Страница 100 - Разум природы и разум человека - А.М. Хазен - Философия как наука

Существует факт и существует недоумение научных ра­бот­ников в связи, казалось бы, с его противоречием основам науки. Я дам, как и везде в этой книге, ответ, который это недоумение ликвиди­ру­ет.

Факт заключается в следующем (см., например, книгу [140]).

Нормальное разрешение для зрения человека составляет 1'. Это соответствует оптическому пределу разрешения гла­за как “фото­ап­пара­та”, рассмотренному в предыдущем параграфе.

В современных анализах человеческого зрения доминируют те или иные виды аналогий с телевизионными развёртками, матрицами фотоди­о­дов, пучками световодов, которые упоминались в предыдущих парагра­фах. В таких аналогиях при заданной геометрии оптической системы, кроме дифракционного ограничения, ми­ни­мальный угловой размер раз­ре­ши­мой “точки” определяется диамет­ром элементарного чувстви­тель­ного элемента. В книге [140] принимается, что ли­ми­тирующий размер элемента сетчатки, кото­рый можно сопоставить ми­ни­мально разреши­мому эле­мен­ту изобра­же­ния, задаётся гангли­оз­ны­ми клетками сетчатки (рис. 8.3). Их угло­вой размер для глаза чело­ве­ка есть  1о – 3о. Почему именно размер этих клеток участвует в подсчётах разрешения в [140] не поясняется (всё, что относится к книге [140] здесь не является критикой конкретно её автора – эта книга рассматривается как обзор, отражающий общепринятые заблуждения).

Угловой размер Солнца и Луны порядка 30'. Любой человек с не слишком испорченным зрением видит на диске Лу­ны “моря” и прочие де­тали, что и мате­риализует упомянутое в начале разрешение в 1'. Ко­нечно, палоч­ки и колбочки по угловым размерам меньше ганглиозных кле­ток. Угловой размер палочек составляет 65', а колбочек 5,4' (вычис­лен­ные по диаметру их торца). Но наблю­дае­мый вид Лу­ны невозможен и при этих величинах как пределах разрешения глаза.

Более того, при наблюдении простых объектов у человека обнару­же­на гиперострота зрения. В этом случае разрешение может доходить до 2'' – 5''. Правда, у человека найдены колбоч­ки, меньших размеров, чем ука­­занные выше – 20''. Доля таких кол­бо­чек в сетчатке ни­чтож­на. В цент­ре сетчатки их найде­но примерно 20. Но, независимо от этого, их раз­решение в де­сять раз хуже гиперостроты. (данные выше приведены на основе [140]).

Описанное есть достоверный необъяснённый парадоксаль­ный факт – чело­ве­ческий глаз видит то, что, казалось бы, видеть не может. Парадок­саль­ность этого усугубляется принципиальным неустранимым ог­ра­ничени­ем, ши­ро­ко известным как теорема отсчётов [137]. Она утвер­ж­­да­ет, что ес­ли система должна реализовать разрешение, характеризую­ще­е­ся ин­тер­­ва­лом Т, то её устройство должно гарантировать раз­ре­шение не ху­же, чем Т/2. Для глаза этому должно отвечать разрешение по Релею ~ 1". Оп­ро­вер­гать теорему отсчётов столь же не­при­лично, как, например, в наши дни отрицать закон со­х­ра­нения энер­гии.

Однако, как и закон сохранения энер­­гии, теорема отсчётов должна при­ме­няться в соответствии с реалиями задачи, а неполнота или даже ошибки в их учёте далеко не редкость. Теорема отсчётов не исключает специ­фи­чес­ких задач, в ко­то­рых возникает видимость её нарушений –   реализация, казалось бы, запрещённого. Укажу пример такого.

Всем известна линейка с деле­ни­я­ми. С её помощью можно прово­дить из­ме­рения с точностью до половины млад­шего деления (что и ут­вер­ждает теорема от­счётов). Широко извест­на усо­вер­шен­ст­вованная ли­ней­ка – штангенциркуль. Это линейка с до­пол­нительным при­с­по­соб­­лением – нониусом.

Нониус есть от­резок, длина кото­рого, например, равна длине n еди­­ни­ц  lh  более старшего разряда из­мерений плюс одна единица ll млад­ше­го разряда. Он делится на столько же частей, сколько содержится в единице стар­шего разряда основной линейки. Но­ниус осущест­вля­ется как дополнительная линейка, кото­рая прик­лады­вается к ос­нов­ной в точ­­ке не­целого деления в сос­­тав­е ре­зуль­тата из­мерений (рис. 8.6).

Применение линейки, снабжённой нониусом, использует узкую чёр­­точ­­ку как границу минимальных разрешимых интервалов линейки и нони­уса. Однако можно деления на них вы­полнить в виде за­чер­нённых ин­тер­ва­лов, чередую­щихся с пробелами (так же с узкой гра­ни­цей пере­хо­­да между ни­­ми). Условие, которое вводит в изме­ре­ния нониус, есть его кон­ст­рук­ция как изделия. Но и гиперострота зрения не есть уни­вер­саль­ное свойство глаза. Она реализуется в определённых ус­ловиях по отношению к опре­де­лённым объектам  (их называют про­стыми).

Учитывая эти особенности, пост­рою пример “нониуса” для ил­лю­стра­тив­ного “глаза” и “наблюдаемого” с его по­мо­щью специфичес­ко­го “предмета”. Дана линейка 1 (рис. 8.6, слева) эле­­мен­тов 2 (рецеп­то­ров). Пусть их диа­метр rr. Они отделён­ы друг от друга про­ме­жут­ками 3, ве­ли­чи­ну которых для оп­ре­­де­лён­ности приму ri = rr = Т. Пусть гра­ница меж­ду ре­цепторами и про­ме­жутками на­много меньше самих рецеп­то­ров и рав­на по ширине:   rb <  Т/2.

 Спроектирую на эту систему “изо­бражение” 4  в виде повто­ряю­щих­ся на равных расстояниях ro точечных объек­­тов (обозначенных на рис. 8.6 чер­точ­ка­ми). Размер этих объектов мень­ше раз­ре­шения ре­цеп­то­ра. Рассто­я­ние ro удо­­в­­лет­­воряет ус­ло­вию ro > Т и не кра­т­но рас­стоянию между рецепто­рами Т.

Пусть элементы 2 пороговые. Это озна­чает в схеме рис. 8.6, что когда на­против них находится точечный объект (в том числе и меньший их диа­мет­ра), в них происходит пе­ре­ход меж­ду состояниями ДА, НЕТ (изображён­ными чёрной и белой внутренностью прямоугольников). Опи­­санному выше объекту будет соответствовать комбинация состояний ДА, НЕТ, изображённая в левой части рисунка.

Спроектирую на ту же линейку дру­­­гой объект (по­казано на рис. 8.6 спра­­ва). Он состоит из сдвину­тых на постоянную величину r двух объек­тов описанного выше вида. Рас­сто­яние r между его точками (чер­точ­ка­ми на рис. 8.6) удовлетворяет условию:  rb < r < T/2. Казалось бы, в дан­ном устройстве первый и вто­рой объек­ты неотличимы (в клас­си­чес­ком смы­с­ле теоремы от­счё­тов). Однако от­вет системы на второй объект другой. При сравнении этих двух случаев раз­лич­ные со­с­то­я­ния элементов лине­ек спра­ва и слева ­на рис. 8.6 отмечены стрел­­ками.

Су­ще­ствует достоверная разница в состояних линейки рецеп­торов рис. 8.6 (как ана­ли­­зирующе­го инструмента), отличающая проек­ции на неё двух классически неразрешимых объектов. Это есть мате­ри­аль­ное выра­же­ние различимости объек­­тов, рас­­стояние между которыми, казалось бы, меньше клас­си­че­ского предела разрешения .

Из анатомических данных следует, что ширина границ палочек и колбочек мала по от­но­шению к их диамет­ру, как и в схеме рис. 8.6. Отличие в примере рис. 8.6 от реального строения глаза – слу­чай­ность распо­ло­жения рецепторов. Эту и ещё одну парадок­саль­ную осо­бен­ность анатомии сетчатки рас­смотрю здесь чуть позже.

Важен итог этого примера – мож­­но придумать такую упорядо­чен­­­ную сис­те­му, которая даёт раз­ный ответ на предъявление ей оп­ти­чески, казалось бы, не­раз­ре­ши­мых объектов – может быть сущест­вен­ным для раз­­ре­ше­ния не диаметр ре­цеп­торов (например, в виде кол­бочек и па­ло­чек), а ширина их боковой границы.

.

Например, дан синусоидаль­ный во времени процесс, который име­ет бесконечную длительность. Его спектр есть математическая точка с частотой . Он показан в виде вертикального отрезка на рис. 8.7. По оси ординат отложена амп­литуда коле­ба­ний, описываемых их спектром. По оси абсцисс отложена частота, отнесенная к . В соответствии с те­о­ре­мой отсчётов для того, чтобы полностью описать такую синусо­и­ду, до­с­та­точ­но двух отсчётов её ам­п­литуды на интервале периода. В терминах двумерных пространст­вен­­ных частот s  этому случаю от­вечает плос­кость, которая строго пе­ри­о­ди­чес­ки заполнена фотодио­да­ми – матрица фотодиодов. Если плос­кость достаточно велика по срав­не­нияю с рас­сто­яниями между диодами, то в полном соответ­ст­вии с те­о­ре­мой отсчётов её разрешение есть по­ловина пространствен­но­го периода – расстояния между фотодиодами. Оговорка о размерах плоскости важна потому, что начало, конец и длительность реального периодического процесса изме­няют его спектр. Синусоида той же частоты   (или s0), но в виде ко­неч­ного от­рез­ка, вме­сто един­ст­вен­ной частоты, бу­дет описываться спек­т­ром, за­ни­ма­ю­щим интервал на оси частот. По ме­ре уве­ли­чения длины отрезка спектр бу­дет стремиться к пределу математичес­кой точки на оси час­тот. Это по­каза­но в виде поверх­но­с­ти на рис. 8.7. Вер­тикальная прямая как спектр бес­ко­нечно длящейся си­­ну­со­иды есть предел вдоль оси, пе­р­пен­ди­ку­лярной плоскости листа книги. Для упро­ще­ния ри­сун­ка этот предел изо­бражён в начале (в нулевой плос­кости транс­­фор­ма­ции спектра сину­соиды). Пространственный спектр единственной точ­ки или линии намного шире, чем спектр пе­ри­о­ди­чески повторяющихся то­чек и ли­ний. Специфи­чес­кий “объект наблю­дения” в примере с но­ни­у­сом на рис. 8.6 со­дер­жит та­кую повторяемость.

Из этого примера видно, что матрица фотодиодов, как аппарат, опи­сы­вается спектром, гораздо бо­­лее широким, нежели единственная про­ст­­ранственная частота s,0 . По­этому матрица фотодиодов без проти­во­ре­чия с теоремой отсчётов (в кон­кретных устройства для конкретных за­дач) может давать разрешение, на­­­много большее, чем общепринятое. Это бы­ло проиллюст­ри­ро­ва­но выше одним из таких частных слу­чаев – “но­­ни­усом”. Чем меньше ширина границы им­пуль­сов по отно­ше­нию к их периоду – тем больше верхний предел про­ст­ран­ственных час­тот, опи­сы­ва­ющих матрицу фото­при­ёмников (рецепторов). Именно в этом соот­вет­ствие теореме от­счё­тов точности изме­рений с помо­щью нониуса.

В инже­нер­ных устройствах запас ширины спектра пространст­вен­ных час­­­­тот реальных фотоприёмников, который может ввести “принцип нониуса”, не используется. Но это воп­рос не за­ко­­нов при­роды, а талан­тов инженеров и по­т­ребностей в них. Естествен­но, что ограни­чи­вать раз­ре­ше­­ние (спектр используемых пространствен­ных частот) могут не толь­ко про­странственные ха­рактеристики матрицы фо­то­диодов, но и аппара­ту­­ра обработки сиг­на­лов от неё.

Вернусь к иллюстрирующим цифрам в начале пара­гра­­фа. Ги­пер­ост­ро­та зрения порядка 2'' – 5'' меньше уг­ло­вого размера па­ло­чек и кол­бо­чек. При этом колбочки меньше палочек. Опять па­ра­докс. Наблюда­е­мый факт состоит в том, что разрешение при цвето­вом зрении, за кото­рое ответст­вен­­ны колбочки, хуже почти на порядок, чем при чёрно-бе­лом, за ко­торое ответственны палочки! Но при этом угловые размеры торца колбочек – меньше.

Но ведь ответ на него я уже дал выше. Он именно в теореме от­счё­тов. Для того, чтобы это понять, посмотрите внимательно на рис. 8.3, подобный тем, что приводятся везде в литературе, где речь идёт о зрении и строении сетчатки. Палочки есть цилиндрические об­ра­­зования, дли­на которых намного больше их диаметра. Колбочки – приб­лижённо кони­чес­кие и короткие. Торце­вой диаметр положен в ос­но­ву вычисления уг­ло­вых размеров. Естест­венно, что размер в торце у па­ло­чек больше, чем у колбочек. Реально задаёт разрешение – ширина гра­ницы ре­цеп­тора как отображение спектра пространственных частот. Но ведь фоторецеп­то­ры в глазу не есть плос­кое пятно. Уже в самых при­митивных органах зрения типа 1, 2 на рис. 8.2 это трёхмерные объекты, удлинённые вдоль нап­ра­в­ления падения на них света. Переход в истории эволюции жизни к хотя бы немного более совершенным гла­зам – это в первую очередь фор­ми­рование фоторецептора как выра­жен­ного стержня или трубки. 

Палочки – это длинный цилиндр, а потому они имеют эф­фек­тив­ную “ши­рину гра­ницы” на порядки меньшую, чем непосредст­вен­но границы их тор­цев. Ведь свет распространяется вдоль образующей  их цилиндрической поверхности. В них ещё, несомненно, есть меха­низ­мы срав­­нения ко­ли­­честв света вдоль обра­зу­ющих ци­лин­д­ра и на диа­мет­рально противо­по­лож­ных образующих. Колбочки конические, а по­то­му отображающее их границу раз­ложе­ние Фурье даст более узкий спектр. Соответственно это­му разрешение для них хуже. Трубчатые фото­ре­цеп­то­ры насекомых и моллюсков повторяют этот же принцип, но в случай­ной реалиазции для образующих внутреннего цилиндра трубки.

Теорему отсчётов отменить нельзя. Из­ме­рительный аппарат обя­за­тельно должен иметь спектр пропускания (по пространственным часто­там), который соответствует его разреше­нию (а в терминологии примера с нониусом – черточки на линейке и но­ни­усе определяют разрешение штан­генциркуля). Плоское пятно как фото­ре­цеп­тор – это осо­бен­ность не глаз, а при­ми­тивной одноклеточной эвглены. Реальность – это стержни-фо­то­ре­цеп­торы в глазу высших форм жизни и трубочки-фоторецепторы в фа­сеточном глазу и в сетчатке мол­люс­ков (рис. 8.2).