Дж.Беркли. ТРАКТАТ О ПРИНЦИПАХ ЧЕЛОВЕЧЕСКОГО ЗНАНИЯ

<<< ОГЛАВЛЕHИЕ >>>

101. Два больших отдела умозрительной науки, которые касаются идей, получаемых от ощущений, суть естествознание (natural philosophy) и математика, по отношению к каждому из которых я сделаю несколько замечаний. Прежде всего я скажу нечто о естествознании. Именно в этой области скептики торжествуют. Весь запас доказательств для унижения наших способностей и выставления человечества невежественным и низменным черпается главным образом из того основного положения, что мы поражены неисцелимой слепотой относительно истинной и действительной природы вещей. Люди преувеличивают и любят обобщать это положение. Мы жалким образом обманываемся нашими ощущениями и забавляемся лишь внешней стороной и видимостью вещей. Действительная сущность, внутренние качества и строение любого, даже ничтожнейшего, предмета скрыты от нашего взора; в каждой капле воды, в каждой песчинке есть нечто, что превышает силу проницательности или понимания человеческого ума. Однако из сказанного очевидно, что все эти жалобы лишены основания и мы находимся под влиянием ложных начал в такой мере, что перестаем доверять своим ощущениям и начинаем Думать, будто ничего не знаем о тех вещах, которые вполне понимаем.

102. Сильным побуждением к провозглашению нами самих себя невежественными в отношении природы вещей служит ходячее мнение, будто каждая вещь содержит внутри себя причину своих свойств, или что в каждом предмете есть внутренняя сущность, служащая источником, из которого проистекают и от которого зависят его различные качества. Иные полагали возможным объяснять явления посредством скрытых качеств, но последние в конце концов сводятся к механическим причинам, т.е. форме, движению, весу и тому подобным качествам неощутимых частиц; между тем в действительности нет иного деятеля или иной действующей причины, кроме духа, так как очевидно, что движение, подобно всем прочим идеям, совершенно недеятельно (см. §25). Поэтому тщетна попытка объяснить происхождение цветов или тонов из формы, движения, величины и т.п. И соответственно мы видим, что такого рода попытки отнюдь не удовлетворительны, что может быть вообще сказано о всех таких доказательствах, при которых одна идея или качество признается за причину других. Мне нет надобности говорить о том, сколько гипотез и умозрений отпадает и насколько изучение природы сокращается при принятии нашего учения.

103. Великое механическое начало, ныне пущенное в ход, есть притяжение. Что камень падает на землю или море поднимается к Луне, может многим представляться достаточно объясненным посредством этого начала. Но что же объясняется, когда нам говорят, что это происходит от притяжения? Не то ли, что это слово означает способ стремления, состоящий во взаимном влечении тел, а не в том, что они толкаются или подвигаются друг к другу? Но ничто не определено относительно этого способа или действия, и последнее так же правильно (насколько мы знаем) может быть названо толчком, как и притяжением. С другой стороны, мы видим, что частицы стали крепко сцеплены между собой, и это также объясняется притяжением; но как в этом, так и в прочих случаях я не усматриваю, чтобы это слово обозначало что-либо, кроме самого результата действия; ибо что касается способа, коим оно происходит, или причины, которая его производит, то они не более как предполагаются.

104. Действительно, обозревая многие явления и сравнивая их между собой, мы можем наблюдать некоторое сходство и соответствие между ними. Так, например, в падении камня на землю, в поднятии моря по направлению к Луне, в сцеплении, в кристаллизации и т.п. есть нечто сходное, а именно соединение или взаимное сближение тел, так что ни одно из этих или подобных им явлений не покажется странным или удивительным тому, кто тщательно наблюдал и сравнивал между собой действия природы. Ибо мы считаем странным только то, что непривычно, особенно, что выходит из обычного течения нашего наблюдения. Что тела стремятся к центру Земли, это не считается странным, потому что мы воспринимаем это в каждое мгновение нашей жизни. Но что существует такое же притяжение к центру Луны, может показаться и странным, и необъяснимым большинству людей, потому что это наблюдается только при приливах. Но так как философ, мысли которого обнимают более обширный круг природы, наблюдал известное сходство между небесными и земными явлениями, доказывающее, что бесчисленные тела имеют стремление взаимно сближаться, то он обозначает их общим именем притяжение, сводя их тем самым к тому, что, по его мнению, дает о них правильный отчет. Таким образом он объясняет приливы притяжением водной оболочки земного шара Луной, которое не кажется ему ни странным, ни аномальным, а является лишь единичным примером общего правила или закона природы.

105. Если поэтому мы всмотримся ближе в различие, существующее между естествоиспытателями и прочими людьми относительно знания ими явлений природы, то мы найдем, что это различие заключается не в более точном знании действующей причины, производящей явления, – ибо этой причиной может быть лишь воля некоторого духа – а только в большей широте понимания, при помощи которого были открыты в произведениях природы сходство, гармония и согласие и объяснены отдельные явления, т.е. сведены к общим правилам (см. §62); каковые правила, основанные на сходстве и однообразии, которые наблюдаются в произведении природных действий, в высшей степени отрадны и желательны душе, так как они расширяют наш кругозор за пределы обыденного и близкого нам и помогают нам делать весьма правдоподобные предположения относительно того, что могло происходить в очень отдаленных по времени и по месту расстояниях, а также предсказывать будущее; это стремление к всезнанию очень дорого Душе.

106. Мы должны, однако, соблюдать осторожность относительно таких вещей, потому что мы склонны придавать слишком большое значение аналогии и в ущерб истине поддаваться тому необузданному влечению нашего Духа, которое побуждает его расширять наше знание в общие теоремы. Так, например, что касается тяготения иди взаимного притяжения, то, поскольку оно обнаруживается во многих случаях, иные склонны провозглашать его всеобщим и признавать, что притягивать и быть притягиваемым всяким другим телом есть существенное качество, присущее всем телам без исключения. Между тем очевидно, что неподвижные звезды не обнаруживают такого взаимного стремления, и тяготение настолько не составляет чего-либо существенного для тел, что в некоторых случаях, по-видимому, обнаруживается совершенно противоположное начало, как, например, в росте растений в высоту и в упругости воздуха. Нет ничего необходимого или существенного в этом действии, но оно вполне зависит от воли управляющего духа, который делает то, что некоторые тела сцепляются вместе или стремятся одно к другому, согласно различным законам, тогда как другие он держит на неизменяющемся расстоянии, а некоторым дает совершенно противоположное стремление взаимно расходиться, смотря по тому, что он находит уместным.

107. После того что было сказано, мы можем, как я думаю, вывести следующие заключения. Во-первых, ясно, что философы тщетно тешили себя, отыскивая естественную действующую причину, отличную от ума или духа. Во-вторых, если принять во внимание, что все мироздание есть произведение мудрого и благого деятеля, то философам надлежало бы направлять свои мысли (в противоположность тому, чего некоторые придерживаются) на конечные цели вещей, ибо независимо от того, что эти исследования составляют весьма интересное занятие для ума, они могут быть и весьма полезны в том смысле, что не только раскрывают нам атрибуты создателя, но способны также руководить нами во многих случаях в правильном употреблении и приложении вещей; и я должен сознаться, что не вижу основания, почему указания на разнообразные цели, к которым приспособлены вещи природы и сообразно с которыми они изначально устроены с невыразимой мудростью, не могли бы считаться хорошим способом дать себе о них отчет и во всяком случае занятием, достойным философа. В-третьих, из сказанного нельзя вывести никакого основания, почему не следовало бы изучать и впредь историю природы и производить наблюдения и опыты, причем то обстоятельство, что они служат на пользу человечеству и делают нас способными выводить общие заключения, зависит не от каких-либо неизменных порядков или отношений между самими вещами, а исключительно от благости бога к людям в управлении Вселенной (см. §30 и 31). В-четвертых, благодаря прилежному наблюдению доступных нашему кругозору явлений мы можем открывать общие законы природы и выводить из них другие явления; я не говорю доказывать, потому что все выводы такого рода зависят от предположения, что творец природы всегда действует единообразно и с постоянным соблюдением тех правил, которые мы признали за принципы, чего мы не можем знать с очевидностью.

108. Из §66 и сл[едующих] явствует, что не будет неуместным назвать постоянный, стройный порядок природы языком ее творца, открывающим свои атрибуты нашему взору и научающим нас, как мы должны поступать для удобства и счастья жизни. И, по моему мнению [14], люди, выводящие общие правила из явлений, а затем явления из этих правил, рассматривают, по-видимому, скорее знаки, чем причины. Человек может хорошо читать знаки природы, не зная их аналогии или не будучи в состоянии сказать, на основании какого правила вещь такова, а не иная. И как можно писать неправильно вследствие чрезмерно строгого соблюдения общих грамматических правил, так же точно при выводах из общих законов природы не невозможно слишком широко применять аналогию и тем самым впадать в ошибки.

109. Аналогично, можно сказать, что как при чтении прочих книг мудрый человек будет стараться направлять свои мысли более на смысл и извлекать из него для себя пользу, чем на грамматические замечания о языке, так, по моему мнению, и при пользовании книгой природы ниже достоинства духа стремиться к слишком большой точности в подведении каждого отдельного явления под общие законы и доказательства того, как это явление из них вытекает. Нам следует стремиться к более благородным целям, а именно к освещению и возвышению духа созерцанием красоты, порядка, полноты и разнообразия предметов природы; затем к расширению посредством правильных умозаключений наших понятий о величии, мудрости и благости создателя и, наконец, насколько это нам доступно, к подчинению различных частей мироздания тем целям, для которых они предназначены, а именно прославлению творца и сохранению и увеличению удобства для нас самих и наших ближних.

110. Лучшей грамматикой в указанном нами смысле должен быть, конечно, признан трактат по механике, доказанной и примененной к природе философом соседней нации [15], которому удивляется весь мир. Я не возьмусь делать замечания о заслугах этой необыкновенной личности, но некоторые высказанные ею мнения столь прямо противоположны учению, которое мы только что изложили, что нас могли бы обвинить в недостатке внимания, должного авторитету столь великого человека, если бы мы о них не упомянули. Во введении к этому внушающему справедливое удивление трактату время, пространство и движение делятся на абсолютные и относительные, истинные и кажущиеся, математические и обычные (vulgar), каковое разделение предполагает, как автор подробно объясняет, что эти величины имеют существование вне духа и рассматриваются обыкновенно по отношению к ощущаемым вещам, к которым они, однако, по свойству своей собственной природы не имеют никакого отношения.

111. Что касается времени, которое здесь рассматривается в безусловном или абстрактном смысле как продолжительность пли постоянство существования вещей, то мне нечего прибавить по этому предмету после того, что было уже сказано о нем в §97 и 98. Затем этот знаменитый писатель полагает, что существует абсолютное пространство, которое невоспринимаемо в ощущении и остается само по себе единообразным и неподвижным; относительное же пространство служит мерой абсолютного, причем первое, будучи подвижно и определяемо своим положением относительно ощущаемых тел, принимается обыкновенно за неподвижное пространство. Место он определяет как часть пространства, занимаемую телом. И соответственно тому, что пространство может быть абсолютным или относительным, таковым же является и место. Абсолютное движение определяется как переход тела из одного абсолютного места в другое абсолютное место; относительное движение – переход тела из одного относительного места в другое такое же. И так как части абсолютного пространства неощущаемы, то мы вынуждены вместо них употреблять их ощущаемые меры и тем самым определять место и движение по отношению к тем телам, которые рассматриваются нами как неподвижные. Однако нам говорится далее, что в философских рассуждениях мы должны абстрагироваться от наших чувств, потому что, быть может, ни одно из тех тел, которые кажутся покоящимися, в действительности не находится в состоянии покоя, а вещь, находящаяся в относительном движении, в действительности покоится; точно так же одно и то же тело может находиться в относительном покое и движении или даже одновременно в противоположном относительном движении, смотря по тому, как определяется его место. Вся эта двусмысленность принадлежит лишь кажущемуся движению, но отнюдь не истинному или абсолютному, которое поэтому одно только и следует иметь в виду в философии. Истинное же движение, говорится нам, отличается от кажущегося, или относительного, следующими свойствами: во-первых, в истинном, или абсолютном, движении принимают участие все части, которые сохраняют то же самое положение относительного целого. Во-вторых, если место приводится в движение, то движется и все находящееся в этом месте, так что тело, которое движется в месте, находящемся в движении, принимает участие в движении своего места. В-третьих, истинное движение никогда не возникает или не изменяется иначе как посредством силы, действующей на само тело. В-четвертых, истинное движение всегда изменяется силой, действующей на движущееся тело. В-пятых, во вращательном движении, если оно только относительное, нет центробежной силы, которая в истинном, или абсолютном, движении пропорциональна количеству движения.

112. Но, несмотря на все сказанное здесь, я должен сознаться, что не нахожу, будто движение может быть иным, кроме относительного; так что для представления движения следует представить по меньшей мере два тела, расстояние между которыми или относительное положение которых изменяется. Поэтому, если бы существовало только одно тело, оно никак не могло бы находиться в Движении. Это кажется мне весьма очевидным, поскольку идея, которую я имею о движении, необходимо должна включать в себя отношение. Способны ли другие мыслить иначе – этот вопрос может быть удовлетворительно разрешен при небольшой доле внимания.

113. Но хотя во всяком движении необходимо мыслить более одного тела, может, однако, случиться, что только одно тело движется, а именно то, на которое действует сила, производящая изменение расстояния или взаимного расположения тел. Ибо хотя некоторые могут определять относительное движение так, что движущимся называется тело, которое изменяет свое расстояние от некоторого другого тела, независимо от того, направлена ли на него сила, производящая это изменение, или нет, но я не могу с этим согласиться; ибо, как мы сказали, относительное движение есть то, которое воспринимается в ощущении; и, принимая во внимание обычные житейские дела, оказывается, что всякий человек, обладающий обычным здравым смыслом, знает, что это такое, так же хорошо, как лучший из философов. Теперь я спрашиваю кого бы то ни было, можно ли в том смысле, в каком он понимает движение, сказать, что камни, мимо которых он проходит, идя по улице, находятся в движении, потому что изменяется расстояние между ними и его ногой? Мне кажется, что хотя движение предполагает отношение одной вещи к другой, нет необходимости, чтобы каждый соотносящийся термин получал от него свое название. Как человек может мыслить о чем-нибудь, что само не мыслит, так же одно тело может двигаться к другому или от него без того, чтобы последнее было само в движении, – я разумею, в движении относительном, так как иного движения не способен мыслить.

114. Если бывает так, что различно определяется место, то изменяется и относящееся к нему движение. Можно сказать о человеке на корабле, что он находится в покое относительно бортов корабля и в движении относительно земли. Или он может двигаться к востоку в одном отношении и к западу – в другом. В обыденной жизни люди никогда не простирают своих мыслей далее земли для определения местонахождения какого-нибудь тела; и то, что находится в покое в отношении к ней, считается абсолютно покоящимся. Но философы, обнимающие мыслью более обширный круг и обладающие более верными понятиями о системе вещей, открыли, что сама Земля находится в движении. Поэтому, чтобы сообщить устойчивость своим понятиям, они склонились к той мысли, что телесный мир конечен и что его внешняя неподвижная стена или оболочка есть место, отношением к которому определяются истинные движения. Проверяя свои собственные понятия, мы найдем, я полагаю, что какое бы то ни было абсолютное движение, о котором мы можем составить себе идею, есть в конце концов не что иное, как определенное таким образом относительное движение. Ибо, как уже было замечено, абсолютное движение с исключением из него всякого внешнего отношения немыслимо; к этого же рода относительному движению окажутся подходящими, если я не ошибаюсь, все вышеупомянутые свойства, причины и действия, которые приписываются абсолютному движению. Что же касается сказанного о центробежной силе, именно, что она не присуща вращательному, относительному движению, то я не вижу, каким образом это следует из опыта [16], приведенного в доказательство этому (см. "Philosophiae Naturalis Principia Mathematica", in Schol. Def. VIII). Ибо вода в сосуде в то время, когда ей приписывается наибольшее относительное вращательное движение, не имеет, по моему мнению, никакого движения, как это явствует из предыдущего параграфа.

115. Ибо для того чтобы называть тело движущимся, необходимо: во-первых, чтобы оно изменяло свое расстояние или положение относительно какого-либо другого тела; во-вторых, чтобы сила, вызывающая это изменение, была приложена к первому телу. Если одно из этих условий отсутствует, то я не нахожу, чтобы соответственно здравому человеческому смыслу или свойству языка можно было называть тело движущимся. Я допускаю, впрочем, что мы можем мыслить тело движущимся, если мы видим, что оно изменяет свое расстояние от другого тела, хотя никакая сила не приложена к нему (в каковом смысле в данном случае может иметь место видимое движение), но лишь на том основании, что сила, причиняющая изменение расстояния, воображается нами приложенной к телу, которое мыслится нами движущимся. Это показывает, конечно, что мы способны впадать в заблуждение, принимая за движущуюся вещь, не находящуюся в движении, – и ничего более, но не доказывает, что при обычном понимании движения тело считается движущимся только потому, что оно изменяет расстояние от другого тела; ибо, коль скоро мы избавляемся от заблуждения и находим, что движущая сила не была сообщена телу, мы уже не считаем его движущимся. Так, с другой стороны, если предполагается существующим только одно тело (части которого сохраняют данное взаимное расположение), то многие полагают, что оно может Двигаться всеми способами или путями, хотя и без изменения расстояния или положения относительно каких-либо других тел, чего и мы не отрицаем, если только предполагается, что к этому телу может быть приложена сила, которая в случае создания других тел может производить движение известных размера и свойств. Но чтобы действительное движение (отличное от производимого приложенной силой, способной произвести изменение места в случае существования тел, его определяющих) могло существовать в таком единственном теле, этого, должен сознаться, я не в состоянии понять.

116. Из сказанного следует, что философское рассмотрение движения не подразумевает существования абсолютного пространства, отличного от воспринимаемого в ощущении и относящегося к телам; что оно не может существовать вне духа, что ясно на основании тех принципов, которыми то же самое доказывается относительно всех прочих ощущаемых предметов. И мы найдем, может быть, при ближайшем исследовании, что не в состоянии даже составить идею чистого пространства с отвлечением от всякого тела. Эта идея, я должен сознаться, кажется мне превышающей мою способность, как идея наиболее абстрактная. Когда я вызываю движение в какой-либо части моего тела и это движение происходит свободно и без сопротивления, то я говорю, что здесь "пространство"; когда же я встречаю препятствие, то говорю, что здесь тело; и в той мере, в какой сопротивление движению слабее или сильнее, я говорю, что пространство более или менее чисто. Так что, когда я говорю о чистом или пустом пространстве, не следует предполагать, что словом "пространство" обозначается идея, отличная от тела и движения или мыслимая без них, хотя, конечно, мы склонны думать, что каждое ими существительное выражает определенную идею, которую можно отделить от всех прочих, что служило поводом для множества заблуждений. Следовательно, если предположить, что все в мире уничтожено, за исключением моего собственного тела, то я скажу, что все-таки остается чистое пространство, подразумевая тем самым не что иное, как возможность мыслить, что члены моего тела могут двигаться по всем направлениям, не встречая никакого сопротивления; но если бы и мое тело было уничтожено, то не могло бы быть движения, а следовательно, и пространства. Может быть, иные подумают, что зрение снабдит их в таком случае идеей чистого пространства, но из сказанного в другом месте ясно, что идеи пространства и расстояния приобретаются не из этого рода ощущений (см. "Опыт о зрении").

117. Изложенное здесь покончило, по-видимому, со всеми спорами и затруднениями, возникавшими среди ученых относительно природы чистого пространства. Но главная выгода, вытекающая отсюда, заключается в освобождении нас от опасной дилеммы, в которую считали себя вовлеченными многие [17] из обративших свои мысли на этот предмет, т.е. от необходимости признать, что реальное пространство есть бог или что существует нечто кроме бога вечное, несотворенное, бесконечное, неделимое, неизменное, из которых оба предположения должны быть по справедливости признаны вредными и нелепыми. Известно, что немало как богословов, так и выдающихся философов из затруднительности для них мыслить границы пространства или его уничтожение, пришли к тому заключению, что оно должно быть божественным. И в новейшее время некоторые особенно старались доказать, что оно совпадает с атрибутами, не принадлежащими никому, кроме бога. И как бы это учение ни казалось недостойным божественной природы, но я должен сознаться, что не вижу, как мы можем избавиться от него, пока придерживаемся общепринятых мнений.

118. До сих пор шла речь о естествознании; теперь мы обратимся к некоторому исследованию, касающемуся другой великой области умозрительного зрения, а именно математики. Как бы ни прославляли ясность и несомненность доказательств, равных которым едва ли возможно найти где-либо вне ее, тем не менее ее нельзя считать совершенно свободной от ошибок, так как в ее принципах заключается некоторое скрытое заблуждение, общее деятелям этой науки с другими людьми. Хотя математики выводят свои теоремы из весьма очевидных основоположений, тем не менее их первые принципы не выходят за пределы рассмотрения количества, и они не возвышаются до исследования тех трансцендентальных положений, которые оказывают влияние на все частные науки; каждая часть их, не исключая математики, должна, следовательно, страдать ошибками, допущенными в эти положения. Что принципы, выставляемые математиками, истинны, что их способ выводов из этих принципов ясен и неоспорим, мы не отрицаем, но мы утверждаем, что могут существовать известные ошибочные положения большего объема, чем предмет математики, и потому не выраженные ясно, но скрытно предполагаемые во всем Движении этой науки, и что вредное действие этих скрытых, неисследованных заблуждений простирается на все отрасли математики. Выражаясь яснее, мы предполагаем, что математики не менее глубоко, чем другие люди, погружены в заблуждения, вытекающие из учения об общих абстрактных идеях и о существовании предметов вне духа.

119. Полагали, будто арифметика имеет предметом абстрактные числа, понимание свойств и взаимных отношений которых считается немалой частью умозрительного знания. Мнение о чистой и духовной природе абстрактных чисел очень возвысило уважение к ним в глазах таких философов, которые, по-видимому, притязают на необыкновенную тонкость и возвышенность мышления. Это мнение придало цену самым пустым умозрениям над числами, не имеющим никакого применения на практике, но служащим только для забавы, и тем самым столь заразило некоторые умы, что они стали мечтать о великих тайнах, заключающихся в числах, и объяснять посредством них вещи природы. Но если мы ближе вникнем в свои собственные мысли и продумаем то, что было сказано ранее, то мы, быть может, придем к низкому мнению об этих высоких полетах мысли и абстракциях и станем смотреть на все умозрения о числах, лишь как на difficiles nugae [18], поскольку они не служат практике и не идут на пользу жизни.

120. Мы уже рассматривали выше, в §13, единицу в ее абстрактном значении; из того, что сказано там и во введении, ясно следует, что такой идеи вовсе не существует. Но так как число определяется как совокупность единиц, то мы вправе заключить, что если нет такой вещи, как абстрактная единица, то нет и идей абстрактных чисел, обозначаемых именами цифр и форм. Поэтому арифметические теории, если они мыслятся в абстракции от имен и форм, а также от всякого практического применения, равно как и от частных считаемых вещей, могут быть признаны не имеющими никакого предметного содержания; из чего мы можем усмотреть, насколько наука о числах всецело подчинена практике и в какой мере она становится узкой и пустой, когда рассматривается только как предмет умозрительный.

121. Но так как есть люди, которые, будучи обмануты ложным блеском открытия абстрактных истин, теряют время над арифметическими теориями и задачами, не приносящими никакой пользы, то не будет лишним более полное рассмотрение и раскрытие тщетности этого притязания; она станет для нас ясной, если мы бросим взгляд на арифметику в ее младенчестве и посмотрим, что первоначально побудило людей к изучению этой науки и к какой цели они его направляли. Естественно думать, что сначала люди для облегчения памяти и как пособие при счете употребляли отметки, а при письме – отдельные черточки, точки и т.п., причем каждый знак обозначал единицу, т.е. известную отдельную вещь любого рода, которую надо было сосчитать. Позднее они сочли удобнее, чтобы один знак заменял собой несколько черточек или точек. И, наконец, вошли в употребление арабские или индийские цифры, какими, путем повторения нескольких немногих знаков или цифр и изменения значения каждой цифры, смотря по занимаемому ею месту, все числа могут быть обозначены самым соответственным образом, что произошло, по-видимому, в подражание языку, так что наблюдается точное сходство между обозначением цифрами и словами, причем девять простых цифр соответствуют первым девяти названиям чисел, а места первых – названиям разрядов последних. И соответственно этим условиям основного и местного значения цифр были придуманы методы находить по данным цифрам или знакам, обозначающим части, какие цифры и в каком расположении способны обозначать целое и наоборот. А когда найдены искомые цифры и то же самое правило или та же самая аналогия наблюдается повсюду, то легко при чтении заменять их словами, и число становится таким образом вполне известным. Ибо число каких бы то ни было отдельных вещей считается известным тогда, когда мы знаем название или цифру числа с их надлежащим расположением, которые соответствуют этому числу, согласно твердо установленной аналогии. Потому что, зная эти знаки, мы можем при помощи арифметических действий узнать знаки любой части обозначенных ими сумм; и таким образом, считая знаками, мы можем вследствие связи, установленной между ними и определенным количеством вещей, из которых каждая принимается за единицу, стать способными правильно их складывать, делить и устанавливать пропорциональность самих вещей, подлежащих счету.

122. Итак, в арифметике мы рассматриваем не вещи, а знаки, которые, однако, подвергаются исследованию не ради их самих, но потому, что они показывают нам, как следует поступать относительно вещей и правильно ими распоряжаться. Но согласно с тем, что уже было замечено нами о словах вообще (§19 Введения), здесь также оказывается, что абстрактные идеи мыслятся обозначаемыми через знаки или названия чисел, так как последние не возбуждают в наших умах идей отдельных вещей. Я не намерен теперь вдаваться в более специальное рассуждение по этому предмету, но замечу только, что из сказанного выше ясно видно, что то, что признается за абстрактные истины и теоремы относительно чисел, в действительности не относится ни к какому предмету, отличному от отдельных исчисляемых вещей, за исключением лишь имен и цифр, которые первоначально рассматривались только в смысле знаков, способных обозначать соответствующим образом все отдельные вещи, подлежащие человеческому счету. Из чего следует, что изучать их ради них самих значило бы поступать так же мудро и с таким же благим намерением, как если бы кто-нибудь, пренебрегая надлежащим употреблением или первоначальной целью и задачами языка, стал тратить свое время на непристойную критику слов или чисто словесные соображения и споры.

123. От числа мы переходим теперь к разговору о протяжении, составляющем предмет геометрии. Бесконечная делимость конечного протяжения, хотя она не выражается прямо ни как аксиома, ни как теорема в принципах этой науки, везде ею предполагается и мыслится в такой неразрывной и существенной связи с принципами и доказательствами геометрии, что математики никогда не подвергают ее сомнению или вопросу. И в той же мере, в какой именно это понятие есть источник, откуда вытекают все те забавные геометрические парадоксы, которые находятся в таком прямом противоречии с обычным человеческим здравым смыслом и лишь с большим сопротивлением принимаются умом, не развращенным ученостью, оно служит главным поводом той чрезмерной утонченности, которая делает изучение математики столь трудным и скучным. Поэтому, если мы окажемся в состоянии показать, что никакое конечное протяжение не содержит бесконечного числа частей или не делимо до бесконечности, то отсюда следует, что мы однажды навсегда освободим науку геометрии от множества затруднений и противоречий, которые всегда считались упреком человеческому разуму, и вместе с тем сделаем изучение ее делом несравненно меньшего времени и труда, чем это было до сих пор.

124. Каждое отдельное конечное протяжение, которое может служить предметом нашего мышления, есть идея, существующая лишь в нашем уме, и, следовательно, любая его часть должна быть воспринимаема. Если поэтому я не могу воспринять бесконечное множество частей в каком-либо конечном, рассматриваемом мной, протяжении, то несомненно, что они в нем не содержатся; но очевидно, что я не в состоянии различить бесчисленное множество частей в отдельной линии, поверхности или теле, воспринимаю ли я их в ощущении или представляю себе в моем уме, из чего заключаю, что они не содержатся там. Ничто не может быть для меня яснее того, что рассматриваемые протяжения суть не что иное, как мои собственные идеи; и не менее ясно, что я не могу разложить какую-либо из своих идей на бесконечное число других идей, т.е. что они не делимы до бесконечности. Если под конечным протяжением подразумевается нечто отличное от конечной идеи, то я объявляю, что не знаю, что это такое, и, следовательно, не могу ни утверждать, ни отрицать чего-либо о нем. Но если термины "протяжение", "части" и т.п. берутся в понятном смысле, т.е. в смысле идей, то сказать, что конечная величина или конечное протяжение состоит из частей бесконечных по числу, есть столь явное и вопиющее противоречие, что каждый с первого взгляда признает его за таковое; и невозможно, чтобы с этим мнением когда-либо согласилось какое-нибудь разумное существо, если только оно не будет подготовлено к нему постепенными незначительными переходами, как новообращенный язычник к вере в пресуществление. Старые и закоренелые предрассудки часто приобретают значение принципов, а такие положения, которые раз приобрели силу и значение принципов, не только сами, но вместе с ними и все то, что может быть из них выведено, считаются изъятыми из исследования. И нет такой бессмыслицы, которая не могла бы быть принята, если ум таким образом к ней подготовлен.

125. Тот, чей ум находится под господством учения об абстрактных общих идеях, легко может быть убежден в том, что (как бы ни мыслить об идеях ощущений) абстрактное протяжение делимо до бесконечности. И всякий, кто полагает, что ощущаемые предметы существуют вне духа, не затруднится утверждать, что линия длиной всего в дюйм может заключать в себе бесчисленное множество частей, которые действительно существуют, хотя слишком малы, чтобы быть различаемы. Эти заблуждения укоренились в умах как геометров, так и прочих людей и оказывают одинаковое влияние на их рассуждения; и было бы нетрудно показать, как доказательства, употребляемые геометрией в подтверждение бесконечной делимости протяжения, основываются на этих заблуждениях. Но об этом, если то окажется необходимым, мы можем найти удобный случай поговорить особо. Теперь мы только в целом укажем, почему все математики так преисполнены этим учением и упорны в нем.