V. 3. СЕМЕЙСТВО ФУНКЦИЙ КАК БАЗИС ОПИСАНИЯ ПСИХИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ - Системные описания психологии - Ганзен

V. 3. 1. Семейство показательных и логарифмических функций. В

подразделе V. 2 было продемонстрировано, как показательная функция  может

быть использована для моделирования психического явления. Теперь применим

для анализа и описания целой области психических явлений семейство

показательных и логарифмических функций, рассматривая его как базис

системного описания.

------------Картинка стр. 118------

Рис. 9. Показательно-логарифмический базис описания психических явлений.

--------------------------

Сначала опишем этот базис, для чего воспользуемся графическим

представлением семейства показательных и логарифмических функций (рис. 9).

Названные функции взаимообратны, и их произведение приводит к единичному

преобразованию (см. II. 2). Графики взаимообратных функций симметричны

относительно биссектрисы первого координатного угла. Графики показательных

функций проходят через точку (0; 1), логарифмических - чрез точку (1;

0). Показательные и логарифмические функции монотонны, непрерывны, не

являются ни четными, ни нечетными. Как и те, так и другие можно

разделить на симметричные относительно осей координат подмножества -

возрастающие и убывающие функции. Рассмотрев опыт использования

показательной и логарифмической функций в теоретических и прикладных

исследованиях, среди множества значений их оснований можно выделить

несколько величин:

1) a=2, 718, Функция y=e"x" инвариантна относительно

преобразований интегрирования и дифференцирования. Число eявляется

основанием натуральных логарифмов;

2) a=2. Функция y=2"n" при целочисленном аргументе

описывает процесс удвоения. Двоичные логарифмы получили широкое

распространение в связи с развитием теории информации;

3) a=e"1/e"=1,44... . При таком значении y=e графики

показательной и логарифмической функций касаются биссектрисы и друг друга

в одной точке. В этой точке имеет место плавно сопряжение графиков

рассматриваемых функций;

4) a=1. предельный случай. Графики функций - прямые, параллельные

осям координат.

Графики функций с перечисленными значениями основания изображены на рис.

9. Совокупность их составляет некоторое упорядоченное множество. Вот таким

образом организованное семейство функций и будем рассматривать как опорный

базис, на который "спроецируем" известные экспериментальные

зависимости, а затем попытаемся получить на этой основе новую информацию.

Выделенные графики будут играть роль своего рода координатной сетки.

В качестве иллюстративного примера выберем одномерные психофизические

шкалы. Пусть R - множество стимулов, размещенных в физическом

континууме, а S - множество их сенсорных отображений. При

построении психофизических шкал (шкалировании) рассматривается отображение

============Формула 1 стр. 119=========

S=============Формула 4 стр. 123==========

N=log/2/(klogR/R/0/). (16)

Из выражения (10) можно просто вывести

=============Формула 5 стр. 123===========

n=logR/R/0/. (17)

Сопоставим значения выражений (16) и (17).

Формула (17) описывает рассмотренную выше шкалу октав. Октавные градации

могут обладать качественной определенностью, именоваться (цвет, звуковые

октавы) и располагаться в строго установленном порядке вдоль сенсорного и

физического континуумов. Шкалы такого типа являются промежуточными между

метрическими и порядковыми и имеют прочную основу в виде определенной

организации долговременной памяти. В этом случае речь идет о первичной

дихотомии физического континуума относительно сенсорного. Формула (16)

представляет собой фактически вторичную дихотомию сенсорного континуума

относительно некоторого континуума (характерного для идентификации) на

основе механизмов кратковременной памяти [3]. Еще одним аргументом в пользу

существования вторичной дихотомии является указание на то, что при

фракционировании испытуемы гораздо легче пользоваться дробью 1/2, чем

другими дробями: 1/3, 1/4 и т. д. [22].

Следовательно, выражения (16) и (17) описывают некоторые крайние случаи

отображения порядка стимулов, а случай, соответствующий формуле (16),

является предельным, так как при минимальном числе градаций и минимальном

участии опыта обеспечивается максимальная надежность отображения.

V. 3. 4. Номинальные шкалы. Такому виду шкал соответствует

инвариантность отношений эквивалентности при отображении (5). При

кодировании на основе этих шкал, т. е. отображении (6), релевантным будет

сам факт наличия или отсутствия стимула. В случае использования единственного

сенсорного континуума каждый стимул будет описываться конъюнкцией признаков,

принимающих только два значения: 0 (отсутствие признака) или 1 (наличие

признака, это значение приписывается одной из случайно выбранных градаций

континуума). Минимальное количество признаков при данном числе классов

L равно

============Формула 1 стр. 124========

l=Llog/2/L.

В предельном по простоте случае, когда стимул обладает не больше чем одним

релевантным признаком, получаем равенство l=L. В качестве

эмпирической переменной при этом могут выступать лишь число стимулов и их

вероятности.  Эксперименты такого рода проводились при исследованиях реакции

выбора, одним из наиболее известных результатов которых являются законы У.

Хика и Р. Хаймена:

=========Формула 2 стр. 124=======

t=klog/2/(n+1);

t=a+blog/2/n,

где t - время реакции выбора; n - число стимулов, a,

b и k - константы.

К числу гипотез, хорошо объясняющих такие результаты, принадлежит модель

последовательного дихотомического деления множества стимулов и нахождения

правильного выбора [135]. На общий характер закономерности, отраженной в

законе Хика, указывают многие факты. В частности, при идентификации

отдельных слов, взятых из списков различной длины (о чем осведомляется

испытуемый), время предъявления, необходимое для идентификации, прямо

пропорционально логарифму числа слов в каждом списке [114]. Объем

запоминания также зависит от логарифма длины алфавита, из которого

отбираются запоминаемые стимулы [49].

***

Заканчивая рассмотрения эмпирического материала из области метрических,

порядковых и номинальных шкал, следует констатировать существование двух

важных функциональных зависимостей. Первая из них описываемая выражением

(17), является, как уже указывалось выше, экстремальным случаем класса

метрических шкал и позволяет отграничивать его от класса порядковых шкал.

Вторая, представленная формулой (13), разграничивает классы номинальных и

порядковых шкал. При N<log/2/m значимым является только число

стимулов, а при N‡log/2/m - соотношение числа стимулов и

ширины сенсорного диапазона, причем релевантным становится порядок стимулов

при их размещении в данном сенсорном диапазоне. Таким образом, при переходе

от исследования в качестве релевантных стимулов (различий) между стимулами

к использованию их порядка и, наконец, к случайному приписыванию стимулов

кодовых значений уменьшается отношение числа рассматриваемых стимулов к

ширине сенсорного диапазона, в котором они размещаются, причем в качестве

граничных случаев выступают дихотомические шкалы.

Логарифмические и показательные функции с небольшими значениями параметра

a, близкими к единице, служат основой для дифференцированного

описания сенсорных отображений, причем логарифмические функции являются

средством описания сенсорных шкал, а показательные - соответствующих этим

шкалам кодовых систем.