментальная длина (см. (6)).

Доказательство утверждения 8 основано на специальном сравнении произвольного неограниченного решения задачи (26) с точным решением (6) той же задачи, которое локализовано на длине LS. Время обострения решения (6) выбирается равным времени обострения произвольного решения (это возможно, т.к. параметр T > 0 в (6) – произвольный). Специальное сравнение состоит в анализе эволюции числа точек пространственных пересечений различных решений задачи (26), имеющих один и тот же момент обострения (о некоторых проблемах такого сравнения было сказано выше). Эволюция границ носителя хорошо видна на примере численного решения задачи (26), приведенного на рис. 5.

Итак, произвольное финитное решение обостряется внутри некоторой области, и мы можем оценить границу той области, куда никакие возмущения ("отголоски" катастрофы) не дойдут. На самом деле оценка проникновения возмущения в утверждении 8 может быть улучшена в два раза путем сравнения с принципиально новым семейством точных решений задачи (26)

Оказывается, что по характеру начального профиля u0(x) в (26) можно предсказать и более экзотическое поведение неограниченных решений. Например, внутри области развивается режим с обострением, идет катастрофический рост решения, а граница носителя финитного решения вообще неподвижна. Таким свойством обладает, например, точное автомодельное решение (6). Для формулировки нижеследующих утверждений перепишем это решение в виде

.           (27)

Специальное сравнение произвольного решения u(t,x) задачи (26) с решением (27) той же задачи дает следующий результат.

Рис. 6. Численное решение задачи (26) при >

Обострение происходит в одной точке x=0.

Утверждение 9. Пусть u(t,x) – неограниченное решение задачи (26) при  = +1 со временем обострения T < ∞ и mes (0) > LS = 2(+1)1/2/. Пусть начальная функция u0(x) удовлетворяет следующему условию: существует такое 0 > 0, что uS(0,x;x0,0) £ u0(x) при x Î (‑∞;+∞), где x0 = h±(0)LS/2, а функции u0(x) и uS(0,x;x0,0) пересекаются только в одной точке при всех 0 <  < 0. Тогда h±(t) º h±(0) при всех t Î (0;T).

Из этого утверждения вытекает, что неподвижность фронта определяется лишь локальным поведением начального возмущения u0(x) вблизи его границ на расстоянии от них не более LS. Можно сказать, что мы имеем дело с такими начальными данными, при которых возможная катастрофа локализуется полностью.

Похожие результаты доказаны и для случая  > +1 в уравнении (26). Это тот случай, когда автомодельные решения (9) обостряются в одной точке и при этом строго не локализованы. Произвольное же неограниченное решение с финитной начальной функцией будет строго локализованным, что хорошо видно на рис. 6.

Для случая 1 <  < +1 решения будут строго нелокализованными, как и в случае автомодельных решений (9). Здесь можно дать даже оценку "скорости", с которой движется граница возмущения.

Утверждение 10. Пусть 1 <  < +1, u0(x) – финитное начальное возмущение. Тогда неограниченное решение задачи (26) с моментом обострения T < ∞ не локализовано, и справедливы оценки

,

где m = [‑(+1)] / [2(‑1)] < 0, C > 0 – постоянная.

Видно, что h±(t) ® ∞ при t ® T – и распространение возмущений невозможно остановить никаким изменением начальных профилей u0(x).