II. 2. СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ ("ИЗ ОДНОГО - ВСЕ") - Системные описания психологии - Ганзен

II. 2. 1. Принцип декомпозиции. Начальным этапом анализа любого

множества как системы является группировка его элементов, разбиение на

подмножества.  Этот процесс может быть описан в различных терминах.

Разбиение на классы производится на основе отношения эквивалентности. При

этом неявно предполагается, что: а) существует процедура, позволяющая

установить сходство и различие элементов множества, в результате сходные

(неотличимые применяемой процедурой) элементы попадают в один класс -

отличающиеся - в разные; б) нет проблемы выделения самих элементов; в) мы

имеем дело с дискретными множествами. В реальных множествах элементы могут

обладать несколькими признаками. Поэтому одно и то же множество может быть

разбито на различные подмножества.

На непрерывных множествах могут быть заданы функции разных видов. Разбиение

таких множеств на подмножества может происходить в точках, где функция

имеет разрыв, или в малых областях, где ее градиент велик и

превышает некоторое пороговое значение [23]. В ряде случаев математические

условия разбиения, границы между подмножествами могут восприниматься

человеком, - например, выделение контуров и их разбиение на части при

зрительном восприятии.  Разбивающими могут служить особые точки функции -

перегиба, максимума, минимума и т. д. Иногда ими оказываются значения

непрерывной функции, соответствующие целочисленным или натуральным

значениям ее аргумента. Но возможны и случаи, когда ни один из

перечисленных принципов квантования не "работает".  Тогда

фиксируется два крайних противоположных значения функции, которые и

принимаются за дискретные характеристики множества. Так приходится

поступать при решении задач типологии. Примером могут служить распределения

людей в данной выборке по показателям экстраверсии - интроверсии и

нейротизма. При независимости показателей число выделяемых крайних типов

соответственно увеличивается.

II. 2. 2. От единого к множеству. Из одного все образуется различными

путями.  Единица (одно) может делиться и может умножаться. В обоих случаях

единица порождает многое, из одного элемента возникает множество. Разбитие

целого на части можно производить при помощи деления и вычитания, создать

многообразие из элементов можно с помощью сложения и умножения. Существует

много конкретных реализаций процессов сложения, вычитания, умножения и

деления, - например, сложение чисел, векторов, бесконечно малых величин,

логическое сложение и т. д.  Простейшими (но и важнейшими!) движениями от

одного ко всему являются процессы раздвоения и удвоения целого.

"Раздвоение единого и познание противоречивых частей его... есть

суть (одна из "сущностей", одна из основных, если не

основная, особенностей его черт) диалектики".*(*Ленин В. И. Полн. собр.

соч., т. 29, с. 316.)

Раздвоение единого представляет собой частный, но самый важный случай

анализа одного, единого, целого. "Из одного -все, и из всего -

одно", - этот тезис показывает, что раздвоению противостоит

объединение двух в одно.  Частным, но принципиальным случаем является

объединение противоположностей по Гераклиту, гармония состоит из

противоположностей (мужское и женское и т. д.) [36].

II. 2. 3. Раздвоение единого. На практике единое всегда является

единым множеством. Действительно, целостную геометрическую фигуру всегда

можно представить как связное множество точек; понятие характеризуется

прежде всего объемом и содержанием, которые тоже являются множествами:

первое - множеством объектов данного класса, второе - множеством признаков

класса. Поэтому, когда нужно разделить единое практически, мы всегда имеем

дело с раздвоением множества. Любое реальное множество допускает большое

число раздвоений. Чтобы уменьшить это число, необходимо ввести ограничения,

которые могут сократить число вариантов, оставить единственное решение или

даже сделать раздвоение невозможным (например, невозможно раздвоить круг

при ограничении принципа повторяемости целого в частях).

раздвоение целого на диалектические пары тоже может быть не единственным.

Множество может быть "полидиполюстным". Тогда возможно несколько

последовательных диалектических дихотомий, причем их порядок определяется

задачей. Такие дихотомии множества могут быть симметричными и

ассиметричными.

II. 2. 4. Раздвоение математических объектов. Рассмотрим более

конкретное раздвоение множеств, геометрических фигур и других

математических объектов.

--------Картинка стр. 31-------

Рис. 2. Раздвоение нечеткого множества.

-----------------------

А. Раздвоение множеств. Эта процедура включает в себя следующие способы

реализации:

1. Разбиение множества на два непересекающихся подмножества (класса) на

основе отношения эквивалентности.

2. Выделение подмножества в множестве на основе отношения включения,

которое является частным случаем отношения порядка.

3. Разбиение множества на непересекающиеся подмножества, когда:

а) исходное множество ограничено и его подмножества также ограничены;

б) исходное множество неограниченно и его подмножества также неограниченны.

4. Раздвоение размытых множеств. Пусть размытое множество описывается

градусным распределением. Тогда процесс его раздвоения можно представить

графически (рис. 2). Процесс происходит непрерывно, но может быть

зафиксирована граница перехода от одного в два.

Б. Раздвоение геометрических фигур.  Плоскость можно раздвоить на области

двумя способами. Любая прямая делить плоскость на две полуплоскости.

Замкнутая линия делит плоскость на ограниченную и неограниченную области

(рис. 3, А). В результате разделения плоскости прямой линией

получаем две полуплоскости, при втором способе деления противоположность

состоит в ограниченности и неограниченности полученных частей.

-----------Картинка стр. 32-------

Рис. 3. Раздвоение геометрических объектов.

А - плоскости; Б - ограниченной области плоскости; В

- прямоугольника; Г - кольца.

---------------------------

Теперь рассмотрим раздвоение ограниченной области плоскости. Оно может

происходить либо при появлении внутренней границы, либо при

"исчезновении" части части внешней границы, либо путем раздвоения

границы при сохранении целой области (рис. 3, Б). В первом случае

получаем дискретно-непрерывный объект (ДНО), во втором - дискретный (ДО),

в третьем - непрерывно-дискретный (НДО). В результате разделения замкнутой

области получены противоположности как внешнего (ДНО и ДО) и внутреннего

(НДО).

Рассмотрим на примерах раздвоения прямоугольника. Возьмем квадрат и

разрежем его пополам по линии, соединяющей середины противоположных его

сторон (рис. 3, В). В результате получаем прямоугольник с отношением

сторон 2 : 1 или 1 :  2. Назовем такое преобразование раздвоением,

противоположное ему - преобразованием удвоения. Если бы мы взяли не

квадрат, а прямоугольник, то результат указанного преобразования зависел бы

от того. относительно какой из двух средних линий прямоугольника

произведено преобразование. Если это существенно, то в определении

преобразования необходимо внести уточнение.

Однозначно определенное преобразование прямоугольника можно продолжать. В

результате мы получаем множество прямоугольников. Что является инвариантом

такого преобразования?

Уточним определение преобразования. Будем резать прямоугольник по короткой

средней линии. Если исходным прямоугольником был квадрат, то в результате

серии последовательных преобразований мы получим ряд прямоугольников с

такими отношениями сторон: 1 : 1, 1 : 2, 1 : 1, 1 : 2, и т. д.

Определим такие независимые характеристики прямоугольников, как площадь и

пропорции (отношения сторон). В нашем случае имеем отношение сторон для:

площади: - 1, 1/2, 1/4, 1/8, ...

пропорции - 1/1, 1/2, 1/1, 1/2, ...

Теперь изменим преобразование - будем делить прямоугольники по большей

средней линии. Тогда получим такие ряды чисел отношений сторон для:

площади - 1, 1/2, 1/4, 1/8, ...

пропорции - 1/1, 1/2, 1/4, 1/8, ...

Нетрудно видеть, что при данном преобразовании отношение величины пропорции

к величине площади постоянно и равно единице. Это отношение есть инвариант

последнего преобразования.

Проанализируем более подробно преобразование раздвоения квадрата на две

части.  Введем ограничение: пусть требуется разрезать квадрат на две

равновеликие части одним прямолинейным отрезком так, чтобы эту операцию

можно было повторять сколько угодно раз с получившимися частями. При таком

определении преобразования возможны его различные варианты: 1) квадрат

разрезаем на два треугольника - изменяется число вершин фигуры,

нарушающая равенство и параллельность сторон; 2) квадрат разделяется на две

трапеции (неправильных четырехугольника) - сохраняется число углов,

нарушается параллельность и равенство сторон; 3) квадрат разрезается на два

прямоугольника - сохраняется число вершин и параллельность сторон,

нарушается равенство сторон и пропорции фигуры.

Замечание 1. При делении квадрата по меньшей средней линии

получается ряд прямоугольников с пропорциями 1/1, 2/1, 1/1, 2/1, ... Если

за исходный взять прямоугольник с пропорциями 4/3, то при том же

преобразовании получаем ряд прямоугольников с пропорциями 4/3, 3/2, 4/3,

3/2, ... Нетрудно заметить, что произведение двух соседних чисел в каждом

ряду постоянно и в обоих рядах равно двум. То же самое будет верно для

любого исходного прямоугольника. Это не удивительно, так как преобразование

носит характер раздвоения. Здесь интересно другое: существует

один-единственный прямоугольник, пропорции которого при данном

преобразовании не изменяются прямоугольник остается подобным самому себе.

Отсюда следует, что совмещаются два фундаментальных преобразования:

удвоения и подобия. существует удвоение без подобия и подобие без удвоения.

Эти два преобразования объединяются при удвоении и сокращении вдвое по

меньшей мере средней линии прямоугольника с пропорциями 1/»2.

Замечание 2. Ряды прямоугольников, полученные при данных

преобразованиях, можно рассматривать как временны&е ряды, а инварианты

преобразований, как инварианты сохраняющиеся во времени. Можно также

рассматривать множество прямоугольников, появившихся в результате

преобразований, как одновременно существующие. Тогда инварианты можно

рассматривать как инварианты, существующие на множестве (в пространстве)

многоугольников. В последнем случае это может быть неупорядоченное

множество объектов.

Имеются ли другие геометрические фигуры, остающиеся подобными исходной при

последовательном делении на две части? Да. При делении подобную фигуру (обе

половинки) дает равнобедренный прямоугольный треугольник. Приблизительно

такой же результат получается у кольца: изолированные или вложенные

концентрические кольца, соприкасающиеся внутри или касающиеся извне, либо

ортогонально сцепленные кольца (рис. 3, Г). Любой прямоугольный

треугольник делится на два подобных, но неравных прямоугольника.

В. Раздвоение других математических объектов. Как раздвоение единицы на два

взаимообратных сомножителя можно рассматривать равенство

1=ає(1/а), где а - любое действительное число. Такое

преобразование неоднозначно. Дополнительные ограничения могут сузить

область допустимых для а значений. При а=*

(*=1,618...) константа золотого отношения  1/*=0,618..., т.

е. взаимообратные числа отличаются на единицу (раздваиваемое число).

Аналогично можно раздвоить единичное преобразование на два взаимо обратных:

Е=АєА"-1", где Е - единичное преобразование, переводящее объект

в самого себя; А - преобразование рассматриваемого класса объектов.

Примерами могут служить дифференцирование и интегрирование, левый и правый

повороты, логарифмическая и показательная функции и др.

Подобным же образом произведем раздвоение функции. В математике не

существует единичной функции, подобно единичному преобразованию, но

существуют взаимные функции. Графики взаимообратных функций симметричны

относительно биссектрисы первого квадранта в декартовой системе

координат. Уравнение этой биссектрисы y=x. Данную функцию и будем

называть единичной. В результате ее "раздвоения" всегда будут

получаться взаимообратные функции y=f(x) и x=f(y).

Особым случаем раздвоения единого (Е) являет выделение из него относительно

целой, далее неделимой части (Н) и части, подверженной дальнейшему

аналогичному делению (Д):

------------Картинка 1 стр. 35--------

---------------------------

Примерами могут служить бинарные ассиметричные систематики (корректирующие

коды. темпераменты и т. д.). Математической моделью такого раздвоения

является, в частности, цепная дробь, с помощью которой представляется число

*:

--------------Картинка 2 стр. 35----

--------------------------

II. 2. 5. Раздвоение понятий и множеств понятий. Дихотомия - это

деление объема понятия на два класса. исчерпывающих весь объем делимого

понятия. Дихотомии строятся по двум схемам: А и не-А и А

- В. Каждому из двух классов соответствуют понятия, которые могут

находится в логических отношениях отрицания или дополнительности. В

реальной действительности отношения между компонентами диалектической пары

не исчерпываются отношениями отрицания и дополнения, они носят более

разнообразные и диалектический характер. По определения дихотомическая

пара представляет собой полный набор понятий. Вместе с родовым понятием они

образуют элементарную простейшую иерархию. Здесь представляют интерес такие

вопросы:

1. Какие отношения (кроме указанных выше) могут существовать между

компонентами дихотомной пары?

2. Каков механизм превращения дихотомии в политомию?

3. Каковы механизм и результат объединения двух дихотомий и политомий?

Анализируя описанные примеры процесса раздвоения, можно выделить следующие

его особенности: неоднозначность, множественность возможностей; различие

видов противоположностей, получающихся в результате раздвоения; различие

отношений между целым и частями; зависимость результата от дополнительных

ограничений.

В практической и познавательной деятельности человека часто приходится

иметь дело с раздвоением множеств объектов различной природы (точек,

геометрических фигур, понятий). При аналогии с дифференциацией стимулов

можно говорить о дифференциации подмножеств в множестве, оценивать

соответствующие дифференциальные пороги, изучать процесс дифференциации,

который в зависимости от условий может быть более или менее трудным

субъективно. Процесс осознания наличия двух подмножеств в множестве,

формулирование диапазона эквивалентности может происходить постепенно,

первоначально может складываться представление либо о границе, либо о

центрах подмножеств. Процесс раздвоения еще более затрудняется в случае

открытых множеств с переменным составом переменных. В современной

психологии процесс дифференциации подмножеств в множествах только начинает

изучаться. Работы в этом направлении могут составить основу нового раздела

психофизики. Практически их значение несомненно.

II. 2. 6. Триады. Следующим шагом анализа является выделение триад в

составе объекта. Речь идет о том же объекте, в котором исследовались

противоположности.

Раздвоение приводит к разбиению множества на пересекающиеся подмножества.

При их сближении или расширении подмножества могут пересекаться. Область их

пересечения будет третьим компонентом, возникает триада. Третий компонент

по своему гнезду является промежуточным средним. Это определяет и его

свойства: он может быть нейтральным (+, 0, -). В качестве примера можно

привести три стадии онтогенеза (см. VI. 2).

Образование третьего компонента почти наличии двух противоположных можно

представить как пересечение двух противоположностей. Примером может служить

получение нейтрального, незаряженного элемента в результате пересечения

положительного и отрицательно зарядов.

Еще один переход от диад к триадам связан с различением внутренних и

граничных областей объекта. Так, отрезок, разделенный на две части, имеет

три граничные точки. Триады возникают также в результате противополагания

одного компонента объекта трем другим. Например, в квадрате один угол, одна

сторона и противостоят трем другим.

Можно заметить, что независимо от способа образования триады обладают полной

общей чертой: третий компонент всегда оказывается промежуточным по

отношению к двум другим. Эта особенность прослеживается на многочисленных

примерах.  Наиболее показательны в этом плане диалектические триады:

единичное - особенное - всеобщее, тезис - антитезис - синтез.

Многие триады связаны с первыми тремя числами натурального ряда. Такова,

например, триада свойств отношений: рефлексивность, симметричность,

транзитивность. Рефлексивность определяется на одном, симметричность -

на двух, транзитивность - на трех элементах множества. Этим свойствам

аналогичны три аксиомы метрического пространства. В метрическом

пространстве промежуточность третьего компонента, характеризуется термином

"средний": среднее арифметическое, среднее геометрическое и т. д.

На примере средних величин отчетливо видно, что, как и в случае диад,

возможны различные триады при одних и тех же исходных данных.

Остановимся на двух диадах из теории динамических систем:

1. Статистическая, переходная и частотная характеристики. Полюса здесь -

статистическая и частотная характеристики, так как они получаются в как

результат постоянного и непрерывного изменяющегося возмущения. Переходная

характеристика - средний, промежуточный компонент триады как результат

возмущения, кратковременно изменяющегося.

2. Свободные, вынужденные и автоколебания. В этой триаде свободные и

вынужденные колебания - полюса по семантике. Автоколебания - средний

элемент триады, так как автоколебательная система содержит свободно

колеблющийся элемент, на который производится принужденное воздействие в

ограниченное время и с частотой, равной собственной частоте колебательной

системы.

Как триаду можно рассматривать подлежащее, сказуемое и дополнение в

предложении. Подлежащее замкнуто на себя, сказуемое - на подлежащее,

дополнение - на сказуемое. Обстоятельство и определение соотносятся с

компонентами данной триады: обстоятельство замыкается на сказуемое,

определение - на подлежащее или дополнение.

В психологии аналогом диалектической триады единичное - особенное -

всеобщее является триада индивидуальное - типическое - общее.

Конституциональная типология Шелдона строится на основе представлений об

эктодерме, мезодерме и эндодерме зародышевого листка. В структуре познания

П. Симонов выделяет подсознательные, сознательные и надсознательные

явления [100].

II. 2. 7. Тетрады и дальнейшее разбиение множеств. Тетрады могут

образовываться путем двух последовательных дихотомий по разным основаниям,

раздвоения среднего элемента триады и другими способами. Как тетраду можно

рассматривать совокупность отрезка, разделенного на три части. Диады имеют

одинаковую структуру, триады могут быть и одномерными и двухмерными,

тетрады могут быть также и трехмерными (по положению своих компонентов в

системном описании). Примерами тетрад могут служить тетрахорды в

музыке. Б.

Г. Ананьев рассматривал четыре вида отношений: внешне-внешние,

внутренне-внутренние, внутренне-внешние и внутренне-внутренние [5]. Тетрада

конструктивно менее прочна, чем диада и тетрада, поэтому для ее усиления

часто бывает необходим пятый, объединяющий компонент.

Процесс разбиения множества на подмножества может быть продолжителен.

Например, путем прогрессивного расслоения кольца оно может быть

разбито на пять, шесть и вообще любое число колец. В том случае, когда

образовавшееся множество компонентов  исходного целого однородно и они могут

быть упорядочены по целому основанию, мы можем получить упорядоченное

множество, одномерный ряд, который воспринимается как единица опыта, хотя

содержит число элементов больше четырех (множество годичных колец дерева,

множество химических элементов в одном периоде таблицы Менделеева). Но

когда компоненты целого объекта неоднородны, а отношения между ними

разнокачественны, при восприятии такого объекта начинают давать себя знать

ограничения восприятия, описанные выше (см. раздел I. 3). В этом случае при

числе компонентов больше четырех они должны группироваться таким образом,

чтобы число групп не превышало четырех. Именно этим объясняется

определяющее значение диад, триад и тетрад при анализе целостных объектов.