§3. Ограничения методик прогнозирования - Управление риском. Риск. Устойчивое развитие. Синергетика - Неизвестен - Синергетика

Развитие нелинейных методов обработки данных, таких как оценка размерности аттрактора или ляпуновских показателей, позволили понять и некоторые их ограничения. В частности, был получен ряд соотношений, связывающих длину временного ряда N и наибольшую размерность аттрактора d, которую можно оценить по ряду такой длины в наилучшем случае: N ³ 10d .

Некоторые оценки используют в этой формуле d/2 вместо d, но при этом случае для наиболее часто встречающихся на практике временных рядов, длина которых обычно составляет N » 103¸104, едва ли можно ожидать надежных результатов для систем с d > 5.

В задачах прогноза временных рядов получить подобные оценки несколько сложнее. Дело в том, что какой-нибудь прогноз можно дать всегда при помощи так называемого метода "нулевого порядка": (z) @ (z0), где z0 – ближайшая точка, в которой известно значение F или взвешенная сумма, полученная по нескольким ближайшим соседям z0k, (z) @ Skwk(z0k). То есть, для прогноза используется одна или несколько наиболее близких ситуаций в прошлом. Заметим, что метод радиальных базовых функций можно рассматривать как обобщение этого подхода.

Наибольший же интерес при прогнозировании представляет ошибка прогноза. "Типичное" значение абсолютной ошибки естественно оценить как ||D(z0)||×||z – z0||. Для приближенной оценки ||z – z0||, можно воспользоваться гипотезой о равномерном заполнении точками, построенными по наблюдениям, d‑мерного куба с ребром l (размах колебаний величины x).

Если обозначить среднее расстояние между точками через a, то N » (l/a)d, а ||z – z0|| @ a/2 @ lN‑1/d/2. Поэтому для приближенной оценки ожидаемой относительной ошибки прогноза, полученного при помощи метода нулевого порядка, имеем 0 » ||D(z0)||×N‑1/d. Оценить ||D(z0)|| весьма сложно, но можно показать, что она должна быть пропорциональна exp(), где  – наибольший ляпуновский показатель. Поэтому при малых N время предсказуемости также мало.

Таким же образом можно оценить ошибку прогноза для локального линейного предиктора (метод "первого порядка"), 1 » ||D2(z0)||×N‑2/d. Успех методов нелинейной динамики, можно объяснить использованием небольшого d (d £ 3). Он также обусловлен тем фактом, что при малых t, как правило, ||D(z0)|| » 1, а ||D2(z0)|| является O(1), или даже близка к 0. Если положить ||D(z0)|| » ||D2(z0)|| » 1, N » 103, d = 2, мы легко получим, что e0 » 0,03, e1 » 0,001. Близкие значения и получаются в численных экспериментах для модельных систем .

Для экспериментальных данных, таких как временные ряды в физиологии, медицине или экономике, размерность d обычно неизвестна, но она едва ли меньше 5. Оценки производных также не могут быть получены. Но даже если положить ||D(z0)|| » ||D2(z0)|| » 1, N » 103, d = 5, получим e0 » 0,4, e1 » 0,15. В экономических и финансовых прогнозах такая точность, как правило, никого не устраивает, тем более она не приемлема в задачах управления риском.

Тем не менее, существуют ситуации, когда для реальных сложных систем делались хорошие прогнозы, обычно с помощью нейронных сетей (надежной информации на этот счет нет, поскольку все успешные финансовые прогнозы сразу становятся коммерческой тайной, однако краткие заметки в газетах и частные сообщения утверждают, что такое в самом деле случается). Ниже мы попытаемся объяснить этот феномен, но сначала рассмотрим общую структуру трехслойной сети и ее связь с задачами прогноза и теоремой Такенса.