§1. Прогноз сильных землетрясений - Управление риском. Риск. Устойчивое развитие. Синергетика - Неизвестен - Синергетика

Землетрясения являются формой диссипации энергии в иерархической системе плит, разделенных разломами. Система обладает цикличностью, определяемой пределом запаса энергии в коре Земли. С другой стороны, поведение системы содержит сильную стохастическую компоненту, и эти циклы могут быть нерегулярны. Вопрос о виде распределения сильных землетрясений в отдельных регионах во времени дебатируется в геофизике по сей день. Сейсмичность каждого региона Земли обладает своими особенностями, однако линейное распределение числа землетрясений по логарифму энергии (закон повторяемости Гутенберга–Рихтера) на больших территориях позволяет говорить об автомодельности сейсмичности в некотором, довольно широком энергетическом интервале.

Остановимся на упрощенной схеме прогноза землетрясений, оставляя пока "за кадром" как ее детали, так и изучение свойств нелинейной системы, помогающее найти функционалы и их признаки, чувствительные к предкритическому состоянию системы (отдельного региона), за которым следует ее критический переход (сильное землетрясение). Эти функционалы, являясь не обязательно независимыми, отражают следующие основные характеристики сейсмичности региона:

         мера активизации сейсмичности как всей системы в целом, так и ее различных энергетических уровней;

         мера взаимодействия этих уровней, свидетельствующая о согласованности поведения различных иерархических слоев системы;

         мера кластеризации землетрясений перед сильным землетрясением (например, "взрыв афтершоков");

         корреляция между различными пространственными компонентами системы и мера изменения корреляционной размерности системы;

         характеристики увеличения вариаций или осцилляций ряда параметров;

         характеристики отклонения распределения числа событий по их энергии от стандартного для сейсмичности данного региона закона повторяемости;

         степень реакции региона на внешние воздействия;

         энергетический уровень системы и мера диссипации энергии системы.

Пусть поведение системы описано временными рядами функционалов и известны точки критических переходов (моменты событий, т.е. сильных землетрясений). Тогда конструирование алгоритма прогноза сильных событий на ретроспективных данных состоит из следующих этапов.

Из изучаемого отрезка времени убираются периоды длиной DТх после каждого из событий. Эти "неопределенные" периоды соответствуют времени повышенного возбуждения и релаксации системы после событий и дальнейшему рассмотрению не подлежат. Из оставшегося времени Т выделяются "опасные" периоды (D) длиной DТd, начинающиеся за DТd до события. Оставшиеся от Т периоды называются безопасными (N). Как периоды D, так и N делятся на равные интервалы.

Будем теперь рассматривать вместо непрерывных временных рядов, описывающих поведение системы, наборы значений функционалов (векторов) в правых точках каждого из этих интервалов (если изображать время текущим слева направо). Таким образом, у нас есть набор векторов (объектов) из периодов D, описывающих систему в предкритическом состоянии, и набор объектов из периодов N, описывающих систему в устойчивом состоянии. Ставится задача распознавания этих двух групп векторов, т.е., анализируя объекты из D и N, необходимо найти "решающее" правило, по которому, зная вектор, описывающий систему в произвольный момент времени (кроме неопределенных периодов), можно определить, принадлежит ли этот интервал к периоду D или N.

Перед распознаванием по каждой из компонент вектора (т.е. по каждому функционалу) проводится дискретизация. Пусть в D и N суммарно имеется К объектов. Тогда данная компонента f представлена К величинами. Необходимо найти два числовых порога, делящих эти величины на три равные группы значений (квантили): малые, средние и большие. После этого все значения данной компоненты кодируются двумя двоичными разрядами. Таким образом кодируются все К векторов, а двоичные разряды называются в дальнейшем признаками.

Само распознавание, например, с использованием алгоритма КОРА, состоит в отборе тех признаков, что часто встречаются в D и редко в N – (группа I), и наоборот, в группу II отбираются те признаки, что часто встречаются в объектах N и редко – в D. Очевидно, что отобранные группы должны быть минимальными и давать хорошее качество прогноза. Процесс отбора может быть итерационным, так как каждый из функционалов имеет свои параметры. После отбора признаков проводится обучение и формулируется правило голосования, т.е. порог D, с помощью которого интервал объявляется опасным (тревожным), если n(I)‑n(II) > D, где n(I) и n(II) – число голосующих функционалов, соответственно, из групп I и II.

При построении алгоритмов прогноза используются различные статистические тесты и процедуры, позволяющие оценить достоверность, качество и устойчивость прогноза. Сконструированный подобным образом алгоритм прогноза сильных землетрясений М8 .кроме всего, с 1985 г. проверялся прогнозом "вперед". Суммарные результаты этой проверки приведены в табл. 1. В случае тревоги, полученной по этому алгоритму, соответствующая зона дополнительно проверялась алгоритмом "Сценарий Мендосино" (СМ, уточняющим место будущего сильного землетрясения и сокращающего зону тревоги в 5‑20 раз.

Таблица 1.Результаты проверки алгоритмов прогноза

Казалось бы, что такие алгоритмы являются в большей степени результатом удачной эвристической деятельности. Но существуют и более фундаментальные причины их успеха. Одна из них состоит в том, что сильнейшим (характеристическим) землетрясениям предшествуют явления типа увеличения корреляционной длины, т.е. регионы как бы консолидируются и число степеней свободы резко падает. Кроме того, сами землетрясения имеют не точечный, а пространственный характер (размер очага), и можно считать, что рост доли крупных событий характерен для ситуаций роста корреляционной длины. Рассмотрим простейшую модель, дающую возможное объяснение катастрофических событий в иерархических системах.

Рассмотрим иерархическую систему элементов (дерево) с кратностью ребер 3 и глубиной R (фрагмент системы для R = 4 представлен на рис. 1). Каждый из его элементов может быть в состоянии 0 или 1. Единица возникает в некоторой вершине (i+1)‑го уровня, когда число единиц (дефектов) среди связанных с ней 3‑х элементов i‑го уровня достигнет или превысит некоторый порог К.

Рис. 1. Фрагмент иерархической системы

Элемент каждого следующего уровня состоит из трех элементов предыдущего.

Рис. 2. График передаточной функции F (непрерывная линия) в случае неустойчивой критичности (K=2)

Пусть р(i) – плотность дефектов (единиц) на i‑м уровне, тогда р(i+1) = F(р(i)). Таким образом, поведение системы зависит от функции F (передаточной функции) и исходной плотности дефектов р(1) на нижнем уровне. Рассмотрим систему, когда для возникновения дефекта на уровне i+1 все три соответствующих элемента предыдущего уровня i должны быть дефектны, т.е. К = 3. Тогда F(р) = р3. Точки р = 0 и р = 1 являются неподвижными, при этом точка р = 1 неустойчива, а точка р = 0 устойчива. Так как во всех случаях, когда исходная плотность р < 1, с увеличением уровня плотность дефектов стремится к 0, т.е. передача дефектов нижнего уровня на верх подавляется. Назовем этот случай стабильностью (S).

Пусть К = 1, т.е. для передачи дефекта на следующий уровень достаточно хотя бы одного дефекта среди соответствующих элементов данного уровня. Тогда F(р) = 1‑(1‑р)3 и существуют те же две неподвижные точки: р = 0 и р = 1, причем последняя является устойчивой, так как для исходной плотности р > 0 с увеличением уровня плотность дефектов стремится к 1. Другими словами, любой дефект нижнего уровня приводит разрушению соответствующих элементов верхних уровней. Назовем это катастрофой (C).

Рис. 3. График передаточной функции F (непрерывная линия) в случае самоорганизованной критичности (равное количество элементов с K=1 и K=3)

Пусть К = 2, тогда F(р) = 3р2(1‑р)+р3. В этом случае существуют три неподвижные точки: устойчивые р = 0, р = 1 и неустойчивая – р = 0,5. Для исходной плотности р < 0,5 с увеличением уровня плотность дефектов стремится к 0, а при р > 0,5 – плотность дефектов стремится к 1 (рис. 2). Точка р = 0,5 является критической и, если для данного уровня плотность дефектов равна 0,5, то она останется такой же на следующих уровнях. Если принять за магнитуду дефекта M(i) = i lg 3, то можно показать, что график повторяемости – график зависимости логарифма числа дефектов от магнитуды, – начиная с достаточно высоких уровней, т.е. при больших М, имеет загиб вниз при р < 0,5, т.е. в критической точке график линеен, а при р > 0,5 – имеет загиб вверх. Другими словами, в точке р = 0,5 происходит фазовый переход системы от стабильности к катастрофе. Назовем данный случай неустойчивой критичностью (UC).

Рассмотрим систему, состоящую из элементов двух разных видов: первые становятся дефектными, если К = 3, а вторые – если К = 1. Предположим, что на любом уровне число элементов первого вида равно числу элементов второго вида. Тогда F(p) = 0,5(1‑(1‑p)3) + 0,5p3. Эта функция имеет три особых точки: р = 0, р = 0,5 и р = 1 (рис. 3). Точка р = 0,5 является устойчивой, а две другие – нет, т.е. при любой начальной плотности дефектов p ¹ 0;1 с увеличением уровня плотность дефектов стабилизируется. При этом график повторяемости линеен. Назовем это постоянной критичностью и заметим, что поведение такой системы является примером самоорганизованной критичности (SOC).

Объединим теперь первые три рассмотренные выше системы в одну. Новая система состоит из трех типов элементов, причем элемент j‑го типа (j = 1,2,3) становится дефектным, если j или более элементов предыдущего уровня дефектны (К = j). Если концентрацию элементов j‑го типа обозначить sj, то s1+s2+s3 = 1. Тогда

Очевидно, что все предыдущие построения являются частными случаями данной системы, которая, в зависимости от соотношений параметров sj, может демонстрировать сценарии стабильности, катастроф, неустойчивой или самоорганизованной критичности (рис. 4).

Рис. 4. Зависимость сценария поведения системы от соотношения s1 и s2

Усложнение модели, позволяющее вводить обратную связь и влиять на соотношение sj, приводит к тому, что сценарий поведения системы во времени меняется. Заметим, что алгоритмы прогноза сильных событий в системе (т.е. событий, происходящих на достаточно высоких уровнях) зависят от того, какой сценарий осуществляется системой в данное время. Например, в ситуации постоянной критичности увеличение вероятности сильного события может быть связано с общим повышением активности дефектов на всех уровнях, что аналогично повышению сейсмической активности, которая часто служит предвестником сильного землетрясения.

В случае неустойчивой критичности развитию катастрофического события предшествует загиб графика повторяемости вверх. Примером удачного использования такого модельного сценария на практике является создание алгоритма диагностики зон повышенной вероятности возникновения крупных землетрясений на основе закритического поведения графика повторяемости . Пусть время t дискретно, и в начальный момент все элементы находятся в состоянии 0. Возникновение 1 (дефекта) на нижнем первом уровне осуществляется с вероятностью p, одинаковой для всех элементов этого уровня, и, кроме того, дефект в вершине i-го уровня существует время Сi. Кроме того, будем считать, что тектонические движения обеспечивают постоянный рост p , а дефектообразование, диссипируя упругую энергию, уменьшает p, причем влияние дефекта тем больше, чем выше его уровень. Наблюдение в такой модели за накоплением дефектов с какого-либо достаточно большого уровня дает ситуацию с критической концентрацией дефектов к моменту разрушения, аналогичной концентрационному критерию Журкова .

Пусть p(t+1)‑p(t) = d‑kSiEiNi(t), где d – "скорость деформирования"; Ni(t) – число дефектов ранга i, образовавшихся в момент t, Ei – "энергия", диссипируемая при образовании единичного дефекта уровня i и определяемая формулой Ei=ns×i, где k, s – константы. Эксперименты с этим вариантом модели показали сходство кинетики дефектообразования с сейсмическим процессом. Квазистационарность на больших временах сочетается со значительной изменчивостью на относительно малых интервалах – между крупнейшими актами дефектообразования. Распределение актов дефектообразования по размерам хорошо аппроксимируется линейной зависимостью в логарифмических координатах. Были выявлены предвестниковые свойства "загиба вверх" графика повторяемости в среднем диапазоне энергий (уровней). Конкретно вычислялась наилучшая аппроксимация вида lg Ni (Ei) = b‑glg Ei + AEid в скользящем интервале времени. Первые два члена в правой части этого выражения соответствуют стандартной зависимости типа Гутенберга–Рихтера, а третий член определяет загиб при высоких энергиях. Отрицательные значения А – загиб вниз, а положительные – вверх. Естественно, что положительные А характеризуют неустойчивую ситуацию с нарастанием доли крупных дефектов.

Последовательность землетрясений из реального каталога также можно характеризовать числом А. Пусть L – число различных значений магнитуды этих событий, округленной до 0,1. Обозначим N(Mi) при 1 £ i £ L количество событий в магнитудном интервале [Mi‑dm; Mi+dm] и назовем график функции F(Mi) = lg N(Mi) сглаженным графиком повторяемости землетрясений. Методом наименьших квадратов для F(Mi) при зафиксированном значении d = 0,7 находится наилучшая аппроксимация вида b‑gMi+A×exp(0,7Mi).

Весь сейсмический регион делится на квадраты с шагом l = 10 по широте и долготе. В каждом большом квадрате со сторонами 2l определяется глобальный "загиб" А0 за все время, исключая год до и год после сильных землетрясений. Если в каком-либо большом квадрате из-за недостатка данных глобальный "загиб" не может быть вычислен, этот квадрат исключается из рассмотрения. В каждом большом квадрате строится функция А(t) в скользящем двухлетнем временном окне с шагом 1 год. По величине диагностируются зоны повышенной вероятности сильного землетрясения. Для этого значение А(t) сравнивается с порогом А0+d, где d – параметр алгоритма, остающийся одним и тем же для всех квадратов. Если А(t) > А0+d , данный квадрат считается сейсмически опасным ("закритичным").

Данный алгоритм применялся к 7 регионам земного шара. Прогнозировались землетрясения с М ³ М0. Качество прогноза оценивалось методом, предложенным в. Пусть вероятность пропуска цели h = к/m, где к – число землетрясений с М ³ М0, не попавших в области "закритичности", m – общее число событий с М ³ М0, а доля пространства–времени, охваченного "закритичностью", t = Saj/Sbj, где суммирование ведется по всем временным интервалам, aj – число квадратов, входящих хотя бы в один большой квадрат с закритичностью в j‑ом временном интервале, а bj – число квадратов, входящих хотя бы в один большой квадрат, у которого можно было считать А(t).

Таблица 2.Интегральное качество прогноза для различных регионов

e

Южная Калифорния

0,32

Средняя Азия

0,43

Кавказ

0,56

Камчатка

0,50

Северная Калифорния

0,56

Курильские о-ва

0,39

Япония

0,44

Заметим, что h+t < 1 соответствует нетривиальному прогнозу. При h = 1, t = 0 пропускаются все события при времени тревоги, равном нулю, а при h = 0, t = 1 предсказываются все события при постоянной тревоге. Интегральное качество прогноза при изменениях свободных параметров алгоритма может характеризоваться величиной e = min(h+t). Заметим, что e < 1 соответствует нетривиальному, прогнозу и чем меньше e, тем лучше прогноз. Величины e для проверяемых регионов приведены в табл. 2.