ЛОГИКА В РОССИИ

По-видимому, первым оригинальным российским сочинением по логике стали «Письма к немецкой принцессе» (Lettres a une princesse dAllemagne) Л. Эйлера, сначала вышедшие в трех частях в Санкт-Петербурге (1767—72) на французском языке, затем в Лейпциге (1770) и позднее переведенные на русский под названием «Письма о разных физических и философических материях» (СПб., 1796). Затем полвека о логике в России книг не писали (за исключением компилятивной «Логики» И. С. Рижского, 1790), ограничиваясь немецкими и французскими источниками. Только учреждение новых университетов (Тартуского, 1802; Казанского, 1804; Харьковского, 1805), расширившее возможности для философского образования (до этого времени лекции по философии читались только в Московском университете), благоприятно сказалось и на отношении к логике. Появляются местные сочинения: «Начертания логики» А. С. Лубкина (СПб., 1807), «Логика, риторика и поэзия» Ф. Мочульского (Харьков, 1811), «Логические наставления» Д. П.Лодия(СПб., 1815), «Логика» И. Любочинского (Харьков, 1817), «Опыт логики» П. Любовского (Харьков, 1818), «Начальные основания логики» И. И. Давыдова (М., 1820), «Краткое руководство по логике» Н. Рождественского (СПб., 1826).

В интеллектуальную жизнь российских университетов логика входила не самостоятельным предметом, а как приложение к тем или иным философским системам, которые в разное время преобладали. К примеру, весь 18 в. и нач. 19-го прошли Под знаком вольфовской и кантовской философии. С 30-х гг. усиливается влияние диалектики Фихте, Шеллинга и Гегеля. Как и философия, логика плохо совмещалась с установками системы образования, принятой в России, поскольку обе они, всегда направленные на «изощрение умов», могли порождать скептицизм, не всегда обращаемый «на пользу православия и народности».

В этой ситуации стремление отделить логику от философии, представить ее как самостоятельную науку, лежащую вне идеологических интересов, казалось естественным. И первая заявка в этом направлении была сделана, по-видимому, К. Зеленецким в статье «О логике как систематически целом и как о науке, объясняющей факты Мышления и Знания» (1836), где он ратует за независимость формальной логики от философии.

Но потребовалось время, чтобы российская логика конституировалась в самостоятельную науку. Этому способствовали, во-первых, аналогичные процессы в Англии, Германии и во Франции, и, во-вторых, основательное знакомство русских логиков с достижениями логиков в странах Западной Европы. При этом было учтено все — и метафизическое направление германской логики (Р. Лотце, В. Шуппе, В. Вундт и др.), и психологическое направление этой логики (X. Зигварт, Т. Липпс), и индуктивное направление сторонников английского эмпиризма (Д. С. Миль, А. Бэн), и математическое направление тех же англичан (Дж. Буль, А. де Морган, Ст. Джевонс, Дж. Венн). Именно к кон. 19 в. (под влиянием работы К. Прантля) появляются российские исследования (обзоры) по истории логики М. И. Владиславлева (1872), M. M. Троицкого (1882), П. Лейкфельда (1890), дополняемые оригинальными суждениями этих авторов.

Вторая половина 19 в. — это время реформы логики, выхода за рамки аристотелевской силлогистики. В России эта реформа шла по двум направлениям. Во-первых, в философской логике М. Карийский (1880) предложил новую классификацию выводов (отличную от классификаций Аристотеля, Милля и Вундта), основанную на сравнительном анализе отношений тождества между субъектами и предикатами суждений, участвующих в выводе, а Л. Рутковский (1899) дополнил эту классификацию и развил критику миллевских индуктивных методов именно как методов логического доказательства. С. И. Поварнин (1917) обратил внимание на особенность несиллогистических умозаключений и пришел к выводу, что их теория возможна только на почве логики отношений, включающей и принципы логистики. Во-вторых, главная реформа шла в том направлении логики, которое позднее получило название математической (или символической) логики. Здесь следует указать на работы В. Бобынина (Опыты математического изложения логики. М., 1886); М. С. Волкова (Логическое исчисление. 1894), исследования И. В. Слешинского (Логическая машина Джевонса. 1893) и Е. Л. Буницкого (1896— 1897), и, наконец, на классические работы П. С. Порецкого, в известной мере завершившие эпоху булевско-шрёдеровского развития алгебры логики как алгебры классов.

Между тем, не сталкиваясь с интересами сторонников математического направления в логике, продолжалось и развитие философской логики. Важный его период связан с творчеством Н. А. Васильева. Он выступил автором «воображаемой логики» (1910, 1912). Основная идея заключалась в том, что законы логические (см. Закон логический) подразделяются на два уровня: законы собственно логики, которая является эмпирической, и поэтому они вариативны, и законы металогики, которые неизменны. В мире эмпирических законов ни закон противоречия,  ни закон исключенного третьего  не являются универсальными. Васильев по праву считается вместе с польским логиком Я. Лукасевичем предшественником паранепротиворечивой логики. Он также стоит у истоков многозначной (точнее, трехзначной) логики. Воззрения Васильева опирались на общие философские идеи русской университетской логики, в которой, с одной стороны, в мире «вещей-всебе» допускалась противоречивость, и выдвигалась проблема объемной неопределенности «качественных» понятий (А. И. Введенский, И. И. Лапшин), по сути дела ставившая под вопрос общезначимость исключенного третьего закона, а, с другой стороны, отвергалось аристотелевское (т. и. корреспондентское) определение истины, которому противопоставлялась непосредственная («интуитивная») данность субъекту познаваемого объекта «в подлиннике» (Я. О. Лосский). Настойчивыми логическими поисками отмечено и богословское творчество П. Флоренского, настаивавшего на неизбежной противоречивости (антиномичности) познания. Высылка из России в нач. 20-х гг. выдающихся представителей русской гуманитарной мысли и трагическая судьба многих из тех, кто остался в России, в корне изменили саму постановку проблемы о соотношении философии и логики.

Кризис оснований, захвативший математику в нач. 20-го столетия, затронул и логику. В работе «О недостоверности логических принципов» (1907) Л. Э. Я. Брауэр поставил вопрос о новой — интуиционистской логике. В России брауэровский скептицизм в отношении закона исключенного.третьего разделял и одесский математик С. О. Шатуновский (1917). Когда к кон. 20-х гг. начались поиски формализации интуиционистски приемлемых способов рассуждений, интуиционизм нашел признание у логиков России. И это не случайно, поскольку многие из них входили тогда в Московскую математическую школу, возглавляемую Н. Н. Лузиным — выдающимся представителем «полуинтуиционистской» концепции в основаниях математики, известной под именем эффективизма. Результатом работы в этом направлении российских математиков А. Н. Колмогорова (1925, 1932) и В. И. Гливенко (1928—29) стали первые аксиоматические системы интуиционистской логики и первые теоремы о взаимоотношении между классической логикой и интуиционистской. Логическим отражением поисков, родственных интуиционистским, явилась работа И. Е. Орлова «Исчисление совместности предложений» (1928), которая оказалась исторически первой в мире работой по релевантной логике. Философская мотивировка этой работы была дана им еще в 1925 в статье «Логические исчисления и традиционная логика» . Она сводилась к идее необходимости выражения в логическом формализме «связей по смыслу» между основанием и следствием условного суждения (а следовательно, и содержательного отношения между элементами умозаключения) и была для него выражением своеобразно понятой диалектической логики. Выдающимся достижением этого периода является также серия статей И. И. Жегалкина (1927—29) по арифметизации символической логики высказываний и предикатов и решение им (в рамках этой арифметизации) проблемы разрешимости для логики одноместных предикатов (для аристотелевской логики). Интерпретируя логику высказываний как «арифметику четного и нечетного», Жегалкин сводит значительный корпус доказательства теорем знаменитой «Principia mathematica» (Уайтхеда и Б. Рассела) к простым арифметическим упражнениям.

Новое направление было открыто в эти же годы московским логиком М. И. Шейнфинкелем. В статье «О кирпичах математической логики» («Mathematische Annalen», 1924) он заложил основы комбинаторной логики. Тогда же русский физико-химик А. Р. Щукарев предпринял попытку применить понятия дифференциального исчисления к логике, основываясь на философии Р. Авенариуса. Щукарев публично демонстрировал сконструированную им «логическую машину» (аналог машины Джевонса). Однако к кон. 20-х гг. и математическая логика  оказалась под огнем партийной критики. Формальной логике в целом в «директивном» порядке была противопоставлена диалектическая логика.  Преподавание формальной логики в школах и высших учебных заведениях прекращается. Даже математики (во избежание обвинений в буржуазном идеализме) отходят от идеалов своей молодости. Активными борцами против «идеализма в математике» в эти годы становятся Э. Кольман и С. А. Яновская. Позднее к этому дуэту присоединится В. Н. Молодший. С этого времени и до кон. 40-х гг. логическая мысль в СССР развивается исключительно в рамках математики. В математических журналах появляются работы Д. А. Бочвара, А. И. Мальцева, П. С. Новикова, В. И. Шестакова и др., несущие на себе высокую степень математической кодификации языка и этим предохраняющие их авторов от идеологических нападок.

В 1946 постановлением ЦК ВКП(б) логика в ее традиционной форме вводится как предмет преподавания в школах и вузах. В этом же году переиздается дореволюционный учебник по логике Г. И. Челпанова (с купюрами, сделанными по «идеологическим соображениям»), появляются оригинальные учебники В. Ф. Асмуса (1947), К. С. Бакрадзе (1951) и др. Логика восстанавливается как особое направление гуманитарного образования в вузах, на ряде факультетов университетов и педагогических институтов открываются кафедры логики. В 1947 созданы кафедры логики на философском факультете МГУ (возглавил ее П. С. Попов) и ЛГУ (первым преподавателем логики уже в 1944 был С. И. Поварнин); в том же году образован сектор логики в Институте философии Академии наук СССР (ныне РАН).

Начало 50-х гг. отмечено рождением российского конструктивизма (см. Конструктивное направление). Работы А. А. Маркова и сотрудников его школы в немалой степени способствовали утверждению в общественном сознании научной значимости формальной логики. В эти годы С. А. Яновская инициирует издание на русском языке ведущих трудов по современной логике: Д. Гильберта и И. Аккермана «Основы теоретической логики» (1947) и А. Тарского «Введение в логику и методологию дедуктивных наук» (1948). Созданная ею школа логики оказала (благодаря обилию ее учеников) большое влияние на развитие философской мысли, на взаимодействие между логиками-философами и логиками-математиками. Семинар С. А. Яновской (кон. 50-х — нач. 60-х гг.) воспитал не одно поколение логиков. Большая роль принадлежит в этом также и А. А, Маркову, возглавившему образованную в 1958 кафедру математической логики МГУ. На логических семинарах Яновской, Маркова и их учеников (механико-математический и философский факультеты МГУ), Н. А. Шанина (в ЛГУ), на секторе логики Института философии формируется отечественная школа логиков-философов.

Определенным итогом описанного развития (и, конечно, относительно либеральной атмосферы 60-х гг.) явилось издание первой в России «Философской энциклопедии» (1960—70), в которой логика, несмотря на сопротивление некоторых членов редакционной коллегии энциклопедии и даже ее главного редактора, впервые в истории отечественной философской мысли была представлена в ее современном (на момент издания) и по возможности полном виде.

Б. В. Бирюков. Новосёлов

Уникальная история России 20 в. предопределила и уникальное развитие логики в ней, во многом непонятное для западного историка науки. В тоталитарной социальной системе лоп гка стала объектом чисто идеологических манипуляций. Даже после того, как в 1947 формальная логика  была возвращена в систему среднего и высшего образования, ее положение в этой системе не было независимым. В результате острой дискуссии в 1950—51 гг. на страницах главного философского официоза «Вопросы философии» и дискуссии по проблемам логики в МГУ и Институте философии АН СССР (ныне РАН) было зафиксировано, что высшей ступенью мышления является диалектическая логика, а низшей — формальная. Сторонников последней такое соотношение явно не устраивало и на этом фоне все 50-е и даже 60-е гг. прошли в обоюдной полемике. С одной стороны, в целях примирения сторон некоторыми участниками дискуссии предпринимаются попытки придать диалектической логике разумный смысл (С. А. Яновская, А. А. Зиновьев, Д. П. Горский, И. С. Нарский и др.). С другой стороны, в целях преодоления известного несоответствия уровней тогдашнего логико-философского образования и мировой логической культуры устанавливается практика переводов важнейших трудов по философской логике, таких, как «Логико-философский трактат» Л. Витгенштейна (1958, общая редакция и предисловие В. Ф. Асмуса) и «Значение и необходимость» Р. Карнапа (1959, общая редакция Д. А. Бочвара, предисловие С. А. Яновской); а также фундаментальных трудов по современной математической логике (под редакцией В. А. Успенского), таких, как С. К. Клини «Введение в метаматематику» (с добавлениями А. С. Есенина-Вольпина, 1957) и А. Чёрча «Введение в математическую логику» (1960), это оказало существенную помощь логикамфилософам. Обе последние книги (как минимум начальные их главы) берутся за основу при преподавании логики на философском ф-те МГУ и изучаются различными группами логиков, одну из которых организует А. А. Зиновьев. Т. о. налаживается контакт между логиками-философами и логикамиматематиками. В противостоянии с «диалектиками» первые обратились за помощью ко вторым и получили ее. Семинары Маркова и С. А. Яновской на механико-математическом факультете МГУ стали «первыми университетами» для многих философов, ставших на стезю логической науки. Тем не менее развитие формальной логики все еще не было ее «внутренним делом». Ученые, в особенности работавшие на стыке логики, философии (а единственно верной философией была тогда марксистско-ленинская) и методологии наук (а всеобщим методом была только материалистическая диалектика) сталкивались с большими трудностями в своей деятельности. К примеру, до нач. 60-х гг. доступ к иностранной литературе был сильно ограничен, а для публикации на иностранном языке вплоть до сер. 80-х гг. требовалось унизительное специальное разрешение. В работах, в особенности диссертационных, если уж они не были совершенно формальными или математическими, требовались ссылки на классиков марксизма. Поэтому приходилось пользоваться «эзоповским языком», переходившим порой в имманентную ложь. И все же в то время формальная логика была отдушиной для многих мыслящих философов. А ответом на усиление идеологического и политического террора после «Пражской весны» 1968 явился возросший интерес к формальной логике со стороны молодых философов, тяготевших к символической и технической стороне дела.

По существу только в 70-е гг. в СССР философская логика  как самостоятельная дисциплина выходит на всесоюзный и международный уровень. В 1974 в Институте философии проводится Всесоюзное совещание по теории логического вывода (с привлечением зарубежных ученых). В 1978 там же проводится Всесоюзное совещание по модальным и интенсиональным логикам, а в следующем году проходит 2-й Советско-финский коллоквиум по логике (первый проходил в Финляндии в 1976).

Главным событием для логиков всего мира является проведение Международных конгрессов по логике, методологии и философии науки, первый из которых прошел в Стэнфорде в 1960. И если на третьем в Амстердаме (1967) было всего несколько профессиональных логиков из России (А. А. Марков был приглашенным докладчиком), то начиная с 1971 (Бухарест) делегация становится весьма представительной. А в 1987 очередной конгресс (восьмой) проводится в Москве, что, помимо прочего, говорит и об авторитете отечественной логики, которая к тому времени имела уже немалый «послужной список» выдающихся результатов. Начиная с работ новосибирского математика А. И. Мальцева (30-е гг.), складывается школа по моделей теории, получившая международное признание (Ю. Л. Ершов, Ю. Ш. Гуревич, С. Р. Когаловский, И. А. Лавров, А. Д. Тайманов, М. А. Тайцлин, С. С. Гончаров и др.), а в кон. 40-х IT. А. А. Марковым создается школа русского конструктивизма (см. Конструктивное направление). Им же в 1947 (одновременно и независимо от американского логика Э. Л. Поста) был указан первый пример «внутриматематической» алгоритмически неразрешимой массовой проблемы, а именно проблемы А. Туэ (проблема равенства для полугрупп). В 1970 Ю. В. Матиясевичем получен другой результат мирового значения — доказана алгоритмическая неразрешимость 10-й проблемы Гильберта.

На современном этапе развития логики порой трудно отделить, что принадлежит к математической (символической логике), а что к философской логике.

МНОГОЗНАЧНЫЕ ЛОГИКИ. В России сложилась одна из лучших в мире школ по многозначной логике. Первая оригинальная работа принадлежит Д. А. Бочвару (1938), который (независимо от Я. Лукасевича и Э. Поста) создает аппарат трехзначной логики Вз, изначально пригодный для прикладных целей: логика Бочвара предназначалась для анализа парадокса Рассела (см. Парадокс логический). Идея разрешения парадоксов, предложенная Бочваром, оказала определенное влияние и на мировую логику. Система Вз, ставшая первой в мире трехзначной «логикой бессмысленности», была впоследствии обобщена В. К. Финном методом, позволяющим аксиоматизировать любую конечнозначимую логику (О. М. Аншаков и С. В. Рычков, 1982). Ряд работ по трехзначным логикам принадлежит В. И. Шестакову, который впервые дал сравнительный анализ их взаимоотношения (1964). Р. Ш. Григолия и В. К. Финн предложили алгебраическую семантику (квази-решетки) для логик типа Вз и доказали теорему представления (1979,1993). Впервые было обнаружено, что существует логика, в данном случае Вз, алгебраической структурой которой является квази-решетка (В. К. Финн, 1974).

В 50-е гг. А. В. Кузнецов, развивая идеи американского логика Э. Поста, закладывает аппарат для изучения функциональных свойств многозначных логик. Им также формулируется критерий функциональной полноты для них. В этом же направлении работает и С. В. Яблонский, который в 1958 публикует фундаментальную работу о функциональных построениях в многозначной логике. Важный результат здесь принадлежит А. А. Мучнику и Ю. И. Янову (1959), которые показали, что переход от счетного множества различных замкнутых классов функций двузначной логики к континууму этих классов происходит за счет добавления всего лишь одного нового истинностного значения. Кроме всего прочего этом устанавливается уникальность классической логики. Стоит также отметить работы В. Б. Кудрявцева, Г. П. Гаврилова, H. R Емельянова, Р. Ш. Григолия и др.

В 1970 В. К. Финн обнаруживает связь между функциональными свойствами конечнозначных логик Лукасевича Ln и простыми числами: L„ функционально предполна тогда и только тогда, когда n-1 есть простое число. Т. о., дано новое определение (в данном случае логическое) простого числа. Начиная с 1982 различные следствия из этого результата были получены А. С. Карпенко: структурализация простых чисел в виде корневых деревьев, построение такой п-значной логики, которая имеет класс тавтологий только и только тогда, когда п-1 есть простое число (еще одно определение простого числа), разработка различных алгоритмов для порождения классов простых чисел. Причем доказано, что порождаются все простые числа. Для построения соответствующих деревьев и порождения классов простых чисел В. И. Шалаком написаны компьютерные программы. В 1960 вышла первая книга по многозначной логике, посвященная ее философским проблемам (А. А. Зиновьев), а в 1997 в монографии А. С. Карпенко подводится определенный итог развития многозначной логики в России и за рубежом.

ИНТУИЦИОНИСТСКАЯ, КОНСТРУКТИВНАЯ И СУПЕРИНТУИЦИОНИСТСКИЕ ЛОГИКИ. Первая работа по интуиционистской логике появилась в России в 1925. Это была статья А. Н. Колмогорова «О принципе tertium non datur» . В ней впервые формально представлена аксиоматика минимальной логики высказываний и предикатов. Позднее (1932) Колмогоров возвращается уже собственно к интуиционистскому исчислению, предложив интерпретацию интуиционистской логики предикатов как «исчисления задач». Эта интерпретация предвосхитила «семантику реализуемости» Клини — Нельсона. В свою очередь в работе В. И. Гливенко (1929; рус. пер. 1998) впервые приведен пример перевода одной логики в другую, а именно классической логики в интуиционистскую. Так было положено начало целому направлению: переводам и погружению одних логических систем в другие.

Возникновение и развитие конструктивного направления (на базе конструктивной логики) связано в первую очередь с работами А. А. Маркова, Н. А. Шанина, Н. М. Нагорного, А. Г. Драгалина, Н. Н. Непейводы и др. Самостоятельно та же тема представлена в работах П. С. Новикова. Новым результатом явилось построение Марковым ступенчатой системы логических языков с одновременным определением их семантики «снизу вверх» (серия публикаций в 1974 г.). Конструктивный подход Маркова был развит до уровня машинной эвристики (автоматизированного поиска логического вывода) в школе Н. А. Шанина и его учеников (особенно С. Ю. Маслова). В рамках классического подхода к логике теорию рекурсивных функций разрабатывает В. А. Успенский. А. Г. Драгалин показал, что нестандартное расширение арифметики позволяет существенно сократить выводы многих формул. С кон. 60-х гг. А. С. Есенин-Вольпин начинает развивать ультраинтуиционистскую программу оснований математики и естественно-научных теорий; свои исследования в этом направлении он продолжил в США, куда был вынужден иммигрировать в 1972 по политическим мотивам. После предложения Ю. П. Медведевым (1962) рассматривать логику финитных задач начинают изучать суперинтуиционистские логики, получающиеся расширением интуиционистской логики некоторыми аксиомами. Важный результат был получен В. А. Янковым (1968): множество всех суперинтуиционистских логик континуально. Почти сразу же А. В. Кузнецов (1971) доказывает теорему о континуальности всякого интервала между интуиционистской логикой и ее собственным расширением. М. В. Захарьящевым (1996) установлено, что количество импликативных логик, расширяющих импликативный фрагмент интуиционистской логики, тоже континуально. Л. Л. Максимова (1997) доказала, что существует континуум предикатных суперинтуиционистских логик с равенством имеющих интерполяционное свойство и, следовательно, свойство Бета. Ученики Л.Л.Максимовой С.И.Мардаев (1994, 1997) и П. А. Шрайнер (1988) получают целый ряд результатов о континуальных классах логик.

Хотя континуум невозможно классифицировать (континуальность — это тайна человеческого разума), А. В. Кузнецов (1974) начинает классифицировать наиболее «интересные» классы суперинтуиционистских логик, а еще ранее (1971) он доказал, что всякая предтабличная суперинтуиционистская логика финитно аппроксимируема. Л. Л. Максимова, используя этот результат, показала, что их ровно три, а затем «выловила» из континуума (см. ниже результат Л. Л. Эсакиа и В. Ю. Месхи) семь пропозициональньк суперинтуиционистских логик, для которых верна интерполяционная теорема (1977). Других суперинтуиционистских логик с такими свойствами не существует. Отметим также, что интуиционистская логика  с дополнительной связкой отрицания детально исследуется в книге И. Д. Заславского (1978). В 1999 Непейвода установил, что любая арифметика с конечнозначной суперинтуиционистской логикой и правилом Карнапа является классической, т. е. в ней выводим исключенного третьего закон.  Отметим еще несколько оригинальных результатов: в 1971 ученик А. В. Кузнецова Раца формулирует критерий функциональной полноты для интуиционистской логики. В связи с этим обратим внимание на результат, стоящий высочайшего признания: А. В. Кузнецов и Раца доказывают теорему о функциональной полноте классической логики предикатов. В. А. Смирнов (1972) впервые строит натуральное интуиционистское исчисление с термами и только прямыми правилами вывода для кванторов. О. М. Аншаков осуществляет конструкгивизацию многозначных логик (1980, 1983). Д. П. Скворцовым и В. Б. Шехтманом (1993) предложено максимальное (в некотором точном смысле) обобщение семантики Крипке для суперинтуиционистских и модальных логик — так называемая семантика меташкал Крипке. Наконец, алгебраическим исследованиям интуиционистской логики посвящена монография Л. Л. Эсакиа (1985).

МОДАЛЬНАЯ ЛОГИКА. Развитие модальных логик в рассматриваемый период в первую очередь инициировалось разносторонним изучением центрального семантического понятия «истина». Может быть, в этом кроется какой-то подсознательный глубинный смысл, учитывая тот идеологический фон, на котором происходило развитие науки в целом. Для специалистов в области модальной логики большим событием было издание перевода книги Р. Фейса «Модальная логика» (1974) под редакцией и с существенными дополнениями Г. Е. Минца. Затем стали появляться отечественные монографии: Я. А. Слинин (1976), В. Н. Костюк (1978), О. А. Солодухин (1989), Ю. В. Ивлев (1985, 1991), который предложил квази-функциональную интерпретацию модальных логик. В. И. Маркиным (1984) проведен логический анализ  модальностей de re. О. Серебрянникову удается доказать теорему об устранимости сечения для кванторных расширений хорошо известных модальных систем S5 и брауэровой, а П. И. Быстров распространяет этот результат на нормальные расширения S4. А. В. Чагровым обнаружено, что существуют антитабличные (т. е. не имеющие конечных моделей) расширения S3. Этим свойством не обладают расширения S4. Т. о., дано характеристическое отличие S3 от S4. Наконец, в 1997 выходит фундаментальный труд по модальной логике М. В. Захарьящева и А. В. Чагрова (на англ. языке). Ряд результатов. получивших мировую известность, принадлежит также Л. Л. Эсакиа, Л. Л. Максимовой, Г. Е. Минцу (точность перевода Гёделя — Тарского для арифметики), А. А. Мучнику, Д. П. Скворцову, В. Б. ШехТману, А. Д. Яшину, В. В. Рыбакову, М. К. Валиеву, С. И. Мардаеву, Л. А. Чагровой, А. А. Шуму идр, Выделим результат Л. Л. Эсакиаи В. Ю. Мссхи (1974, 1977) иЛ. Л. Максимовой (1975) о существовании пяти предтабличных логик в нормальных расширениях S4, а таких расширений континуум (Максимова, Рыбаков, 1974). Еще один результат мирового класса принадлежит Л. Л. Эсакиа (1976), который одновременно и независимо от американского логика В. Дж. Блока установил изоморфизм решеток класса суперинтуиционистских логик и нормальных расширений модальной логики Гжегорчика Grz.

Целым направлением в области модальных логик является «логика доказуемости», где гёделевский предикат доказуемости интерпретируется как модальный оператор: Л. Л. Эсакиа, С. Н. Артемов, Г. Джапаридзе, Л. Д. Беклемишев, В. Ю. Щавруков, В; Варданян и др. Работы этих авторов получили признание на международном уровне, и в итоге появился термин «Japaridzes polymodal logic» («полимодальная логика Джапаридзе»).

РЕЛЕВАНТНЫЕ ЛОГИКИ. Про пионерскую работу в этой области И. Е. Орлова (1928) уже говорилось. В 1963 В. В. Донченко независимо от Н. Д. Белнапа (1960) формулирует принцип релевантности. Расцвет исследований в этой области приходится на 70-е гг. В книге В. А. Смирнова «Формальный вывод и логические исчисления» (1972) построена система логики, названная им «абсолютной», которая является подсистемой кванторного варианта системы R Андерсона и Белнапа. Оказалось, что импликативный фрагмент этой системы совпадает с импликативным фрагментом системы R, т. е. была переоткрыта слабая импликация Чёрча. Абсолютная система положена в основание иерархии целого ряда логических систем и представлена в форме секвенциальных исчислений и в форме натурального вывода. В этом фундаментальном труде исследуются также логики без правил сокращения (независимо и одновременно к этой проблематике приходит и В. Н. Гришин, но первая в мире публикация принадлежит Смирнову, 1971). Эта тема превратилась в самостоятельное направление, которое сейчас бурно развивается. От построения иерархии логических систем Смирнов приходит к глобальной идее классификации логических исчислений, в том числе и импликативных. В результате, начиная с 1992 А. С. Карпенко строит классы конечных булевых решеток, элементами которых являются различные импликативные логики, в том числе и релевантные.

Е. К. Войшвилло предлагает натуральные варианты некоторых систем релевантной логики и развивает семантику обобщенных описаний состояний (основное отличие этой семантики от классической — отказ от требований непротиворечивости и полноты описаний состояний), а также «семантику ослаблений» для системы Е. Л. Л. Максимова строит алгебраическую семантику для ряда систем; в последние годы в семантическом направлении работают Е. А. Сидоренко и Д. В. Зайцев. Г. Е. Минц (1972) и В. М. Попов (1977) доказывают разрешимость некоторых подсистем релевантной логики, а В. И. Шалак (1985) доказывает теорему о функциональной полноте для пропозициональной логики R с одной-единственной связкой.

Исследования в области расширений Е до R привели к результату о счетности класса релевантных логик, лежащих между Е и R (Е. А. Сидоренко, 1970). Л. Л. Максимовой принадлежит гипотеза о континуальности этого класса. В 80-е гг. появляются первые отечественные монографии по релевантной логике: Е. А Сидоренко (1983) и Е. К. Войшвилло(1988).

ДРУГИЕ НЕКЛАССИЧЕСКИЕ ЛОГИКИ. Исследования в области неклассических логик приняли весьма широкий размах в стране. Это связано с расширением концептуального и технического аппарата, позволяющего подойти к анализу логической и философской проблематики, недоступной для рассмотрения средствами только классической логики.

Начиная с 80-х гг. появляются монографии по временной логике: А. Т Ишмуратов (1981), Э. Ф. Караваев (1983), А. С. Карпенко (1990), А. М. Аписов (1991). Один из результатов Ишмуратова состоит в построении временной логики на основе трехзначной логики Бочвара Вз. Начиная с 1978 (В. А. Смирнов и др.) начинает развиваться модально-временная логика, в которой происходит синтез модальных и временных операторов. А. А. Ивиным (монографии в 1970 и 1973). Костюком, И. А Герасимовой и др. изучаются также деонтические модальности (см. Деонтическая логика), эпистемические (см. Эпистемическая логика). А. Л. Блиновым разработана теоретико-игровая семантика для логики действий (книга в 1983). К. Войшвилло и Ю. А. Петров (1974) получают некоторые результаты в области логики вопросов. В. К. Финн (1976) предложил логическую теорию вопросов в связи с формализацией отношения «вопрос-ответ» в информационных системах. Логика квантовой механики (см. Квантовая логика) исследуется Г. П. Дишкантом, Б. Г. Кузнецовьм, Б. Н. Пятницыным, В. С. Меськовым, В. Л. Васюковым, В. И. Аршиновым и др. В 1986 в МГУ проходит Межвузовская конференция «Логика квантовой механики». В 1983 в Ленинграде (ныне Санкт-Петербург) проходит координационное совещание по релевантным и паранепротиворечшым логикам. Последняя привлекает исключительное внимание во всем мире, в т. ч. и у нас, в особенности в 90-е гг. Предтечей работ в этой области был казанский логик Н. А. Васильев (1910), который, как и польский логик Ян Лукасевич (при создании многозначной логики), ссылается на неевклидовы геометрии  Лобачевского. В 1997 в Бельгии проходит 1 Международный конгресс по паранепротиворечивости и в нем принимают участие В. Л. Васюков, А. С. Карпенко, С. П. Одинцов, В. М. Попов, А. В. Смирнов и Е. Д. Смирнова. В этой связи отметим результат Васюкова, который построил теоретико-категорную семантику для паранепротиворечивых логик Н. да Косты.

Первые серьезные отечественные работы по паранепротиворечивой логике принадлежат Л. И. Розоноэру (1983), который исходил из идей Д. А. Бочвара. Общепринято, что первая система пропозициональной паранепротиворечивой логики была построена польским логиком С. Яськовским в 1948; 50-летию этого события в Польше в 1998 была посвящена Международная конференция. Однако обратим внимание на совсем малоизвестный факт, что А. Н. Колмогоров, исходя из идей Л. Э. Брауэра, еще в 1925 строит первую аксиоматическую систему, которую (в свете современных представлений) можно назвать паранепротиворечивой. Более того, Колмогоров дал ее предикатный вариант.

ЛОГИКА ПРАВДОПОДОБНЫХ ВЫВОДОВ И РАССУЖДЕНИЙ. Ряд работ посвящено индуктивной логике. Н. А. Алешина, С. П. Будбаева, В. И. Метлов, В. С. Меськов, Б. Н. Пятницын, В. К. Финн и др.; причем развиваются различные подходы.

С 1974 В. К. Финн (а затем О. М. Аншаков, Д. П. Скворцов, Д. В. Виноградов, С. О. Кузнецов и др.) начинает исследовать индуктивные методы Д. С. Милля средствами неклассических логик, и в первую очередь средствами многозначных логик. Складывается направление в теории правдоподобных рассуждений, названное ДСМ-методом. Удается формализовать индуктивные схемы Милля, аналогию и абдукцию и показать взаимодействие между индукцией, абдукцией и дедукцией. Исследуется и метод автоматического порождения гипотез. В 80-е и 90-е гг. в основном на страницах журналов «Семиотика и информатика» и «Научно-техническая информация» публикуется серия работ по ДСМ-методу. Т. о. разрабатывается логический аппарат для создания интеллектуальных систем. В этом направлении исследований логика рассматривается как наука о правильном рассуждении и рациональной организации знаний. Были разработаны основы логики аргументации, в которой в качестве аргументов используются автоматически порожденные гипотезы. В смежной области работает также Д. А. Поспелов.

ЛОГИЧЕСКАЯ СЕМАНТИКА И АНАЛИЗ ЕСТЕСТВЕННОГО ЯЗЫКА. Проблемы логической семантики: семантика Крипке, семантики типа Монтегю, конструктивная семантика, обобщенная семантика, фактор-семантика, тернарная семантика, семантика с несколькими отношениями достижимости, алгебраическая семантика, категорная семантика, содержательная семантика, «естественная» семантика и целый ряд других семантик для тех или иных классов логических систем или вообще для какой-то специальной логики всегда занимали большое место в работах логиков России 2-й пол. нашего века. Усилиями Е. Д. Смирновой основано философски ориентированное направление в отечественной логической семантике (первая монография в 1982). В этой области работали: Ю. А. Гладких, С. Н. Гоншорек, Г. В. Гриненко, И. Н. Грифцова, Н. Я. Куртонина, В. Б. Родос, 3. А. Сокулер, Е. Г. Чёрная и др. Одновременно с этим логико-семантические методы применяются к анализу естественного языка. В этой области работает и Н. Д. Арутюнова. Оригинальные работы принадлежат также Е. В. Падучевой: это анализ естественно-научных языков (геометрия), сфера действия кванторных слов и отрицания в естественных языках, понятие денотативного статуса, лежащего в основе современной лингвистической теории референции, в частности теории анафоры; ею же предложен подход к композиционному описанию лексики и синтаксиса, базирующегося на идее синтаксических трансформаций (монографии: 1974, 1985). Исходя из определенных семантических соображений, Б. В. Бирюков разрабатывает логику ложных высказываний (1972), а С. А. Павлов строит логику с оператором ложности (1990). Отметим работы Д. Г. Лахути и В. Ш. Рубашкина, разработавших компьютерные программы для анализа и понимания текста на естественном языке (80-е и 90-е гг.)

СИЛЛОГИСТИКА. Исследование силлогистических теорий средствами символической логики — одно из ведущих направлений в современной российской логике. Интерес к данной проблематике возник после издания в 1959 на русском языке перевода фундаментальной работы Я. Лукасевича «Аристотелевская силлогистика с точки зрения современной формальной логики» (под редакцией П. С. Попова). В 60-е и 70-е гг. основное внимание уделялось алгебраическому представлению силлогистики (А. Л. Субботин) и построению аксиоматических систем силлогистики без законов силлогистического тождества — более слабых, чем силлогистика Лукасевича (В. А. Смирнов). Мощный импульс активной разработке проблем силлогистики в нашей стране придало проведенное в 1982 в Ленинграде Всероссийское координационное совещание, на котором была определена программа и сформулированы направления исследований в этой области на перспективу. В России сложилась научная школа  по силлогистике, идейным вдохновителем которой был В. А. Смирнов. Представителями данной школы получен ряд результатов, позволяющих вписать силлогистику в контекст современной логики. Осуществлена формальная реконструкция неаристотелевских силлогистик — фундаментальной силлогистики Брентано—Лейбница, силлогистического фрагмента логики Больцано, силлогистик Льюиса Кэрролла и Н. А. Васильева (В. И. Маркин, Н. Г. Колесников, В. А. Смирнов, К. И. Бахтияров). Доказана погружаемость различных систем силлогистики в классическое исчисление предикатов  (В. А. Смирнов, В. И. Маркин). Установлены метатеоретические взаимосвязи силлогистических теорий с булевой и квазибулевой алгебрами (В. А. Бочаров, В. М. Попов), а также с элементарной онтологией С. Лесьневского (В. А Смирнов, В. А. Бочаров). Предложены различные подходы к семантической и синтаксической реконструкции аподиктического фрагмента модальной силлогистики Аристотеля (Е. К. Войшвилло, В. А. Смирнов, В. И. Маркин). Построены системы сингулярной и негативной силлогистик, эксплицирующие различные способы введения в силлогистический язык единичных и отрицательных терминов (В. И. Маркин, В. А. Бочаров, В. М. Попов). В 1984 появляется монография В. А. Бочарова, а в 1991 — В. И. Маркина.

Исследования российских ученых по силлогистике осуществлялись в тесном взаимодействии с грузинскими логиками (М. И. Бежанишвили, Л. И. Мчедлишвили идр.), получившими в данной области ряд важных результатов.

ЛОГИКА И МЕТОДОЛОГИЯ НАУК. Эта тема широко разрабатывалась логиками, философами и методологами науки, включая и логические аспекты исследований, т. е. применение современной логики для обсуждения и решения тех или иных методологических и философских проблем. Нередко под прикрытием критики логического позитивизма (см. обзорную статью по логике В. А. Бочарова, Е, К. Войшвилло, А. Г. Драгалина и В. А. Смирнова в журнале «ВФ», 1979, № 6) удавалось отвоевывать как само поле деятельности для логиковфилософов и методологов, так и «запрещенную» проблематику, и получать при этом оригинальные результаты. Это был вынужденный компромисс с официальной идеологией.

В 30-е гг. С. А. Яновская и В. Ф. Асмус начинают исследовать логико-методологические и философские проблемы оснований математики. Появляются работы Яновской о роли абстракций и идеализации в познании и о способах введения понятий. Ю. А. Петров под руководством Яновской публикует монографию (1967), в которой анализируются проблемы абстракции бесконечности и осуществимости. Современную теорию понятия, привлекая средства символической логики, создает Е. К. Войшвилло (1967,1989). Вопросам абстракции и образования понятий посвящена книга Д. П. Горского ( 1962) ; им же исследована специфика определений в различных теориях (1974). В свою очередь М. М. Новосёлов вводит методологически важное понятие интервала абстракции и на его основе ряд таких понятий, как абстракция постоянства, абстракция индивидуации, абстракция неразличимости  и др., сопровождая введение этих понятий их алгебро-логическим анализом; в частности, он формулирует аксиоматику для отношения тождества с мерой транзитивности (1978), законы композиции для отношения неразличимости (1984) и логику неразличимостей как модель псевдобулевой структуры (1989), а на основе интервальной концепции тождества предлагает решение парадокса Рассела (1998). В совместной работе Б. В. Бирюков и М. М. Новосёлов (впервые на формально-аксиоматической основе) исследуют свойства научного объяснения (1988). Проблему отрицательных высказываний в познании подробно исследовали А. Д. Гетманова (1972) и И. Н. Бродский (1973). В работах А. А. Старченко, Ю. В. Ивлева, А. А. Ивина, И. Ю. Алексеевой, В. Б. Родоса идр. активно развивалась теория аргументации. В последнее время новый подход к теории понятия и аргументации разрабатывается В. К. Финном. Проблемы аксиоматического метода рассматриваются в работах А. С. Есенина-Вольпина и В. Н. Садовского. Философские основания логических систем и самой логики исследовались Е. Д. Смирновой. Отчасти сюда же относятся работы Е. Е. Ледникова, В. Н. Брюшинкина, Г. В. Сориной.

В коллективных работах «Проблемы логики научного познания» (1964) и «Логика научного исследования» (1964) была сформулирована программа разработки логики и методологии научного познания. Ряд интересных работ помещен уже в сб. «Логика и методология науки»  (1967). К этой же тематике примыкает монография Б. В. Бирюкова «Кибернетика и методология науки» (1974), в которой, в частности, анализируются основные черты логической формализации и предлагается основанная на логике экспликация феномена понимания. Ряд авторов (Л. Б. Баженов, Б. С. Грязнов А. Зиновьев, В. Н. Карпович, С. А. Лебедев, Е. Е. Ледников, Ю. А. Петров, Г. И. Рузавин, В. Н. Садовский, К. Ф. Самохвалов, В. А. Смирнов, В. С. Швьфёв, Э. Г. Юдин и др.) детально разрабатывают различные вопросы методологии дедуктивных и эмпирических наук. Методология искусственного интеллекта развивалась в работах Д. А. Поспелова и В. К. Финна.

Ключевым понятием методологии наук, позволяющим использовать хорошо разработанную логическую технику, является понятие научной теории. Важные результаты здесь были получены В. А Смирновым в монографии «Логические методы анализа научного знания» (1987), которая была опубликована после продолжительной борьбы Смирнова с методологами, выступившими против «засилья» формальной логики. На основе фундаментальных результатов, полученных им в теории определимости, Смирнов вводит в научный оборот новые понятия об отношениях между теориями (дефинициальная погружаемость, дефинициальная эквивалентность, рекурсивная переводимость и др.), позволившие сравнивать теории с разной категориальной структурой. Этот понятийный аппарат был использован Смирновым для установления взаимосвязей между рядом теорий, напр., для погружаемости элементарной онтологии Лесьневского в одноместное второпорядковое исчисление предикатов.

Отметим, наконец, своеобразное решение вопроса о соотношении формальной логики и философии. В силу сугубо специфических условий развития философского знания в России после высылки в 1921 лучших философов за границу логики это соотношение решили в свою пользу, привлекая самый современный логический аппарат для обсуждения, анализа, реконструкции и решения различных философских и логико-философских проблем. В этом смысле показательны коллективные сб. «Философские вопросы современной формальной логики» (1962; отв. ред. П. В. Таванец), «Философия и логика» (1974; отв. ред. П. В. Таванец и В. А. Смирнов) и монография А. С. Карпенко «Фатализм и случайность будущего. Логический анализ» (1990). И если в первой еще делались реверансы в сторону диалектической логики и критиковался неопозитивизм, то во второй вообще обошлись без всего этого. (См. также ст. Философская логика).

ОСНОВНЫЕ ЛОГИКО-ФИЛОСОФСКИЕ ЦЕНТРЫ. Различные логические центры возникали в разных городах бывшего СССР. Очень сильная группа логиков (математиков и философов) сложилась в Тбилиси. В Киеве под руководством М. В. Поповича интенсивно исследовалась логико-методологическая проблематика. В Кишиневе, после переезда туда из Москвы А. В. Кузнецова, также сложилась активно работающая группа логиков. Различные Всесоюзные конференции по логике проводились, конечно, не только в России.

Но главным центром подготовки профессиональных кадров в области логики является кафедра логики философского факультета МГУ. Была создана уникальная система специализации по логике. Большое внимание уделялось профилизации лекционных курсов применительно к специфике разных специальностей. Преподавателями кафедры были разработаны оригинальные спецкурсы: «Логика научного познания» Е. К. Войшвилло, «Квази-функциональная логика» Ю. В. Ивлевым, «Логическая семантика» Е. Д. Смирновой и многие др. Особое место в структуре специализации занимали спецкурсы В. А. Смирнова, который знакомил студентов с самыми современными направлениями исследований в мировой логической науке. Начиная с 80-х гг. вышло в свет 15 монографий, написанных преподавателями кафедры, большое количество учебников (многие из них выдержали несколько изданий) и учебных пособий.

Преподавание логики на философском факультете Санкт-Петербургского (в то время Ленинградского) университета началось с сентября 1944. При кафедре начинал свой курс по математической логике А. А. Марков, потом его сменил Н. А. Шанин. С кон. 50-х — нач. 60-х гг. на факультете кроме традиционной логики преподается символическая логика.  Первыми преподавателями ее из состава членов кафедры были И. Н. Бродский и О. Ф. Серебрянников. Главным педагогическим достижением кафедры логики было издание в 1977 учебника для философских факультетов «Формальная логика» в двух частях. С 1990 кафедра регулярно (раз в два года) организует и проводит научные конференции «Современная логика: проблемы теории, истории и применения в науке».

Сектор логики Института философии РАН всегда оставался ведущим центром научно-исследовательских работ по философской и формальной логике. Начиная с 1959 им подготовлено и выпущено в издательстве «Наука» более 20 коллективных трудов. Большой размах приобрели исследования в области неклассических логик, где был получен целый ряд интересных результатов. Научно-исследовательский семинар по логике, четверть века руководимый В. А. Смирновым, приобрел широкую известность и на нем делали доклады многие зарубежные ученые. В 1990 им был создан Институт логики, когнитологии и развития личности (ИЛКиРЛ). Институт ведет исследовательскую и пропагандистскую работу в области логики, принимает активное участие в проведении Российских и Международных конференций по логике. Издается литература, соответствующая профилю Института, а также электронный журнал «Логические исследования» (отв. ред. А. С. Карпенко): http://www.logic.ru/Russian/LogStud.

ЛОГИЧЕСКИЕ ИЗДАНИЯ. Относительно периодических изданий по логике в России сложилась ситуация, не имеющая аналогов в развитых (цивилизованных) странах, и приходится констатировать, что Россия по сей день не имеет своего логического журнала. С 1959 выходит серия «Математическая логика и основания математики». С 1962 начал выходить журнал «Алгебра и логика» (Новосибирск), где в основном публикуются работы по математике. С 1975 выходит серия «Логика и методология науки» (в основном переводы). С 1982 начали выходить труды научно-исследовательского семинара по логике, а с 1993 — ежегодник (по возможности) «Логические исследования». Заслуга в появлении последних двух изданий принадлежит В. А. Смирнову, которому пришлось для этого преодолеть немалые трудности; он же и являлся первым их ответственным редактором.

Кончается XX век, страшный для России, с ее неисчислимыми жертвами и потерями. Но величие Логики как гуманитарной науки в том и состоит, что она стала спасительным прибежищем для человеческого духа.