В. Ф. Асмус. ПРОБЛЕМА ИНТУИЦИИ В ФИЛОСОФИИ И МАТЕМАТИКЕ

Уже рассмотрение рационалистических теорий интуиции, возникших в XVII в., показывает, что вопрос о существовании интуиции как познавательной функции и о ее роли в познании возникал не только в философии, но и в точной науке, прежде всего в математике. Классики философского рационализма XVII в. Декарт и Лейбниц развили свое учение о непосредственном, интуитивном, знании, опираясь на соображения о логической природе достоверных истин – аксиом, лежащих в основе математической дедукции. В "Правилах для руководства ума" Декарта достоверное знание рассматривается как знание, отправляющееся от интуитивно очевидных положений и развертывающееся в длинные цепи дедуктивных построений, или шагов. И хотя каждое входящее в цепь дедукции положение, само по себе взятое, вообще говоря, не обладает интуитивной очевидностью, однако переход от первой, интуитивно постигнутой истины к истине, на ней основывающейся, из нее следующей, усматривается с интуитивной ясностью и достоверностью, ничуть не меньшими, чем ясность и достоверность исходной аксиомы. То же утверждается и относительно всех последующих переходов и выводов. Таким образом, все построение дедуктивной науки, образцом которой в глазах рационалиста является математика, оказывается, несмотря на все большее отдаление в ходе дедукции от начальных интуиции – от аксиом, насквозь пронизанным и как бы цементированным серией последовательных актов интуитивного усмотрения. В этом именно смысле Декарт разъяснял, что очевидность и достоверность интуиции требуются не только для отдельных утверждений, но и во всякого рода рассуждениях.

Возьмем, например, положение: "2 и 2 составляют то же, что 3 и 1"; в нем необходимо "интуитивно постигать (intuendum est) не только то, что 2 и 2 составляют 4 и что 3 и 1 составляют также 4, но, кроме того, еще и то, что из первых двух положений необходимо вытекает это третье" (33, 369; 87). И хотя многие положения науки не являются самоочевидными, они все же доступны достоверному познанию, "если только они выводятся из верных и понятных принципов путем последовательного и нигде не прерывающегося движения мысли при наличии зоркой интуиции каждого отдельного положения" (33, 369; 87). Таким образом, в системе достоверного математического знания, как бы ни были длинны цепи дедукции, "все положения, непосредственно выведенные нами одно из другого, если заключение ясно, уже сведены к подлинной интуиции" (33, 389; 103).

Не менее значительной считал роль интуиции для математики и для прочих видов достоверного знания Лейбниц. Правда, в отличие от Декарта Лейбниц признавал аксиомы доказуемыми и потому подобно Гоббсу началами дедуктивных наук считал определения. Однако определения науки, по Лейбницу, могут быть исходными принципами лишь в силу того, что они в свою очередь обладают интуитивной ясностью и достоверностью. "Интуитивное познание, – разъясняет Лейбниц, – заключается в определениях, когда их возможность сразу ясна" (72, 347). и далее: все адекватные определения содержат в себе первичные рациональные истины и, "следовательно, интуитивные познания". И вообще, по мнению Лейбница, все первичные рациональные истины "непосредственны непосредственностью идей" (72, 347). Так называемое демонстративное знание есть "лишь сцепление интуитивных познаний во всех связях посредствующих идей" (72, 348). Именно поэтому, утверждает Лейбниц, усиливая здесь соответствующую мысль Декарта (повторенную также Локком), демонстративное знание "менее ясно, чем интуитивное, подобно тому как изображение, отраженное несколькими зеркалами друг от друга, все более тускнеет с каждым отражением, и его уже не так легко сразу узнать" (72, 348).

Важно выяснить основания, опираясь на которые Декарт, Лейбниц и другие рационалисты признали исходные положения дедуктивной доказательной науки положениями интуитивными, то есть прямыми, непосредственными усмотрениями ума. Общим для них основанием этого признания были два соображения: 1) полная уверенность в том, что в аксиомах (а также, по Лейбницу, и в определениях) отношение между логическим субъектом (S) и предикатом (Р) мыслится как отношение безусловно всеобщее и безусловно необходимое*; 2) такая же полная их уверенность в том, что безусловный характер всеобщности и необходимости не может быть почерпнут ни из какого опыта, ни из какой эмпирической индукции, а может быть найден только в уме – в его прямом и непосредственном усмотрении.

* Развитие математики XIX в. выявило ошибочность этой уверенности.

Рационализм, характеризующий воззрение Лейбница, отнюдь не вел к противопоставлению математических интуиции логическому анализу. Интеллектуальная природа математической интуиции для Лейбница вне всякого сомнения. Более того. Математическая интуиция Лейбница неразрывно связана с аналитической логической теорией математических суждений. Безусловно необходимое отношение между субъектом и предикатом аксиоматического суждения S – P есть, согласно мысли Лейбница, не только интеллектуальное созерцание (воззрение, усмотрение), или интуиция, но также и отношение аналитического следования: предикат P логически следует из своего субъекта S, так как содержание P есть часть содержания S и потому может быть аналитически выведено из S: S → P.

В этом понимании заключался прообраз взгляда на математику как на систему доказываемых положений, между которыми имеется необходимая логическая – аналитическая – связь. В них можно назвать интуитивным, то есть непосредственно созерцаемым, не столько содержание, сколько самый логический переход от усмотрения необходимости предыдущих положений к усмотрению необходимости последующих, логически ими обусловленных. На первый план выдвигается усмотрение, или уразумение, отношения логического тождества, связывающего все звенья математической дедукции. Возможность представить в созерцании содержание предложений, образующих элементы математической дедукции, теряет значение, которое она имела для античных математиков, в частности геометров. Аналитическая теория суждения, развитая Лейбницем, указывала путь развития математики в некую весьма общую логику, в строгую дедуктивную систему, движущую силу и принцип которой составляют логическая связь следования, логические переходы от положений, принимаемых за исходные, к положениям, выводимым из них на основе одних лишь логических операций.

Таким образом, у основателей математики нового времени отчетливо выступает двоякая тенденция в понимании роли интуиции. Интуитивное, непосредственное, усмотрение отношений между математическими объектами рассматривается, с одной стороны, как залог математической достоверности, а самые интуиции – как исходные строительные элементы математики. Как сказано выше, взгляд этот мы находим не только у Декарта, но и у творца дифференциального исчисления Лейбница*. Но, с другой стороны, тот же Лейбниц наметил уже идею чисто логической разработки математики – разработки, не зависимой от интуиции. В одном из писем к Христиану Гюйгенсу Лейбниц сообщает: "Я нашел некоторые начала нового, совершенно отличного от алгебры символического языка, благодаря которому можно будет представить с большой пользой, точно и сообразно с делом, без фигур, в мыслях, все то, что зависит от интуиции" (70, 570. Курсив мой. – В.А.). И в том же письме он намечает еще более широкое применение описанного им способа построения математики.

* "Самое совершенное знание, – писал Лейбниц, – то, которое в одно и то же время и адекватно, и интуитивно" (71, 422). И в другом месте: "При доказательстве всегда предполагают интуитивные знания" (72, 350).

Однако развитие математики после Лейбница не сразу пошло в предуказанном им направлении. В самой школе последователей Лейбница, возглавлявшейся Христианом Вольфом, идея чисто аналитического понимания математики по существу не получила дальнейшего развития. В этой школе не было сколько-нибудь крупного математического или логического ума, который мог бы развить тенденцию, намеченную Лейбницем. Напротив, вскоре в Германии явился крупнейший мыслитель, идеи которого оказались в известной оппозиции к интеллектуализму Лейбница и к его аналитическому пониманию математики. Этот мыслитель – Кант.

В главе третьей настоящей работы было уже разъяснено, что Кант отверг интеллектуальную интуицию рационалистов. Но в этой главе позиция Канта была освещена главным образом с одной – философской – стороны. В ней показано, что отрицание интеллектуальной интуиции у Канта было обусловлено его гносеологическим агностицизмом, непризнанием способности ума постигать вещи, как они существуют сами по себе. Однако в учении Канта об интуиции было еще и другое содержание. Оно обратило на себя внимание и стало оказывать влияние на развитие математики только в XIX, собственно, даже в XX в.

Воспитанный в философской атмосфере вольфианства, Кант по достижении философской самостоятельности вышел из круга его идей. Он пришел к выводу, что интеллектуализм Лейбница не в состоянии объяснить природу математического знания. Кант сохраняет из воззрений рационализма убеждение в том, что математика обладает безусловно всеобщими и необходимыми истинами и что эта всеобщность и необходимость не может происходить из опыта. Однако в отличие от рационалистов Кант полагает, будто независимые от опыта, то есть априорные, истины математики имеют своим источником не усмотрения интеллекта, или ума, а априорные созерцания, наглядные представления чувственности. Аксиомы геометрии и арифметики, по Канту, – априорные синтетические суждения, основывающиеся на формах интуиции, но эта интуиция не интеллектуальная, а чувственная.

Признавая чувственный характер форм интуиции, на которых основываются общие положения в геометрии и в арифметике, Кант одновременно сохранил в своей теории математики рационалистический тезис априоризма. В результате теория математического познания оказалась у Канта во многом не ясной, изобилующей противоречиями*. Наличие этих противоречий привело к тому, что отношение к кантовской теории математики у представителей различных направлений, возникших в самой математике в конце XIX – начале XX в., было глубоко различным.

* Содержательный разбор противоречий Канта, неясностей и прямых ошибок имеется у Луи Кутюра в работе "Кантова философия математики" (помещена в качестве приложения к книге Л.Кутюра "Философские принципы математики", русский перевод. СПб., 1913, стр. 199-260).

На рубеже XIX-XX вв. в логической литературе почти одновременно появились исследования французского ученого Луи Кутюра и английского – Бертрана Рассела, посвященные логике Лейбница. В самом выборе предмета исследования, а еще больше в его трактовке сказалось новое понимание характера математики и отношения математики к логике. Все это отразилось на представлениях о роли интуиции в математическом знании.

Разработка математики в течение XIX в. выявила отсутствие необходимой строгости в дедукциях античной науки и, в частности, античной геометрии. Эта недостаточная строгость был а исторически неизбежна и в то время не являлась недостатком или ошибкой. Она была обусловлена доверием к наглядному представлению, к интуитивно созерцаемым образам геометрических объектов. Евклид, давший удивительную для своего времени (III век до н.э.) систему математики и превосходные образцы дедуктивных построений, при осуществлении их в ряде случаев обращается к интуициям, к наглядным представлениям. Так, при доказательстве первой теоремы о конгруэнтности он прибегает к интуиции: Евклид исходит из того, что если перемещать в пространстве треугольник, не изменяя его формы и величины, то он может быть наложен на другой треугольник. Пример этот – типичный для Евклида и для всей вообще античной математики (и математики нового времени). Эта наука обращалась при построении доказательств к интуициям и рассматривала интуитивные предпосылки дедукций как аксиоматические. Интуиция казалась античным геометрам многообещающим средством доказательства – как по своей видимой простоте, так, в особенности, по непосредственности усмотрения. Уже в индийской математике были сделаны попытки развить геометрию как систему непосредственно очевидных истин. Для каждой теоремы придумывали соответствующий чертеж и вместо доказательства писали только одно слово: "смотри". Но и для ряда мыслителей нового времени непосредственность усмотрения казалась идеалом, к которому должно стремиться все знание. Даже Фейербаху непосредственность созерцания представлялась целью знания, к которой идет вся новая философия. "Новейшая философия, – писал он в "Основах философии будущего", – домогалась чего-либо непосредственно достоверного" (19, 186). "Истинно..., – пояснял он, – только то, что не нуждается ни в каком доказательстве, что непосредственно достоверно через само себя, что непосредственно говорит за себя и к себе располагает, непосредственно сопровождается утверждением, что оно есть это нечто безоговорочно определенное, безоговорочно несомненное, ясное, как солнце" (19, 187). С этой точки зрения, явно преувеличивавшей достоверность непосредственно очевидного, Фейербах отвергал положение Гегеля, согласно которому все опосредствовано. Превращать, как Гегель, опосредствование в божественную необходимость и важнейший признак истинности, по Фейербаху, схоластично. "Опосредствующая себя истина, – утверждает он, – есть истина, наделенная своей противоположностью" (19, 187).

Не только в философии нового времени, но и в математике – античной и новой начиная с XVII в. – логическим признаком интуиции считалась непосредственность выражаемого в них знания, а гносеологическим условием самой непосредственности – очевидность и совершенная ясность. Декарт, один из основателей математики нового времени, видел в ясности и отчетливости критерий истинности знаний. И точно так же Лейбниц считал, что ясность и очевидность есть достоверность и что она простирается за пределы наличных ощущений (см. 72, 426). И в развитие этой мысли Лейбниц говорил, что очевидность есть выступающая с ясностью достоверность, то есть "такая достоверность, в которой не сомневаются в силу связи, усматриваемой между идеями". В соответствии с этим Лейбниц находил, что интуиция как опора составляет необходимое условие науки и что научное сознание не вправе требовать, чтобы каждая научная истина доказывалась. "Было бы безумием, – пояснял он, – ожидать логического доказательства по каждому вопросу и не действовать сообразно ясным и очевидным истинам, если они не удостоверяемы доказательствами" (72, 426).

Однако тот же Лейбниц уже хорошо понимал, что в математике интуитивная очевидность отнюдь не есть основание для отказа от строго логического выведения истин, которые представляются уму как ясные и очевидные. По словам Лейбница, уже Евклид "отлично понял это, доказывая с помощью разума то, что достаточно ясно на основании опыта и чувственных образов" (72, 43).

По Лейбницу, недоказуемы только "первичные", или "непосредственные", аксиомы (axiomes primitifs ou immédiats). Они "тождественные предложения" (les identiques) (см, 72, 388). Напротив, так называемые "вторичные аксиомы" (axiomes secondaires) не только могут быть доказанными, но доказательство их в высшей степени желательно. "Было бы важно, – говорит Лейбниц, – доказать все наши вторичные аксиомы, которыми обычно пользуются, сводя их к первичным, или непосредственным, и недоказуемым аксиомам" (72, 388). Проницательному уму Лейбница математика представлялась наукой будущего, в которой все истины строго доказываются: они выводятся по правилам формальной логики из небольшой группы первичных тождественных аксиом. В этой математике фонд исходных положений, принимаемых в качестве интуитивно истинных, должен быть сведен до возможного минимума, а вся наука в целом должна получить логическую форму дедуктивной системы.

Но на пути к указанному построению математики стояли немалые препятствия и трудности. Необходимо было осознать недостаточность и ненадежность интуиции, на которой основывалась античная математика и математика нового времени. Сознание это пришло не сразу. Бертран Рассел в статье "Новейшие работы о началах математики" ("International Monthly", July, 1901; русский перевод (1917 г.) в "Новых идеях в математике", Сборник первый, см. 14, 82-103) показал, что на начальных стадиях развития математики интуитивная ясность и очевидность способна была приводить и порой приводила к заблуждениям. На ранней стадии науки "каждое предложение представляется самоочевидным, и поэтому трудно видеть, следует ли одно самоочевидное предложение из другого или нет" (14,85). Возникает нетерпимое в своей парадоксальности положение: очевидность вступает во вражду с точностью (см. 14, 85). И действительно: часто "нисколько не является самоочевидным, что одно очевидное предложение вытекает из другого очевидного предложения" (14, 85). Поэтому доказательство такого положения вовсе не пустое и праздное занятие. Напротив, доказывая очевидное, математика тем самым открывает "действительно новые истины" (14, 85). Поэтому возникновение математики нового времени (аналитическая геометрия, дифференциальное и интегральное исчисление) должно было со временем привести не только к расширению области предметов науки, но и к большей строгости в требованиях, предъявляемых доказательности, логическому построению, логической безупречности дедукций. Только на первых порах развития науки важность и необходимость расширения области открытых истин и обусловленная этой необходимостью энергия исследования брали верх над заботой о логической выработке новой математики. "Великие изобретения семнадцатого столетия – аналитическая геометрия и исчисление бесконечно малых, – поясняет Рассел, – были так богаты плодотворными результатами, что математики не имели ни времени, ни желания для точного обоснования этих доктрин"* (14, 102).

* Вряд ли они смогли бы представить это обоснование, даже если бы обладали в избытке и желанием сделать это, и необходимым временем. Отсутствие потребности в строгом обосновании математических доктрин было в то время обусловлено уровнем развития самой математики.

Однако слишком долго такое положение вещей продолжаться не могло. Развитие анализа и геометрии требовало строгого логического обоснования. Это обоснование было осуществлено в XIX в. в трудах великих математиков начиная от Гаусса и Коши и кончая Вейерштрассом (см. 10, 7 и сл.).

Успехи логического обоснования математики XIX в. уменьшали значение интуиции в развитии математического знания. Интуиция оказывалась не только недостаточным основанием науки. Было выяснено, что доверие, с каким относилась к интуиции античная математика, привело к признанию положений, которые оказались просто ошибочными. Очевидность вступала в противоречие не только с точностью, но и с самой истиной.

Роковым в деле развенчания роли интуиции, точнее, в развенчании взгляда, приписывавшего ей безусловное значение, оказалось, во-первых, развитие теории параллельных в геометрии, во-вторых, открытие кватернионов. В первой книге "Начал Евклида" вводится определение параллельных (опр. 23): "Параллельные суть прямые, которые, находясь в одной плоскости и будучи продолжены в обе стороны неограниченно, ни с той ни с другой "стороны" между собой не встречаются". Вслед за этим определением Евклид формулирует знаменитый пятый постулат (иначе – одиннадцатую аксиому). Постулат этот гласит: "Если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньшие двух прямых, то продолженные эти две прямые неограниченно встретятся с той стороны, где углы меньшие двух прямых" (13, 15). Из определения и постулата видно, что через точку параллельно прямой в одной с нею плоскости можно провести некоторую линию, и притом только одну.

Евклидовы определение и постулат параллельных вполне соответствовали интуитивно-логическому характеру античной геометрии и в то же время выводили за ее пределы. С одной стороны, пятый постулат как будто опирался на интуитивную очевидность. С другой стороны, определение параллельных указывало признак, в отсутствии которого возможно удостовериться только при продолжении прямых в бесконечность. Это усмотрение было уже недоступно интуиции. Так как античному сознанию было чуждо понятие о бесконечности, то уже античные математики стали искать доказательства пятого постулата. Они искали их не потому, что интуитивная очевидность самого постулата казалась им сомнительной, а потому что они не могли принять его формулировку, предполагавшую чуждые им понятия (об этом см. примечания к I-VI книгам "Начал Евклида", составленные Д.Д.Мордухай-Болтовским, стр. 236 и сл.).

Но как бы то ни было, однажды начавшись, исследование пятого постулата Евклида сыграло важную роль. Оно обнаружило недостаточность интуитивной очевидности как средства построения геометрии и вообще математики. Оно выявило, что в расчленении античного математического доказательства только одна из составных частей представляет логическую операцию, все остальные относятся либо к чертежу, то есть интуитивно представляемому образу, либо к словесному способу выражения (см. 13, 255).

Освобождение от некритического доверия к чувственной интуиции было важным условием успеха в трудном деле строгого обоснования математики. В особенности в математике XIX в. увеличилось число строго доказанных (аналитически) положений, которые представлялись противоречащими непосредственным данным интуиции и потому подрывающими ее значение для обоснования науки. "Открытие непрерывных функций, не имеющих производных, которым в аналитической геометрии отвечают непрерывные кривые, не имеющие касательных, доказательство возможности изобразить кривую на сплошной площадке, становящаяся все более ясной недостаточность старого взгляда на числа, в особенности на иррациональные числа, развитие понятия о непрерывности и учения о сходимости рядов, а также целый ряд других обстоятельств, – писал И.Вельштейн в "Основаниях геометрии", – привели к тому, что подорвали в корне слепую веру в надежность наших чувственных представлений и создали в математике критическое направление" (20, 9).

С возникновением математики нового времени в логическом обосновании математических истин был достигнут большой прогресс. Интуиции, как уже сказано, сыграли важную роль при первоначальном возникновении некоторых математических понятий. Например, интуитивно представляемые образы кривой с касательной к ней в каждой ее точке, а также движения точки с определенной скоростью в каждый момент привели к возникновению важных понятий непрерывности и производной. Когда же эти понятия возникли и получили строгое логическое обоснование, оказалось, что они ведут к следствиям, логически необходимым, но уже совершенно недоступным для интуиции. Так, Вейерштрасс указал уравнение некоторой кривой:

{{ ?????????? }},

где {{ ??? }} – число нечетное. В этом уравнении функция от {{ ??? }} определяется бесконечным рядом, стоящим в ее правой части. Эта функция характеризуется таким свойством, что она непрерывна, но не имеет производной ни для одного значения аргумента. Геометрически это значит, что кривая Вейерштрасса непрерывна, но ни в какой своей точке не имеет касательной: на любом конечном промежутке она имеет бесконечно большое число бесконечно малых колебаний.

Исследование Вейерштрасса имело принципиальное значение. Оно обнаружило, что для функции указанного вида невозможно интуитивно вообразить кривую линию, обладающую охарактеризованным свойством. В то же время стало ясно, что с помощью логических определений и операций анализа математика может систематически исследовать и точно представить свойства такой кривой.

В чем же коренилась – в этом случае, как и в других, – причина несостоятельности интуиции? Согласно разъяснению выдающегося немецкого математика Феликса Клейна, интуитивный образ линии есть не абстрактно геометрическая "длина без ширины", а некоторая узкая полоска. Какой бы она ни была узкой, но ее конечная, интуитивно воспринимаемая ширина поглощает неуловимые для созерцания тонкости строения идеализированного абстрактного геометрического образа.

Особенно много неточностей, обусловленных недостаточной логической строгостью доказательств и чрезмерным доверием к интуитивной очевидности, имеется как раз в первых теоремах (предложениях) "Начал Евклида". Уже первое предложение вводится без достаточного логического обоснования. Здесь для построения равностороннего треугольника на данном основании из обоих концов прямой проводятся окружности двух кругов с радиусом, равным данному основанию, а затем точка пересечения обеих окружностей соединяется с концами прямой. В построенном таким способом треугольнике все его стороны равны, так как точка пересечения окружностей есть конец их радиусов, равных основанию. Бездоказательность этого построения в том, что оно покоится на интуитивно принимаемом допущении, будто круги, полученные вращением основания вокруг обоих его концов, необходимо пересекаются. Но ни одна из принятых Евклидом аксиом не содержит доказательства этого допущения. К тому же последующее развитие математики открыло много типов пространства, таких, что круги, проведенные в них указанным способом, отнюдь не всегда пересекаются. В конце концов в первых восьми предложениях Евклида оказалось столько недочетов в логическом обосновании выводимых положений, что, учитывая их, Рассел пришел даже к заключению, что Евклид "имеет теперь только исторический интерес" и что его великая книга, не обладающая ни качеством легкой понятности, ни качеством совершенной математической точности, "не заслуживает того места, которое занимает Евклид в нашей образовательной системе" (14, 101).

Важным фактором в деле "логизации" математики и ограничения в ней роли интуиции оказалась критика кантовской теории познания и кантовской философии математики. Критику эту развили Рассел и его последователь Кутюра.

Кант полагал, что теоремы геометрии доказываются только посредством построения фигур в интуитивно представляемом пространстве и посредством проведения вспомогательных линий. Он думал также, будто всякое необходимое для доказательства построение непременно опирается на интуицию, на наглядное представление. Неокантианцы продолжали развивать этот взгляд Канта. Так, например, кантианец Леонард Нельсон в статье об интуиции в математике (русский перевод в "Новых идеях в математике", Сборник восьмой. СПб., 1914), признавая правомерным и полезным для научной. строгости стремление математики "выключить из систематического развития доказательств обращение к интуиции и избегать, в особенности при выводе арифметических положений, помощи геометрических интерпретаций" (17, 32), не соглашался, однако, с тем, что целью "арифметизации" математики является "полное вытеснение математической интуиции и замена ее логическим формализмом" (17, 32-33). Он называл такое предположение ошибочным и утверждал, что "даже самое полное проведение арифметизирования не сможет сделать излишней математическую интуицию. Ведь доказательство есть не что иное, как логическое сведение какой-нибудь теоремы к аксиомам и, значит, через посредство их к интуиции" (17, 33). Даже в арифметике аксиома, согласно которой за каждым числом следует другое число, "никоим образом не может рассматриваться как некоторая логическая необходимость. Следовательно, аксиома эта имеет своим источником не чистое мышление, но чистую интуицию" (17, 38).

У того же Нельсона мы находим любопытное высказывание, обнажающее мотив, по которому кантианцы (как, впрочем, и рационалисты XVII в.) считали именно интуицию источником всеобщности и необходимости математического знания. По утверждению Нельсона, математическое знание имеет замечательную и загадочную особенность: аподиктичность его будто бы "запрещает нам искать источника познания его в эмпирии; с другой же стороны, благодаря не-евклидовой геометрии мы знаем, что этот источник познания наверное не может заключаться в логике" (17, 48). Для разрешения этой "загадочной" (как он ее именует) особенности математического познания Нельсон и ссылается на кантовскую "чистую" интуицию пространства и времени. Такая интуиция "есть познание не логического рода, а в качестве "чистого" наглядного представления оно есть познание не-эмпирического рода. С логическим познанием оно имеет общим необходимость, с эмпирическим – интуитивность..." (17,48).

Утверждение Канта, будто геометрическое доказательство черпает убеждающую силу только в пространственной интуиции, в образах наглядного представления, Кутюра отвергает как ошибочное: по Кутюра, никогда не следует ссылаться на данные в интуиции свойства фигур, так как часто свойства эти – лишь кажущиеся и при доверии к ним приводят к софизмам (см. 12, 239). Что касается "вспомогательных построений", то они простые метафоры, почерпнутые из сферы практики: начерченная в ходе доказательства фигура всегда есть уже результат некоторой идеализации опыта, и свойства ее предопределены дефиницией фигуры. Сказать: "Соединим точки А и В" значит не больше, чем сказать: "Точки А и В определяют прямую в силу самого определения прямой" (12, 239). По мнению Кутюра, пример этот типический. Нельзя построить – с выгодой для математики – никакой такой фигуры, свойства которой не были бы уже наперед заданы определениями, принятыми в науке. Даже если построения необходимы, они не заключают в себе обращения к интуициям. Но построения не всегда безусловно необходимы. Правда, доказательства Евклида действительно опираются на построения вспомогательных линий, часто очень сложные. Но во многих случаях путь этих доказательств не неизбежен и слишком искусствен, запутан. Как правило, они могут быть заменены гораздо менее сложными и прямыми доказательствами. Там, где эта замена осуществлена, доказательство основывается на существенных свойствах исследуемой фигуры и обычно не требует введения никаких вспомогательных линий. Нет непреложной необходимости "видеть", например, плоскости, прямые и т.п.; достаточно знать их взаимные отношения и применить к ним соответствующие теоремы. В конце концов геометрическое доказательство может быть одной лишь формальной логической дедукцией* (см. 12, 239-242).

* Дальнейшее развитие математики доказало вопреки надеждам Рассела и Кутюра, что строго формалистическое и чисто логическое обоснование математики, исключающее обращение к интуитивным элементам и к построениям (к конструированию), не осуществимо.

По Канту, математика интуитивна, поскольку дает общее в единичном наглядном представлении. Но практика математического творчества, по мнению Кутюра, противоречит этому утверждению. При доказательстве математика ссылается не на интуитивно усматриваемые свойства исследуемой единичной фигуры, а только на те ее свойства, которые вытекают из ее определения (или из ее построения). Геометрическая интуиция не есть залог ни истинности доказываемого положения, ни логической строгости самого доказательства. Часто правильно умозаключают по фигуре, приблизительно начерченной или даже неверной. Часто неправильно умозаключают по фигуре, тщательно выполненной, если при этом принимают во внимание свойство эмпирическое, но не вытекающее из определений.

Кутюра согласен еще признать, что интуиция играет известную роль в синтетической геометрии: здесь она применима как вспомогательное средство. Но роль интуиции снижается до минимума, когда от синтетической геометрии совершается переход к аналитической геометрии, к проективной геометрии и к геометрическим счислениям. Результаты аналитической геометрии получаются, согласно мнению Кутюра, посредством уравнений, представляющих все фигуры некоторого вида безотносительно к их частным, интуитивно воспринимаемым свойствам. Если для написания этих уравнений обращаются к интуициям, то при всех дальнейших дедукциях интуиция оказывается вовсе не необходимой.

В проективной геометрии исследование относится прямо к самим фигурам. Однако и здесь, напоминает Кутюра, фигуры рассматриваются в их общих свойствах; все интуитивно усматриваемые особые черты оставляются без внимания, от них просто отвлекаются. Например, исследуется коническое сечение вообще. Оно исследуется независимо от того, идет ли речь об эллипсе, о параболе или о гиперболе. В исследовании этого рода отсутствует даже сама возможность отличить их друг от друга. В проективной геометрии не проводится и различие между параллельными прямыми (или плоскостями) и пересекающимися прямыми (или плоскостями). Все эти различия, полные значения для интуиции, для наглядного представления и для опирающейся на интуицию синтетической геометрии Евклида, рассматриваются в исследованиях проективной геометрии как не имеющие для нее существенного значения.

Еще меньше значение интуиции в геометрических счислениях. В них даже основные фигуры определяются как "алгебраические" сочетания точек, или неопределимых элементов, а исследование их выполняется с помощью формальных алгоритмов. Не считаясь с тем, что алгоритмы создавались не только чисто формальным способом, но и посредством интуиции, а также посредством конструирования, Кутюра утверждает, что эти алгоритмы имеют аналогию скорее с алгоритмом алгебры. В таких геометрических счислениях в ходе доказательства уже никогда не ссылаются на интуитивно воспринимаемые свойства фигур и никогда не опираются на так называемые "вспомогательные построения". Среди исследований этого рода имеются работы, авторы которых на всем протяжении рассуждения обходятся вовсе без геометрических фигур, а следовательно, и без подспорья интуиции (см. 12, 245-246). Например, известная "Энциклопедия элементарной математики" Вебера, Вельштейна и Якобшталя ставит себе задачей "уничтожить глубоко вкоренившийся предрассудок, будто вид основных геометрических образований играет какую-нибудь роль при установлении истинности геометрических теорем" (20, 34). И в другом месте: "Чувственный вид основных образований, например, преобладание измерения в длину у прямой, совершенная форма шара, столь привлекательная эстетически форма эллипса – все это для геометрии, как таковой, не имеет ровно никакого значения" (20, 84).

Этим, однако, дело не ограничилось. Не только в геометрии интуиция оказалась ненадежным и недостаточным средством познания. Такой же она оказалась и в других ветвях математики, в частности в учении о числе. Так, например, долгое время считалось интуитивно очевидной аксиомой положение, что целое больше своей части. Это значит, что если некоторая совокупность объектов (А) есть часть другой их совокупности (В), то она содержит меньше элементов, чем совокупность В. Но интуиция не "подводит" нас только до тех пор, пока числа конечны: для них "аксиома" справедлива. Месяц-часть года, и в месяце дней меньше, чем в году. Но если А (часть бесконечного множества элементов совокупности В) имеет бесконечное множество элементов, то о совокупности В уже неверно сказать, что она больше своей части А.

"Нет никакого противоречия, – пояснял великий немецкий математик Георг Кантор, – в том, что – как это часто встречается в случае бесконечных множеств – два множества, из которых одно является частью или составной частью другого, имеют совершенно одинаковое количественное число" (16, 92). Уже древность знала и часто повторяла положение: целое больше своей части. Но, согласно Кантору, это положение можно применять без доказательства "лишь к сущностям, лежащим в основе целого и части. Тогда и только тогда оно является непосредственным следствием из понятий "totum" (целое. – В.А.) и "pars" (часть. – В.А.). К сожалению, эта "аксиома" применялась несчетное число раз без всякого основания и без необходимого различения "реальности" и "величины или числа" какого-нибудь множества" (16, 141). "Аксиома" эта верна лишь для конечных множеств.

И действительно, совокупность четных чисел есть часть совокупности натурального ряда чисел: 1, 2, 3, 4, 5 и т.д. до бесконечности. И все же число элементов совокупности четных чисел не меньше, а равно числу элементов совокупности всех натуральных чисел, так как в совокупности натуральных чисел: 1, 2, 3, 4, 5 и т.д. – каждому элементу этой совокупности будет соответствовать один элемент совокупности четных чисел:

1, 2, 3, 4, 5 и т.д.
2, 4, 6, 8, 10 и т.д.

Здесь число чисел второго ряда (число четных чисел) равно числу чисел первого ряда (числу всей совокупности натуральных чисел), так как каждому числу первого ряда может быть сопоставлено одно число второго ряда.

Однако все это "восстание" против интуиции, характерное для "чистого" логицизма, само зашло в тупик. Процесс "вытеснения" интуиции из математики, охвативший как геометрию, так и арифметику, встретился с неодолимыми трудностями. Не все принципы математики поддавались чисто логическому обоснованию, из которого было бы исключено всякое обращение к интуиции. Что математика не может опираться на интуицию в ее кантовском понимании – на априорные формы "чистого" наглядного представления, – было доказано и стало совершенно ясно. Но интуиция не исчерпывалась только тем ее видом, который был указан Кантом. Можно было отвергнуть в качестве основы математики кантовскую форму интуиции и в то же время признать, что математика необходимо обращается к интуиции другого типа, например к "интеллектуальной интуиции" создателей математики нового времени – Декарта и Лейбница – или к какой-нибудь ее модификации.

Так и случилось. Параллельно с развитием критики старой – кантовской – интуиции в математике шел процесс уяснения интуиции другого типа – интуиции, которая все же может быть открыта в основаниях математических наук. Уже на собеседованиях математиков и философов, имевших место 14 октября 1905 г. и 19 января 1906 г. в Венском философском обществе, были предложены вниманию участников тезисы по вопросу о роли интуиции в математике. Анализируя в своем вступительном слове основную тенденцию этих тезисов, австрийский логик Алоиз Гёфлер (A. Höfler) удачно выявил двойственный характер этой тенденции. Исходя из примеров, приведенных Ф. Клейном, Больцманом и другими, авторы второго тезиса утверждали, что не только некоторые из геометрических представлений неинтуитивны, но что "всякая геометрическая очевидность основывается на неинтуитивном" (17, 127). Но в то же время пятый тезис признавал, что "наряду с геометрической не-интуицией (Nicht-Anschauung) имеется также геометрическая интуиция формы, (Gestaltanschauung)". А в седьмом тезисе на вопрос, "как мы постигаем формы?", был дан ответ: "Не путем простого чувственного ощущения, но путем наглядного представления (то есть интуиции. – В.А.)" (17,127).

В своем выступлении Гёфлер разбил тезисы на две группы. Вывод первой группы (I-IV тезисы) он сформулировал так: "Интуиция умерла" (17, 136). Но вторая группа (V-IX тезисы) говорит: "Да здравствует интуиция!" (17, 136).

Констатируя парадоксальность возникшего положения, Гёфлер предлагал, не придерживаясь непременно в ходе дискуссии обветшавшего, как он выразился, термина "интуиция", разобраться в существе проблемы. "Это совместное сосуществование геометрической не-интуиции и геометрической интуиции, – говорил Гёфлер, – может представляться одной из серьезнейших и актуальнейших антиномий..." (17, 137).

Дальнейший ход математических дискуссий действительно оказался попыткой решить – для математики – антиномию, которую Гёфлер сформулировал – для философии – в терминах своей идеалистической "гештальтпсихологии". В следующих главах будет показано, как развивалась борьба между противниками и сторонниками интуиции в математике.