2.4.2. Диссипативные структуры. - Основные понятия динамической теории информации - Неизвестен

Образование диссипативных структур было замечено уже давно на примере так называемых ячеек Бенара [34]. Оно заключается в следующем. На плоской сковороде подогревается масло. Казалось бы все условия постоянны и слой масла должен нагреваться равномерно. Однако, при достаточно интенсивном подогреве в масле появляется пространственная структура из чередующихся потоков, направленных врех и вниз.

Аналогичное явление наблюдается в биологии при морфогенезе. В среде, изначально равномерной, "вдруг" возникает периодические структуры. Они играют очень важную роль, дают разметку пространственного расположения будущих органов. В простейшем, но не самом важном, примере диссипативные структуры различают положение полос на теле зебры и тигра.

Суть процесса была выяснена в работе Тюринга в 1952 г. [35]. Там же была предложена математическая модель, ставшая базовой для последующих исследований.

Темин - диссипативные структуры - был предложен Пригожиным [36], который использовал модификацию модели Тюринга, известную сейчас как "Брюсселятор" [36]. Модель имеет вид:

(2.72)

Соответствующая "Брюсселятору" точечная (не распределительная) система имеет вид:

(2.73)

Уравнения (2.73) соответствуют некоторой гипотетической химической реакции. Компонента u1 образуется за счет автокатализа (член ) и способствует образованию u2 (член Bu1). Компонента u2 подавляет образование как u1 (член - (В+1) u1) так и само себя (член - u12 u2), она называется ингибитор.

Диссипативные структуры образуются в случае если длина диффузия ингибитера больше чем активатора, то есть при D2>D1.

Фазовый портрет системы (2.73) приведен на рисунке (2.9).

Видно, что имеется единственное стационарное состояние при u1=А и u2 = В/А. При В >А. это состояние - устойчивый фокус. Как увидим ниже, это свойство точечной системы (2.73) является необходимым условием (вместе с условием D2 >D1 ) образования диссипативных структур в распределенной системе (2.82).

Рассмотрим поведение системы (2.72) на конечном отрезке длины L. Примем, что границы отрезка не проницаемы, чему соответствуют граничные условия вида:

; при x=0 и x=L (2.74)

(что соответствует постановке задачи Дирихле). Начальные условия, то есть функции u1(x,t=0) и u2 (x,t=0) будем считать произвольными.

Метод автомодельной переменной в данном случае не эффективен, поскольку пространство ограничено.

Здесь используется другой метод -разложение переменных u1 и u2 по пространственным гармоникам. Продемонстрируем его на примере, когда функции u1 и u2 мало отличаются от стационарных значений.

Обозначим:

x= u1(x,t)-A; h= u2 (x,t)- A/B ; x,h<<1.

В линейном по x и h приближении (2.72) имеет вид:

(2.75)

Решения x(х1t), h(x1t) будем искать в виде, удовлетворяющем граничным условиям (2.74):

(2.76)

, где (n=0,1,2 ...) волновое число, оно связано с длиной стоячей волны n -ой гармоники: lт соотношением: . Целочисленность n означает, что на отрезке L укладывается целое число полуволн.

Функции xn(t) и hn(t) (так называемые гармоники) удовлетворяют дифференциальным уравнениям:

(2.77)

Эти уравнения уже не содержат производных по пространственныой координате x и по форме являются точечными.

Исследование их на устойчивость можно провести стандартными методами и найти числа Ляпунова lт , которые зависят от параметров А, В, D1, D2 и волнового числа kn2. На рисунке 2.10 представлена зависимость вещественной части чисел Ляпунова от kn2. Эта зависимость называется дисперсионной диаграммой. При k2=0 числа Ляпунова l0 совпадают с таковыми для точечонй системы (2.73). Как упоминалось, стационарное состояние это системы - устойчива фокус. Это значит, что числа Ляпунова комплексны и сопряжены, то есть реальные части их одинаковы и отрицательны, что и представлено на рисунке 2.10. С увеличением kn2 фокус переходит в устойчивый узел, при этом числа Ляпунова становятся вещественными и отрицательными.

При некотрых, (бифуракционных) значениях параметров А, В, , D1, D2 верхняя ветвь параболы Rel(k2) касается абсциссы, и даже слегка выходит в верхнюю полуплоскость. При этом в интервале (kmin2, kmax2) одно из чисел Ляпунова становится положительным, а стационарное состояние - седлом.

Если в этот интервал попадает одно из дискретных, разрешенных граничными условиями значений kn2, амплитуда соответсвующей моды начинает расти со временем. Это явление называется неустойчивостью Тюринга (или бифуркацией Тюринга).

Подчеркнем особенности этой бифуркации.

Во-первых она имеет место только в распределенных в пространстве системах. При этом нарушается исходная однородность и сама собой возникает структура.

Во-вторых, образуется вполне определения структура (т.е. предопределено значение kn2 и, следовательно пространственный период. Последний зависит от параметров системы(включая размеры), но не зависит от начальных условий.

В-третьих, вблизи бифуркации Тюринга учет нелинейных членов приводит к стабилизации структуры. При этом структура остается плавной (гармонической), со вполне определенной амплитудой, зависящей от тех же параметров.

Таким образом, в системе имеется только одно устойчивое стационарное состояние (один аттрактор) свойства которого предопределены параметрами, но не начальными условиями.

Подчеркнем: выбор диссипативной структуры (либо случайный, либо за счет начальных условий) в системах типа (2.72) невозможен, поскольку она единственна.

Мы остановимся на этом столь детально, поскольку слова "диссипативные структуры" сейчас употребляются очень часто, как к месту так и всуе. В действительности область применимости гармоничных диссипативных структур ограничена. Так при D2>>D1 образуются так называемые контрастные структуры, которые иногда также называются диссипативными, хотя и условно, поскольку по свойствам и методам исследования они сильно отличаются от описанных выше.

В этом случае сперва исследуются стационарные распределения (при ). При этом (2.72) переходит в систему обыкновенных дифференциальных уравнений (по координате x), которое решается в рамках задачи Дирихле. Затем исследуется устойчивость найденных решений в рамках задачи Коши Свойства контрастных структур принципиально отличается от описанных выше.

Так могут образовываться ступенчатые и пичковые структуры и даже уединенные пички. Положение пичка уже не определяется параметрами, а зависит от начальных условий. Если последние задаются в виде малых случайных отклонений от однородных распределений, то выбор положения пичка происходит случайно. Если начальное возмущение не мало, то расположение пичков им и определяется. Так, например, если начальное возмущение локализовано на одном из концов отрезка, то возбуждается волна перестройки, которая оставляет за собой регулярную пичковую структуру [37].

Подробное описание этих явлений можно найти в [8].

Очень интересные явления происходят в системах с режимом обостренияни [38]. При этом в определенный точке сама собой собирается (кумулируется) почти вся энергия изначально распределенная в широком интервале пространства. Это явление уже никак не относится к диссипативным структурам.

Другой круг явлений тоже очень важных, связан с образованием автоволн в активной среде. Под автовненами понимается не только "волны" но и отдельные импульсы, которые распространяются без затухания (за счет подпитки из среды). К таковым относятся нервные импульсы. Они описываются распределенными моделями Хочкина-Хаксли, или более простой (базовой) моделью Физхью-Наумо [39].

В двумерной среде образуются спиральные волны. Из них наиболее исследованы нелинейные волны в реакторе Белаусова-Жаботиского [40].

Все упомянутые явления описываются моделями типа (2.65). Методы исследования их также сходны и совпадают с изложенными выше.. Разным явлениям соответствуют разные виды нелинейных функций Fi(u1,u2...) и разное число переменных ui (и уравнений). Впрочем, в большинстве случаев оказывается достаточным всего два базовых уравнения.

Перечисленные выше модели используются для описания широкого круга явлений в различных областях естествознания: биологии, физике, химии и смешанных науках. Можно сказать, что эти модели являются математической основой описания процессов самоорганизации в природе.

Это не значит, что другие математические методы (как то "игры автоматов" или "математические грамматики") не используются для тех же целей. Они используются и иногда с успехом. Однако, при этом оказывается, что они представляютс собой частые (предельные) случаи теории динамических систем.

2.5 Что такое самоорганизация, синергетика и кибернетика.

До сих пор слово "самоорганизация" мы употребляли на интуитивном уровне. Сейчас уместно обсудить, что оно означает, как произошло, и какую роль сыграло в науке.

По звучанию и смыслу самоорганизация - процесс, в котором происходит нечто не тривиальное, причем происходит само собой, без видимых причин и внешнего вмешательства.

Предметом науки о самоорганизации является перечисленные выше явления, включая автоколебания, динамический хаос и процессы в распределенных системах.

Из изложенного выше следует, что содержательная работа в этом направлении проводилась и раньше, задолго до появления слова, то есть в данном случае "слово" было не "вначале", а "после".

Выше мы уже приводили пример: один астроном открыл звезду, другой - предложил название, при этом честь открытия приписали второму. На самом деле это не так глупо, как кажется.

Поясним это на нашем примере. Слово "самоорганизация" объединило ученых разных специальностей.. Если это считать цельно, то слово "самоорганизация" (как условная информация), как оказалось, имеет высокую ценность. Без этого "слова" междисциплинарное направление не было бы поддержано (в частности финансами), не собирались бы конференции и в целом процесс интеграции наук был бы замедлен.

Эта история - пример того, сколь важную роль играет условная информация в науке и жизни.

Наряду с "самоорганизацией" сейчас популярны слова "кибернетика" и "синергетика". Возникает вопрос: чем они отличаются друг от друга и от "самоорганизации".

В действительности эти направления в большой степени пересекаются. Тем не менее есть отличия.

Кибернетика - наука об управлении - появилась как обобщение опыта управления в технике. Отсюда были заимствованы такие понятия, как положительная и отрицательная обратная связь. Благодаря усилиям доктора Эшби (медика по образованию) эти понятия были внедрены в медицину и на их основе создана концепция гомеостаза. Явления, составляющие суть самоорганизации естественно вписывались в эту концепцию и были восприняты с энтузиазмом. Примерно тогда же доктор Эшби выдвинул лозунг (или парадигму): в кибернетике математический аппарат вторичен. Иными словами, кибернетиком может считаться человек, не владеющий математикой.

На первых порах эта идея сильно расширила круг кибернетиков и способствовала ее популярности. Однако, вскоре выяснилось, что доктор Эшби оказал науке медвежью услугу. В кибернетику ринулись толпы людей, которые не владели не только математикой, но и никакой другой наукой. Был утерян критерий уровня науки кибернетики, ее рейтинг и популярность понизились.

На смену ей пришла синергетика. По существу предметом синергетики служат те же явления, что и в самоорганизации и кибернетике. Главное отличие в том, что в синергетике владение математическим аппаратом (теорией динамических систем, математическим моделированием) считается необходимым условием.

Слово - "синергетика" в переводе с греческого означает "совместное действие". Предложил этот термин профессор Штудгартского университета Герман Хакен в 1978г. По существу синергетика состоит из математических моделей явлений самоорганизации. Таким образом история повторилась: сама наука появилась раньше чем "слово" ее обозначающее. Тем не менее это "слово" тоже сыграло положительную роль в интеграции наук (как ценная условная информация).

В данном случае интеграция произошла на более высоком профессиональном уровне, поскольку человек, не владеющий математикой, синергетиком считаться не может. Сейчас слова "синергетика" и "самоорганизация" часто выступают как синонимы.

В заключении этого раздела уместно обсудить вопрос: почему математическое моделирование (или, что тоже, теория динамических систем) является необходимым элементом таких междисциплинарных наук как синергетика и самоорганизация. Этот вопрос важен поскольку имеет методологическое значение.

Причин тому несколько:

Во-первых, многие из явлений, происходящих в различных областях (физики, химии, биологии) описываются одинаковыми базовыми моделями. Их фазовые портреты тоже одинаковы, что позволяет увидеть общие во множестве, казалось бы различных, явлений. Более того удается уловить общее даже в случае, когда явления с внешнего взгляда различны, как например, ход часов и колебания численности популяций в экологии. При вербальном описании явлений тоже можно уловить некоторую аналогию, но увидеть столь глубоко они простираются уже нельзя.

Во-вторых, в математике разработаны методы упрощения систем уравнений. Они позволяют описать суть явления максимально просто, отделив его от второстепенных и несущественных подробностей. Такие модели называются базовыми. Сформулированы требования, которым должны удовлетворять базовые модели. Главные из них - грубость (термин предложен Андроновым) или, что то же, структурная устойчивость (термин предложен французским математиком Рене Томом).

Понятие "грубить модели" (не смотря на внешнюю непривлекательность) играет существенную роль. Означает оно следующее: любые малые искажение грубой модели не могут существенно изменить и результаты. Под малыми искажениями понимаются:

1) увеличение числа динамичных переменных или, что тоже, добавление производных более высокого порядка, но с малым коэффициентом.

2) добавление членов более высокой степени, но с малым коэффициентом.

При моделировании реальных процессов всегда встает вопрос: все ли учтено, не упущен ли какой-нибудь малый фактор. Заранее ясно, что упущен, поскольку жизнь разнообразна, и всего учесть невозможно. Но если так, то почему простые уравнения описывают действительность.

Этот вопрос задавал себе Эйнштейн и даже он, великий ученый, не мог дать на него ответы. Тем не менее ответ прост: если модель достаточно груба то малые факторы не искажают ее результатов. Такой модели можно доверить в том, что она будет описывать реальность. Справедливо и обратное: если модель негруба, то она не может описать действительность.

Синергетик должен уметь оценивать грубость модели.

В сущности то же относится и к вербальным моделям, они тоже могут быть грубыми и не грубыми. Однако, оценить это свойство на вербальном уровне практически невозможно. Отсюда ясна причина, по которой мы уделили столько места описанию математических методов. С нашей точки зрения это тот минимум, который необходим и доступен для понимания сути процессов самоорганизации и синергетики. Мы постарались изложить этот минимум в достаточно простой форме, доступной для понимания даже современным школьникам.

Кроме того по нашему мнению математические методы теории динамических систем сами по себе достаточно красивы и могут доставить чисто эстетическое удовольствие.

Отсюда следует также, что универсальный язык ученых (естественников и гумманитариев) обязательно будет включать язык теории динамических систем.

Синергетика, как наука, имеет еще одну особенность.

В точных науках формулируются аксиомы и доказываются теоремы. В физике аксиомы - базовые уравнения движения, такие, как: уравнения Ньютона, Максвелла, Эйнштейна, квантовая механика и т.д. Считается, что формулировка аксиом - удел гениев; удел других ("обычных" учёных - решение уравнений применительно к конкретным задачам. Для большинства физиков основная задача - решать уже известные уравнения, а не создавать новые.

В синергетике часто приходится создавать модели явлений заново, "вывести" их из первых принципов практически невозможно Иными словами, синергетика - наука о том, как создавать модели, а не только их исследовать и решать. Этому же посвящена и теория катастроф [41], которую можно считать разделом синергетики.

2.4.2. Диссипативные структуры. - Основные понятия динамической теории информации - Неизвестен - Философия как наука