Рассмотрим теперь высказанную идею более подробно.
Предположим, что для динамической системы (1) существует область G, где функция
f(x) имеет вид
,
здесь g << 1,
а Pr – проектор на подпространство размерности r < n.
Эту проекцию можно рассматривать как плоскость (в общем
случае поверхность) P, проходящую через некоторую точку x0 Î G, а оператор Pr – как проектор
на нее. Обозначим также r координат на P как u = Prx, а прочие n‑r
– через v = (I‑Pr)x. Тогда f(x) = f1(u) + f2(u,v),
и на поверхности P мы получаем отображение
. (5)
Если точность необходимого прогноза позволяет отбросить
второй член, например, если g очень
мало, то динамику можно приближенно свести к r‑мерной:
. (6)
Таким образом, если необходимо предсказывать компоненту u,
это можно сделать при помощи оператора проектирования (6). Предсказание
компонент v также иногда возможно, если их зависимость от самих себя
несущественна или имеет очень простой вид. Некоторые же компоненты вектора x
могут остаться непредсказуемыми.
Отметим, что формула (6) фактически определяет уравнение
русла, связанного с областью G.