А. Ф. Лосев. ОЧЕРКИ АНТИЧНОГО СИМВОЛИЗМА И МИФОЛОГИИ

<<< ОГЛАВЛЕHИЕ >>>

2. "ИДЕАЛЬНОЕ" И "МАТЕМАТИЧЕСКОЕ" ЧИСЛО

а) Прежде всего, по Аристотелю, Платон строго различал идеальные числа и математические числа. Это – давно знакомая нам вполне платоновская идея. Интересна только весьма существенная деталь, которую выдвигает здесь Аристотель в целях характеристики этой антитезы. Именно, "математические" числа – совершенно однородны, счислимы и складываемы, "идеальные" же числа обладают той или другой степенью родства и счислимости, будучи не все и неодинаково однородны и счислимы. "В математическом [числе], – пишет он, – ни одна единица никак не отличается от другой".³ Что же касается идеальных чисел, то в Met. XIII 6 он различает три типа построения таких идеальных чисел. Во-первых, можно представить, что все они решительно различны по своему "эйдосу", так что нельзя себе представить ровно никакого их последовательного ряда; они абсолютно несчислимы.⁴ Во-вторых, идеальные числа могут быть построены так, что все они, оставаясь абсолютно несчислимыми и несоизмеримыми взаимно, – счислимы, однако, и соизмеримы сами внутри себя. Так, двойка несчислима с единицей, тройка – с двойкой, четверка – с тройкой и т.д.; но внутри каждого такого идеального числа все единицы – однородны между собою, счислимы и соизмеряемы.⁵ Конечно, и такое число, по Аристотелю, совершенно не похоже на математическое число. "Математическое [число] счисляется [так, что] за "одним" [следует] "два", [через прибавление] к предыдущему "одному" другого "одного", и "три" – [через прибавление] к этим "двум" еще "одного"; и так же прочее число. Это же [идеальное] число [счисляется так, что] за "одним" [следуют] другие [особые] "два", без первого "одного", и тройка – без двойки и прочее число – одинаково".⁶ Наконец, в-третьих, идеальные числа могут представлять собою смесь первого типа со вторым и с математическим числом, т.е. одни числа могут быть тут абсолютно несчислимы друг с другом, другие же – в том или другом отношении счислимы.⁷ Это, стало быть, соединение абсолютной несчислимости, прерывной счислимости и непрерывной счислимости. Но как бы ни строить идеальные числа, они, по изложению Аристотеля, всегда мыслятся Платоном как нескладываемые, несоизмеримые идеи – в том или другом отношении и в той или другой степени.⁸ И это – чрезвычайно важное учение. Этим Платон хотел, по-видимому, сказать, что идеальным числам свойственна своя специфическая качественность, что они не суть количественные конструкции, что операции над ними суть операции не числового, но общелогического порядка.

Не будем удивляться этому учению Платона. Во-первых, идеальная качественность числа вытекает сама собой из проанализированных выше диалектических выкладок "Парменида" и "Филеба". "Эйдетическое" число тем ведь и отличается от арифметического, что оно мыслится как некая фигурность, т.е. как специально числовая качественность. Во-вторых, совершенно нельзя утверждать того, что и наша математика лишена учений о качественности чисел. Разве не существует тут "сложения" и "вычитания", которые приходится понимать в "особом" смысле? Разве "математические" отношения между "конечными" и "бесконечными" величинами не уничтожают в корне обычную практику над конечными величинами? Разве, наконец, такие "числа", как, например, комплексное, не есть ли в сущности чистое качество, совершенно никак не представимое в чисто количественном виде? И т. д. и т.д. Стало быть, есть большой смысл, во-первых, учить об этих "идеальных" числах, а во-вторых, отличать их от "математических", вернее, от элементарно-арифметических признаком "несчислимости", "идеальности" в смысле индивидуальной смысловой качественности. Эти числа, по Платону, идеальны, т.е. суть идеи. А это значит, что им присуща не сводимая ни на что иное, каждый раз совершенно особая индивидуальная качественность, причем последняя, конечно, не имеет ничего общего ни с какой вещественной качественностью, но есть идеальная, мыслимая и мысленная, умная, смысловая качественность.

Итак, необходимо отдельно давать теорию "идеальных" и "математических" чисел. По изображению Аристотеля, Платон так и поступал.

b) Теория математического числа у Платона сводилась, говорит Аристотель, к учению об его срединности между идеей и вещью, между идеальным числом и вещественной качественностью. Основной текст гласит тут так: "Наряду с чувственным и с видами [существуют], говорит [Платон], посредине (μεταξύ) вещей математические [предметы], различающиеся с чувственным тем, что они вечны и неподвижны, а с видами – тем, что их много различных, а каждый вид сам есть только один, [неповторим]".⁹ Сюда же такой текст: "Математические [предметы] чем-то другим отличаются от [предметов, относящихся] сюда [чувственных]; но тем, что они есть нечто множественное однородное, они нисколько не отличаются".¹⁰

Что Платон понимал под числами действительно самостоятельный – третий – вид бытия, не сводимый ни на идеи, ни на вещи, явствует из того, что Аристотель отличает от этого, чисто платоновского, взгляда другой, по которому "это существует, как говорится, между видами и чувственностью – однако не отдельно во всяком случае от чувственности, но в ней".¹¹ Стало быть, "математическое" число мыслится тут самостоятельно-сущим бытием. Да об этом и прямо читаем: "Платон [признает] виды и математические [предметы] как две субстанции, в качестве же третьей – субстанцию чувственных тел".¹² В такой формулировке также нет ничего странного для тех, кто знаком с сочинениями самого Платона. Вспомним приводившийся уже нами конец VI книги "Государства". Здесь устанавливается четыре рода познавательных способностей и соответственно четыре рода предметности. Одна пара относится к области чувственной, другая – к умной. В чувственности – две способности, "вера" и "подобие" [сравнение],¹³ в умной сфере – рассудок (διάνοια) и ум (νοϋς). Эти два начала Платон описывает так: "Душа принуждена искать одну свою часть на основании предположений, пользуясь разделенными тогда частями как образами и идя не к началу, а к концу. Напротив, другую ищет она, выходя из предположения и простираясь к началу непредполагаемому, без тех прежних образов, т.е. совершает путь под руководством одних идей самих по себе".¹⁴ Это значит, что идеи можно брать или сами по себе, или относительно, т.е. как образы вещей. В последнем случае мы идем не к "началу", т.е. не к центральному и рождающему лону всех идей, но – к "концу", т.е. к тому завершению, которое претерпевает идея через воплощение в вещи. Когда мы идем к началу, мы руководствуемся только одними идеями и от идей-предположений доходим до Непредполагаемого, что уже не есть ни идея, ни сущность, но выше того и другого, ибо порождает то и другое (ср. предшествующие этому рассуждения о Благе и Солнце).¹⁵ Когда же мы идем к концу, то мы имеем в виду уже не идеи сами по себе.¹⁶ Таким образом, если первый род умной сферы есть диалектическое восхождение от чистых идей к сверхсущному Началу,¹⁷ то второй род есть как бы исследование идей с тонки зрения чувственности и исследование чувственности с точки зрения идей.¹⁸ Таким образом, "рассудок", διάνοια, как раз есть эта средняя сфера между умным и чувственным бытием. "Рассудком же называешь ты... не ум, а способность геометров и подобных им, так что рассудок действует между мнением и умом".¹⁹ Следовательно, из четырех восходящих способностей (вера – ощущение; мнение – подобие, образ; рассудок – математика; ум – диалектика) рассудок есть как раз то, что имеет в виду и Аристотель, приписывая Платону учение о среднем положении бытия математического. Ясно и то, почему, по Платону, такое бытие – производное, почему оно предполагает чистые идеи, или идеальные, умные числа. Ясно и то, что так понимаемая математика действительно есть нечто среднее между чистым умом и чувственностью. Впоследствии Плотин великолепно разовьет эту тему диалектически, в виде антитезы "числа" и "количества". Это "математическое" число Платона есть, очевидно, не что иное, как Плотиново "количество".

с) Однако у Аристотеля выставляется и тут некоторая деталь, которая, имманентно содержась уже в платоновском тексте, но не будучи, по-видимому, там осознанной и выраженной, придает всей концепции гораздо более выпуклый и выразительный вид.

Именно, Платон, по Аристотелю, учил о т.н. неделимых линиях. Весьма важное значение этой проблемы должно обсуждаться в применении к Ксенократу, который это учение развил и которого традиция считает главным автором этих построений. Сейчас я укажу только на самый смысл этой проблемы и скажу, почему можно возводить ее к Платону. Аристотель, трактуя платоническое учение о пространственных величинах, пишет²⁰: "Кроме того, из чего будут происходить точки [принадлежащие линии] ? Именно, Платон опровергал этот род [точек] как геометрическое учение и вместо этого называл [ее] принципом линии, а это [последнее] часто полагал как неделимые линии". Он же в другом месте говорит²¹: "[Протяженные] величины и все подобное [идет у них только] до [определенного] количества, как, например, первой, [т.е. единицей, идет] неделимая линия [как точка], затем линия как двойка, а затем и это [все] до десятки". Таким образом, по этому учению выходит, что не точка есть монада, но неделимая линия. Насколько сам Платон разработал это учение, сказать трудно. Тем не менее исследователи более или менее единодушно приписывают его Платону, хотя и несомненно, что вполне разработано оно было только Ксенократом.²² Что же такое эти "неделимые линии"? Прежде всего, это не есть просто результат борьбы с "наивной концепцией точки как фрагмента линии", как это думает G.Milhaud.²³ Это не имеет ничего общего и с атомами Демокрита как с чисто физическими неделимостями; об этом хорошо говорил уже Симплиций.²⁴ Наконец, это и не есть понятие, ничего не меняющее в обычной концепции точки, как это, по-видимому, думает L. Robin²⁵. Впервые с достаточной серьезностью отнесся к этому понятию, по-моему, J.Stenzel²⁶, который видит в нем попытку дать теорию континуума. В труде о Ксенократе я приведу достаточное количество текстов из разных авторов для доказательства этого по крайней мере в отношении Ксенократа. Сейчас же достаточно будет указать только на то, что при помощи учения о неделимых линиях Платон хотел именно объединить идеальный и чувственный мир, т.е. выделить самую существенную сторону математического вообще. Идеальное бытие мыслится Платоном не просто в отрыве от чувственности. Оно, конечно, не есть чувственность бытия, и в этом оно раз навсегда оторвано от него. Но мы знаем из "Тимея", что космос устроен именно при помощи "видов и чисел" и что идеальные "виды" не просто остаются в своей отрешенности. Но чтобы мыслить их функционирующими в чувственности, необходимо найти такую их модификацию, которая, соответствуя текучести вещей, не теряла бы, однако, своей чисто смысловой природы. Это может получиться только тогда, когда идеально числовое и идеально геометрическое перестанут быть свободными от протяжения оформлениями, когда геометрические фигуры будут текучими сущностями, не переставая, однако, быть сущностями. Тогда мы имеем сразу и математическое число, или фигуру, и охват чувственной текучести, и, что самое важное, гарантию от ухода в бесконечное становление и распыление, связанное с чувственностью как таковою. "Точка" есть указание на некое стационарное образование. "Неделимая линия" есть указание на становящееся образование. Это – точка, содержащая в себе идею направления, или точка, содержащая в себе черты некоего континуума. Ясно, что прав Штенцель, когда говорит о приложимости антитезы "предел – беспредельное" уже к точке и когда трактует последнюю в связи с учением Платона в "Пармениде" о диалектическом "миге".²⁷

Таким образом, идея "неделимой линии" есть прямой ответ на отрицательную диалектику Зенона и есть нечто ясно вытекающее из самого центрального ядра платонизма. Не нужно только думать обязательно, что одной линии свойственно такое антиномико-синтетическое строение.

Едва ли Платон учил так об одной линии. Александр²⁸ пишет: "Платон и пифагорейцы предполагали числа в качестве принципов сущего, так как, по их мнению, принципом является первое и несложное, а в телах первым являются плоскости (ибо более простое и несложное – первое по природе), в плоскостях – линии на том же основании и в линиях – точки, которые математики называют "знаками" (σημεϊα), сами же они – единицами, как совершенно несложные и ничего раньше себя не имеющие". Едва ли Платон хотел выставить тут только ту простую мысль, что тела состоят из плоскостей, плоскости из линий и линии из точек. Тут, скорее, имелась в виду именно та самая антиномико-синтетическая точка зрения, которая проведена Платоном в вопросе о "неделимых линиях". Другими словами, Платон, вероятно, хотел сказать, что как точка есть, собственно говоря, неделимая линия, так линия есть неделимая плоскость и плоскость есть неделимое тело. Он, по-видимому, и здесь проводил тот же принцип становящейся и развертывающейся математической сущности, что и в неделимых линиях, желая построить подлинно смысловой переход от идеи к явлению. О том, что не только точка подвергалась у Платона антиномико-синтетической интерпретации, можно косвенно заключить из того, что "пифагорейцы" конструировали, по Аристотелю, космос не из чисел, но "предполагают, что [употреблявшиеся здесь] единицы имеют величину, [протяженность]".²⁹ Это εχειν μέγεθος (1080b 20), как и άτομα μεγέθη (1083b 13)²⁸⁴*, нужно относить не только к пифагорейцам, но и к платоникам, что вполне видно из характера Аристотелевой критики против этой концепции.³⁰ Критика эта предполагает платоническую мишень. Да и большая ли разница будет в нашем вопросе, если послушать Аристотеля: Платон "отделял" математические предметы от чувственных вещей, пифагорейцы же, отделяя, считали их имманентными вещам²⁸⁵*? Итак, может быть, Платон просто говорил о "неделимых величинах", тем более что и традиция здесь не всегда однозначна?³¹ Симплиций, например, говорит, что Платон выдвигал "первые и мельчайшие тела" в виде плоскостей, и противопоставляет его Ксенократу, который в этом смысле говорил будто бы о линиях.³² Платона с пифагорейцами в учении о неделимых линиях объединяет и Прокл.³³

Учение о неделимых линиях весьма выразительно трактует природу математического как метаксюйного. Мы убеждаемся еще лишний раз, что Платон не только разделял идеальный и чувственный мир, но и объединял их, и такому объединению служила у него математика, отличавшаяся у него необходимым для этого характером "текучей сущности", или антиномико-синтетического объединения "предела" и "беспредельного", "неделимости" и "делимости", в одном понятии "числа" или "фигуры", "смешанного" (по терминологии "Филеба") начала. Нечего и говорить о том, что это – в высочайшей степени важное и плодотворное понятие, не развившееся в Греции чисто математически только потому, что греки вообще были чужды чисто аналитическим построениям и находили себе полное удовлетворение в созерцании интуитивной полноты диалектически порожденного понятия. Наша современная математика создает на основе подобных категорий целые новые дисциплины или их отделы.