3.2. Критичность в неконсервативных системах - Управление риском. Риск. Устойчивое развитие. Синергетика - Неизвестен

Правила рассмотренных выше BTW‑ и DR‑моделей, как и многих других СК-систем, являются консервативными, т.е. при осыпании ячеек изъятые из них величины перераспределяются без потерь и покидают систему, только достигнув ее краев. Поэтому в течение нескольких лет после появления первых СК-моделей бытовало (подкрепленное расчетами) мнение, что явление самоорганизованной критичности присуще исключительно консервативным системам. Если бы это было действительно так, то его применимость к описанию природных процессов была бы весьма ограниченной . Но в 1991 г. отцом и сыном Федерами была предложена неконсервативная самоорганизованно критическая FF-модель .Мы здесь рассмотрим лишь ее дискретный вариант, правила которого идентичны правилам BTW-модели за одним исключением: при осыпании ячейки число в ней уменьшается не на фиксированную величину – 4 единицы, а до нуля (см. рис. 4б).

При первом осыпании в лавине данное различие правил роли не играет. Однако, поскольку в ходе развития лавины у одной ячейки могут осыпаться несколько соседей одновременно, значение в ней может оказаться и больше 4, так что образовавшийся избыток диссипирует при осыпании. Тем не менее, модель демонстрирует критическое поведение. Показатель распределения числа осыпаний получается больше, чем в BTW‑модели (0,5 против 0,2

В FF-модели механизм диссипации носит характер "обрезания излишков", т.е. является пороговым. Поэтому встает вопрос, возможно ли самоорганизованно критическое поведение при наличии "обычной", т.е. линейной диссипации. Ответом – положительным – служит OFC-, во многом близкая по правилам к FF-модели. Обе модели формулируются на двумерной ортогональной решетке с открытыми граничными условиями, в обеих при осыпании неустойчивой ячейки ее значение – будем называть его напряжением – уменьшается до нуля.

Однако в OFC-модели напряжения соседей осыпавшейся ячейки увеличиваются на величину qF, где F – напряжение осыпавшейся ячейки, а q < 0,25 – параметр, определяющий степень сохранения. При этом остаток напряжения, равный (1‑4q)F, диссипирует.

Разумеется, описанные правила предполагают, что напряжения являются непрерывными числами. Привод модели осуществляется путем одновременного равномерного увеличения напряжений всех ячеек[7] до тех пор, пока одно из них не достигнет порового значения.

К сожалению, из-за технических трудностей модель до сих пор не исследована на решетках, достаточно больших для достоверного определения показателей распределений. Общепринятым является лишь то, что по мере уменьшения степени сохранения q показатель распределения числа опрокидываний растет, проходя через единицу при q = qc » 0,18

Однако значительно больший интерес, нежели значения показателей, представляют в высшей степени нетривиальные процессы, происходящие в критическом состоянии OFC-модели.

Поскольку в ней присутствует диссипация, наличие открытых граничных условий не является необходимым для достижения стационарного состояния. Кроме того, пропорциональность диссипирующей доли напряжения его величине приводит к тому, что оно не может перемещаться по системе на большие расстояния и основная часть напряжения диссипирует в глубине решетки, не достигая ее краев Поэтому, казалось бы, края не должны оказывать существенного влияния на поведение системы. Однако если заменить открытые граничные условия, при которых модель демонстрирует самоорганизованно критическое поведение, периодическими, т.е. свернуть решетку в тор, то система самоорганизуется в совершенно иное состояние.

При q не очень близких к 0,25 в OFC-модели на торе осыпание ячейки практически никогда не сопровождается нарушением устойчивости соседних ячеек, т.е. лавины не развиваются. Система оказывается замороженной в неупорядоченном квазипериодическом состоянии, когда одна и та же последовательность осыпаний повторяется практически без изменений раз за разом. Разрушить такое состояние могли бы крупные лавины, оставляющие после себя довольно упорядоченные области, в которых большое число ячеек достигнет порога устойчивости почти одновременно и сможет снова принять участие в лавине. Однако взяться лавинам при периодических граничных условиях неоткуда.

Если же границы системы открыты, то находящиеся на них ячейки получают при опрокидывании своих соседей меньшую прибавку напряжения, чем ячейки в глубине (просто потому, что имеют меньше соседей). Соответственно, они отстают от них в скорости роста напряжения, и когда оно все-таки достигает порога, их соседи имеют в среднем большее напряжение, чем соседи ячеек в глубине. Это обстоятельство делает возможным развитие лавин, которые упорядочивают ячейки в глубине решетки. Таким образом, край системы, к которому примыкает пренебрежимо малая доля ячеек и который не нужен для достижения стационарного состояния, в OFC-модели оказывает решающее влияние на ее самоорганизацию и управляет в ней всеми крупными событиями, которые запускаются только с него.

3.2. Критичность в неконсервативных системах - Управление риском. Риск. Устойчивое развитие. Синергетика - Неизвестен - Синергетика