Рассмотрим теперь, как идею русел можно применить для
прогнозирования временных рядов. В этом случае мы будем иметь дело с
динамической системой (4) и ее компонентой (3). Будем предполагать, что полная
система имеет большую размерность, но где-то в реконструированном пространстве
Rm (в z-представлении) существуют области Gk, где можно использовать подход
маломодовых русел. Размерность русла можно приближенно оценить при помощи
методики, обсуждавшейся в этой главе. Примем за необходимую точность в 1%, т.е.
= 0,01, и положим ||D(z0)|| » ||D2(z0)|| » 1 и N » 103. Тогда для метода 1‑го порядка 1 » N‑2/d или
Следовательно, необходимо искать область, где динамику можно
предсказать по 3¸6 наиболее
важным компонентам вектора z, или, иными словами, определить проектор Pr
(заметим, что вектор z может или даже должен иметь большую размерность).
Как найти такую область – отдельная практически важная
проблема, но сейчас мы не будем ее обсуждать. Предположим, что такие область G
и проектор Pr уже найдены.
Пусть проекцией является r‑мерная гиперплоскость P. В
случае скалярного временного ряда компонента, которую необходимо предсказать,
известна – это первая компонента z. Поэтому будем считать, что вектор
e = (1,0,…0) не ортогонален к P.
При практическом использовании должно выполняться и более
сильное условие: угол между e и P должен быть меньше некоторого
предельного значения, скажем, < max = 60°. Для компонент в проекции u = Prz
будет существовать аналог формулы (6): приближенная маломодовая система
.
Выразим теперь xi+1 явно. По определению,
xi+1 = (e,zi+1). Обозначим
a = Pre / ||Pre|| = Pre / cos –
направление в плоскости P, содержащее наибольшую информацию об xi+1,
||a|| = 1. Поскольку b – это
угол между e и a, то a = e cos + q', где q'
ортогонален a. Тогда e = (a ‑q') / cos,
и
.
Но поскольку q' ^ e,
он будет иметь ненулевые проекции только на те компоненты zi+1, которые
присутствуют и в zi, т.е. существует такой вектор q, что
(q',zi+1) = (q,zi). Поэтому
.
Это соотношение дает общий вид предиктора, использующего
подход русел – он представляет собой сумму нелинейной функции от координат
русла u и линейной функции предшествующего состояния z.
Следовательно, использование русел может позволить упростить
структуру предикторов, а потому дает возможность делать прогнозы для систем
большой размерности, которые в общем случае оказываются вне пределов
применимости методов маломодовой нелинейной динамики.
Отметим, однако, что точность прогноза в этом случае
ограничена не только ошибками исходных данных и хаотичностью динамической
системы. Серьезным источником ошибок может быть отброшенный член в (5), который
накладывает свои ограничения на ошибку прогноза и в рамках маломодового подхода
не может быть уменьшен.