СКУЛЕМ Торальф Альберт

(23 мая 1887, Сандвер, графство Бискеруд, северная Норвегия — 23 марта 1963, Осло) — норвежский логик, математик, магистр философии (1913), стажировался в Геттингене (1915), с 1916 научный сотрудник, а затем доцент университета в Осло ( 1918- 30), доктор философии (1926), научный сотрудник (1930—38) Института науки и Свободомыслия в Бергене (Институт Кристиана Микельсена), профессор математики университета в Осло (с 1938), член Норвежской Академии наук (с 1938), Рыцарь первого класса короля Норвегии (1954), редактор журнала «Norsk matematisk tidsskrift». Основные работы в области логики предикатов, теории рекурсивных функций и оснований множеств теории. Скулем — один из основателей классической моделей теории. Первый результат в этой области получен им в 1920 в работе «Логико-комбинаторные исследования» («Logisch-Kombinatorische Untersuchungen»), в которой Скулем, основываясь на понятии о нормальной форме и т. н. скулемовских функциях, упростил (с использованием аксиомы выбора) теорему Лёвенгейма о выполнимости в счетном поле всякой замкнутой выполнимой формулы (Zahlausdruck), формализуемой в логике предикатов первого порядка. Позднее, в работе «О некоторых проблемах, касающихся оснований математики» (Uber einige Grundlagenfragen der Mathematik) Скулемом, уже без использования аксиомы выбора, было доказано (при интерпретации отношения принадлежности как двухместного предиката) обобщение этой теоремы на произвольную последовательность формул вида Zahlausdruck. Этот результат получил впоследствии название «парадокса Скулема», поскольку из него непосредственно следовала релятивизация бесконечных мощностей (множеств) степеней высших, чем счетная. Т. о., мир классических (канторовских) представлений об иерархии мощностей в аксиоматической теории множеств терял свой абсолютный (объективный) характер. Самого Скулема этот результат привел к философской установке в основаниях математики, близкой к умеренному номинализму и формализму. В соответствии с этой установкой математика должна развиваться на основе формальных систем (исчислений), в которых смысл математических абстрактных объектов релятивизируется системой аксиом и применяемой логикой. Согласно Скулему, это не является серьезным ограничением, поскольку всегда существует переход к более широким системам. Однако возможность интерпретировать аксиомы этих систем т. о., что они оказываются истинными теоремами арифметики, объективно означает, что никакая аксиоматика не может обеспечить существования математических объектов в абсолютном смысле наивной теории, так что абстракции математики существуют не «сами по себе» как платонистские сущности, а только как результат нашей умственной активности в рамках абстракции потенциальной осуществимости. Эта критика не имела целью свести к абсурду трансцендентные бесконечности наивной теории, но она требовала рассматривать их как «необъекты», а утверждения об их существовании как своего рода facon de parler. Скулем, возможно, первый заявил о допустимости работать с противоречивой теорией при условии, что она лишена какой-либо неясности понятий (в частности, ему принадлежит метод уточнения понятия «определенного предиката» для аксиомы свертывания в системе Цермело-Френкелл).

Соч.: Selected Vtorks in Logic. Oslo, 1970. Лит.: Nordik Journal of Philosophical Logic, v. l, n. 2, 1996.

M. M. Новосёлов