2. ПАРАДОКСЫ ТЕОРЕТИКО-МНОЖЕСТВЕННОГО МЫШЛЕНИЯ. - Оправдание синергетики. Синтез науки, философии и религии - Н. М. Калинина - Синергетика

ТЕОРЕМА ГЁДЕЛЯ

Все люди почитают то, что познано познанием; а не ведают, что познание начинается лишь после того, как, опираясь на знание, познают непознанное.

Лао-Цзы

Всякая наука настолько наука, насколько в ней заключено математики.

И.Кант

Пускай не смеет и не сможет речь

В словесность бессловесное облечь.

Солги глазам и ясность спрячь в туман -

Живую правду сохранит обман.

Прямые речи обратятся в ложь.

И только притчей тайну сбережешь.

Омар ибн Аль-Фарид

Во второй половине XIX века центральными вопросами математики продолжали оставаться вопросы дифференциального и интегрального исчисления и дифференциальных уравнений, образующие область, которая известна как "математический анализ" или просто "анализ". Она возникла в результате открытий Ньютона и Лейбница и получила мощный импульс от их ближайших последователей, великих математиков XVIII и начала XIX в. - Эйлера, Лагранжа и Лапласа.

Известно, что импульсы к созданию математического анализа были даны геометрическими и механическими задачами - такими, как вычисление площадей фигур (квадратур), длин кривых, моментов инерции, отыскание траекторий и т.п., решать которые прежними средствами было затруднительно или вообще невозможно. Сразу же после своего появления анализ показал себя как исключительный по своим возможностям инструмент. Это могущество метода так увлекло математиков, что они стали интенсивно расширять круг задач, решаемых анализом, и совершенствовать его формулы, способные, казалось, описывать и обсчитывать все на свете.

Расширение сферы приложений анализа и увеличение его популярности заставило наиболее вдумчивых математиков ставить задачу его обоснования, не зависящего от приложений геометрического или механического характера. Внутренняя логика развития этой дисциплины ставила вопрос о строгости ее методов. Возникали вопросы: все ли можно продифференцировать и проинтегрировать, не задумываясь о природе исследуемого явления? Что собой представляет та минимальная величина dx, которой оперирует математический анализ? Есть ли нижний предел у этой величины? Существуют ли верхние пределы интегрирования, или же интегральная сумма не зависит от масштабов анализируемого объекта? Нужно ли при анализе учитывать качественные изменения объекта, обусловленные изменением его количественных характеристик? Примечательно, что к этому времени Гегелем уже был разработан диалектический метод теории познания, включающий в себя в качестве одного из законов переход количественных изменений в качественные. Однако математиками задачи обоснования анализа под таким углом зрения не рассматривались. Они пока искали ответ на вопрос, что представляет собою основной объект математического анализа - действительное число. Решением этой проблемы занялись немецкие математики Юлиус Вильгельм Рихард Дедекинд (1831-1916), Карл Теодор Вильгельм Вейерштрасс (1815-1897).

Заглянем в современный учебник по математике и посмотрим, что представляют собой, по определению, действительные числа.

Действительное число (вещественное число) - число, которое можно представить в виде бесконечной десятичной дроби; число, которое определено дедекиндовым сечением в множестве рациональных чисел. Действительные числа подразделяются на рациональные и иррациональные.

Рациональными числами называются все положительные и отрицательные целые числа и дроби, а также нуль.

Иррациональными числами называются непериодические бесконечные десятичные дроби.

Натуральное число - число, выражающее мощность конечного множества. В зависимости от контекста или одно из чисел 1, 2, 3, … или одно из чисел 0, 1, 2, …

С точки зрения практики для выполнения измерений никаких других чисел, кроме рациональных, нам знать не нужно. Но надо иметь в виду, что задача фактического измерения заданной величины всегда есть неопределенная задача. Пусть, например, нужно измерить длину некоторого прямолинейного отрезка, данного нам физически. Самые его концы всегда несколько неопределенны, ибо всегда можно заменить данный отрезок другим, столь нечувствительно от него отличающимся, что мы не в силах обнаружить этой подмены: для этого достаточно только, чтобы разница длин обоих этих отрезков лежала за порогом чувствительности наших инструментов.

Таким образом, имеется бесчисленное множество рациональных чисел, чрезвычайно близких друг к другу, каждое из которых вполне можно принять за "истинную" длину нашего физического отрезка. Для удобства вычисления полученные значения обычно округляют до очень небольшого количества десятичных знаков измеряемой величины.

Последовательность рациональных чисел сама по себе есть всюду плотная, ибо между двумя такими числами - какими бы близкими друг к другу они ни были - всегда можно найти сколько угодно промежуточных рациональных чисел. Поэтому-то на первый взгляд кажется, что для каких-нибудь новых чисел в последовательности рациональных чисел как будто совсем не остается никакого места.

Однако указанное первое впечатление оказывается глубоко ошибочным, потому что в последовательности рациональных чисел повсюду имеются просветы. Эти просветы полностью заполнены иррациональными числами - бесконечными непериодическими десятичными дробями.

Примеры иррациональных чисел:

= 1, 4142136…

= 3,1415926536…

е = 2,718281828459045…

lg 5 = 0,6989700…

Теперь вернемся во вторую половину XIX-го века. Понятие натурального числа представлялось тогда вполне ясным. Из натуральных чисел в результате деления одного числа на другое получаются рациональные числа - обычные дроби. Но в результате той же процедуры, но с другими натуральными числами, могут получаться и бесконечные дроби - иррациональные числа. Если такая дробь является периодической (например, 0,333...), она отождествляется с рациональным числом (в нашем примере это 1/3), если не периодической - то с числом иррациональным. В теории Вейерштрасса иррациональные числа понимаются как бесконечные непериодические дроби, то есть неограниченно продолжающиеся вереницы цифр (например, десятичных знаков), которые нельзя фактически выписать и вряд ли можно представить в воображении. Вейерштрассовское действительное число - если оно иррационально - нельзя написать на бумаге: не хватит ни бумаги, ни человеческой жизни.

Дедекинд в своей теории отождествил действительные числа с сечениями в области рациональных чисел. Всякое действительное число представляется в виде системы из двух объектов: верхнего и нижнего классов сечения во множестве рациональных чисел, где классы - это множества, мыслимые как некие единичные сущности: "Для всякого сечения А А в множестве вещественных чисел существует вещественное число , которое производит это сечение. Это число будет: 1) либо наибольшим в нижнем классе А, 2) либо наименьшим в верхнем классе А " [1].

Это удается сделать потому, что для сечений оказывается возможным определить операции сложения, вычитания, умножения и деления, а также отношения равенства и неравенства. При этом сечения, имеющие пограничные числа, отождествляются с рациональными числами, а сечения, не имеющие пограничных чисел, - с иррациональными. Таким образом, Дедекинд придал иррациональным числам совершенно новый смысл, определив их как сечения в области рациональных чисел.

Возникла парадоксальная ситуация: простейший объект математического анализа - действительное число, был определен через более сложный объект - бесконечное множество. Парадокс требовал своего разрешения.

Философской основой научного видения математиков того времени был так называемый математический платонизм. Вспомним, что в своей знаменитой "теории идей" Платон утверждал, что чувственно воспринимаемые объекты есть лишь бледные копии идей ("эйдосов"), существующих в неком идеальном мире. Эйдосы существуют там более реально, чем существуют в материальном мире обычные вещи, поскольку обычные вещи имеют дефекты и изъяны, со временем разрушаются и исчезают, а идеи вечны и совершенны.

Математики XIX века, имевшие самые различные философские взгляды, в своем отношении к математическим объектам почти все стояли на точке зрения стихийного платонизма. Эта точка зрения очень четко проявилась в следующих словах одного из виднейших математиков XIX века - Шарля Эрмита (1822-1901): "Я верю, что числа и функции анализа не являются произвольным созданием нашего разума; я думаю, что они существуют вне нас в силу той же необходимости, как и объекты реального мира, и мы их встречаем или их открываем и изучаем точно так, как это делают физики, химики или зоологи" [1]. Эти слова означают, что числа и функции похожи не на приборы и инструменты, которые придумали люди, а на виды растений и животных, которые существуют независимо от желания человека и его знания об их существовании и которые человек со временем лишь обнаруживает.

К тому времени математическим объектом, занявшим центральное положение в иерархии "платонических идей" стало "множество". В математической науке наступила эпоха теоретико-множественного мышления. В анализе постоянно встречались множества - множества первообразных, множества решений уравнения, множества интегралов, множества дифференциальных уравнений данного типа, множества самосопряженных операторов, множества квадратичных форм от n переменных и т.д. Идея множества вообще стала казаться понятием самым ясным и доступным среди всех понятий, которыми оперирует математическое мышление.

Большой вклад в разработку теории множеств внес Георг Кантор (1845-1916). Он исследовал свойства абстрактных множеств и расклассифицировал множества в зависимости не от конкретной природы элементов, их составляющих, а от "количества" элементов множества. Кантор разработал изящные способы сравнения множеств по величине и упорядочения множеств, введя центральное понятие своей теории - понятие мощности множества, которое есть некий аналог понятия количества элементов конечного множества. Самым поразительным для сознания ученых оказался тот факт, что множества, несмотря на их бесконечность, могут отличаться друг от друга по своей мощности.

Вскоре выяснилось, что множество действительных чисел (континуум) - далеко не самое мощное: его превосходит по мощности, например, множество всех действительных функций одной переменной, заданных на единичном отрезке. Вообще, Кантор показал, что по множеству данной мощности всегда можно построить еще более мощное множество - для этого достаточно взять множество всех подмножеств данного множества.

В письмах и статьях Кантора, в комментариях к его математическим работам не раз встречаются фразы, из которых можно заключить, что Кантор возводит свою теорию как бы вопреки собственной воле, на каждом этапе работы изумляясь полученному результату, как будто противоречащему интуиции и здравому смыслу. Известно его восклицание по этому поводу: "Вижу, но не верю!".

Но рациональный ум требовал наведения порядка в хаосе всех этих множеств, множеств множеств, множеств множеств множеств... Наибольший вклад в осмысление сложившейся ситуации внес выдающийся немецкий математик и логик Давид Гильберт (1862-1943). Он рассуждал следующим образом: бесконечные множества не соответствуют ничему реальному в природе. Но ведь и в задачах, где исследуются целые числа, могут в промежуточных фазах вычисления встретиться дроби, которые тоже ничему реальному не соответствуют и которые в окончательный результат не войдут, - они вводятся для удобства вычислений, из соображений формальной простоты и компактности. То же можно сказать и о комплексных числах, которые не описывают процесс, а сокращают путь решения задачи, делают его более лаконичным и простым. Иными словами, кратчайшая дорога, соединяющая области реальные, может пролегать по области "воображаемых" объектов - "идеальных элементов". Следуя этой логике, Гильберт и теоретико-множественные построения объявил лишь вспомогательными элементами науки. Математика может без опаски пользоваться этими элементами, если удастся доказать раз навсегда, что теория, построенная с их участием, не приведет к противоречию. Интуиция подсказывала, что ситуация неоднозначна, поэтому доказательство надежности математики жизненно необходимо. Надежность математики - в ее непротиворечивости, но непротиворечива ли она - это как раз и требовалось доказать.

Гильберт подошел к решению проблемы непротиворечивости математики с позиций формальной логики. В основу ее легла так называемая аксиоматическая теория, представляющая собой формальную систему, устанавливающую соотношения между ее элементами (знаками) и описывающую любые множества объектов, которые ей удовлетворяют. Основное внимание в рамках этой теории уделялось установлению непротиворечивости системы, ее полноты, независимости системы аксиом и т. д. Знаковые системы рассматривались вне зависимости от содержания, которое может быть в них представлено. Гильберт считал, что мышление, научная работа нуждаются в системе знаков, на которые могут опереться логические рассуждения. Знаки - внелогическая категория, утверждает Гильберт. Для научного мышления представляют ценность не любые знаки, а такие, которые человек может уверенно отличать друг от друга или, наоборот, отождествлять друг с другом - только в этом случае их можно использовать для построения теории. "Только известная часть комбинаций и следствий из физических законов может быть контролируема опытом, - подобно тому, как в моей теории доказательства только реальные высказывания могут быть непосредственно проверяемы" [3].

Основная цель науки, по Гильберту, - познание мира. Но сущность вещей не лежит в их "верхнем слое", непосредственно открытом чувственному восприятию. Поэтому методологически неправильно каждую отдельную формулу и каждый отдельный знак "проверять" сопоставлением с действительными объектами. Теория - вещь гораздо более сложная, чем простое "фотографирование" объектов. Установив правила работы со знаками с помощью известных законов природы или с помощью некоторых гипотез (которые потом могут быть отвергнуты, если теория не оправдает себя), на следующем этапе работы мы можем отвлечься от прежней, внешней реальности и перейти к новой реальности - знаковой системе с ее правилами, которые, хотя и были установлены нами самими, теперь предстают перед нами как объективная реальность. Таким образом, через переход к системе знаков, символов математики пытались с одной стороны, исключить влияние на расчеты каких-либо субъективных факторов, связанных с особенностями чувственного восприятия каждого человека, с другой стороны - ускорить проведение математических операций за счет исключения необходимости сверять каждый шаг в расчетах с опытными данными.

Аксиоматический метод является одним из способов дедуктивного построения научных теорий. В случае дедуктивного вывода следствия содержатся в посылках в скрытом виде, и они должны быть извлечены из них в результате методов логического анализа. Дедуктивный вывод - это путь от общего к частному.

При аксиоматическом методе построения производятся следующим образом:

1. Выбирается некоторое множество принимаемых без доказательств предложений определенной теории (аксиом).

2. Входящие в них понятия явно не определяются в рамках данной теории.

3. Фиксируются правила вывода и правила определения данной теории, позволяющие соответственно переходить от одних предложений к другим и вводить новые термины (понятия) в теорию.

4. Все остальные предложения данной теории (теоремы) выводятся из (1) на основе (3).

Таким образом, формулы - это конечные (финитные) наборы значков, придуманных самими математиками. Тот факт, что одно утверждение можно вывести из другого, есть просто некая работа с этими формулами, которые не имеют никакого отношения к их смыслу. Все истинные формулы получаются с помощью правил вывода из аксиом, то есть базовых положений, не требующих доказательств. Теперь же требовалось доказать, что в математике не существует ограничений для применения научных знаний, формально выведенных из принятых аксиом, а для этого необходимо было вначале доказать непротиворечивость арифметики, на которой, собственно, и базировался математический анализ.

У Гильберта было глубокое убеждение в том, что можно "финитными" (конечными) средствами доказать непротиворечивость арифметики, после чего и вся математика - с анализом и всеми ее "идеальными элементами" - станет в логическом смысле абсолютно истинной и превратится в инструмент исследования стопроцентной надежности. Гильберт показал, что непротиворечивость геометрии такова же, как и непротиворечивость арифметики, то есть что если арифметика непротиворечива, то непротиворечива и геометрия. Итак, все замкнулось на арифметику.

Но какова "природа" элементов абстрактной, формальной системы? В частности, что такое точки и прямые абстрактной геометрии? Гильберт ответил на эти вопросы с точки зрения аксиоматического метода. Точки, прямые и плоскости он назвал "тремя системами вещей", удовлетворяющих аксиомам геометрии. Таким образом, он объявил аксиомы скрытыми (неявными) определениями основных понятий некоторой абстрактной структуры. Точки, прямые и плоскости - это любые вещи, которые подчинены условиям, что для любых двух точек существует прямая и притом только одна, проходящая через каждую из этих точек; что через прямую и точку, на ней не лежащую, проходит одна и только одна плоскость, и т. д. Но было нечто, что вызывало сомнения. Смущало то, что простые понятия - аксиомы Гильберт определял через понятия более сложные. Так, не зная, что такое прямая, нельзя было понять, что такое точка, не имея представления о том, что такое плоскость, нельзя было дать определение прямой. Но "аксиомы науки суть высшая и наибольшая общность всех суждений, из которых состоит данная наука". А такой общности не получалось.

Анри Пуанкаре (1854-1912), французский математик, одновременно с Энштейном пришедший к основным понятиям специальной теории относительности, так писал о системе Гильберта: "Гильберт старался, так сказать, представить аксиомы в такой форме, чтобы они могли быть прилагаемы лицом, которое не понимало бы в них смысла, потому что никогда не видело ни точки, ни прямой, ни плоскости. Рассуждения, должны, по его мнению, приводиться к чисто механическим правилам; и для того, чтобы строить геометрию, достаточно рабски прилагать эти правила к аксиомам, не зная, что они, собственно, выражают. Таким образом можно было бы построить всю геометрию, я не скажу, ничего в ней не понимая, потому что будет понятно логическое сцепление предложений, но по крайней мере ничего в ней не видя" [4].

Алексей Федорович Лосев (1893-1988), философ, филолог, занимавшийся исследованием диалектических основ математики, протестуя против формализма Гильберта, говорил о том, что принимая геометрические аксиомы в предложенной форме, мы делаем вид, будто не знаем, что такое точка, прямая, плоскость и проч. Но в то же время мы рассуждаем о трехмерном пространстве, следовательно, интуитивно уже знаем, что имеется и двумерное, и одномерное пространство. "Беда только в том, что если действительно стоять на точке зрения абсолютного формализма, то ни из единицы нельзя получить двойку, ни из одномерного пространства нельзя получить двумерное, так как все эти переходы не просто логические. Из того, что существует точка, ровно не следует, что существует и прямая; и из наличия четырех точек не в одной плоскости ровно не следует (формально-логически не следует), что существуют и три точки не на одной прямой или две вообще различные точки. … Все дело в том-то и заключается, что тут не просто формальная связь абстрактных понятий, но интуитивная очевидность и тут даже вовсе не понятия, а математические факты. Только интуитивно одно измерение предполагает другое, так как если мы фиксирует прямую, то тем самым косвенно фиксируем и плоскость, на которой она находится. Но Гильберт изгоняет всякую интуицию" [5].

А. Ф. Лосев вводит в самом общем виде свое определение геометрической аксиомы: "геометрическая совокупность - такая совокупность, в которой абсолютно изолированные элементы даны в своем инобытии. В приведенной конкретизации: абсолютно изолированные элементы суть точки - две, три, четыре (их может быть сколько угодно); совокупность - это отождествление данных точек; инобытие - это общепространственное отождествление точек, общепространственное их объединение" [6].

Инобытие - структура, новое качество, которое возникает при рассмотрении прежде изолированных элементов в виде совокупности. Говоря современным языком, изолированность точек - это хаотическое состояние элементов, набор без определенного смысла; совокупность точек - это упорядоченность, целостность, наличие определенной структуры, придающей этому целому вполне определенное качество.

В 1931 году молодой австрийский математик Курт Гёдель опубликовал найденное им доказательство (мета)теоремы, которая многими рассматривается как поворотный пункт в науке об основаниях математики и в математической логике. Методами, признанными подавляющим большинством математиков совершенно строгими, Гёдель доказал, что в формализованной арифметической системе есть такие формулы, которые по своему содержанию должны быть либо истинными, либо ложными, но которые не могут быть в этой системе ни доказаны, ни опровергнуты. Опираясь на этот результат, названный теоремой о неполноте, Гёдель доказал, что если арифметика и непротиворечива, то ее непротиворечивость нельзя доказать формальными средствами. Другими словами, не существует полной формальной теории, где были бы доказуемы все истинные теоремы арифметики.

Логика - это совокупность правил и процедур, по которым следствия могут быть получаемы из посылок, причем эти правила и процедуры не зависят от содержания посылок и следствий, а также ни от каких субъективных или внешних факторов (настроение, эмоции, погода, время года и пр.), а зависит только от формы выражения. Это значит, что логика слепа к содержанию. Но процесс познания нельзя в целом автоматизировать, поскольку истина по своей сути не формальна, а содержательна.

Вывод о неполноте формальной теории Гёдель сделал, столкнувшись в своих построениях с формулой, представляющей собой метавысказывание о собственной недоказуемости: "Я, формула F, недоказуема". По своей сути эта формула аналогична парадоксальному высказыванию "я лгу". Верить или не верить этому утверждению? Если говорит лжец "я лгу", то он может и солгать, что он лжет. А если "я лгу" говорит человек, не способный солгать? Следовательно, чтобы поверить утверждению "я лгу", мы должны узнать, что собой представляет человек, говорящий эту фразу, а для этого необходимо выйти за пределы системы "слушатель - лжец" и собрать соответствующую информацию.

Предположим, что формула "Я, формула F, недоказуема", доказуема. Тогда, если логико-арифметическая система непротиворечива (то есть все доказуемые в ней формулы истинны), данная формула не может быть доказуемой. Но данная формула не только недоказуема, но и неопровержима, то есть недоказуемо ее отрицание. Таким образом, в принятых рамках эту формулу нельзя ни опровергнуть, ни доказать - это неразрешимая формула. Существование же в формальной системе неразрешимой формулы означает неполноту системы.

Из теоремы Гёделя следует очень важный мировоззренческий вывод: любая теоpетическая модель покоится на утверждениях (аксиомах), пpинципиально недоказуемых в pамках этой модели. Поэтому эти утверждения пpинимаются на веpу. Но в рамках этой же модели невозможно и отрицание принятых утверждений. Следовательно, для доказательства или отрицания принятых аксиоматических утверждений придется стpоить более общую теоpию с новыми аксиомами и т.д.

Современные тенденции в развитии научно-философских знаний об окружающем нас мире, скорее всего, приведут к тому, что в конце концов возникнет ситуация, когда, углубившись в тайны микромира, мы вынуждены будем принять (или не принять) на веру такое понятие как дух, отождествив его со сверхтонкой разумной энергией, а устремившись к космическим высотам, должны будем принять или не принять идею существования Бога, Творца, Высшего Разума. И человечество будет находиться в таком раздвоенном состоянии веры и неверия до тех пор, пока не получит доказательств, переводящих веру в безусловно достоверное знание.

Категорические споры по поводу расхождения в понимании глубочайших основ бытия не утихнут, пока человечество в подавляющей своей массе не сможет "преодолеть себя", выйдя за пределы своего настоящего опыта. Новые знания требуют расширения сознания, пересмотра иерархии ценностей, смены научной парадигмы и т. д. Другими словами, чтобы ответить на вечные вопросы, необходимо суметь посмотреть на себя и на мир, в котором мы живем, со стороны, с более высокого уровня сознания. Показал же этот путь научному миру Курт Гёдель, занимаясь далекими от подобных проблем исследованиями - всего лишь изучая непротиворечивость арифметики. Тем не менее, в его теореме о неполноте кроется огромный заряд антидогматизма, напоминающий о том, что именно ограниченность человеческого разума является причиной иллюзорности окружающего мира. Каждый человек строит определенную модель окружающего мира и живет в ней. Иногда этого оказывается достаточно. Но вся проблема в том, что иллюзорность в восприятии мира порождает иллюзорность целей. Отсюда всевозможные столкновения, конфликты, войны.

Цитируемая литература:

1. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа, том 1. М.: Гос. изд-во технико-теоретич. литературы, 1957. - С 23.

2. Бирюков Б.В., Тростников В.Н. Жар холодных числ и пафос бесстрастной логики (Формализация мышления от античных времен до эпохи кибернетики). М.: Знание, 1977 г. - С.

3. Там же, с.

4. Лосев А.Ф. Хаос и структура. М.: Мысль, 1997. - С. 162.

5. Там же, с. 163.

6. Там же, с. 157.