ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ, или ПРОПОЗИЦИОНАЛЬНАЯ ЛОГИКА

-

раздел дедуктивной логики, в котором вопрос об истинности (или ложности) высказываний (т. е. суждений, рассматриваемых без их субъектно-предикатной структуры) в умозаключениях рассматривается на основе изучения следующего средства их выражения - т. н. элементарных (далее не разлагаемых и не анализируемых) высказываний с помощью логических операций.

Первые исследования в этом направлении начались еще в античности, в большей степени они принадлежат школе ранних стоиков (Хрисипп, III в. до н. э.). В рамках Schullogik эта тема представлена рассмотрением выводов из т. н. сложных суждений (сложным называется суждение, в состав которого входят другие суждения). Современный вид она стала приобретать благодаря работам прежде всего Дж. Буля, а также А. Моргана, Ч. Пирса, Э. Шредера и др. Дальнейшее ее оформление связано с творчеством Г. Фреге, Б. Рассела, Д. Гильберта, Л. Витгенштейна и др.

Л. в., входящая в основание других логических теорий (таких как логика "Редикатов, модальная логика) , является вводной частью, своеобразными пролегоменами всей математической логики, поэтому ее представление предваряет изложение логики предикатов (следует Учесть, что нотационные соглашения, т. е. названия и обозначения, в различных зданиях варьируются).

В основе алфавита языка Л. в. лежит непустое счетное множество атомарных формул Фо. Атомарные формулы выражают элементарные высказывания. Кроме того, алфавит содержит логические связки (союзы, операторы), выражающие логические операции.  В ряду основных логических связок выделяют унарную связку "отрицание" - обозначается значком -? (читается "не-") и бинарные связки: "конъюнкция" - & ("и"), "дизъюнкция" - ? ("или"), "импликация" - -> ("если..., то..."), "эквивалентность" - <-> ("..., если и только если..."), "строгая дизъюнкция" - <-> ("либо..., либо..."). Логические операции носят соответствующие cвязкам названия.

Л. в. располагает синтаксической категорией формул. Множество формул обозначается - Ф, а сами формулы - А, В, С... Эффективная процедура, позволяющая определить, является ли данное выражение правильно построенной формулой Л. в., характеризуется следующими пунктами: a) Фо с Ф, т. е. все атомарные формулы есть формулы; b) Если А и В формулы, то (-.А), (А & В), (? ? В), (А -> В), (А <-> В), (А <-> В) тоже формулы; c) Больше никаких правильно построенных формул Л. в., кроме указанных в пунктах а) и Ь), нет.

Исследование свойств таких формул и способов установления их истинности является основной задачей Л. в. Существует два подхода к построению данной теории: алгебра высказываний и исчисление высказываний.

Алгебра высказываний, или по-другому - истинно-функциональная логика, рассматривает логические формулы как алгебраические выражения, которые можно преобразовывать по определенным правилам. Буквы, обозначающие формулы, здесь играют роль пропозициональных переменных (аргументов), а логические связки - роль пропозициональных констант, или истинностных функторов, поскольку они определены через функции с областью значений - истина, ложь (обозначаемых соответственно "и" и "л"). Значение логических связок в алгебре высказываний определяют через истинностные таблицы.

Метод истинностных таблиц есть способ установления истинности высказываний, построенных в Л. в., т. к. логические функторы по заданным значениям аргументов однозначно определяют результат. Поставив в заданную формулу вместо переменных их значения и выполнив над ними указанные логические операции в порядке, зависящем от расстановки скобок в формуле, получим в результате значение "и" или "л" для всей формулы и, следовательно, установим истинность (или ложность) сложного высказывания, описанного этой формулой.

Формула пропозициональной логики называется тавтологией, если она истинна при любом возможном распределении истинностных значений переменных, входящих в нее. Существует множество методов определения, является ли формула тавтологией. Наиболее распространенный метод - метод истинностных таблиц. Например, легко проверить, что формулы, выражающие логические законы, являются тавтологиями. Метод истинностных таблиц может быть использован при доказательстве или опровержении корректности вывода посредством преобразования вывода в импликацию, где конъюнкция посылок составляет антецедент (левую часть импликации), а заключение совпадает с консеквентом (с правой частью импликации). Если эта импликация - тавтология, то вывод, представленный в ней указанным выше способом, корректен.

Например, корректность применения modus ponens подтверждается тем что формула (((А -> В) & А) -> В) - тавтология. Для обоснования, вместо базового, но громоздкого метода истинностных таблиц, приведем его сокращенный (устный) вариант, называющийся методом "приведения к абсурду". Допустим что формула (((А -> В) & А) -> В) - не тавтология, значит, она может иметь значение "л" по крайней мере при одном наборе значений аргументов. Но для того, чтобы эта формула имела значение "л", значение ее подформулы ((А -> В) & А) должно быть "и", а значение В - "л". Но истинное значение подформулы ((А -> В) & А) может иметь место только при истинных значениях ее конъюнктов - (А -" В) и А. Мы получили обязательные значения А - "и" и В - "л"; подставив их в подформулу (А -> В), получаем ее ложное значение. Мы получили противоречие (абсурд): с одной стороны, для того чтобы формула (((А -> В) & А) -> В) имела ложное значение, необходимо, чтобы ее подформула (А -> В) была истинной, а с другой стороны - ложной Но этого не может быть, следовательно, исходная формула не имеет значения лжи ни при каком наборе значений ее аргументов, т. е. она тавтология.

Исчисление высказываний имеет дело с теми же логическими формулами, но устроено как логическое исчисление  (см. "Исчисление логическое"). Существуют различные варианты исчисления высказываний, каждый из которых имеет свои аксиомы и свои правила вывода Для аксиом используются тавтологии Обычно используют два правила вывода: правило подстановки и modus ponens (Правило подстановки: "Из формулы F(A), содержащей букву А, выводима любая формула F(B), получающаяся заменой всех вхождений А в формуле F на произвольную, но одинаковую для всех вхождений А, формулу В". Оно позволяет формулировать логические законы как соотношения между простыми высказываниями, а затем распространять эти законы на любые сложные высказывания.) Оба правила широко используются во всех логических рассуждениях.

Исчисление высказываний строится как дедуктивная система. Это означает, что подходящие аксиомы и правила выхода задаются т. о., что каждая тавтология может быть доказана, следовательно, исчисление является семантически полным. Оно также разрешимо и непротиворечиво: для каждой системы исчисления высказываний определено, что теоремы в ней - только тавтологии, а в множестве истинных предложений, какими являются тавтологии, ни одно предложение не противоречит другому.

А. Г. Кислов