Глава 9. НЕОБРАТИМОСТЬ - ЭНТРОПИЙНЫЙ БАРЬЕР - Порядок из хаоса - И. Пригожин - Сочинения и рассказы

1. Энтропия и стрела времени

В предыдущей главе мы описали некоторые трудности микроскопической теории необратимых процессов. Ее связь с динамикой, классической или квантовой, не может быть простой в том смысле, что необратимость и сопутствующее ей возрастание энтропии не может быть общим следствием динамики. Микроскопическая теория необратимых процессов требует наложения дополнительных, более специфических условий. Мы вынуждены принять плюралистический мир, в котором обратимые и необратимые процессы сосуществуют. Но такой плюралистический мир принять нелегко.

В своем "Философском словаре" Вольтер утверждал по поводу предопределения следующее: "...все управляется незыблемыми законами ... все заранее предустановлено ... все необходимо обусловлено... Есть люди, которые, испуганные этой истиной, допускают лишь половину ее, подобно должникам, вручающим кредиторам половину своего долга с просьбой отсрочить выплату остального. Одни события, говорят такие люди, необходимы, другие - нет. Было бы странно, если бы часть того, что происходит, была бы должна происходить, а другая часть не должна была бы происходить... Я непременно должен ощущать неодолимую потребность написать эти строки, вы - столь же неодолимую потребность осудить меня за них. Мы оба одинаково глупы, оба - не более чем игрушки в руках предопределения. Ваша природа состоит в том, чтобы творить дурное, моя - в том, чтобы любить истину и опубликовать ее вопреки вам"1.

Сколь ни убедительно звучат такого рода априорные аргументы, они тем не менее могут вводить в заблуждение. Рассуждение Вольтера выдержано в ньютоновском духе: природа всегда подобна самой себе. В этой связи небезынтересно отметить, что ныне мы находимся в том самом странном мире, о котором с такой иронией писал Вольтер. К своему изумлению, мы открыли качественное многообразие природы.

Неудивительно поэтому, что люди в нерешительности колебались между двумя крайностями: исключением необратимости из физики (сторонником этого направления был, как мы уже отмечали, Эйнштейн2) и признанием необратимости как важной особенности природных явлений (выражителем этого направления стал Уайтхед со своей концепцией процесса). В настоящее время ни у кого не вызывает сомнений (см. гл. 5 и 6), что необратимость существует на макроскопическом уровне и играет важную конструктивную роль. Следовательно, в микроскопическом мире должно быть нечто проявляющееся на макроскопическом уровне, подобное необратимости.

Микроскопическая теория должна учитывать два тесно связанных между собой элемента. Прежде всего в своих попытках построить микроскопическую модель энтропии (H-функции Больцмана), монотонно изменяющейся со временем, мы должны следовать Больцману. Именно такое изменение должно задавать стрелу времени. Возрастание энтропии изолированной системы должно выражать старение системы.

Стрелу времени нам часто не удается связать с энтропией рассматриваемого процесса. Поппер приводит простой пример системы, в которой развивается односторонне направляемый процесс и, следовательно, возникает стрела времени.

"Предположим, что мы отсняли на кинопленку обширную водную поверхность. Первоначально она покоилась, а затем в воду бросили камень. Просматривая отснятый при этом фильм от конца к началу, мы увидим сходящиеся круговые волны нарастающей амплитуды. Сразу же после того, как гребень волны достигнет наибольшей высоты, круглая область невозмущенной воды сомкнется в центре. Такую картину нельзя рассматривать как возможный классический процесс Для создания ее потребовалось огромное число когерентных генераторов волн, расположенных далеко от центра, действие которых для того, чтобы быть объяснимым, должно выглядеть (как в фильме) так, словно всеми генераторами мы управляем из центра. Но если мы захотим просмотреть от конца к началу исправленный вариант фильма, то столкнемся с теми же трудностями"3.

Действительно, какими бы техническими средствами мы ни располагали, всегда будет существовать определенное расстояние от центра, за пределами которого мы не сможем генерировать сходящуюся волну. Однонаправленные процессы существуют. Нетрудно представить себе и многие другие процессы того же типа, что и процесс, рассмотренный Поппером -мы никогда не увидим, как энергия собирается со всех сторон к звезде, - или обратные ядерные реакции, протекающие с поглощением энергии.

Кроме того, существуют и другие стрелы времени, например космологическая стрела (о которой превосходно написал в своей книге "Этот правый, левый мир" Мартин Гарднер4). Предполагая, что Вселенная началась с большого взрыва, мы тем самым подразумеваем существование временного порядка на космологическое уровне. Размеры Вселенной продолжают возрастать, но мы не можем отождествить радиус Вселенной с энтропией: внутри Вселенной, как мы уже упоминали, происходят и обратимые, и необратимые процессы. Аналогичным образом в физике элементарных частиц существуют процессы, приводящие к нарушению T-симметрии. Последнее означает, что уравнения, описывающие эволюцию системы при +t, отличны от уравнений, описывающих эволюцию системы при -t. Однако нарушение Т-симметрии не мешает нам включать ее в обычную (гамильтонову) формулировку динамики. Определить энтропию с помощью нарушения Т-симметрии невозможно.

В этой связи нельзя не вспомнить знаменитую дискуссию между Эйнштейном и Ритцем, опубликованную в 1909 г.5. Совместная публикация Эйнштейна и Ритца крайне необычна. Она весьма коротка - занимает менее печатной страницы. По существу, в ней лишь констатируется расхождение во взглядах. Эйнштейн считал, что необратимость является следствием введенных Больцманом вероятностных понятий. Ритц же отводил решающую роль различию между запаздывающими и опережающими волнами. Это различие напоминает нам аргументацию Поппера. Волны, которые мы наблюдаем в пруду, - запаздывающие. Они появляются после того, как мы бросили камень.

И Эйнштейн и Ритц существенно обогатили дискуссию о необратимости, но каждый из них акцентировал внимание лишь на каком-то одном аспекте проблемы. В гл. 8 мы упоминали о том, что вероятность уже предполагает направленность времени и, следовательно, не может служить основанием при выводе стрелы времени. Мы упоминали и о том, что исключение таких процессов, как опережающие волны, не обязательно приводит к формулировке второго начала. Необходимы аргументы как одного, так и другого типа.

2. Необратимость как процесс нарушения симметрии

Прежде чем обсуждать проблему необратимости, полезно напомнить, как можно вывести другой тип нарушения симметрии, а именно нарушение пространственной симметрии. В уравнениях реакции с диффузией ту же роль играют "левое" и "правое" (уравнения диффузии инвариантны относительно инверсии пространства rR-r). Тем не менее, как мы знаем, бифуркации могут приводить к решениям, симметрия которых нарушена. Например, концентрация какого-нибудь из веществ, участвующих в реакции, справа может оказаться больше, чем слева. Симметрия уравнений реакций с диффузией требует лишь, чтобы решения с нарушенной симметрией появлялись парами, а не поодиночке.

Разумеется, существует немало уравнений реакции с диффузией без бифуркаций и, следовательно, без нарушений пространственной симметрии. Нарушение пространственной симметрии происходит лишь при весьма специфических условиях. Это обстоятельство крайне важно для понимания нарушений временной симметрии, которая представляет для нас особый интерес. Нам необходимо найти системы, в которых уравнения движения допускают существование режимов с низкой симметрией.

Как известно, уравнения движения инвариантны относительно обращения времени tR-t. Однако решения этих уравнений могут соответствовать эволюции, в которой симметрия относительно обращения времени утрачивается. Единственное условие, налагаемое симметрией уравнений, состоит в том, что решения с нарушенной временной симметрией должны встречаться парами. Например, если мы находим решение, стремящееся к равновесному состоянию в далеком будущем (а не в далеком прошлом), то непременно должно существовать решение, которое стремится к равновесному состоянию в далеком прошлом (а не в далеком будущем). Решения с нарушенной симметрией возникают только парами.

Столкнувшись с подобной ситуацией, мы можем сформулировать внутренний смысл второго начала. Оно обретает статус принципа отбора, утверждающего, что в природе реализуется и наблюдается лишь один из двух типов решений. В тех случаях, когда оно применимо, второе начало термодинамики выражает внутреннюю поляризацию природы. Оно не может быть следствием самой динамики. Второе начало является дополнительным принципом отбора, который, будучи реализованным, распространяется динамикой. Еще несколько лет назад выдвинуть подобную программу было бы решительно невозможно. Но за последние десятилетия динамика достигла замечательных успехов, и мы теперь располагаем всем необходимым для того, чтобы понять в деталях, как решения с нарушенной симметрией возникают в "достаточно сложных" динамических системах, и что, собственно, означает на микроскопическом уровне правило отбора, выражаемое вторым началом термодинамики. Именно это мы и хотим показать в следующем разделе.

3. Пределы классических понятий

Начнем с классической механики. Как мы уже упоминали, если основным первичным элементом считать траекторию, то мир был бы таким же обратимым, как и те траектории, из которых он состоит. В "тра-екторном" описании нет места ни энтропии, ни стреле времени. Но в результате непредвиденного развития событий применимость понятия траектории оказалась более ограниченной, чем можно было бы ожидать. Вернемся к теории ансамблей Гиббса и Эйнштейна, о которой мы говорили в гл. 8. Как известно, Гиббс и Эйнштейн ввели в физику фазовое пространство для того, чтобы учесть наше "незнание" начального состояния системы большого числа частиц. Для Гиббса и Эйнштейна функция распределения в фазовом пространстве была лишь вспомогательным средством, выражающим незнание de facto ситуации, которая однозначно определена de jure. Но вся проблема предстает в новом свете, если можно показать, что для некоторых типов систем бесконечно точное определение начальных условий приводит к внутренне противоречивой процедуре. Но коль скоро это так, тот факт, что нам всегда известна не отдельная траектория, а группа (или ансамбль) траекторий, выражает уже не только ограниченность нашего знания - он становится исходным пунктом нового подхода к исследованию динамики.

В простейших случаях никакой проблемы не возникает. Рассмотрим в качестве примера маятник. В зависимости от начальных условий маятник может либо колебаться, либо вращаться вокруг точки подвеса. Для того чтобы маятник вращался, его кинетическая энергия должна быть достаточно велика, иначе он "упадет назад", так и не достигнув вертикального положения. Двум типам движения - колебаниям и вращениям - соответствуют две различные области фазового пространства. Причина, по которой эти области не пересекаются, весьма проста: для вращения необходим больший запас кинетической энергии, чем для колебания (см. рис. 30).

Если измерения позволяют установить, что система первоначально находится в заданной области, мы можем с полной уверенностью предсказать, будет ли маятник совершать колебания или вращаться вокруг точки подвеса. Повысив точность измерений, мы можем локализовать начальное состояние маятника в более узкой области, целиком лежащей внутри предыдущей. И в том, и в другом случае поведение системы известно при любых t: ничего нового или неожиданного случиться не может.

Одно из наиболее удивительных открытий XX в. состоит в том, что такого рода описание не соответствует поведению динамических систем в общем случае, поскольку "большинство" траекторий динамических систем неустойчиво6. Обозначим траектории одного типа (например, соответствующие "колебательным режимам") знаком +, а траектории другого типа (соответствующие "вращательным режимам") знаком U. Вместо картины, изображенной на рис. 30, где области колебательных и вращательных режимов разделены, мы получим в общем случае причудливую смесь состояний, что делает переход к отдельной точке весьма неоднозначным (см. рис. 31). Даже если известно, что начальное состояние нашей системы принадлежит области А, мы не можем заключить, что проходящая через него траектория принадлежит типу +: траектория вполне может оказаться типа U. Увеличение точности измерений и связанный с ним переход от области А к более узкой области В также ничего не дает, так как неопределенность в типе траектории сохраняется. Во всех сколь угодно малых областях всегда существуют состояния, принадлежащие каждому из двух типов траекторий7.

Для таких систем траектории становятся ненаблюдаемыми. Неустойчивость свидетельствует о достижении пределов ньютоновской идеализации. Нарушается независимость двух основных элементов ньютоновской динамики: закона движения и начальных условий. Закон движения вступает в конфликт с детерминированностью начальных условий. В этой связи невольно вспоминается мысль Анаксагора о неисчерпаемости творческих возможностей частиц (семян), составляющих природу. По Анаксагору, любой предмет содержит в каждой своей части бесконечное множество качественно различных семян. В нашем случае любая область фазового пространства содержит огромное множество качественно различных режимов поведения.

С этой точки зрения детерминистическая траектория применима лишь в ограниченных пределах. А поскольку не только на практике, но и в теории мы не можем описывать систему на языке траекторий и вынуждены, использовать функцию распределения, соответствующую конечной (сколь угодно малой) области фазового пространства, нам остается лишь предсказывать статистическое будущее системы,

Наш друг Леон Розенфельд имел обыкновение говорить, что понятия могут быть поняты лишь через их пределы. В этом смысле можно утверждать, что мы достигли ныне лучшего понимания классической меха-пики, создание которой проложило путь к современному естествознанию.

Как возникла новая точка зрения? Для того чтобы ответить на этот вопрос, нам придется описать те глубокие изменения, которые претерпела динамика в XX в. Хотя по традиции динамику принято считать архетипом полной, замкнутой отрасли знания, в действительности она подверглась коренным преобразованиям.

4. Возрождение динамики

В первой части нашей книги мы рассказали о динамике XIX в. Именно такую динамику излагают многие учебники. Прототипом динамической системы в XIX в. было принято считать интегрируемую систему. Решить уравнения движения означало "удачно" выбрать координаты - так, чтобы соответствующие импульсы были инвариантами движения. Такой подход исключал взаимодействие между частями системы. Ставка на интегрируемые системы провалилась. Как уже упоминалось, в конце XIX в. Брунс и Пуанкаре доказали, что большинство динамических систем, начиная со знаменитой проблемы трех тел, неинтегрируемы.

С другой стороны, сама идея приближения к равновесию, сформулированная на языке теории ансамблей, требовала выхода за пределы идеализации интегрируемых систем. В гл. 8 мы видели, что в теории ансамблей изолированная система находится в равновесии, когда она представлена "микроканоническим ансамблем" - все точки на поверхности заданной энергии равновероятны. Это означает, что для системы, стремящейся к равновесию, энергия должна быть единственной величиной, сохраняющейся в ходе эволюции системы. Энергия должна быть единственным инвариантом. При любых начальных условиях система, эволюционируя, должна "побывать" во всех точках поверхности заданной энергии. Для интегрируемых систем энергия - далеко не единственный инвариант. Число инвариантов совпадает с числом степеней свободы, поскольку у интегрируемой системы каждый обобщенный импульс остается постоянным. Следовательно, интегрируемая система "заключена" на весьма ограниченном участке поверхности постоянной энергии (рис. 32) - пересечении всех инвариантных поверхностей.

Чтобы избежать этих трудностей, Максвелл и Больцман ввели новый, совершенно иной тип динамической системы. Для таких систем энергия является единственным инвариантом, а сами системы получили название эргодических систем (рис. 33).

Выдающийся вклад в развитие теории эргодических систем внесли Дж. Биркгоф, фон Нейман, Хопф, Колмогоров и Синай (разумеется, наш перечень далеко не полон)8,9,10. Ныне мы знаем, что существуют обширные классы динамических (но не гамильтоновых) систем, которые эргодичны. Известно также, что даже сравнительно простые системы могут обладать более сильными свойствами, чем эргодичность. Для таких систем движение в фазовом пространстве становится сильно хаотическим (хотя в полном соответствии с уравнением Луивилля - см. гл. 7 - объем в фазовом пространстве сохраняется).

Предположим, что наше знание начальных условий позволяет нам локализовать систему в малой ячейке фазового пространства. Наблюдая за эволюцией ячейки, мы увидим, как она начнет деформироваться и изгибаться, испуская, подобно амебе, "псевдоножки" по всем направлениям и распространяясь в виде волокон, которые постепенно становятся все тоньше, пока наконец не заполнят все пространство. Ни один самый искусный рисунок не может по достоинству передать всей сложности реальной ситуации. Действительно, в ходе эволюции системы с перемешиванием две точки, сколь угодно близкие в начальный момент времени, могут разойтись в разные стороны. Даже если бы мы располагали столь обширной информацией о системе, что начальная ячейка, образованная представляющими ее точками, была бы очень мала, динамическая эволюция превратила бы эту миниатюрную область в настоящее геометрическое "чудовище", пронизывающее фазовое пространство своими нитями-щупальцами.

Продемонстрируем различие между устойчивыми и неустойчивыми системами на нескольких простых примерах. Рассмотрим двухмерное фазовое пространство. Через одинаковые промежутки времени станем производить преобразования координат, при которых старая абсцисса р переходит в новую абсциссу р-q, а старая ордината q - в новую ординату р. На рис. 35 показано, что произойдет, если применить эти преобразования к квадрату: квадрат деформируется, но после шестикратного действия преобразования мы возвращаемся к исходному квадрату. Система устойчива: соседние точки преобразуются в соседние. Кроме того, рассмотренное нами преобразование циклическое (после шести операций восстанавливается исходный квадрат).

Рассмотрим теперь два примера сильно неустойчивых систем. Первый пример чисто математический, второй имеет непосредственное отношение к физике. Первая система - преобразование, названное математиками по понятным соображениям преобразованием пекаря9,10 Берется квадрат и сплющивается в прямоугольник. Половина прямоугольника отрезается, накладывается на другую половину, а получившийся квадрат снова "раскатывается" в прямоугольник. Последовательность операций, представленная на рис. 36, может быть повторена сколько угодно раз.

Каждый раз квадрат разбивается на части, которые перекладываются в другом порядке. Квадрат в этом примере соответствует фазовому пространству. "Преобразование пекаря" переводит каждую точку квадрата в однозначно определенную новую точку. Хотя последовательность точек-образов вполне детерминистична, "преобразование пекаря" обнаруживает также статистические свойства. Пусть начальное условие для системы состоит в том, что область А квадрата первоначально равномерно заполнена представляющими точками. Можно показать, что, после того как преобразование будет повторено достаточное число раз, начальная ячейка А, каковы бы ни были ее размеры и расположение в квадрате, распадется на отдельные несвязные части (рис. 37). Следовательно, любая область квадрата, независимо от ее размеров, всегда содержит различные траектории, которые при каждом "дроблении" области расходятся. Таким образом, несмотря на то что эволюция каждой точки в отдельности обратима и детерминистична, описание эволюции любой, даже сколь угодно малой области носит, по существу, статистический характер.

Другим примером простой системы с неожиданно сложным поведением может служить рассеяние твердых шаров. Рассмотрим маленький шарик, отражающийся от больших случайно распределенных шаров. Предположим, что большие шары неподвижны. Такую модель физики называют моделью, или газом, Лоренца в честь выдающегося голландского физика Гендрика Антона Лоренца.

Траектория малого подвижного шарика вполне определена. Но стоит лишь нам ввести в начальные условия небольшую неопределенность, как в результате последовательных столкновений эта неопределенность усилится. Со временем вероятность найти малый шарик равномерно распределится по всему объему, занятому газом Лоренца. Каково бы ни было число преобразований, газ никогда не вернется в исходное состояние.

В двух последних примерах динамические системы были сильно неустойчивы. Ситуация, с которой мы сталкиваемся здесь, напоминает неустойчивости в термодинамических системах (см. гл. 5). Произвольно малые различия в начальных условиях усиливаются. В результате переход от ансамблей в фазовом пространстве к индивидуальным траекториям становится невозможным. Описание на языке теории ансамблей мы вынуждены принять за исходный пункт. Статистические понятия перестают быть лишь приближениями к некоторой "объективной истине". Перед такими неустойчивыми системами демон Лапласа оказался бы столь же бессильным, как и мы.

Высказывание Эйнштейна "бог не играет в кости" хорошо известно. Ему созвучно высказывание Пуанкаре о бесконечно мощном духе, беспредельно осведомленном в законах природы, для которого вероятности просто не могли бы существовать. Однако Пуанкаре сам же указал путь к решению проблемы11. Он заметил, что когда мы бросаем игральные кости и прибегаем к теории вероятностей, то это отнюдь не означает, будто динамика неверна. Применение вероятностных соображений означает нечто другое. Мы используем понятие вероятности потому, что в любом диапазоне начальных условий, сколь бы малым он ни был, существует "много" траекторий, приводящих к выпадению каждой из граней кости. Именно это и происходит с неустойчивыми динамическими системами. Господь бог, если бы пожелал, мог бы вычислить траектории в нестабильном динамическом мире. При этом он получил бы тот же результат, который нам позволяет получить теория вероятностей. Разумеется, всеведущему богу с его абсолютным знанием было бы нетрудно избавиться от всякой случайности.

Итак, мы можем констатировать, что тесная взаимосвязь между неустойчивостью и вероятностью, несомненно, существует. Это весьма важное обстоятельство, и к его обсуждению мы сейчас перейдем.

5. От случайности к необратимости

Рассмотрим последовательность квадратов, на которые действует "преобразование пекаря". Эта последовательность изображена на рис. 39. Представим себе, что заштрихованные области заполнены чернилами, а незаштрихованные - водой. При t=0 мы имеем так называемое производящее разбиение квадрата. Приняв его за исходное, мы построим серию разбиений либо на горизонтальные полосы, если отправимся в будущее, либо на вертикальные полосы, если начнем двигаться в прошлое. В обоих случаях мы получим базисные разбиения. Произвольное распределение чернил по квадрату формально представимо в виде суперпозиции базисных разбиений. Каждому базисному распределению можно поставить в соответствие внутреннее время, равное просто числу "преобразований пекаря", которые необходимо проделать, чтобы перейти от производящего распределения к данному12. Следовательно, системы такого типа допускают своего рода внутренний возраст*.

Внутреннее время Т сильно отличается от обычного механического времени, поскольку зависит от глобальной топологии системы. Можно даже говорить об "овременивании" пространства, тем самым вплотную приближаясь к идеям, недавно выдвинутым географами, которые ввели понятие хроногеографии13. Взглянув на "структуру города или ландшафта, мы видим временные элементы как взаимосвязанные и сосуществующие. Бразилиа или Помпеи** вполне соответствовали бы определенному внутреннему возрасту, в какой-то мере аналогичному одному из базисных разбиений в "преобразовании пекаря". Наоборот, современный Рим с его зданиями, построенными в самые различные периоды, соответствовал бы среднему времени точно так же, как произвольное разбиение разложимо на элементы, отвечающие различным внутренним временам.

Посмотрим еще раз на рис. 39. Что произойдет, если мы продвинемся далеко в будущее? Зазоры между горизонтальными чернильными полосами будут становиться все уже и уже. Какова бы ни была точность наших измерений, спустя некоторое время она будет превзойдена, и мы заключим, что чернила равномерно распределены по всему объему. Неудивительно поэтому, что такого рода приближение к "равновесию" можно описать с помощью стохастических процессов типа цепей Маркова, о которых мы упоминали в гл. 8. Недавно это утверждение было доказано со всей математической строгостью14, но сам по себе результат представляется вполне естественным. Со временем чернила равномерно распределяются по объему так же, как шары в модели Эренфестов равномерно распределялись по урнам (см. гл. 8). Но если мы заглянем в прошлое, снова начав с производящего разбиения при t=0, то увидим то же самое явление. Чернила будут распределяться вертикальными полосами, и снова, углубившись в прошлое достаточно далеко, мы обнаружим равномерное распределение чернил по объему. Это позволяет нам сделать вывод о том, что и этот процесс допускает описание с помощью цепи Маркова, но направленной в прошлое. Таким образом, из неустойчивых динамических процессов мы получаем две цепи Маркова: одну, стремящуюся к равновесию в будущем, другую - в прошлом. Мы считаем, что этот результат весьма интересен, и хотели бы его прокомментировать. Внутреннее время дает нам новое, "нелокальное" описание.

Хотя "возраст" системы (т. е. соответствующее разбиение) нам известен, мы тем не менее не можем сопоставить ему однозначно определенную локальную траекторию. Мы знаем лишь, что система находится где-то в заштрихованной части квадрата (см. рис. 39). Аналогичным образом, если известны точные начальные условия, соответствующие какой-то точке системы, то мы не знаем ни разбиения, которому она принадлежит, ни возраста системы. Следовательно, для таких систем существуют два взаимодополнительных описания. Ситуация здесь несколько напоминает ту, с которой мы уже встречались в гл. 7 при рассмотрении квантовой механики.

Существование новой альтернативы - нелокального описания - открывает перед нами путь к переходу от динамики к вероятностям. Системы, для которых такой переход возможен, мы называем внутренне случайными системами.

В классических детерминистических системах мы можем говорить о вероятностях перехода из одной точки в другую лишь в весьма вырожденном смысле: вероятность перехода равна единице, если две точки лежат на одной динамической траектории, и нулю, если они не лежат на одной траектории.

В настоящей вероятностной теории нам понадобятся вероятности, принимающие, к отличие от вероятностей типа "нуль-единица", любые значения от пуля до единицы. Как такое возможно? Здесь перед нами во весь рост встает конфликт между субъективистскими взглядами на вероятность и ее объективными интерпретациями. Субъективная интерпретация соответствует случаю, когда отдельные траектории неизвестны. Вероятность (и в конечном счете связанная с ней необратимость) при таком подходе имеет своим истоком наше незнание. К счастью, существует другая, объективная интерпретация: вероятность возникает в результате альтернативного описания динамики, нелокального описания, возможного лишь для сильно неустойчивых динамических систем.

При таком подходе вероятность становится объективным свойством, порождаемым, так сказать, внутри динамики и отражающим фундаментальную структуру динамической системы. Мы уже подчеркивали важность основного открытия Больцмана - установления связи между энтропией и вероятностью. Для внутренне случайных систем понятие вероятности обретает динамический смысл. Теперь нам необходимо совершить переход от внутренне случайных систем к необратимым системам. Как мы уже знаем, неустойчивые динамические процессы порождают по две цепи Маркова.

Взглянем на эту двойственность с другой точки зрения. Рассмотрим распределение, сосредоточенное не на всей поверхности квадрата, а на отрезке прямой. Отрезок может быть вертикальным или горизонтальным. Выясним, что произойдет с этим отрезком под действием "преобразований пекаря", обращенных в будущее. Результат их показан на рис. 40: вертикальный отрезок рассекается на части и в далеком будущем стягивается в точку. Наоборот, горизонтальный отрезок при каждом "преобразовании пекаря" удваивается, и в далеком будущем его образы ("копии") равномерно покроют весь квадрат. Ясно, что при движении вспять во времени (в прошлое) наблюдается обратная картина. По очевидным причинам вертикальный отрезок называется сжимающимся, а горизонтальный - растягивающимся слоем.

Мы видим, что аналогия с теорией бифуркаций полная. Сжимающийся слой и растягивающийся слой соответствуют двум реализациям динамики, каждая из которых связана с нарушением симметрии и появлением несимметричных режимов парами. Сжимающийся слой отвечает равновесному состоянию в далеком будущем, растягивающийся - в далеком прошлом. Мы получаем, таким образом, две цепи Маркова с противоположной ориентацией во времени.

Теперь нам необходимо совершить переход от внутренне случайных систем к системам внутренне необратимым. Для этого нам необходимо понять, чем, собственно, отличается сжимающийся слой от растягивающегося. Нам известна еще одна система, столь же неустойчивая, как и "преобразование пекаря", - система, описывающая рассеяние твердых шаров. Для этой системы растягивающиеся и сжимающиеся слои имеют простой физический смысл. Сжимающийся слой соответствует множеству твердых шаров, скорости которых случайным образом распределены в далеком прошлом и становятся параллельными в далеком будущем. Растягивающийся слой соответствует обратной ситуации: скорости сначала параллельны, а затем их распределение становится случайным. Различие между сжимающимися и растягивающимися слоями очень напоминает различие между расходящимися и сходящимися волнами в примере Поппера. Исключение сжимающихся слоев соответствует экспериментально установленному факту: как бы ни изощрял свое хитроумие экспериментатор, ему никогда не удастся добиться, чтобы скорости в системе оставались параллельными после произвольного числа столкновений. Исключая сжимающиеся слои, мы оставляем тем самым лишь одну из двух введенных нами цепей Маркова. Иначе говоря, второе начало становится принципом отбора начальных условий. Оно допускает лишь такие начальные условия, при которых система эволюционирует к равновесному состоянию в будущем.

Правильность такого принципа отбора подтверждается динамикой. Нетрудно видеть, что в примере с "преобразованием пекаря" сжимающийся слой навсегда остается сжимающимся, а растягивающийся - растягивающимся. Подавляя одну из двух цепей Маркова, мы переходим от внутренне случайной к внутренне необратимой системе. В описании необратимости мы выделяем три основных элемента:

неустойчивость

|

внутренняя случайность

|

внутренняя необратимость

Самым сильным из них является внутренняя необратимость: случайность и неустойчивость следуют из него14,15.

Каким образом подобный вывод можно совместить с динамикой? Как известно, в динамике "информация" сохраняется, в то время как цепи Маркова, забывая предысторию, утрачивают информацию (вследствие чего энтропия возрастает; см. гл. 8). Никакого противоречия здесь нет: когда от динамического описания "преобразования пекаря" мы переходим к термодинамическому описанию, нам приходится изменять функцию распределения. Связано это с тем, что "объекты", в терминах которых энтропия возрастает, отличаются от объектов, рассматриваемых в динамике. Новая функция распределения r соответствует внутренне ориентированному во времени описанию динамической системы. Мы не можем останавливаться на математических аспектах перехода от старой функции распределения к новой. Скажем лишь, что преобразование, переводящее одну функцию распределения в другую, должно быть неканоническим (см. гл. 2). Следовательно, прийти к термодинамическому описанию мы можем лишь ценой отказа от обычных понятий динамики.

Примечательно, что такое преобразование существует, в результате чего оказывается возможным объединить динамику и термодинамику, физику бытия и физику становления. Позднее в этой главе и в заключительном разделе книги мы еще вернемся к новым термодинамическим объектам. Подчеркнем лишь, что в состоянии равновесия всякий раз, когда энтропия достигает своего максимума, эти объекты должны вести себя случайным образом.

Заслуживает внимания и то, что необратимость возникает, так сказать, из неустойчивости, наделяющей наше описание неустранимыми статистическими особенностями. Действительно, что означала бы стрела времени в детерминистическом мире, в котором и прошлое и будущее содержатся в настоящем? Стрела времени ассоциируется с переходом из настоящего в будущее именно потому, что будущее не содержится в настоящем и мы совершаем переход из настоящего в будущее. Построение необратимости на основе случайности чревато многими последствиями, выходящими за рамки собственно естествознания. Этих последствий мы коснемся в заключительном разделе нашей книги, а теперь кратко поясним, в чем заключается различие между состояниями, разрешенными вторым началом, и состояниями, которые второе начало запрещает.

6. Энтропийный барьер

Время течет в одном направлении: из прошлого в будущее. Мы не можем манипулировать со временем, заставить его идти вспять, в прошлое. Путешествие во времени занимало воображения многих писателей: от безымянных создателей "Тысячи и одной ночи" до Герберта Уэллса с его "Машиной времени". В небольшом произведении В. Набокова "Посмотри на арлекинов!"16 описываются муки рассказчика, которому не удается переключиться с одного направления времени на другое, чтобы "повернуть время вспять". В пятом томе своего капитального труда "Наука и цивилизация в Китае" Джозеф Нидэм описывает мечту китайским алхимиков: "свою высшую цель те видели не в превращении металлов в золото, а в манипулировании временем, достижении бессмертия путем резкого замедления всех процессов распада в природе17. Теперь мы лучше понимаем, почему время невозможно "повернуть назад".

Бесконечно высокий энтропийный барьер отделяет разрешенные начальные состояния от запрещенных. Барьер этот никогда не будет преодолен техническим прогрессом: он бесконечно высок. Нам не остается ничего другого, как расстаться с мечтой о машине времени, которая перенесет нас в прошлое. Энтропийный барьер несколько напоминает другой барьер: существование предельной скорости распространения сигналов скорости света. Технический прогресс может приблизить нас к скорости света, но, согласно современным физическим представлениям, мы никогда не сможем превзойти ее.

Для того чтобы понять происхождение энтропийного барьера, нам потребуется вернуться к выражению для H-функции, возникающему в теории цепей Маркова (см. гл. 8). Сопоставим с каждым распределением числа соответствующее значение H-функции. Можно утверждать, что каждое распределение обладает вполне определенным информационным содержанием. Чем выше информационное содержание, тем труднее реализовать его носитель. Покажем, что начальное распределение, запрещенное вторым началом, обладало бы бесконечно большим информационным содержанием. Именно поэтому такие запрещенные распределения невозможно ни реализовать, ни встретить в природе.

Напомним сначала, какой смысл имеет введенная в гл. 8 H-функция. Разделим фазовое пространство на клетки, или ячейки. С каждой ячейкой k сопоставим вероятность Рравн(k) попасть в нее в равновесном состоянии и вероятность Р(k,t) оказаться в ней в неравновесном состоянии.

H -функция есть мера различия между P(k,t) иРравн(k) . В состоянии равновесия, когда различие между вероятностями исчезает, H -функция обращается в нуль. Чтобы сравнить его с "преобразованием пекаря" и двумя порождаемыми им цепями Маркова, необходимо уточнить, как выбираются соответствующие ячейки. Предположим, что мы рассматриваем систему в момент времени 2 (см. рис. 39) и что в исходном состоянии система находилась в момент времени ti. Согласно нашей динамической теории, клетки соответствуют всем возможным пересечениям разбиений от t=ti до t=2. На рис. 39 мы видим, что, когда ti отходит в прошлое, ячейки становятся все более тонкими, поскольку нам приходится вводить все больше и больше вертикальных подразделений. Это отчетливо видно на рис. 41, где-в последовательности В мы получаем при движении сверху вниз ti-=1, 0, -1 и, наконец, ti=-2. Нетрудно видеть, что число ячеек возрастает при этом с 4 до 32.

Коль скоро мы располагаем ячейками, естественно сравнить неравновесное распределение с равновесным в каждой ячейке. В рассматриваемом нами примере неравновесное распределение есть либо растягивающийся слой (последовательность А), либо сжимающийся слой (последовательность С). Обратим внимание на то, что по мере сдвига ti в прошлое растягивающийся слой занимает все большее число ячеек: при ti=-1 он занимает 4 ячейки, при ti=-2 - уже 8 ячеек и т. д. В результате, воспользовавшись формулой из гл. 8, мы получаем конечный "ответ", даже если число ячеек неограниченно возрастает при tiR?.

Сжимающийся слой в отличие от растягивающегося при любых ti всегда локализован в 4 ячейках. Это приводит к тому, что H-функция для сжимающегося слоя обращается в бесконечность, когда ti уходит в прошлое. Таким образом, различие между динамической системой и цепью Маркова состоит в том, что в случае динамической системы необходимо рассматривать бесконечно много ячеек. Приготовить или наблюдать можно лишь такие меры или вероятности, которые в пределе при бесконечно большом числе ячеек дают конечную информацию или конечную H-функцию. Это исключает сжимающиеся слои18. По той же причине необходимо исключить и распределения, сосредоточенные в одной точке. Начальные условия, соответствующие одной точке в неустойчивой системе, соответствовали бы бесконечной информации. Следовательно, ни реализовать, ни наблюдать их невозможно. И в этом случае второе начало выступает в роли принципа отбора.

В классической схеме начальные условия были произвольными. Для неустойчивых систем произвол исключается. Каждое начальное условие обладает в случае неустойчивых систем определенным информационным содержанием, которое зависит от динамики системы (подобно тому как в "преобразовании пекаря" для вычисления информационного содержания мы прибегли к последовательному делению ячеек). Начальные условия и динамика перестают быть независимыми. Второе начало как принцип отбора представляется нам настолько важным, что мы хотели бы привести еще один пример, на этот раз связанный с динамикой корреляций.

7. Динамика корреляций

В гл. 8 мы кратко обсудили эксперимент с обращением скоростей. Возьмем разреженный газ и проследим за его эволюцией во времени. При t=t0 обратим скорости всех молекул газа. Газ вернется в начальное состояние. Мы уже обращали внимание на то, что для воспроизведения своего прошлого газу необходимо некое хранилище информации - своего рода "память". Такой памятью являются корреляции между частицами19.

Рассмотрим сначала облако частиц, движущихся к мишени (тяжелой неподвижной частице). Схематически ситуация изображена на рис. 42. В далеком прошлом корреляций между частицами не было. Рассеяние приводит к двум эффектам (см. гл. 8): оно "разбрасывает" частицы (делает распределение скоростей более симметричным) и, кроме того, порождает корреляции между рассеянными частицами и рассеивателем. Корреляции станут заметными, если обратить скорости (например, с помощью сферического зеркала). Эта ситуация изображена на рис. 43 (волнистыми линиями условно показаны корреляции). Таким образом, роль рассеяния сводится к следующему. При прямом рассеянии распределение скоростей становится более симметричным и возникают корреляции между частицами. При обратном рассеянии распределение скоростей становится менее симметричным, а корреляции исчезают. Таким образом, учет корреляций приводит к основному различию между прямым и обратным рассеянием.

Аналогичные рассуждения применимы и к системе многих тел. Здесь также возможны ситуации двух типов. В одном случае (прямой процесс) некоррелированные частицы налетают, рассеиваются и порождают коррелированные частицы (рис. 44). В другом случае (обратный процесс) коррелированные частицы налетают, корреляции при столкновениях нарушаются и после-столкновении частицы уже не коррелированы (рис. 45).

Прямой и обратный процессы отличаются последовательностью столкновений и корреляций во времени. В первом случае имеют место корреляции послестолкновительиыс ("постстолкновительные"). Имея в виду различие между пред- и послестолкновительными корреляциями, вернемся к эксперименту с обращением скоростей. Начнем при t=0 - с начального состояния, соответствующего корреляциям между частицами. В интервале времени от t=0 до t=t0 система эволюционирует "нормально": в результате столкновений распределение скоростей приближается к распределению Максвелла. Кроме того, столкновения порождают послестолкновительные корреляции между частицами. При t=t0 происходит обращение скоростей и возникает качественно новая ситуация. Послестолкновительные корреляции становятся предстолкновительными. В интервале времени от t=t0 до t=2t0 эти предстолкновительные корреляции исчезают, распределение скоростей становится менее симметричным, и к моменту времени t=2t0 полностью восстанавливается некоррелированное состояние. Таким образом, история системы делится на два этапа. На первом этапе столкновения трансформируются в корреляции, на втором этапе происходит обратное превращение корреляций в столкновения. Оба типа процессов - прямой и обратный - не противоречат законам динамики. Кроме того, как мы уже упоминали в гл. 8, полная "информация", описываемая динамикой, остается постоянной. Мы видели также, что в больцмановском описании эволюция от t=0 до t=t0 соответствует обычному убыванию H-функции, а в интервале от t=t0 до t=2t0 эволюция протекала бы аномально: H-функция возрастала бы, а энтропия убывала. Но это означало бы, что можно придумать эксперименты, как лабораторные, так и численные, в которых нарушалось бы второе начало! Необратимость на интервале [0, t0] компенсировалась бы "антинеобратимостью" на интервале [t0, 2t0 ].

Такое положение нельзя признать удовлетворительным. Все трудности устраняются, если перейти к новому "термодинамическому представлению", в рамках которого динамика, как в "преобразовании пекаря", становится вероятностным процессом, аналогичным цепи Маркова. Следует также учесть, что обращение - процесс не "естественный". Для обращения скоростей к молекулам извне должна поступить "информация". Для того чтобы обратить скорости, необходимо существо, аналогичное демону Максвелла, а за демона Максвелла приходится "платить". Изобразим зависимость H-функции от времени (для какого-нибудь вероятностного процесса). Типичный график такой зависимости представлен на рис. 46. При нашем подходе (в отличие от больцмановского) эффект корреляций при переопределении H-функции сохраняется. Следовательно, в точке обращения скоростей t0 функция H должна претерпевать скачок, поскольку мы внезапно создаем в этой точке аномальные предстолкновительные корреляции, которые должны нарушиться позднее. Скачок H-функции соответствует энтропии, или информационной цене, которую нам приходится платить.

Итак, мы получаем адекватное представление второго начала: в любой момент времени H-функция убывает (энтропия возрастает). Единственным исключением является точка t0: H-функция претерпевает в ней скачок в тот самый момент, когда система открыта. Лишь воздействуя на систему извне, можно "обратить" скорости.

Нельзя не отметить еще одно важное обстоятельство: при t=t0 новая H-функция принимает два различных значения, одно - для системы до обращения скоростей, другое - для системы после обращения скоростей. Энтропия системы до обращения и после обращения скоростей различна. Это напоминает ситуацию, происходящую при "преобразовании пекаря", когда сжимающийся и растягивающийся слои - скорости, переходящие друг в друга при обращении.

Предположим, что, прежде чем производить обращение скоростей, мы достаточно долго выжидаем. В этом случае послестолкновительные корреляции имели бы произвольный радиус и энтропийная цена за обращение скоростей была бы непомерно велика. А поскольку обращение скоростей стало бы нам "не по карману", его исключили бы. На физическом языке это означает, что второе начало запрещает устойчивые предстолкновительные корреляции на больших расстояниях.

Поразительна аналогия с макроскопическим описанием второго начала. Тепло и механическая энергия эквивалентны с точки зрения сохранения энергии (см. гл. 4 и 5), но отнюдь не второго начала. Кратко говоря, механическая энергия более "высокого сорта" (более когерентна), чем тепло, и всегда может быть превращена в тепло. Обратное неверно. Аналогичное различие существует на микроскопическом уровне между столкновениями и корреляциями. С точки зрения динамики столкновения и корреляции эквивалентны. Столкновения порождают корреляции, а корреляции могут разрушать последствия столкновений. Но между столкновениями и корреляциями имеется существенное различие. Мы можем управлять столкновениями и порождать корреляции, но мы не в состоянии так управлять корреляциями, чтобы уничтожить последствия, вызванные столкновениями в системе. Этого существенного различия недостает в динамике, но его можно учесть в термодинамике. Следует заметить, что термодинамика нигде не вступает в конфликт с динамикой. Термодинамика вносит важный дополнительный элемент в наше понимание физического мира.

8. Энтропия как принцип отбора

Нельзя не удивляться тому, как сильно микроскопическая теория необратимых процессов напоминает традиционную макроскопическую теорию. И в той, и в другой теории энтропия имеет негативный аспект. В макроскопической теории энтропия запрещает некоторые процессы, например перетекание тепла от холодного предмета к теплому. В микроскопической теории энтропия запрещает некоторые классы начальных условий. Различие между тем, что запрещено, и тем, что разрешено, поддерживается во времени законами динамики. Из негативного аспекта возникает позитивный: существование энтропии вместе с ее вероятностной интерпретацией. Необратимость не возникает более, как чудо, на некотором макроскопическом уровне. Макроскопическая необратимость лишь делает зримой ориентированную во времени поляризованную природу того мира, в котором мы живем.

Как мы уже неоднократно подчеркивали, в природе существуют системы с обратимым поведением, допускающие полное описание в рамках законов классической или квантовой механики. Но большинство интересующих нас систем, в том числе все химические и, следовательно, все биологические системы, ориентировано во времени на макроскопическом уровне. Их отнюдь не иллюзорная однонаправленность во времени отражает нарушение временной симметрии на микроскопическом уровне. Необратимость существует либо на всех уровнях, либо не существует ни на одном уровне. Она не может возникнуть, словно чудо, при переходе с одного уровня на другой.

Мы также неоднократно отмечали, что необратимость является исходным пунктом других нарушений симметрии. Например, по общему мнению, различие между частицами и античастицами могло возникнуть только в неравновесном мире. Это утверждение может быть распространено на многие другие ситуации. Вполне вероятно, что с необратимостью через отбор подходящей бифуркации связана и киральная симметрия. Многие из активно проводимых ныне исследований посвящены выяснению того, каким образом необратимость можно "вписать" в структуру материи.

Возможно, читатель обратил внимание на то, что при выводе микроскопической необратимости основной акцент мы делали на классической динамике. Но представления о корреляциях и различии между пред- и послестолкновительными корреляциями применимы не только к классическим, но и к квантовым системам. Исследование квантовых систем более сложно, чем исследование классических, что обусловлено различием между классической и квантовой механикой. Даже малые классические системы, например система, состоящая из нескольких твердых шаров, могут обладать внутренней необратимостью. Но для того чтобы достичь внутренней необратимости в квантовой механике, необходимы большие системы (со многими степенями свободы), которые встречаются в жидкости, газах или теории поля. Ясно, что исследование больших систем сопряжено со значительно большими математическими трудностями. Именно это не позволяет нам рассказать здесь о них подробнее. Тем не менее общая ситуация, с которой мы познакомились на примерах классических систем, сохраняется и в квантовой теории: необратимость там возникает вследствие ограниченной применимости понятия волновой функции, обусловленной той или иной разновидностью квантовой неустойчивости.

Применима в квантовой механике и идея о столкновениях и корреляциях. Как и в классической теории, второе начало запрещает существование в квантовой теории дальнодействующих предстолкновительных корреляций.

Переход к вероятностному процессу сопровождается введением новых сущностей. Второе начало как эволюция от порядка к хаосу может быть понято именно в терминах этих новых понятий. Второе начало приводит к новой концепции материи, к описанию которой мы сейчас переходим.

9. Активная материя

Связав энтропию с динамической системой, мы тем самым возвращаемся к концепции Больцмана: вероятность достигает максимума в состоянии равновесия. Структурные единицы, которые мы используем при описании термодинамической эволюции, в состоянии равновесия ведут себя хаотически. В отличие от этого в слабо неравновесных условиях возникают корреляции и когерентность.

Здесь мы подходим к одному из наших главных выводов: на всех уровнях, будь то уровень макроскопической физики, уровень флуктуаций или микроскопический уровень, источником порядка является неравновесность. Неравновесность есть то, что порождает "порядок из хаоса". Но, как мы уже упоминали, понятие порядка (или беспорядка) сложнее, чем можно было бы думать. Лишь в предельных случаях, например в разреженных газах, оно обретает простой смысл в соответствии с пионерскими трудами Больцмана.

Сравним еще раз динамическое описание физического мира с помощью сил и полей и термодинамическое описание. Как уже упоминалось, нетрудно составить программы численных экспериментов, в которых взаимодействующие частицы, первоначально распределенные случайным образом, в некоторый момент времени располагаются в узлах правильной решетки. Динамическая интерпретация этого явления гласит: возникновение порядка обусловлено игрой сил взаимодействия между частицами. Термодинамическая интерпретация утверждает иное: наблюдается общая тенденция к установлению хаоса (система изолирована), но хаоса, проявляющегося в совершенно других структурных единицах (в рассматриваемой модели это - коллективные моды, охватывающие большое число частиц). В этой связи, по-видимому, уместно напомнить неологизм, введенный нами в гл. 6 для обозначения новых структурных единиц, которые ведут себя некогерентно, несогласованно в состоянии равновесия системы; мы назвали их "гипнонами", или "сомнамбулами", поскольку в состоянии равновесия они движутся как во сне, "не замечая" друг друга. Каждый из гипнонов может обладать сколь угодно сложной структурой (достаточно вспомнить о том, насколько сложны молекулы ферментов), но в состоянии равновесия их сложность обращена "внутрь" и никак не проявляется "снаружи". Например, внутри молекулы существует интенсивное электрическое поле, но в разреженном газе этим полем можно пренебречь: оно никак не сказывается на поведении других молекул.

Одним из главных предметов исследования в современной физике является проблема элементарных частиц. Известно, что элементарные частицы далеко не элементарны. По мере того как мы поднимаемся по шкале энергий, перед нами открываются все новые и новые "слои" в структуре элементарных частиц. Но что такое элементарная частица? Можно ли считать, например, что планета Земля - элементарная частица? Разумеется, нельзя, потому что часть энергии Земли приходится на ее взаимодействие с Солнцем, Луной и другими планетами. Понятие же элементарной частицы подразумевает "автономию", с трудом поддающуюся описанию с помощью обычных понятий. Взять, например, хотя бы электроны и фотоны. При рассмотрении их мы сталкиваемся с дилеммой: либо отдельные частицы не существуют (часть энергии "обобществлена" электронами и фотонами, т. е. приходится на коллективные моды системы электронов и протонов), либо, если исключить взаимодействие, существуют свободные (не взаимодействующие) электроны и фотоны. Даже если бы мы знали, как можно каждую частицу заэкранировать от других, исключение взаимодействия представляется слишком радикальной мерой. Электроны поглощают или испускают фотоны. Выход из создавшегося затруднения мог бы состоять в переходе к физике процессов. В этом случае структурные единицы (элементарные частицы) соответствовали бы определению гипнонов, так как в состоянии равновесия они ведут себя независимо. Мы надеемся, что наша гипотеза вскоре получит экспериментальное подтверждение. Особенно подкрепило бы ее обнаружение стрелы времени, выражающей глобальную эволюцию природы, непосредственно во взаимодействии атомов с фотонами (или другими нестабильными элементарными частицами).

Широко обсуждается в современной науке и проблема космической эволюции. Каким образом мир мог быть столь "упорядоченным" на первых этапах эволюции после большого взрыва? Тем не менее порядок необходим, если мы хотим понять космическую эволюцию как постепенное движение от порядка к хаосу.

Для удовлетворительного решения проблемы нам необходимо знать, адекватны ли гипноны экстремальным условиям с колоссальными температурами и плотностью материи, характерными для ранних этапов развития Вселенной. Разумеется, одной термодинамике не под силу решить эти проблемы, как не в силах решить их и одна динамика, даже в высшей своей форме - теории поля. Именно поэтому объединение динамики и термодинамики открывает новые перспективы. Независимо от всяких прогнозов нельзя не удивляться разительным переменам, происшедшим в естествознании с тех пор, как было сформулировано второе начало (т. е. за какие-нибудь сто пятьдесят лет). Сначала физикам казалось, будто атомистические представления противоречат понятию энтропии. Больцман пытался спасти механистическое мировоззрение ценой сведения второго начала к вероятностному утверждению, весьма важному для практических приложений, но не имеющему фундаментального значения. Мы не знаем, каким будет окончательное решение, но современная ситуация коренным образом отличается от ситуации полуторавековой давности. Материя теперь не есть нечто данное. В современной теории она "конструируется" из более элементарного понятия в терминах квантованных полей. В этом конструировании важная роль отводится термодинамическим понятиям (необратимости, энтропии) [Речь, очевидно, идет о понятии материи в специально научном, физическом, а не философском смысле. - Прим. перев.].

Подведем итоги достигнутого. В первой и второй части нашей книги неоднократно подчеркивалось, что на уровне макроскопических систем первостепенное значение имеет второе начало (и связанное с ним понятие необратимости).

В третьей части мы стремились показать, что в настоящее время открывается возможность выхода за рамки макроскопического уровня, и продемонстрировать, что означает необратимость на микроскопическом уровне.

Переход от макроскопического уровня к микроскопическому требует коренного пересмотра наших взглядов на фундаментальные законы физики. Только полностью избавившись от классических представлений (как в случае достаточно нестабильных систем), мы можем говорить о "внутренней случайности" и "внутренней необратимости".

Для таких систем мы можем ввести новое расширенное описание времени с помощью оператора Т. Как было показано на примере "преобразования пекаря" (гл. 9 "От случайности к необратимости"), этот оператор имеет в качестве собственных функций разбиения фазового пространства (см. рис. 39).

Таким образом, ситуация, с которой мы сталкиваемся, очень напоминает ситуацию, сложившуюся в квантовой механике. Существуют два возможных описания: либо мы выбираем точку в фазовом пространстве и тогда не знаем, какому разбиению она принадлежит и, следовательно, каков ее внутренний возраст, либо мы знаем внутренний возраст, но тогда нам известно только разбиение, а не точная локализация точки.

После того как мы ввели внутреннее время Т, энтропию можно использовать как принцип отбора для перехода от начального описания с помощью функции распределения r к новому описанию с помощью функции распределения r^[1], которая обладает внутренней стрелой времени, согласующейся со вторым началом термодинамики. Основное различие между r и r^проявляется в разложениях этих функций по собственным функциям оператора Т (см. гл. 7 "Рождение квантовой механики"). В функцию r все внутренние возрасты независимо от того, принадлежат ли они прошлому или будущему, входят симметрично. В функции r^ в отличие от r прошлое и будущее играют различные роли: прошлое входит в r^, а будущее остается неопределенным. Асимметрия прошлого и будущего означает, что существует стрела времени. Новое описание обладает важной особенностью, заслуживающей того, чтобы ее отметить: начальные условия и законы изменения перестают быть независимыми. Состояние со стрелой времени возникает под действием закона, также наделенного стрелой времени и трансформирующего состояние, но сохраняющего стрелу времени.

В нашей книге мы рассматривали главным образом классическую ситуацию [20]. Но все сказанное применимо и к квантовой механике, в которой ситуация несколько сложнее, поскольку существование постоянной Планка лишает смысла понятие траектории и тем самым приводит к своего рода делокализации в фазовом пространстве. Таким образом, квантовомеханическая делокализация накладывается на делокализацию, вызванную необратимостью.

В гл. 7 мы подчеркивали, что две великие революции в физике XX в. связаны с включением в фундаментальную структуру физики двух запретов, чуждых классической механике: невозможности распространения сигналов со скоростью больше скорости света и невозможности одновременного измерения координат и импульса.

Неудивительно, что и второе начало, также ограничивающее наши возможности активного воздействия на материю, приводит к глубоким изменениям в структуре основных законов физики.

Нам бы хотелось закончить третью часть нашей книги предостережением. Феноменологическую теорию необратимых процессов ныне можно считать вполне сложившейся. В отличие от нее микроскопическая теория необратимых процессов делает лишь первые шаги. Когда читалась верстка этой книги, в нескольких лабораториях подготавливались эксперименты для проверки правильности микроскопической теории. Пока эти эксперименты не будут выполнены, умозрительный элемент в новой теории неизбежен.

--------------------------------------------------------------------------------