ЛОГИЦИЗМ

— направление в философии математики, возникшее в конце XIX — начале XX в. Его основоположниками были Г. Фреге и Б. Рассел. Сущность логицизма состояла в стремлении свести математику к логике (математической) и таким образом обосновать истинность и непротиворечивость математики. Первую серьезную попытку в этом направлении предпринял Г. Фреге, определив основные понятия арифметики натуральных чисел (натуральное число, сложение и умножение) в терминах логики (класс, дизъюнкция, конъюнкция). Так, натуральное число определялось как класс всех равночисленных классов (определение натурального числа Фреге —Рассела). К тому времени уже была показана принципиальная возможность сведения всей математики либо к теории множеств (теоретико-множественная интерпретация и обоснование всех разделов и теорий математики), либо к арифметике натуральных чисел, а сами теория множеств и арифметика натуральных чисел были построены аксиоматически (последнее было осуществлено в конце XIX в. школой Пеано). Таким образом, проблема сведения математики к логике сводилась в принципе к решению вполне обозримой проблемы: переформулировке аксиом арифметики натуральных чисел в терминах логики и выведение этих логических высказываний в качестве теорем одного из логических исчислений. Попытка Фреге закончилась, однако, неудачей, так как в рамках его конструкции оказалось возможным сформулировать логический парадокс. Это сделал молодой Б. Рассел. По он же взял на себя роль продолжателя дела Фреге. Новая попытка была реализована в совместной монографии Б. Рассела и Н. Уайтхеда «Principia Mathematica». Благодаря введению иерархической теории идеального языка (теории типов) система Рассела-Уайтхеда была надежно защищена от логических парадоксов типа парадокса Рассела. Расселу и Уайтхеду в предложенной ими системе действительно удалось вывести аксиомы арифметики натуральных чисел в качестве теорем логики. Однако сама их система вызвала с самого начала серьезные возражения как чисто логическая, то есть как совокупность только логически—истинных высказываний. Обоснованные сомнения в их логическом характере касались трех аксиом: аксиомы выбора, аксиомы сводимости и аксиомы бесконечности. Таким образом, логицистская программа Рассела-Уайтхеда оказалась по меткому выражению А. Черча реализованной «не более чем наполовину». Окончательно же бесперспективность логицизма была показана в 30-х гг. XX в., благодаря известным результатом К. Геделя, доказавшим строго интуиционистскими методами принципиальную невозможность абсолютно полной формализации любыми средствами (а значит и чисто логическими) арифметики натуральных чисел (теорема о неполноте любых формализованных систем арифметики по отношению к ее содержательному варианту). Таким образом, гипотеза логицистов о том, что математика — суть не более сложная («зрелая») чем логика, оказалась неверной. Математика не есть совокупность чисто логических истин (в силу только их логической формы). Однако, с другой стороны, логицисты убедительно продемонстрировали огромную роль чисто логических методов в построении и обосновании математики. (См. философия математики, метаматематика).