Глава 2. УСТАНОВЛЕНИЕ РЕАЛЬНОГО - Порядок из хаоса - И. Пригожин - Сочинения и рассказы

1. Законы Ньютона

Рассмотрим теперь более подробно механистическое мировоззрение, возникшее на основе трудов Галилея, Ньютона и их преемников. Мы опишем сильные стороны этого мировоззрения, укажем те аспекты природы, которые ему удалось прояснить, не обойдем молчанием и присущие ему ограничения.

Со времен Галилея одной из центральных проблем физики было описание ускорения. Самым удивительным было то, что изменение в состоянии движения тела допускало описание в простых математических терминах. Ныне это обстоятельство кажется почти тривиальным. Не следует, однако, забывать о том, что китайская наука, добившаяся значительных успехов во многих областях, так и не смогла дать количественную формулировку законов движения. Галилей открыл, что если движение равномерно и прямолинейно, то необходимость в поиске причины такого состояния движения ничуть не больше, чем в поиске причины состояния покоя. И равномерное прямолинейное движение и покой сохраняют устойчивость сколь угодно долго - до тех пор пока не происходит что-нибудь, нарушающее их. Следовательно, центральной проблемой является переход от состояния покоя к движению и от движения - к состоянию покоя или, более общо, проблема изменения любых скоростей. Как происходят такие изменения? Формулировка законов движения Ньютона основана на использовании двух конвергентных направлений развития: одного физического (законы движения планет Кеплера и законы свободного падения тел Галилея) и другого математического (создание диффе

ренциального исчисления, или исчисления бесконечно малых).

Как определить непрерывно изменяющуюся скорость? Как описать мгновенные изменения различных величин: положения тела, скорости и ускорения? Как описать состояние движения тела в любой заданный момент? Чтобы ответить на эти вопросы, математики ввели понятие бесконечно малой величины. Любая бесконечно малая величина есть результат некоторого предельного перехода. Обычно это приращение величины между двумя последовательно выбранными моментами времени, когда длина разделяющего их временного интервала стремится к нулю. При таком подходе конечное изменение разбивается на бесконечный ряд бесконечно малых изменений.

В каждый момент времени состояние движущегося тела можно задать, указав его положение - вектор r, скорость v, характеризующую "мгновенную тенденцию" r изменению положения, и ускорение а, также характеризующее "мгновенную тенденцию" к изменению, но уже не положения, а скорости. Мгновенные скорости и ускорения - это пределы отношений двух бесконечно малых величин: приращения r (или v) за временной интервал delta(t) и самого временного интервала delta(t), когда delta(t) стремится к нулю. Такие величины называются производными по времени. Со времен Лейбница их принято обозначать соответственно как v=dr/dt и a=dv/dt. Ускорение, будучи "производной от производной", становится второй производной: a=d^2r/di^2. Проблема, находящаяся в центре внимания всей ньютоновской физики, - вычисление этой второй производной, т. е. ускорения, испытываемого в любой заданный момент материальными точками, образующими некую систему. Движение каждой из точек за конечный интервал времени может быть вычислено с помощью интегрирования - суммирования бесконечно большого числа бесконечно малых приращений скорости за этот интервал времени. В простейшем случае ускорение а постоянно (например, если тело падает свободно, то а равно ускорению свободного падения g). В общем случае ускорение изменяется со временем, и задача физика состоит в том, чтобы точно установить характер этого изменения.

На языке Ньютона найти ускорение означает определить различные силы, действующие на точки рассматриваемой системы. Второй закон Ньютона (F=ma) утверждает, что сила, приложенная к любой материальной точке, пропорциональна производимому ею ускорению. В случае системы материальных точек задача несколько усложняется, так как силы, действующие на заданное тело, в каждый момент времени зависят от относительных расстояний между телами системы и поэтому изменяются со временем в результате ими же производимого движения.

Любая задача динамики представима в виде системы дифференциальных уравнений. Мгновенное состояние каждого из тел системы описывается как мгновенное состояние материальной точки и определяется заданием его положения, скорости и ускорения, т. е. первыми и вторыми производными от вектора r, задающего положение тела. В каждый момент времени система сил, зависящая от расстояний между точками системы (т. е. от r), однозначно определяет ускорение каждой точки. Ускоренное движение точек приводит к изменению расстояний между ними и, следовательно, системы сил, действующих на них в следующий момент.

Если запись дифференциальных уравнений означает постановку динамической задачи, то их интегрирование соответствует решению этой задачи. Интегрирование сводится к вычислению траекторий r(t), в которых содержится вся информация, существенная для динамики. Она дает полное описание динамической системы.

В этом описании можно выделить два элемента: положения и скорости всех материальных точек в один момент времени (часто называемые начальными условиями) и уравнения движения, связывающие динамические силы с ускорениями. Интегрирование уравнений движения развертывает начальное состояние в последовательность состояний, т. е. порождает семейство траекторий тел, образующих рассматриваемую систему.

Триумфом ньютоновской науки явилось открытие универсальности гравитации: одна и та же сила "всемирного тяготения", или гравитации, определяет и движение планет и комет в небе, и движение тел, падающих на поверхность Земли. Из теории Ньютона следует, что между любыми двумя материальными телами действует одна и та же сила взаимного притяжения.

Таким образом, ньютоновская динамика обладает двоякой универсальностью. Математическая формулировка закона всемирного тяготения, описывающая, каким образом стремятся сблизиться любые две массы, не связана ни с каким масштабом явлений. Закон всемирного тяготения одинаково применим к движению атомов, планет или звезд в галактиках.

Любое тело, каковы бы ни были его размеры, обладает массой и действует как источник ньютоновских сил тяготения.

Поскольку между любыми двумя массами возникают силы взаимного притяжения (на каждое из двух тел с массами т и т', находящихся на расстоянии r друг от друга, со стороны другого тела действует сила притяжения, равна kmm'/r^2, где k - ньютоновская гравитационная постоянная; k=6,67 Н м^2/кг^2), то единственной истинно динамической системой является только Вселенная в целом. Любую локальную динамическую систему, например нашу планетную систему, можно определить лишь приближенно, пренебрегая силами, малыми в сравнении с теми, действие которых мы рассматриваем.

Следует подчеркнуть, что для произвольно выбранной динамической системы законы движения всегда представимы в виде F=та. Помимо гравитации, могут быть и действительно были открыты другие силы, например силы взаимного притяжения и отталкивания электрических зарядов. Каждое такое открытие изменяет эмпирическое содержание законов движения, но не затрагивает их формы. В мире динамики изменение отождествляется с ускорением (как положительным - в случае разгона, так и с отрицательным - в случае торможения). Интегрирование законов движения позволяет найти траектории, по которым движутся частицы. Следовательно, законы изменения, или влияния времени на природу, должны быть как-то связаны с характеристиками траекторий.

К числу основных характеристик траекторий относятся регулярность, детерминированность и обратимость. Мы уже знаем, что для вычисления любой траектории, помимо известных законов движения, необходимо эмпирически задать одно мгновенное состояние системы. Общие законы движения позволяют вывести из заданного начального состояния бесконечную серию состояний, проходимых системой со временем, подобно тому, как логика позволяет выводить заключения из исходных посылок. Замечательная особенность траекторий динамической системы состоит в том, что, коль скоро силы известны, одного-единственного состояния оказывается достаточно для полного описания системы - не только ее будущего, но и прошлого. Следовательно, в любой момент времени все задано. В динамике все состояния эквивалентны: каждое из них позволяет вычислить остальные состояния вместе с траекторией, проходящей через все состояния как в прошлом, так и в будущем.

"Все задано". Этот вывод классической динамики, как неоднократно подчеркивал Бергсон, характеризует описываемую динамикой реальность. Все задано, но вместе с тем и все возможно. Существо, способное управлять динамической системой, может вычислить нужное ему начальное состояние так, чтобы система, будучи предоставленной самой себе, "спонтанно" перешла в любое заранее выбранное состояние в заданный момент времени. Общность законов динамики уравновешивается произволом в выборе начальных условий.

Обратимость динамической траектории в явном виде формулировали все основатели динамики. Например, когда Галилей или Гюйгенс описывали, к чему приводит эквивалентность причины и действия, постулированная ими как основа математизации движения, они прибегали к мысленным опытам, в частности к опыту с упругим отражением шарика от горизонтальной поверхности. В результате мгновенного обращения скорости в момент соударения такое тело вернулось бы в начальное положение. Динамика распространяет это свойство (обратимость) на все динамические изменения. Опыт с шариком - один из первых мысленных опытов в истории современной науки - иллюстрирует одно общее математическое свойство уравнения динамики: из структуры уравнений динамики следует, что если обратить скорости всех точек системы, то система "повернет вспять" - начнет эволюционировать назад во времени. Такая система прошла бы вновь через все состояния, в которых она побывала в прошлом. Динамика определяет как математически эквивалентные такие преобразования, как обращение времени t -t и обращение скорости v -v. Изменения, вызванные в динамической системе одним преобразованием - обращением времени, могут быть компенсированы другим преобразованием - обращением скорости. Второе преобразование позволяет в точности восстановить начальное состояние системы.

Выяснилось, однако, что с присущим динамике свойством обратимости связана определенная трудность, все значение которой было в должной мере осознано лишь после создания квантовой механики: воздействие и измерение принципиально необратимы. Таким образом, активная наука, по определению, лежит за пределами идеализированного обратимого мира, который она описывает. С более общей точки зрения обратимость можно рассматривать как своего рода символ "странности" мира, описываемого динамикой. Всякий знает, какие нелепости возникают на экране, если пустить киноленту от конца к началу: сгоревшая дотла спичка вспыхивает ярким огнем и, пылая, превращается в полномерную спичку с нетронутой серной головкой, осколки разбитой вдребезги чернильницы сами собой собираются в целую чернильницу, внутрь которой чудесным образом втягивается лужица пролитых было чернил, толстые ветви на дереве на глазах утончаются, превращаясь в тоненькие молодые побеги. В мире классической динамики все эти события считаются столь же вероятными, как и события, отвечающие нормальному ходу явлений.

Мы так привыкли к законам классической динамики, которые преподаются нам едва ли не с младших классов средней школы, что зачастую плохо сознаем всю смелость лежащих в их основе допущений. Мир, в котором все траектории обратимы, - поистине странный мир. Не менее поразительно и другое допущение, а именно допущение полной независимости начальных условий от законов движения. Камень действительно можно взять и бросить с любой начальной скоростью в пределах физической силы бросающего, но как быть с такой сложной системой, как газ, состоящий из огромного числа частиц? Ясно, что в случае газа мы уже не можем налагать произвольные начальные условия. Они должны быть исходом эволюции самой динамической системы. Это - весьма важное обстоятельство, и к его обсуждению мы еще вернемся в третьей части нашей книги. Но каковы бы ни были ограничения, суживающие применимость классической динамики к реальному миру, мы и сегодня, через три столетия после ее создания, можем лишь восхищаться логической последовательностью и мощью методов, разработанных творцами классической динамики.

2. Движение и изменение

Аристотель сделал время мерой изменения. При этом он полностью сознавал качественное многообразие изменений, происходящих в природе. В динамике все внимание сосредоточено на изучении лишь одного типа изменения, одного процесса - движения. Качественное разнообразие происходящих в природе изменений динамика сводит к изучению относительного перемещения материальных тел. Время в динамике играет роль параметра, позволяющего описывать эти относительные перемещения. Тем самым в мире классической динамики пространство и время нераздельно связаны между собой (см. также гл. 9).

Изменение, рассматриваемое в динамике, интересно сравнить с концепцией изменения, принятой у атомистов, сторонников корпускулярной теории, пользовавшейся необычайной популярностью во времена, когда Ньютон размышлял над своими законами. По-видимому, не только Декарт, Гассенди и Д'Аламбер, но и сам Ньютон усматривали в соударениях твердых частиц - корпускул, первопричину и скорее всего единственный источник изменения движения1. Тем не менее динамическое описание в корне отлично от корпускулярного. Действительно, непрерывный характер ускорения, описываемого уравнениями динамики, разительно контрастирует с дискретными мгновенными соударениями твердых корпускул. Еще Ньютон заметил, что в отличие от динамики каждое столкновение твердых корпускул сопровождается необратимой убылью движения. Обратимо, т. е. согласуется с законами динамики, только упругое столкновение, при котором сохраняется импульс, или количество движения. Но приложимо ли столь сложное понятие, как упругость, к атомам, которые, по предположению, являются мельчайшими структурными элементами природы?

С другой стороны, на менее техническом уровне законы динамики противоречат случайности, обычно приписываемой атомным столкновениям. Еще древние философы отмечали, что любой происходящий в природе процесс допускает множество различных интерпретаций как результат движения и столкновения атомов. Однако основная проблема для атомистов заключалась не в этом: их главной целью было дать описание мира без божества и законов, в котором человек свободен и может не ожидать ни кары, ни воздаяния ни от божественного, ни от естественного порядка. Но классическая наука была наукой инженеров и астрономов, наукой активного действия и предсказания. Чисто умозрительные построения, основанные на гипотетических атомах, не могли удовлетворять потребности классической науки, в то время как законы Ньютона давали надежную основу для предсказания и активного действия. С принятием законов Ньютона природа становится законопослушной, покорной и предсказуемой вместо того, чтобы быть хаотичной, нерегулярной и непредсказуемой. Но какова же связь между смертным, нестабильным миром, в котором атомы непрестанно сталкиваются и разлетаются вновь, и незыблемым миром динамики, в котором властвуют законы Ньютона, - единственная математическая формула, соответствующая вечной истине, открывающейся навстречу тавтологическому будущему? В XX в. мы вновь становимся свидетелями столкновения между закономерностью и случайными явлениями, конфликта, мучившего, как показал Койре, еще Декарта2. С тех пор как в конце XIX в. - в связи с появлением кинетической теории газов - атомный хаос вновь вошел в физику, проблема взаимосвязи динамического закона и статистического описания стала одной из центральных в физике. Решение ее - один из ключевых элементов происходящего ныне "обновления" динамики (см. часть III настоящей книги).

В XVIII в. противоречие между динамическим законом и статистическим описанием воспринималось как зашедшее в тупик развитие науки, и это отчасти объясняет тот скептицизм, с которым некоторые физики XVIII в. относились к значимости предложенного Ньютоном динамического описания. Мы уже упоминали о том, что столкновения могут сопровождаться необратимой убылью движения. По мнению некоторых физиков XVIII в., в подобных неидеальных случаях "энергия" не сохраняется, а происходит ее необратимая диссипация (см. разд. 3, гл. 4). Это объясняет, почему атомис-ты - сторонники корпускулярной теории - не могли не видеть в динамике Ньютона идеализацию, обладающую ограниченной ценностью. Физики и математики континентальной Европы, в том числе Д'Аламбер, Клеро и Лагранж, долгое время сопротивлялись обольстительным чарам ньютонианства.

Куда же восходят корни ньютоновской концепции изменения? Ньютоновская концепция при внимательном рассмотрении оказывается синтезом3 теории идеальных машин, в которой передача движения осуществляется без соударения или трения частей, находящихся в контакте, и науки о небесных телах, взаимодействующих на расстоянии. Как уже говорилось, ньютоновская концепция изменения является антитезой концепции атомизма, основанной на понятии случайных столкновений. Оправдывает ли это взгляды тех, кто считает, что ньютоновская динамика является разрывом в истории мышления, революционным новшеством? Ведь именно это утверждают историки-позитивисты, когда описывают, как Ньютон избежал колдовских чар наперед заданных понятий и нашел в себе достаточно смелости для того, чтобы из результатов математического исследования движения планет и свободно падающих тел вывести заключение о существовании универсальной силы тяготения. Мы знаем и противоположное: рационалисты XVIII в. всячески подчеркивали внешнее сходство между "математическими" силами Ньютона и традиционными оккультными качествами. К счастью, эти критики не знали необычной истории, стоявшей за ньютоновскими силами! Дело в том, что за осторожным высказыванием Ньютона "Я не измышляю гипотез" относительно природы сил скрывалась страсть алхимика4. Теперь мы знаем, что наряду со своими математическими исследованиями Ньютон на протяжении тридцати лет изучал труды алхимиков древности и проводил сложнейшие лабораторные эксперименты в надежде, что ему удастся раскрыть тайну "философского камня" и синтезировать золото.

Некоторые из современных историков науки пошли еще дальше и утверждают, что ньютоновский синтез Земли и неба был в больший мере достижением химика, чем астронома. Ньютоновское всемирное тяготение "анимировало" материю и в более строгом смысле превращало всю деятельность природы в наследницу тех самых сил, которые химик Ньютон наблюдал и использовал в своей лаборатории, - сил химического "сродства", способствующих или препятствующих образованию каждой новой комбинации материи5. Решающая роль, сыгранная орбитами небесных тел, сохраняет свое значение. Однако в самом начале своих занятий астрономией (около 1679 г.) Ньютон, по-видимому, ожидал найти новые силы тяготения только на небесах - силы, подобные химическим силам и, быть может, легче поддающиеся исследованию математическими методами. Шесть лет спустя математические исследования .привели Ньютона к неожиданному выводу: силы, действующие между планетами, и силы, ускоряющие свободно падающие тела, не только подобны, но и тождественны. Тяготение не специфично для каждой планеты в отдельности, оно одно и то же для Луны, обращающейся вокруг Земли, для всех планет и даже для комет, пролетающих через солнечную систему. Ньютон поставил перед собой задачу открыть в небе силы, подобные химическим силам: специфические сродства, различные для различных соединений, наделяющие каждое химическое соединение качественно дифференцированной способностью вступать в реакции. Но в результате своих исследований он обнаружил универсальный закон, применимый, как подчеркивал сам Ньютон, ко всем явлениям природы - химическим, механическим или небесным.

Таким образом, ньютоновский синтез с полным основанием можно считать сюрпризом. Именно в память о столь неожиданном, поразительном открытии научный мир видит в имени Ньютона символ современной науки. Нельзя не удивляться тому, что для раскрытия основного кода природы потребовался единичный творческий акт.

В течение долгого времени эта неожиданная "разговорчивость" природы, этот триумф английского Моисея были источником интеллектуального конфуза для континентальных рационалистов. Свершение Ньютона они считали чисто эмпирическим открытием, которое с таким же успехом могло быть эмпирически опровергнуто. В 1747 г. Эйлер, Клеро и Д'Аламбер, несомненно принадлежавшие к числу величайших ученых своего времени, пришли к одному и тому же заключению: Ньютон совершил ошибку. Для описания движения Луны математическое выражение для величины силы притяжения должно иметь более сложный вид, чем у Ньютона, и состоять из двух слагаемых. На протяжении двух последующих лет они пребывали в убеждении, что природа доказала ошибочность выводов Ньютона, и эта уверенность вдохновила их. Далекие от мысли видеть в открытии Ньютона синоним физической науки, физики не без удовольствия помышляли о том, чтобы предать забвению закон всемирного тяготения и вместе с ним вывод об универсальности гравитации. Д'Аламбер не видел ничего зазорного в том, чтобы во всеуслышание заявить о необходимости поиска новых данных против Ньютона, которые позволили бы нанести тому "le coup de pied de l'ane[6]"[Удар ноги осла (франц.). - Прим. перев.].

Лишь один человек во Франции нашел в себе мужество возвысить голос против столь уничижительного приговора. В 1748 г. Бюффон написал следующие строки:

"Физический закон есть закон лишь в силу того, что его легко измерить и что шкала, которую он собой представляет, не только всегда одна и та же, но и единственная в своем роде... Месье Клеро выдвинул возражение против системы Ньютона, но это в лучшем случае возражение, и оно не должно и не может быть принципом. Необходимо попытаться преодолеть его, а не превращать в теорию, все следствия из которой опираются исключительно на вычисления, ибо, как я уже говорил, с помощью вычислений можно представить что угодно и не достичь ничего. Считая допустимым дополнять физический закон, каковым является закон всемирного тяготения, одним или несколькими членами, мы лишь добавляем произвол вместо того, чтобы описывать реальность"7.

Позднее Бюффон провозгласил тезис, который, хотя и на короткое время, стал программой исследований для всей химии:

"Законы сродства, следуя которым составные части различных веществ разъединяются для того, чтобы, соединившись вновь в иных сочетаниях, образовать однородные вещества, такие же, как и общий закон, которому подчиняется взаимодействие между всеми небесными телами: все они действуют друг па друга одинаковым образом, в одинаковой зависимости от масс и расстояния - шарик из воды, песка или металла действует на другой шарик так же, как земной шар действует на Луну; и если законы сродства ранее считались отличными от законов тяготения, то лишь потому, что они не были полностью поняты, не были до конца постигнуты, лишь потому, что проблема не рассматривалась в полном объеме. В случае небесных тел конфигурация либо сказывается слабо, либо вообще не сказывается из-за огромных расстояний, но становится необычайно важной, когда расстояния очень малы или обращаются в нуль... Наши внуки смогут с помощью вычислений добиться успеха в этой новой области знания [т. е. вывести закон взаимодействия между элементарными телами из их конфигураций]"8.

История подтвердила правоту натуралиста, для которого сила была не математическим артефактом, а самой сущностью нового естествознания. Последующее развитие событий вынудило физиков признать свою ошибку. Пятьдесят лет спустя Лаплас уже смог создать свое "Изложение системы мира". Закон всемирного тяготения успешно выдержал все проверки: многочисленные случаи кажущегося нарушения этого закона превратились в блестящие подтверждения его правильности. В то же время французские химики под влиянием Бюффона заново открыли странную аналогию между физическим притяжением и химическим сродством9. Несмотря на едкий сарказм Д'Аламбера, Кондильяка и Кондорсе, чей несгибаемый рационализм был совершенно несовместим с темными и бессодержательными "аналогиями", они прошли по пути, проложенному Ньютоном, в обратном направлении - от звезд к веществу.

К началу XIX в. ньютоновская программа (сведение всех физико-химических явлений к действию сил - к гравитационному притяжению добавилась отталкивающая сила тепла, заставляющая тела расширяться при нагревании и способствующая растворению, а также электрическая и магнитная силы) стала официальной программой лапласовской школы, занимавшей доминирующее положение в научном мире в эпоху, когда в Европе господствовал Наполеон10.

Начало XIX в. стало свидетелем расцвета французских высших ecoles (школ) и реорганизации университетов. Это было время, когда ученые становились преподавателями и профессиональными исследователями и брали на себя задачу воспитания своих преемников11. Это было время первых попыток представить синтез знания в удобообозримой форме, для того чтобы изложить его в учебниках и научно-популярных изданиях. Наука перестала быть предметом обсуждения только в великосветских салонах, ее преподавали и популяризировали12. Относительно пауки было достигнуто профессиональное единство мнений, она была освящена авторитетом университетских кафедр. Ученые сошлись во мнениях прежде всего по поводу ньютоновской системы: во Франции уверенность Бюффона в правильности ньютоновского подхода наконец возобладала над рациональным скептицизмом века Просвещения.

Велеречивость следующих строк, написанных через сто лет после ньютоновского апофеоза в Европе сыном Ампера, эхом вторит эпитафии А. Поупа:

Провозгласив пришествие мессии от науки,

Кеплер разогнал тучи, скрывавшие небосвод.

И Слово стало человеком, Слово прозрения Бога,

Коего почитал Платон, и нарекли человека Ньютоном.

Он пришел и открыл высший закон,

Вечный, универсальный, единственный и неповторимый, как сам Бог,

И смолкли миры, и он изрек: "ТЯГОТЕНИЕ",

И это слово было самим словом творения [13].

Последовавший затем короткий, но оставивший неизгладимый след период был периодом торжества науки. Она удостоилась признания и почестей со стороны могущественных держав, была провозглашена обладательницей непротиворечивой концепции мироздания. Почитаемый Лапласом Ньютон стал всеобщим символом золотого века. То был счастливый момент, когда ученые были и в собственных глазах, и в глазах других людей пионерами прогресса, чью деятельность поддерживало и поощряло все общество.

Уместно спросить: каково значение ньютоновского синтеза в наши дни, после создания теории поля, теории относительности и квантовой механики? Это - сложная проблема, и мы к ней еще вернемся. Теперь нам хорошо известно, что природа отнюдь не "комфортабельна и самосогласованна", как полагали прежде. На микроскопическом уровне законы классической механики уступили место законам квантовой механики. Аналогичным образом на уровне Вселенной на смену ньютоновской физике пришла релятивистская физика. Тем не менее классическая физика и поныне остается своего рода естественной точкой отсчета. Кроме того, в том смысле, в каком мы определили ее, т. е. как описание детерминированных, обратимых, статичных траекторий, ньютоновская динамика и поныне образует центральное ядро всей физики.

Разумеется, со времен Ньютона, формулировка классической динамики претерпела значительные изменения. Эти изменения явились результатом работы ряда величайших математиков и физиков, таких, как Гамильтон и Пуанкаре. В истории классической динамики кратко можно выделить два периода. Первым был период прояснения и обобщения. Во второй период даже в тех областях, где (в отличие от квантовой механики и теории относительности) классическая механика в целом по-прежнему остается верной, ее основные понятия подверглись критическому пересмотру. В тот момент, когда пишется эта книга - в конце XX в., - мы все еще находимся во втором периоде. Обратимся теперь к общему языку динамики, созданному трудами ученых XIX в. (в гл. 9 мы кратко опишем возрождение классической динамики в наше время).

3. Язык динамики

Ныне мы располагаем всем необходимым для того, чтобы сформулировать классическую динамику компактно и изящно. Как мы увидим из дальнейшего, все свойства динамической системы могут быть выражены с помощью одной функции, известной под названием функций Гамильтона, или гамильтониана. Языку динамики свойственны непротиворечивость и полнота. Он позволяет однозначно сформулировать любую правильно поставленную ("законную") задачу динамики. Неудивительно, что начиная с XVIII в. структура динамики вызывала и продолжает вызывать восхищение и поныне поражает воображение.

В динамике одну и ту же систему можно рассматривать с различных точек зрения. В классической динамике все эти точки зрения эквивалентны: от любой из них к любой другой можно перейти с помощью преобразования (замены переменных). Можно говорить о различных эквивалентных представлениях, в которых выполняются законы динамики. Различные эквивалентные представления образуют общий язык динамики. Этот язык позволяет выразить в явном виде статический характер, придаваемый классической динамикой описываемым ею системам: для многих классических систем время не более чем акциденция, поскольку их описание может быть сведено к описанию невзаимодействующих механических систем. Для того чтобы мы могли ввести эти понятия наиболее просто, начнем с закона сохранения энергии.

В идеальном мире динамики, не знающем ни трения, ни соударений, коэффициент полезного действия машин равен единице; динамическая система, которой является машина, лишь передает "целиком, без остатка" все сообщаемое ей движение. Машина, получающая некоторый запас потенциальной энергии (например, в виде сжатой пружины, поднятого груза или сжатого воздуха), может производить движение, соответствующее "равному" количеству кинетической энергии, а именно тому, которое потребовалось бы для восполнения запаса потенциальной энергии, израсходованного на производство движения. В простейшем случае единственная сила, которую приходится рассматривать, - это сила тяжести (с этим случаем мы встречаемся при анализе работы всех простых машин: блоков, рычагов, воротов и т. д.). Нетрудно вывести (для этого случая) общее отношение эквивалентности причины и действия. Высота h, которую проходит при падении тело, полностью определяет скорость, приобретаемую телом к концу падения. Если тело с массой m падает вертикально, соскальзывает по наклонной плоскости или съезжает с горки, то приобретаемая телом скорость v и кинетическая энергия тv2/2 зависят только от величины h, на которую понизился уровень тела (v= /2gh), и позволяют телу вернуться на первоначальную высоту. Работа против силы тяжести, совершаемая при движении вверх, восполняет потенциальную энергию на величину mgh, т. е. на столько, сколько потеряла система при падении. Другим примером может служить маятник, у которого кинетическая и потенциальная энергия непрерывно преобразуются одна в другую.

Разумеется, если вместо тела, падающего на Землю, рассматривать какую-нибудь систему взаимодействующих тел, то ситуация будет не столь прозрачной. Тем не менее в любой момент времени полное изменение кинетической энергии вполне компенсирует изменение потенциальной энергии (связанное с изменением расстояний между точками системы). Следовательно, в любой изолированной системе энергия, как и в случае свободного падения, сохраняется.

Таким образом, потенциальная энергия (или потенциал, обычно обозначаемый через V), зависящая от относительного положения частиц, является обобщением величины, позволявшей строителям машин измерять движение, которое могла бы производить машина в результате изменения ее пространственной конфигурации (например, изменение высоты массы m - одной из частей машин - увеличивает потенциальную энергию на mgh). Кроме того, потенциальная энергия позволяет вычислять систему сил, приложенных в каждый момент времени к различным точкам описываемой системы: в каждой точке производная от потенциала по пространственной координате q служит мерой силы, приложенной в данной точке в направлении этой координаты. Таким образом, законы движения Ньютона можно сформулировать, используя в качестве основной величины потенциальную энергию вместо силы: изменение скорости (или импульса р - произведения массы и скорости) материальной точки измеряется производной от потенциала по координате q точки.

В XIX в. эта формулировка второго закона Ньютона была обобщена с помощью введения новой функции - гамильтониана Н. Функция Гамильтона есть не что иное, как полная энергия системы, т. е. сумма ее кинетической и потенциальной энергии. Но полная энергия представлена как функция не координат и скоростей, обозначаемых, по традиции, соответственно q и dq/dt, а так называемых канонических переменных - координат и импульсов, которые принято обозначать q и р. В простейших случаях, таких, как свободная частица, между скоростью и импульсом существует явное соотношение (p=mdq/dt), но в общем случае скорость и импульс связаны более сложной зависимостью.

Одна функция (гамильтониан) Н(р, q) полностью описывает динамику системы. Вид функции Н несет в себе все наше эмпирическое знание системы. Зная гамильтониан, мы можем (по крайней мере в принципе) решить все возможные задачи. Например, изменения координаты и импульса во времени равны просто производным от Н по р и q. Гамильтонова формулировка динамики - одно из величайших достижений в истории науки. Впоследствии сфера действия гамильтонова формализма расширилась, охватив теорию электричества и магнетизма. Используется он и в квантовой механике, но, как мы увидим в дальнейшем, гамильтониан Н при этом приходится понимать в обобщенном смысле: в квантовой механике гамильтониан перестает быть обычной функцией координат и импульсов и становится величиной нового типа - оператором. (К этому вопросу мы еще вернемся в гл. 7.) Не будет преувеличением сказать, что гамильтоново описание динамических систем и поныне имеет первостепенное значение. Уравнения, задающие временные изменения координат и импульсов через производные от гамильтониана, называются каноническими уравнениями. В них содержатся общие свойства всех динамических изменений. Гамильтонов формализм представляет собой несомненный триумф математизации природы. Любое динамическое изменение, к которому применима классическая динамика, может быть сведено к простым математическим уравнениям - каноническим уравнениям Гамильтона.

Используя эти уравнения, мы можем проверить правильность заключений относительно общих свойств динамических систем, выведенных в классической динамике. Канонические уравнения обратимы: обращение времени математически эквивалентно обращению скорости. Канонические уравнения консервативны: гамильтониан, выражающий полную энергию системы в канонических переменных (координатах и импульсах), сохраняется при изменениях координат и импульсов во времени.

Мы уже упоминали о том, что существует множество различных представлений одной и той же динамической системы (или множество различных точек зрения на одну и ту же динамическую систему), в каждом из которых уравнения движения сохраняют гамильтонову форму. Эти представления соответствуют различным выборам координат и импульсов. Одна из основных проблем динамики заключается в том, чтобы указать наиболее разумный выбор канонических переменных р и q, при котором описание динамики становится особенно простым. Например, можно было бы попытаться найти канонические переменные, в которых гамильтониан сводится только к кинетической энергии и зависит лишь от импульсов (а не от координат). Замечательно, что в этом случае импульсы становятся интегралами движения, т. е. сохраняются во времени. Действительно, как мы уже говорили, изменение импульсов во времени в силу канонических уравнений зависит от производной гамильтониана по координатам. Если эта производная обращается в нуль, то импульсы становятся интегралами движения. С аналогичной ситуацией мы сталкиваемся при рассмотрении системы "свободная частица". Для того чтобы перейти к этой системе, необходимо с помощью подходящего преобразования "исключить" взаимодействие. Условимся называть динамические системы, для которых такой переход возможен, интегрируемыми системами. Таким образом, любую интегрируемую систему можно представить в виде совокупности подсистем. Каждая из таких подсистем изменяется в полной изоляции от других, независимо от них, совершая в процессе своей эволюции вечное и неизменное движение, которое Аристотель приписывал небесным телам (см. рис. 1).

Рис. 1. Два представления одной и той же динамической системы: а) как множество взаимодействующих точек (волнистые линии условно изображают взаимодействие между точками); б) как множество точек, каждая из которых ведет себя независимо от остальных (если потенциальная энергия исключена, то относительные движения точек не зависят от их взаимного расположения).

Мы уже упоминали о том, что в динамике "все задано". В случае гамильтоновой динамики это означает, что с самого первого мгновения значения различных инвариантов движения заданы. Ничего нового не может ни "случиться", ни "произойти". Так в гамильтоновой динамике мы сталкиваемся с одним из тех драматических моментов в истории науки, когда описание природы сводится почти к статической картине. Действительно, при разумной замене переменных мы можем добиться, чтобы все взаимодействия исчезли. Долгое время считалось, что интегрируемые системы, сводимые к свободным частицам, являются прототипами всех динамических систем. Поколения физиков и математиков не покладая рук трудились над тем, чтобы найти для каждого типа динамических систем "правильные" переменные, которые позволили бы исключить взаимодействия. Одним из наиболее изученных примеров может служить задача трех тел, которую с полным основанием можно назвать наиболее важной задачей в истории динамики. Одним из частных случаев задачи трех тел является движение Луны, испытывающей притяжение как со стороны Земли, так и со стороны Солнца. Были предприняты бесчисленные попытки свести эту систему к интегрируемой, но в конце XIX в. Брунс и Пуанкаре доказали, что это невозможно. Их результат был полной неожиданностью для современников и, по существу, возвестил о наступлении бесповоротного конца всех простых экстраполяций динамики на основе интегрируемых систем. Открытие Брунса и Пуанкаре показало, что динамические системы не изоморфны. Простые интегрируемые системы допускают разложение на невзаимодействующие подсистемы, но в общем случае исключить взаимодействия невозможно. Хотя в то время значение открытия Брунса и Пуанкаре не было оценено по достоинству, оно означало отказ от незыблемого убеждения в однородности динамического мира, в его сводимости к интегрируемым системам. Природа как эволюционирующая система с многообразно взаимодействующими подсистемами упорно сопротивлялась попыткам сведения ее к универсальной схеме, не содержащей к тому же времени.

Это положение подтверждали и другие факты. Мы уже упоминали о том, что траектории динамической системы соответствуют детерминистическим законам: коль скоро начальное состояние задано, динамические законы движения позволяют вычислить траекторию для любого момента времени в будущем и в прошлом. Однако в некоторых особых точках траектория может становиться внутренне неопределенной. Например, жесткий маятник может совершать движения двух качественно различных типов: либо колебаться, либо вращаться вокруг точки подвеса. Если начальный толчок достаточно силен для того, чтобы привести маятник в вертикальное положение с нулевой скоростью, то направление, в котором он упадет, и, следовательно, характер движения не определенны. Достаточно сообщить маятнику бесконечно малое возмущение, чтобы он начал вращаться или совершать колебания вокруг точки подвеса. (Подробно проблема неустойчивости движения, с которой мы здесь сталкиваемся, будет рассмотрена в гл. 9.)

Интересно, что еще Максвелл придавал особым точкам большое значение. Описывая взрыв ружейного пороха, он замечает:

"Во всех этих случаях имеется одно общее обстоятельство: система обладает некоторым количеством потенциальной энергии, способным трансформироваться в движение, но не трансформирующимся до тех пор, пока система не достигнет определенной конфигурации, для перехода в которую требуется совершить работу, в одних случаях бесконечно малую, но, вообще говоря, не находящуюся в определенной пропорции к энергии, выделяемой вследствие перехода. Примерами могут служить скала, отделившаяся от основания в результате выветривания и балансирующая на выступе горного склона, небольшая искра, поджигающая огромный лес, слово, ввергающее мир в пучину войны, крупица вещества, лишающая человека воли, крохотная спора, заражающая посевы картофеля, геммула[Гипотетическая наследственная частица-Прим.перев.], превращающая нас в философов или идиотов. У каждого существования выше определенного ранга имеются свои особые точки; чем выше ранг, тем их больше. В этих точках воздействия, физическая величина которых слишком мала для того, чтобы существо конечных размеров принимало их во внимание, могут приводить к необычайно важным последствиям. Всеми великими результатами человеческой деятельности мы обязаны искусному использованию таких особых состояний, когда такая возможность предоставлялась"14.

Идеи Максвелла не получили дальнейшего развития из-за отсутствия подходящих математических методов для идентификации систем с особыми точками и отсутствия химических и биологических знаний, позволяющих, как мы увидим из дальнейшего, более глубоко проникнуть в понимание той весьма важной роли, которую играют особые точки.

Как бы то ни было, со времен монад Лейбница (см. заключительную часть разд. 4) и поныне (достаточно упомянуть хотя бы стационарные состояния электронов в модели Бора, см. гл. 7) интегрируемые системы служили великолепной моделью динамических систем, и физики пытались распространить их свойства, т. е. свойства весьма специального класса гамильтоновых уравнений, на все процессы, протекающие в природе. Такое стремление вполне понятно. Вплоть до недавнего времени интегрируемые системы были единственным основательно изученным классом динамических систем. Не следует упускать из виду и притягательную силу которой обладает в наших глазах любая замкнутая система, позволяющая ставить все имеющие смысл задачи. Динамика является адекватным языком. Будучи полной, она, по определению, коэкстенсивна тому миру, который она описывает. Предполагается, что все задачи, простые и сложные, напоминают одна другую, поскольку любую из них всегда можно представить в общем виде. Трудно поэтому устоять перед искушением и не прийти к выводу о том, что все задачи имеют много общего с точки зрения их решений и что в результате более или менее сложной процедуры интегрирования не может появиться ничего качественно нового. Ныне, мы знаем, что такое представление о внутренней однородности динамических систем не соответствует действительности. Кроме того, механический мир был приемлем, покуда все наблюдаемые так или иначе были связаны с движением. Теперь мы столкнулись с другой ситуацией. Например, нестабильные частицы обладают энергией, которую можно связать с движением, но они же обладают и временем жизни, а это наблюдаемая совершенно другого типа, более тесно связанная (как будет показано в гл. 4 и 5) с необратимыми процессами. Необходимость введения в теоретические науки новых наблюдаемых была и поныне остается одной из движущих сил, вынуждающих нас выходить за рамки механистического мировоззрения.

4. Демон Лапласа

Экстраполяция динамического описания, которое мы достаточно подробно обсудили выше, имеет наглядный образ - демон, вымышленный Лапласом и обладающий способностью, восприняв в любой данный момент времени положение и скорость каждой частицы во Вселенной, прозревать ее эволюцию как в будущем, так и в прошлом. Разумеется, никто никогда и не помышлял о том, чтобы физик мог пользоваться всей полнотой знания, которой располагал демон Лапласа. Самому Лапласу это вымышленное существо понадобилось лишь для того, чтобы наглядно продемонстрировать степень нашей неосведомленности и необходимость в статистическом описании некоторых процессов. Проблематика демона Лапласа связана не с вопросом о том, возможно ли детерминистическое предсказание хода событий в действительности, а в том, возможно ли оно de jure. Именно такая возможность заключена в механистическом описании с его характерным дуализмом, основанным на динамическом законе и начальных условиях. То, что развитием динамической системы управляет детерминистический закон (хотя на практике наше незнание начальных состояний исключает всякую возможность детерминистических предсказаний), позволяет "отличать" объективную истину о системе, какой она представлялась бы демону Лапласа, от эмпирических ограничений, вызванных нашим незнанием. В контексте классической динамики детерминистическое описание может быть недостижимым на практике, тем не менее оно остается пределом, к которому должна сходиться последовательность все более точных описаний.

Именно непротиворечивость дуализма между динамическим законом и начальными условиями поставлена под сомнение возрождением классической механики, о котором мы расскажем в гл. 9. Как показали исследования, движение может стать столь сложным, а траектории столь причудливыми, что никакое сколь угодно точное наблюдение не позволит точно задать начальные условия. Именно в этом - уязвимое звено дуализма, на котором зиждилась классическая механика. Мы можем предсказывать лишь поведение пучка траектории в среднем.

Современная наука родилась на обломках анимистического союза с природой. В аристотелевском мире человек занимает место и живого, и познающего существа. Аристотелевский мир сотворен по человеческой мерке. Первый экспериментальный диалог между человеком и природой получил свое социальное и философское обоснование частично в рамках другого союза, на этот раз с рациональным богом христианства. В той мере, в какой динамика стала и по-прежнему остается моделью науки, некоторые последствия этой исторически сложившейся ситуации сохраняются и поныне.

Наука все еще выступает с претензией на ниспосланное свыше в пророческом откровении описание мироздания, созерцаемого с некоей божественной или демонической точки зрения. Это - наука Ньютона, нового Моисея, которому была явлена истина мира. Такая наука, постигающая по наитию тайны мироздания, выглядит чуждой какому-либо социальному и историческому контексту, который позволил бы идентифицировать ее как результат деятельности человеческого общества. Божественное откровение такого рода прослеживается на протяжении всей истории физики. Оно неизменно сопутствует любой концептуальной инновации во всех тех случаях, когда физика, казалось, почти достигла желаемой унификации и была готова набросить на себя благонамеренную маску позитивизма. И всякий раз физики повторяли то, что так четко сформулировал сын Ампера: это слово (будь то всемирное тяготение, энергия, теория поля или элементарные частицы) есть Слово творения. Во все времена (во времена Лапласа, в конце XIX в. и даже ныне) физики заявляли, что их наука - законченная книга или книга, близкая к завершению. Всегда у природы оставался лишь последний, стойко обороняющийся оплот, с падением которого она должна была стать беззащитной, капитулировать и пасть ниц перед нашим знанием. Сами того не ведая, физики повторяли древние ритуальные заклинания. Они возвещали о пришествии нового Моисея и о наступлении в науке нового мессианского периода.

Можно было бы возражать против пророчеств, несколько наивного энтузиазма. Несомненно одно: диалог с природой неизменно происходил и происходит в одном и том же русле наряду с поиском нового теоретического языка, новых вопросов и новых ответов. Но мы не приемлем жесткого разграничения между тем, что реально делает ученый, и тем, как он судит о своей работе, интерпретирует и ориентирует ее. Принять подобное разграничение означало бы низвести науку до внеисторического накопления результатов и полностью игнорировать то, к чему стремятся ученые, - столь вожделенному для них идеалу знания, причины, по которым они время от времени конфликтуют или утрачивают способность к общению между собой15.

Но это еще не все. Эйнштейн сформулировал, в чем состоит загадка, порожденная мифом о современной науке. Самое большое чудо, утверждал Эйнштейн, единственное, чему следует удивляться, заключается в том, что наука вообще существует, что мы обнаруживаем конвергенцию природы и человеческого разума. Аналогичным образом, когда в конце XIX в. Дюбуа-Реймон превратил демона Лапласа в воплощение логики современной науки, он произнес: "Ignoramus et ignorabimus!" Иными словами, мы навсегда останемся в неведении относительно взаимосвязи между миром науки и разумом, знающим, познающим и создающим эту науку[16].

Природа говорит с нами на тысячу голосов, и мы лишь недавно начали ее слушать. Тем не менее на протяжении почти двух столетий демон Лапласа тягостно поражал наше воображение, вызывая ночные кошмары, в которых все вещи казались не имеющими значения. Если бы мир действительно был таким, что демон (т. е. существо в конечном счете подобное нам, обладающее той же самой наукой, но наделенное несравненно большей остротой органов чувств и способностью мгновенно производить сложнейшие вычисления) мог, зная состояние Вселенной в один произвольно выбранный миг, вычислить ее прошлое и будущее (если между простыми системами, доступными нашему описанию, и сложными системами, для описания которых необходим демон, не существует никаких качественных различий), то мир есть не что иное, как грандиозная тавтология. В возможности такого предложения и заключается тот вызов науке, который мы унаследовали от наших предшественников, те чары, которые мы пытаемся развеять сегодня.