В. Ф. Асмус. ПРОБЛЕМА ИНТУИЦИИ В ФИЛОСОФИИ И МАТЕМАТИКЕ

Дальнейшим – после Пуанкаре – этапом в разработке учения об интуиции в математике стало направление, получившее название "интуиционизма". Видные деятели этого направления – голландский математик Брауэр (L.E.J. Brouwer) и швейцарский математик Герман Вейль (Hermann Weyl).

Подобно "логицизму" Рассела и "формализму" Гильберта "интуиционизм" возник и развился во влиятельное течение не в качестве философского или гносеологического направления, а как направление математическое. По крайней мере отчасти его возникновение было попыткой преодолеть трудности, обнаружившиеся при обосновании математики средствами "логицизма" и "формализма". Но так как вопрос был поставлен именно об обосновании математики, то при его разработке представители всех трех направлений – "логицизма", "формализма", "интуиционизма" – независимо от своих намерений постоянно входили в обсуждение "пограничных" проблем математики, логики и философии. Уже у Кантора, чьи взгляды сложились до возникновения этих трех течений, философия вторгается в математические исследования. Вопросы о "трансфинитном" Кантор сам признал относящимися "к ведению главным образом метафизики и математики". В работах, излагающих воззрения на актуально бесконечное, Кантор самым тщательным образом исследует взгляды по этому вопросу крупнейших философов – античных, средневековых, мыслителей XVII-XVIII и XIX вв. – начиная от Демокрита и Платона вплоть до Больцано, Зигварта и Вундта. То же отношение к философии свойственно и математическому "интуиционизму". Это не разновидность философского интуитивизма – вроде интуитивизма, характерного для феноменологии Гуссерля, – а особое направление в обосновании математики и особая разработка ряда специально математических дисциплин и учений, таких, как математическая логика, теория континуума, дифференциальное и интегральное исчисления, теория множеств, топология, теория функций и т.д. Совершенно недопустимо поэтому отождествление математического "интуиционизма" с интуитивизмом в философии.

Однако идеи, на которых основываются у "интуиционистов" понятия и учения математики, были таковы, что требовали ясного понимания отношений, например, между "интуицией" в математическом и "интуицией" в философском смысле этого понятия или между "становлением" в специально математическом, принятом "интуиционистами" смысле, и "становлением" в философском значении. Не удивительно поэтому, что Г.Вейль, заканчивая свой обзор состояния проблемы познания в математике от учения Анаксагора до символической математики Гильберта, подчеркивает, "как тесно сплетается в своих основах математика с общими проблемами познания" (5, 33).

Вполне ясное осознание своих собственных философских принципов "интуиционистами" достигнуто не было. В то же время логика развития школы вела к тому, что внимание к философским вопросам математики непрерывно нарастало.

В 1913 г. в бюллетене Американского математического общества появилась важная работа лидера "интуиционизма" Брауэра "Интуиционизм и формализм". За ней последовали опубликованные в журнале "Mathematische Annalen" статьи Брауэра, посвященные обоснованию интуиционистской математики: "Zur Begründung der intuitionistischen Mathematik" (№93, 95, 96). В последующих трудах Брауэр переходит к более широкой разработке вопроса об отношении математики к философии ("Consciousness, Philosophy and Mathematics", 1948).

Обращался к вопросам философии и Г.Вейль. В 1919 г. он опубликовал работу "О новом кризисе основ математики" в журнале "Mathematische Zeitschrift". Во второй половине 20-х годов вышла его философская работа "Философия математики и естествознания" (переведена на английский язык в 1948 г.).

В работах "интуиционистов" необходимо отличать то понятие об интуиции, к которому они пришли, исходя из собственно математических проблем, и которое было необходимо им для освещения и объяснении путей математического творчества, от понятия об интуиции, частично почерпнутого ими из идеалистической философии и не связанного необходимой связью с содержанием научных теорий. Не все, что писали "интуиционисты" об интуиции, – "интуитивизм" в идеалистическом смысле слова. Исследования "интуиционистов" и их понятия об интуиции связаны с важными для математики, имеющими положительное значение и чрезвычайно ценными для науки вопросами о роли построения ("конструирования") в доказательствах математической науки.

Определение "интуиционизма" мы находим в книге А.Рейтинга "Обзор исследований по основаниям математики. Интуиционизм. Теория доказательства" (русское издание, М.-Л., 1936). Согласно определению Рейтинга, к "интуиционистам" принадлежат математики, которые принимают два следующих принципа: 1) "Математика обладает не только чисто формальным, но и содержательным значением"; 2) "Математические предметы непосредственно постигаются мыслящим духом; следовательно, математическое познание не зависит от опыта" (7, 9).

Математическое содержание этого определения смешано с философским. Первое положение – полемическое. Оно направлено против "логицизма", надеявшегося построить все здание математики из одних формальных логических элементов. Второе положение сочетает логическую характеристику математического познания – как базирующегося на непосредственном интеллектуальном усмотрении основных истин математики – с философским выводом, согласно которому математическое познание как познание непосредственное, интуитивное, будто бы априорно, независимо от опыта.

Это философское содержание вывода совершенно идеалистично. Больше того. "Вывод" вовсе не вытекает из посылки. Из признания непосредственного (интуитивного) характера основных воззрений математики отнюдь не следует вывод об априорности математических аксиом, а следует только вопрос: на чем основывается та непосредственность, с какой высокоразвитому математическому сознанию представляются эти аксиомы? А решить этот вполне законный и необходимый вопрос можно только на основе диалектического понимания процесса познания и материалистического понимания опыта. И Брауэру, и Вейлю такое понимание осталось чуждым и неизвестным. Поэтому рассматриваемый в философском разрезе "интуиционизм" в лучшем случае только еще раз подтверждает важный для теории знания факт, что существуют положения и принципы математического знания, которые для современного сознания представляются непосредственными. При этом "интуиционизм" отказывается (как математическое течение, он имеет право так поступать) от дальнейшего философского исследования генезиса самой этой непосредственности. Но, отказываясь от такого исследования, "интуиционизм" Брауэра тем не менее отдается руководству предвзятых и превратных идеалистических теорий и учений об абсолютной спонтанности мыслящего духа. Поэтому в философском отношении он топчется на месте. Он не идет по сути дальше того понятия об интуиции, которое было выработано рационалистами XVII столетия.

Совершенно иным будет взгляд на значение, какое принцип "интуиционизма" получил для обоснования и развития математики как специальной науки, поскольку он свободен от предпосылок идеалистической философии. В сфере математики, под давлением ее задач и в рамках понятий этой специальной, несмотря на всю ее великую всеобщность, науки в понятие интуиции и интуитивного обоснования математического знания были внесены важные изменения и уточнения. Уточнения эти освобождали математическую мысль от внушений идеалистической философии и оказались чрезвычайно плодотворными и перспективными для развития математики и целого комплекса ее специальных дисциплин.

Позиция и устремления математического "интуиционизма" имеют предпосылкой отрицательное отношение "интуиционистов" к абсолютизации логических и формальных основ математики. "Интуиционизм", конечно, пользуется и математической логикой и методами формализации. Поэтому отношение "интуиционизма" к "логицизму" в духе Рассела или к "формализму" в смысле Гильберта ни в коем случае не есть отрицание ценнейших для науки результатов их исследований.

У "интуиционистов" предметом критики стало убеждение "логицистов" в том, будто все здание математики может быть возведено на основе одной только логики. "Интуиционизм" прослеживает возникновение и разработку этого убеждения. Вейль напоминает, что уже Ганкель в 1867 г. в теории комплексных чисел заявлял: "Условием построения всеобщей арифметики является... очищенная от всего интуитивного чисто интеллектуальная математика, чистое учение о формах, в которой исследуются не количества или их образы, числа, а интеллектуальные объекты, которым могут, но вовсе не должны соответствовать действительные объекты или отношения между ними" (см. 5, 56. Курсив мой. – В. А.). В этой "логизированной" до конца математике ее "аксиомы превращаются в скрытые определения содержащихся в них основных понятий" (5, 56). "Чистая", как называет ее Вейль, математика "признает только одно, но зато совершенно обязательное условие истины – именно непротиворечивость" (5, 56). Впоследствии задача, намеченная Ганкелем с целью построения всеобщей арифметики, получила полное и всеобъемлющее развитие в исследованиях Дедекинда, Фреге и Рассела. По словам Вейля, эти исследователи "как раз и имели целью полностью логизировать математику" (5, 74). Авторы этого направления полагали, что столь важный для математики принцип полной индукции может быть обоснован логически – "на трансфинитном применении понятий "все" и "существует"; при этом в теории множеств стирается демаркационная линия между математикой и логикой" (5, 74). Сначала общая арифметика так называемых гиперкомплексных чисел, а затем исследования, посвященные вопросам аксиоматики, развитие теории множеств и логистики приводят к тому, что "различие между математикой и логикой постепенно стирается" (5, 87). В 1870 г. Б.Пирс (В.Peirce. Не смешивать с основателем прагматизма Чарльзом Пирсом!) определяет математику как науку "о производстве необходимых умозаключений" (5, 87). В своей книге "Введение в математическую философию" Бертран Рассел писал: "Логика стала более математической, математика – более логической... В действительности они составляют одно" (80, 194). А в первом томе "Логических исследований" Гуссерль указывал, что значительная часть теорий, принадлежащих к "чистой", или "формальной", логике, "уже давно складывалась в виде чистой (в особенности "формальной") математики и обрабатывается математиками..." (61, 252).

Идея "формализации" математики была развита также в "формализме" Гильберта. В его системе понятия математики освобождаются от всякого содержания, в том числе даже от чисто логического. У Гильберта теоремы (согласно характеристике Вейля) "превращаются в лишенные всякого смысла фигуры, составленные из комбинаций нескольких символов, и математика оказывается уже не знанием, а управляемой некоторыми условными правилами игрой в формулы, вполне подобной игре в шахматы. Шахматным фигурам в математике соответствует ограниченный запас символов, расположению фигур на доске – объединение символов в формулу. Одна или несколько формул принимаются за аксиомы; им соответствует известное расположение фигур в начале шахматной партии. И подобно тому как в шахматах из какой-нибудь конфигурации после подчиненного известным правилам передвижения фигур хода получается новое расположение фигур на доске, так ив математике действуют формальные правила вывода, согласно которым из одних формул могут быть получены, "выведены" новые формулы" (5, 27). Размещение фигур на доске, полученное из их начального расположения в шахматной партии, разыгранной по всем правилам игры, может быть названо "правильным размещением". В математике аналогичную роль играет доказанная формула, получающаяся из аксиом на основе правил умозаключения. Можно представить себе в шахматной игре ситуации, противоречащие ее правилам. Таким противоречием было бы, например, наличие в одной игре на доске 10 ферзей одного и того же цвета. Аналогично и в математике некоторые формулы определенного начертания квалифицируются как противоречия. Наконец, есть аналогия между целью шахматной игры, какой является мат, и некоторыми формулами математики: формулы эти "вызывают в играющем в математику желание получить их в качестве результирующей формулы из подходящим образом подобранной цепи ходов в правильно разыгранной партии доказательства" (5, 27).

Аналогия с шахматной игрой очень хорошо иллюстрирует устремление "формализма". Но даже в столь радикальном своем виде математический "формализм" не может исчерпать все задачи и весь метод математики. Тот же Гильберт признал уже в работах 1922 г., что, кроме формализованной математики, исключающей всякое обращение к интуиции и всякое содержательное мышление, необходимо существует еще другая математика, именуемая по почину того же Гильберта "метаматематикой". В ней развивается дедукция, приводящая к выводу, что конечная формула какого-нибудь доказательства никогда не может быть противоречивой. Однако для оправдания этого вывода, единственного не поддающегося усилиям "формализма", Гильберт, как констатирует Вейль, "вынужден прибегнуть к обладающему содержанием и смыслом мышлению" (5, 28), вынужден построить "интуитивно-конечное умозаключение, опираясь на принцип полной индукции" (5, 28). И Вейль иллюстрирует это положение опять-таки с помощью аналогии с шахматной игрой. Эта игра может превратиться в знание, если мы докажем, что в шахматной партии при правильной расстановке фигур на доске не могут оказаться десять ферзей одного цвета. Кроме ферзя, стоящего на своем месте в начале партии, на доске могут оказаться ферзи того же цвета, например, белого, образовавшиеся в результате прохождения белых пешек на последнюю – восьмую линию клеток. Правила игры таковы, что ни один ход не дает возможности увеличить число пешек и ферзей одного и того же цвета. Если все пешки одного цвета прошли в ферзи, то сумма эта равна 9. Будем теперь рассматривать эту сумму как начальную. Ни при каком расположении фигур на доске она не может стать большей. Умозаключение, посредством которого мы приходим к этому знанию, есть интуитивное умозаключение, опирающееся на принцип полной индукции.

Аналогия здесь точная, однако точность ее распространяется только на ход доказательства, но отнюдь не на степень его сложности. В математике доказательство непротиворечивости конечной формулы чрезвычайно сложно.

Вейль напоминает, что Гильберт изложил свою теорию доказательства, сложившуюся у него около 1922 г., в работах "Новое обоснование математики" и "Логические основы математики". В первой из этих работ он формулирует расщепление математики на формальную математику и "метаматематику". Развитие общей математической науки, поясняет Гильберт, осуществляется, с одной стороны, посредством получения (с помощью формального вывода) новых доказуемых формул из аксиом, а с другой стороны (с помощью содержательного вывода), посредством присоединения новых аксиом и доказательства непротиворечивости.

При этом Гильберт обращает внимание на то, что аксиомы и доказуемые предложения не являются истинами в абсолютном смысле. Абсолютными истинами, по его мнению, следует скорее считать воззрения на доказуемость и непротиворечивость систем формул, порождаемые его теорией доказательства (то есть "метаматематикой").

Таким образом, у Гильберта – лидера крайнего "формализма" – математика расчленилась на математику формальную ("формальную теорию") и "метаматематику" ("теорию доказательства"). Математика изучает формальную систему в целом. Метаматематику, относящуюся к какой-либо конкретной формальной системе, американский исследователь Клини впоследствии назвал "метатеорией" (см. 9, 60). В отличие от формальной теории "метатеория", по словам Клини, "принадлежит интуитивной, неформальной математике... Утверждения метатеории должны быть понимаемы. Ее выводы должны убеждать. Они должны состоять в интуитивных умозаключениях, а не в применении установленных правил, как выводы в формальной теории" (9, 61). Для нее невозможна полная абстракция от смысла, составляющая условие строгой формализации теории. Применяемые в ней методы "используют только интуитивно представляемые предметы и осуществимые процессы" (9, 61). Для самого определения формальной математики необходима математика интуитивная (см. 9, 61).

Но метаматематика не совпадает полностью с "интуиционистской" математикой. Исторически первая возникла в результате исследований как "интуиционистов", так и "логицистов". В настоящей работе рассматривается только то, что было сделано для подготовки современной метаматематики "интуиционизмом". В вопросе об основах математики "интуиционизм" исходил из того, что ни одна наука, в том числе философия и логика, не может быть предпосылкой или основой математики. Математика не есть часть логики, не есть, как выразился однажды Рассел, "зрелый возраст логики" (80, 194). По Брауэру, применение в математике доказательства каких-либо философских или логических положений в качестве средств ее обоснования было бы порочным кругом, так как при самой своей формулировке эти положения уже предполагают математическое образование понятий (см. 7, 20). Таким образом, у Брауэра получается вывод, что математика как наука свободна от логических предпосылок. Но в таком случае единственным источником математики – таково утверждение Брауэра – может быть интуиция. Именно интуиция, и только она одна, дает с непосредственной ясностью понятия и выводы математики.

Но что представляет собой математическая интуиция, согласно пониманию Брауэра? По правде говоря, было бы трудно найти у Брауэра положительное определение сущности интуиции. Скорее он предлагает лишь отрицательные характеристики. Так, по Брауэру, интуиция не есть, во-первых, интуиция "чувственная". Она не опирается на воображение. Она не есть, во-вторых, "сверхчувственная" и "сверхразумная" интуиция мистиков. Об этом хорошо говорит Рейтинг в уже цитированном обзоре: "Не следует понимать Брауэровскую интуицию в том смысле, что она доставляет нам неким "мистическим" образом узрение (Einsicht) мира" (7, 20). Интуиция Брауэра не есть, в-третьих, интуиция Декарта, Лейбница, говоря вообще, не есть интуиция старых рационалистов.

В отличие от чувственной интуиции математическая, или теоретическая, интуиция "интуиционистов" не сводима к узрению чувственных явлений. Она, по выражению Вейля, не феноменальна. Она предполагает "веру" в реальность*.

* Принципиальная ошибка Вейля в том, что он понимает эту "веру" слишком "либерально" – как веру "в реальность собственного и чужого Я, или в реальность внешнего мира, или в реальность божества" (5, 32).

В отличие от интуиции мистической интуиция математиков-"интуиционистов" не есть видение трансцендентного – в смысле потустороннего, запредельного по отношению к явлениям, принципиально отделенного от явлений. "Интуиционизм" несовместим не только с пониманием интуиции в духе Н.О.Лосского* или С.Л.Франка**, но и со взглядами на интуицию, которые развивал, например, Фихте в последний период своей деятельности. Именно о Фихте Вейль говорит как о философе, ставшем жертвой "мистической ошибки, согласно которой трансцендентное может быть нами в конечном счете включено в круг интуитивного узрения" (5, 32).

* Имеем в виду взгляд на интуицию, развитый Лосским в его раннем "Обосновании интуитивизма" (1906 г.) и в поздней книге "Чувственная, интеллектуальная и мистическая интуиция". Париж, 1938.
** С.Л.Франк, Предмет знания. П., 1915, особенно часть вторая, стр. 179-321 и часть третья, стр.325-435; С.Л.Франк, Непостижимое. Париж, 1939.

"Интуиционисты" согласны с классическим рационализмом в том, что отделяет их взгляд от понимания интуиции как "чувственной" и как "мистической". Так же как и для рационалистов, для них органом интуитивного усмотрения является рассудок. В этом черта их сходства с Кантором, который, как было показано, считал, что основные понятия его математики покоятся на определениях рассудка и обладают непосредственной достоверностью, достигаемой с помощью "внутреннего видения".

Но, соглашаясь в вопросе об интеллектуальном характере математического видения со старыми рационалистами и с Георгом Кантором, "интуиционисты" решительно отвергли метафизическое понимание интуиции как статического, неподвижного усмотрения. Уже Брауэр заметил, что математика есть "более деяние (Tun), чем учение" (см. 6, 106). И Вейль в полном согласии с Брауэром поясняет, что интуиция, или созерцание, о котором говорят "интуиционисты", "вовсе не представляет собою состояния блаженного покоя, из которого оно не может никогда выйти" (5, 55). Интуиция математического "интуиционизма" не есть интуиция ставшего, данного, завершенного, замкнутого, наличного в своей завершенности. Понятие о математическом объекте есть, согласно взглядам "интуиционистов", понятие об объекте становящемся, появляющемся не как целиком или вполне данное, а как данное лишь посредством построения. Такое построение "интуиционисты" часто называют "конструкцией", а свою логику и свой метод – "конструктивными".

В соответствии с этим "интуиционисты" по-своему понимают роль теорем в математике. Они разъясняют, что в математических так называемых теоремах о существовании "главную ценность представляет собой не сама теорема, а используемое при ее доказательстве построение"; без построения теорема "оказывается лишенной какой бы то ни было ценности тенью" (5, 23). Допустим, что мы рассматриваем вопрос о том, существует ли некоторая последовательность чисел или нет. Утверждать, что она существует, мы вправе, согласно "интуиционизму", только тогда, когда нам удастся построить закон, определяющий эту последовательность до бесконечности (см. 5, 23).

Какой смысл может при такой постановке вопроса иметь утвердительное и какой смысл – отрицательное суждение? Чтобы получить утвердительный ответ, например, по вопросу о существовании определенного свойства E у натуральных чисел, необходимо указать вполне конкретное число, обладающее свойством Е. Не исследование отдельных чисел, а только исследование сущности числа, как таковой, может быть основанием для отрицательного общего суждения: ведь никто не может исследовать все без исключения отдельные числа.

Но если "душа" доказательства, как это утверждает "интуиционизм", в построении, то какой смысл может иметь отрицательное суждение, высказывающее мысль, что натуральный ряд чисел не обладает свойством E? Каким способом в этом случае может быть достигнуто построение?

Очевидно, здесь отрицательное суждение "лишается всякого смысла" (5, 23). Но ведь общему отрицательному суждению можно сообщить форму утвердительного: "Всякая последовательность обладает свойством не-Е". Поставим вопрос: какой смысл при таком выражении может иметь само понятие "последовательности"? Очевидно, в этом случае последовательность понимается уже не как последовательность, сразу определяемая каким-то законом, а как последовательность становящаяся и только становящаяся, то есть возникающая, как утверждает Вейль, "раз за разом, в результате актов свободного выбора" (5,24). Например, посредством актов свободного выбора я получаю последовательность чисел: 2, 12, 18, 31, 8. Я могу поставить вопрос, находится ли на 4-м месте этой последовательности простое число. Очевидно, ответ на этот вопрос будет утвердительный, так как 31 – число простое. Теперь я вправе сказать, что определяемое моим вопросом свойство присуще данной последовательности. Справедливость этого утверждения уже не может быть изменена, каким бы образом ни происходило дальнейшее развертывание последовательности, будут или не будут простыми числами дальнейшие члены этой последовательности, получившиеся в результате свободного выбора. В работе "О новом кризисе основ математики" Вейль выразил идею свободно становящейся последовательности так: если последовательность "возникает постепенно, посредством свободных актов выбора, то ее следует рассматривать как становящуюся, а становящейся свободной последовательности (Wahlfolge) можно разумным образом приписывать только такие свойства, для которых дизъюнкция "да или нет" (присуще ли данное свойство последовательности или нет) разрешается на каком-нибудь определенном, достигнутом нами месте последовательности, разрешается при этом так, что, как бы ни происходило дальнейшее развертывание последовательности, за пределами этого пункта ее становления оно не меняет уже результата дизъюнкции" (5, 101).

Какое значение имеет эта точка зрения для математики? Ее значение в том, что не ограниченная никаким законом, свободная в своем развертывании последовательность представляет математические свойства континуума. Оказалось, что над свободными последовательностями можно осуществлять математические операции. Этот "континуум" содержит, правда, отдельные вещественные числа, но не разлагается на сумму "готовых", "предлежащих" вещественных чисел: он представляет, по выражению Вейля, "среду свободного становления".

Интуиционистское понятие "свободного становления" характеризует взгляд интуиционизма на значение для математики логического закона исключенного третьего. Согласно этому закону, утверждение А и его отрицание (не-А) не могут быть оба сразу истинными и не могут быть оба сразу ложными. В соответствии с этим вопрос, существует ли последовательность чисел со свойством E или не существует, может быть решен в классической логике и в опиравшейся на нее доинтуиционистской математике только согласно формуле: "да" или "нет", третьего не дано. Пока мы имеем дело с конечными множествами, такое решение представляется неоспоримым. Но как только мы вступаем в область бесконечных множеств, положение радикально изменяется. До Брауэра полагали, что и для бесконечных множеств закон исключенного третьего сохраняет свою силу. В своих ранних работах Вейль, до того как он присоединился ко взгляду Брауэра, рассуждал следующим образом. В случае бесконечных множеств мы, разумеется, не в силах найти средства, с помощью которых мы могли бы дать определенный ответ на поставленный вопрос о принадлежности или непринадлежности свойства к бесконечной последовательности. Но и в этом случае дело не в том, что доступно (или не доступно) для нашего познания. Совершенно независимо от того, что может быть установлено нами, натуральный ряд чисел сам по себе таков, что "для всякого свойства Е, имеющего смысл в области чисел, всегда определено, существуют ли числа вида Е или не существуют" (5, 105). Хотя бы я не был способен – ввиду бесконечности ряда – решить, как именно обстоит дело, оно во всяком случае обстоит либо так, либо не так (см. 5, 106). Выходило, что закон исключенного третьего все же сохраняет свое значение.

Под влиянием Брауэра Вейль впоследствии отказался от этой своей точки зрения. Именно потому, что невозможно рассмотреть все числа бесконечного ряда для получения общего суждения о числах, необходимо исследовать не отдельные числа, а самое сущность числа. Если построение выполнено, если доказательство проведено, то мы вправе сказать, что закон, обладающий свойством Е, существует (см. 5, 103). При этом отрицательное суждение, будто такого закона нет, становится бессмысленным. Если, далее, отрицательное суждение мы выразим в утвердительной форме и соответственно скажем, что всякая последовательность обладает свойством Е, то в этом случае под последовательностью мы будем понимать уже последовательность, образующуюся посредством свободных актов выбора. Тогда можно приписывать становящейся последовательности и свойство Е, и свойство Е. Тогда возможен случай, что в самой сущности последовательности, где каждый акт выбора свободен, заключается то, что она обладает свойством Е. Тогда мы вправе, если получен некоторый закон, утверждать уже без проверки, что последовательность, определяемая этим законом, не обладает свойством Е. Но совокупность случаев, в которых имеет силу или утверждение, что существует последовательность, обладающая свойством Е, или утверждение, что каждая последовательность обладает свойством Е, сама по себе неопределенна. Поэтому полная дизъюнкция здесь не применима, то есть закон исключенного третьего не имеет силы. Тогда обе рассмотренные возможности уже не стоят одна против другой как утверждение и отрицание: отрицание первой так же бессмысленно, как и отрицание другой. Здесь не может быть утвердительного (или отрицательного) ответа ни в том случае, когда вопрос поставлен относительно повторяющегося (как угодно часто) применения конструктивных принципов, ни в том, когда вопрос поставлен о процессе перехода (тоже как угодно частого) от одного числа к ближайшему, за ним следующему (см. 5, 107).

"Интуиционизм" меняет взгляд на природу общих суждений в математике. Отрицание общего суждения оказывается невозможным. Отрицать общее суждение – значит доказать некоторую теорему о существовании. Но такое суждение о существовании (например, "существует четное число"), по уверению Вейля, ничего не выражает. Это не настоящее суждение, а то, что Вейль называет "абстракцией суждения". Настоящим суждением будет, например, суждение: "2 – четное число". Свойство "быть четным числом" может быть определено только при помощи полной индукции, на основе умозаключения от n к n+1. Общее суждение есть суждение гипотетическое, а не суждение о том, какова некоторая сама по себе существующая объективная ситуация. Определенное суждение получается из общего лишь в применении к единичному, определенному заданному числу. Основой всеобщности является само определение, и уже исходя из всеобщности движутся дальше при посредстве полной индукции. Именно принцип полной индукции служит для определения и вывода. Эту роль он выполняет не тогда, когда он применяется в качестве формулы, а тогда, когда последовательно применяется в конкретных случаях. И именно принцип полной индукции, по выражению Вейля, "представляет собой собственную и единственную силу математики" (5, 77). Высказанный впервые в явном виде Блезом Паскалем в 1654 г. и Яковом Бернулли в 1686 г. принцип полной индукции "приносит с собою в математические доказательства совершенно новый и своеобразный момент, чуждый аристотелевой логике, и он-то и составляет подлинную душу искусства математического доказательства" (5, 61). Или, как говорит об этом Вейль в другом месте, "узрение сущности (Wesenseinsicht)", из которого проистекают все общие суждения, опирается всегда на так называемую полную индукцию. Она не нуждается в дальнейшем обосновании, да и не способна к нему, ибо она есть не что иное, как математическая первоинтуиция итерации (правило действия "еще один раз") (см. 5, 109). "Мы не в состоянии.., – утверждает Вейль, – свести определение на основе полной индукции к чему-то более изначальному. Ряд натуральных чисел и содержащаяся в нем интуиция итерации составляет последнее основание математического мышления" (5, 98).

Согласно воззрению "интуиционизма", именно полная индукция ограждает математику от превращения в чудовищную тавтологию и сообщает ее положениям не аналитический, а синтетический характер. Метод полной индукции не только основная черта математического мышления. Он пронизывает собой всю математику, начиная от элементарной и проективной геометрии. Его роль в этих частях математики маскируется лишь наивностью, с какой в них применяются к точкам термины "все" (квантор общности) и "существует" (квантор существования) (см. 5, 88).

Воззрение "интуиционизма" должно было стать и стало в оппозицию к понятию Кантора об актуальной бесконечности. И это понятно. Теория множества – в ее канторовской форме – целиком покоится на понятии актуально бесконечного. Огромная притягательность этой концепции состояла в том, что она казалась способной окончательно и нерушимо обосновать математический анализ во всех его частях. Больше того. Теоретико-множественный метод победоносно овладел не только всей областью анализа, но также и учением о натуральных числах – начальной частью математики.

"Интуиционизм" исключал понятие о бесконечности как о завершенной, замкнутой и самодовлеющей совокупности объектов. Согласно "интуиционизму" (второй и третий принципы так называемого конструктивного познания Вейля), понятия математики в известной мере самостоятельны по отношению к действительности и допускают свободное оперирование. Они не извлекаются каждое по отдельности, а относятся к "фону" многообразия возможностей. Это многообразие, разворачивающееся в бесконечность, может быть упорядоченным по некоторому определенному принципу.

Совершенно иначе мыслит Кантор. Для него закономерно возникшая последовательность чисел, развертывающаяся в бесконечность, превращается в замкнутую совокупность не становящихся, а неподвижно пребывающих предметов. Теория множеств рассматривает в качестве замкнутой совокупности существующих самих по себе предметов не только числовой ряд, но и совокупность его подмножеств. Именно поэтому она, по словам Вейля, "целиком базируется на почве актуально бесконечного" (5, 73).

Если множество конечно и состоит из отдельных заданных предметов, то мы еще можем путем последовательных актов выбора составить и пересмотреть все возможные его подмножества. Принцип "интуиционизма" останется ненарушенным. Но если множество бесконечно, то абсолютизирующая концепция существования не может быть применена к подмножествам. Такое применение еще менее возможно, чем применение ее к элементам. Математика может иметь дело только с такими подмножествами, которые определены закономерным образом на основании какого-нибудь свойства, характерного для их элементов. Абсолютизирующая математическая мысль совершает, согласно взгляду Вейля, переход к "трансцендентному". Поэтому Вейль полагает, что теоретико-множественное обоснование представляет собою "стадию наивного реализма, не осознающего содеянного им перехода от данного к трансцендентному" (5, 90). Но даже если бы этот переход был осознан, он и в этом случае был бы невозможен. Согласно "интуиционизму", "трансцендентное" никогда не может попасть в сферу действия нашей созерцающей интуиции. Представление, будто интуиция способна овладеть областью "трансцендентного", Вейль называет "мистическим". Поэтому теория множеств "никоим образом не является основанием математики" (5, 120). Поистине изначальна в математике всеобщность арифметики и анализа. И эта всеобщность, утверждает Вейль, "опирается на свой собственный интуитивный фундамент и потому заполнена самостоятельным интуитивным содержанием" (5, 120).

В отличие от "интуиционизма" аксиоматический формализм Гильберта пытается "оставить позади себя" содержание, непосредственно данное в интуиции, и представить средствами математики "трансцендентное". Но он может представить его только посредством системы символов.

Сказанным определяется отношение "интуиционизма" к аксиоматическому формализму Гильберта. Этот формализм сводит математическое мышление к поискам следствий, логически вытекающих из принятых посылок. Но "интуиционизм" отвергает такую теорию математического исследования. "Математика, – говорит Вейль, – вовсе не состоит в том, чтобы развивать по всем направлениям логические выводы из данных предпосылок; нет, ее проблемы ставятся интуицией, жизнью научного духа, и эти проблемы нельзя разрешать по установленной схеме вроде арифметических школьных задач. Дедуктивный путь, ведущий к их разрешению, не предуказан, его требуется открыть, и в помощь при этом нам служат обращения к мгновенно прозревающей многообразные связи интуиции, к аналогии, к опыту" (5, 53). В математике невозможно дать описательную характеристику всего бесконечного многообразия отдельных структур – характеристику, которая была бы независима от способа конструктивного порождения этих структур. По выражению Вейля, мы "не обладаем истиной, мы завоевываем ее путем активного действия" (5, 46). Или, говоря иначе, не существует ни одного определяемого описанием (дескриптивного) признака для предложений, доказуемых из данных предпосылок, – математика неизбежно должна пользоваться построением.

Рассмотренный взгляд на роль интуиции в обосновании и построении математики не есть только гносеологическое убеждение (или мнение) некоторых математиков, именуемых "интуиционистами". Кроме гносеологического смысла он имеет смысл специально математический. В качестве математического принцип "интуиционизма": 1) заключается по существу во взгляде, что в математике доказанными могут считаться только такие положения, к которым приходят в результате осуществленного построения или по крайней мере на основе воззрения, указывающего принципиальную возможность такого построения; 2) утверждает, что основанием и наиболее специфическим для математики принципом является принцип полной индукции, не выводимый логически и открывающийся только в непосредственном интеллектуальном усмотрении.

Основополагающее значение построения для интуиционистской математики побуждает некоторых крупных математиков этого направления предпочитать для его логики наименование не "интуиционистской", а "конструктивной". Термин "конструктивная" логика предпочитают математики и математические логики советской школы – академик А.Н.Колмогоров и другие. Это предпочтение мотивируется желанием отмежевать математический "интуиционизм" от направления, которое они называют философским интуиционизмом (лучше было бы назвать его "философским интуитивизмом"). Так, В.А.Успенский, редактор русского перевода книги американского математика Стефена К. Клини "Введение в метаматематику", в примечании пишет: "...употребление многими авторами... терминов "интуиционистская математика", "интуиционистская логика" и т.п. следует признать не совсем удачным, поскольку охватываемое этими терминами положительное содержание не имеет обычно... никакого отношения к философии интуиционизма" (см. 9, 49).

Действительно, математический "интуиционизм" вовсе не есть философское направление. Он имеет специфическое математическое содержание, независимое от философии и ни в какой мере не подлежащее ее опеке. Но если "интуиционизм" не имеет "ничего общего" с философским интуитивизмом, например, Бергсона, или Н.О.Лосского, или С.Л.Франка, или даже Гуссерля, то это вовсе не значит, что в конструктивной математике нет понятия об интуиции или что это понятие не играет в ней никакой существенной роли. Понятие это вполне правомерно. Как понятие о непосредственном знании, о непосредственном усмотрении ума понятие "интуиции", само по себе взятое, не характеризует ни в какой мере принадлежность философии (или науки), в которой он используется, к идеализму или материализму (в философском смысле). Оно так же мало характеризует ориентировку среди философских направлений, подобно тому как понятия "опыт" или "идея", сами по себе взятые, не могут рассматриваться в качестве признаков идеалистического или материалистического направления тех учений, в которых эти понятия встречаются. Было бы по меньшей мере странно отказаться, например, от понятия "опыт" только на том основании, что существует идеалистическое – берклеанское, юмистское, махистское и т.д. – понимание опыта, И было бы не менее странно надеяться на то, что "интуиция", о которой говорят Брауэр, Вейль и другие математики "интуиционистского" направления, перестанет быть интуицией, как только мы начнем называть ее вместо "интуиции" "построением". И в том и в другом случае "интуиция" будет непосредственным, логически не обоснованным усмотрением ума, начальным актом познания, приводящим к обладанию математической истиной (такова, например, интуиция, посредством которой усматривается принцип полной индукции). И в том и другом случае речь идет не о том, допустимо ли понятие об интуиции, а только о том, будет ли интуиция мыслиться в идеалистической или в материалистической интерпретации этого понятия, вполне правомерного и даже необходимого.

Брауэр и Вейль толкуют это понятие идеалистически. Более того, их философское учение об интуиции отличается идеалистической воинственностью. Но учение Брауэра и Вейля только первый этап в интерпретации математического понятия об интуиции. Иную интерпретацию это понятие получило в советской школе "конструктивизма", которая свидетельствует о том, что истинно научной философской основой математического интуиционизма может и должен быть материализм. Это важнейшее обстоятельство необходимо иметь в виду при чтении последующих страниц нашей работы, хронологические рамки которой позволяют нам рассмотреть лишь раннюю стадию интуиционизма. Философский идеализм этой стадии – особенность, только ей свойственная. Как явление философии этот интуиционизм остался тесно связан с кризисом, какой породили в капиталистических странах сами успехи науки в начале XX в.

Рассматривать "интуицию" Брауэра, Вейля и их сторонников как чисто математическое понятие можно было бы – да и то лишь в известном смысле – только при условии, если бы, констатировав интуитивный характер, например, принципа полной индукции, они начисто отказались от каких бы то ни было философских, гносеологических выводов, связанных с этим понятием. В этом случае математики-"интуиционисты" рассуждали бы примерно так: "Мы не знаем, и, по правде, нас не интересует, каким образом в результате эволюции человеческого интеллекта и в какой зависимости от развития материальной практики возникли, могли возникнуть непосредственные усмотрения математически мыслящего ума, именуемые "интуициями". Мы знаем, что такие усмотрения существуют, и, зная это, исследуем, каким образом они действуют при обосновании и построении математики и ее специальных дисциплин. Ограничивая математику тем, что может быть добыто в результате первичной интуиции полной индукции, а также в результате осуществимых и осуществленных построений, мы даем математике обоснование более строгое, чем в доинтуиционистской математике. Мы освобождаем математику от парадоксов и от логических антиномий, вошедших в нее после того как была сделана попытка развить всю математику на основе канторовской теории множеств с центральным для нее понятием актуально бесконечного". Однако Брауэр и Вейль так не поступили. В развитой ими концепции интуиции математическое содержание оказалось смешанным с содержанием философским. Понятие интуиции в математическом смысле сочеталось у них с точкой зрения гносеологического идеализма. Задуманная как реформа математики математическими же средствами, их теория "интуиционизма" оказалась насквозь пропитанной идеалистическими предрассудками.

Эти две стороны "интуиционизма" необходимо отличить и отделить друг от друга. Такое разграничение выявит непререкаемую значительную ценность, какую "интуиционизм" представляет для научного обоснования математики. Вместе с тем разграничение математического и философского аспектов "интуиционизма" выявит философскую слабость идей Брауэра и Вейля, несостоятельность их гносеологической интерпретации "интуиционизма".

Понятие "интуиции" – неотъемлемый элемент математики "интуиционизма"; оно имеет свои математические результаты. Ограничение математического мышления тем, что ему дает осуществленное построение ("конструкция"), исходная интуиция полной индукции, отказ от канторовского актуально бесконечного и от принципа исключенного третьего классической аристотелевской логики, во-первых, содействует освобождению математики от кризисного состояния, которое наступило после развития теории множеств и канторовской доктрины актуальной бесконечности. Во-вторых, это ограничение не препятствует развитию – на "интуиционистской" основе – во многом более строгих, чем до Брауэра, и по-новому разработанных теорий. В специальной области математики "интуиционизм" дал важные конструктивные результаты. Ограничение математики положениями, которые могут быть добыты с помощью построения, опирающегося на "праинтуицию" принципа полной индукции, отказ (при переходе из сферы конечных множеств в область бесконечных множеств) от принципа исключенного третьего, правда, сузили часть математики, допускающую строгое обоснование. Но зато математике перестали угрожать парадоксы (антиномии), неизбежно возникающие в ней при теоретико-множественном обосновании ее учений. "Изгнание" актуально бесконечного привело к новой разработке теории множеств. Заново была решена труднейшая проблема континуума – на основе отказа от представления о континууме как о чем-то готовом, состоящем из отдельных (атомарных) элементов. В понятие о континууме был введен принцип "становления". В нем каждую из его частей стали рассматривать как неограниченно делимую, а понятие точки – как понятие о пределе продолжаемого до бесконечности деления. Фундаментальное значение для теории континуума приобрело понятие "обладания частями".

Интуиционистская критика проникла в область арифметики и алгебры, усовершенствовала доказательства существования корня алгебраического уравнения: внесла уточнение в классическое понятие сходимости рядов и разработала различные части теории рядов; обработке (в плане "интуиционизма") подверглась теория функций комплексного переменного; уточнения были достигнуты в понятии о множестве, что дало возможность разработать важные разделы теории множеств, в частности радикально уточнена была теория "мощностей"; в теории "полной упорядоченности" и в исследованиях "точечных видов" были получены результаты, позволившие Брауэру приступить к исследованию (на основе принципов "интуиционизма") теории функций, и т.д. и т.п.

За время, протекшее с начала возникновения математического "интуиционизма" до исхода 20-х годов, исследования частей и учений математики, допускающих применение "интуиционистских" методов, значительно продвинулись и расширились. Во "Введении в метаматематику" (которая, впрочем, не совпадает с "интуиционистской" математикой) Клини широко и обстоятельно освещает последующее проникновение "интуиционизма" в математику и ее теории, а также достигнутые при этом ценные результаты. Бесспорно успешной и плодотворной была в "интуиционизме" критика "формализма". "Интуиционизм" представил убедительные доказательства невозможности чисто формалистического обоснования математики, доказал необходимость содержательной математики. Принципиальное значение получило предложенное "интуиционистами" решение вопроса о возможности доказательства непротиворечивости. Доказуемость эта – краеугольное условие формалистического обоснования математики. Однако "интуиционисты" показали, что для доказательства непротиворечивости необходимо применение полной индукции, полная же индукция опирается на интуицию. Фундаментальным событием явилось доказательство австрийским математиком Гёделем известной теоремы, названной "теоремой Гёделя". Согласно этой теореме, в каждой математической системе, для которой имеется доказательство ее непротиворечивости и которая содержит теорию чисел, фигурируют положения, в этой системе недоказуемые, но доступные доказательству по принципам "интуиционизма". Особенно важно учесть при оценке математического содержания "интуиционизма", что "интуиционистская" критика и теория развивались отнюдь не с позиций борьбы против логики, а, напротив, во имя более строгого в логическом отношении обоснования математики. "Интуиция" "интуиционистов" – это не алогическая интуиция Бергсона, а метод непосредственного интеллектуального усмотрения в математике. В сущности то, что Брауэр понимает под "интуицией", есть, по выражению Гейтинга, только "способность раздельного рассмотрения определенных понятий и выводов, регулярно встречающихся в обыденном мышлении" (7, 20).

Но, как было уже указано, ни Брауэр, ни Вейль не остались в пределах "интуиционизма" как только математического учения. В их работах "интуиционизм", конечно, не только учение о роли построения в математическом доказательстве. В их математические понятия "интуиции", "свободного становления" и т.д. вторгается определенное философское содержание. Нельзя сказать, что оно вторгается непроизвольно и что Брауэр и Вейль сами не понимали, что означала их позиция в философском смысле, В той мере, в какой они опирались на философию, они сознательные идеалисты.

Вейль прямо признает, что он принимал участие в борьбе противоположных сторон – не только противоположных математических школ, но и противоположных философских направлений. Он разъяснил, что в борьбе математических сторон кроется не только математическое содержание: "Здесь в новой и в высшей степени обостренной форме находит свое выражение издревняя противоположность между реализмом (материализмом. – В.А.) и идеализмом" (5, 33). При этом сам Вейль целиком на стороне идеализма. И не только "на стороне". В само содержание математических учений "интуиционизма" он вносит активную идеалистическую философскую интерпретацию. Он подчеркивает идеалистический смысл воззрений Брауэра, основателя "интуиционизма". "В изложении Брауэра, – пишет Вейль, – математика приобретает максимальную интуитивную ясность, учение его является продуманным до самого конца математическим (следовало бы сказать "философским". – В. А.) идеализмом" (5, 26).

Идеализм здесь не в том, что основой принципа полной индукции "интуиционисты" считают интуицию, то есть непосредственное, логически не выводимое усмотрение ума. "Непосредственность" некоторых истин могут признавать и признавали также и. материалисты. Выше мы указали как на пример на Фейербаха. В первичной математической интуиции Брауэр и его последователи видят не результат развития предшествующей ("доматематической") практики, отражающейся в сознании и отражающей коренные отношения и свойства вещей, а абсолютно спонтанное действие и проявление изначальной свободы человеческого духа. Тезис этот провозглашался и повторялся в различных сочетаниях бездоказательно. Он не вытекает из взгляда Брауэра, согласно которому математика есть "деяние", а не "теория"*.

* Верно и остроумно заметила по поводу этого утверждения проф. С.А.Яновская: "Как будто для действования не нужна теория!" (22, 94).

В редукции математических доказательств Брауэр и Вейль доходят до интуитивного фундамента полной индукции и рассматривают ее как математическую "праинтуицию". Как математики, они имеют право поступать таким образом. Математики не обязаны исследовать вопрос о том, как получаются понятия, которые они кладут в основу доказательств математической науки в качестве исходных и недоказуемых. Но как философски мыслящие математики (а они сами себя считают такими) "интуиционисты" не имеют права на этом останавливаться. Они обязаны, дойдя до "праинтуиции" математики, вести свою редукцию дальше "назад". Они обязаны ответить на вопрос о генезисе самой этой "праинтуиции". Они обязаны точно и обстоятельно разъяснить, в чем состоят признаки "интуитивной ясности", на которую они постоянно ссылаются, но которая без соответствующих разъяснений легко может быть смешана с субъективной "оценкой" сознания, лишенной общезначимого и, следовательно, научного содержания.

Что "интуиционистскому" понятию интуитивной ясности можно предъявить этот упрек, видно из той критики, какой сами "интуиционисты" подвергли канторовскую актуальную бесконечность. Основанием этой критики стало для них положение, будто в математике невозможно осуществить построение, которое сделало бы нас обладателями интуитивно ясного понятия о бесконечности как о бесконечности завершенной, сполна данной, предлежащей уму.

Мы показали выше, что, вводя в учение о множествах понятие актуальной бесконечности, Кантор, далекий от "интуиционизма" и даже избегающий прямых ссылок на интуицию, не ограничивается разъяснением, что понятие об актуально бесконечном он вводит посредством точного определения. Он указывает, что понятие это представляется его уму в своем объективном содержании совершенно непосредственно и с полной внутренней ясностью. Но эта характеристика совпадает с "интуиционистской" характеристикой интуиции. Актуально бесконечное Кантора – объект интеллектуальной интуиции ничуть не меньше, чем конструктивные результаты "интуиционистов". Почему же в таком случае это канторовское понятие отвергается, признается неосуществимым в мысли?

Канторовская интуиция актуальной бесконечности лишена обязательности в глазах "интуиционистов". Они отказались признать за ней непосредственность и совершенную ясность внутреннего видения, на которые ссылался, как мы видели, Георг Кантор. Это разногласие существенно не только для математики, но и для гносеологии. Оно показывает, что в самом понятии интеллектуальной интуиции не было безусловной ясности и существовала возможность, а следовательно, и опасность субъективной иллюзии. И это не удивительно. Ссылка на непосредственность интеллектуальной интуиции используется в редукции математического обоснования. Но она не может быть последней инстанцией в философской редукции происхождения знания. Для гносеологического объяснения интеллектуальная интуиция не беспредпосылочное абсолютное начало знания, а его среднее звено. Его последующие звенья – положения, обосновывающиеся на интеллектуальной интуиции. Его первичное звено, составляющее предмет исследования уже не математики и вообще не специальных наук, а теории познания, – материальная практика общественного человека в ее историческом развитии. Интуиция как функция человеческого познания имеет свою историю. Корни этой истории глубоко уходят в почву практики. По верному разъяснению итальянского математика и логика Энрикеса, первоначальные математические интуиции, например в геометрии, "возникли путем идеализированного опыта, который неоднократно повторялся при состоянии интеллекта, предшествовавшем полному развитию сознания" (6, 16).

Без обращения к гносеологическому критерию практики исходное для "интуиционизма" Брауэра и Вейля понятие интуиции становится шатким. На нем могут быть основаны только субъективные построения, а не система объективного научного знания. Возникает оправданное сомнение в способности "интуиционистов" убедить нас в том, что результаты их построений – нечто большее, чем субъективное творчество, что они составляют науку. Выходит, что отказ "интуиционистов" признать правомерность чрезвычайно обширных и хорошо разработанных частей математики как не допускающих "интуиционистского" ("конструктивного") обоснования – отказ, мотивированный строгостью логических требований, сочетается с далеко не строгой и не ясной выработкой центрального для всей этой школы понятия – понятия самой интуиции. Поле исследований, взывающих к точности и безупречной логической строгости, обволакивается туманом субъективистской неопределенности. Первые "интуиционисты" остались в плену своего идеализма – вполне догматического и метафизического.

Их идеализм был не только догматичен и не только метафизичен по методу, неспособному применить генетическую точку зрения к самому явлению интуиции в человеческом мышлении. Он, кроме того, был агрессивен по своей направленности и нетерпим. Правильно утверждая, что построение в математике подчиняется логике решения проблем, отличной от классической, "интуиционисты" типа Брауэра и Вейля полагали, будто только эта логика имеет право на признание в математике. Вразрез с этой точкой зрения академик А.Н.Колмогоров показал, что между принципами классической логики и принципами "конструктивной" логики "интуиционизма" не существует отношения исключающего противоречия: "интуиционистская" логика есть логика новой и особой области исследования, ею не исключаются принципы доинтуиционистской логики; они лишь подвергаются ограничению там, и только там, где это ограничение вызывается своеобразием исследуемой области объектов*.

* Об этом А.Н.Колмогоров писал уже в 1932 г.: Kolmogoroff, Zur Deutung der intuitionistischen Logik, "Mathematische Zeitschrift №35, S.58-65; ср. В.Гливенко. Кризис основ математики на современном этапе его развития. "Сборник статей по философии математики". М., 1936, стр. 83.