ПАРАНЕПРОТИВОРЕЧИВАЯ логика

(греч. тора—возле, вне) — класс логических исчислений, в которых логический принцип «из противоречия следует все, что угодно», не имеет места. Термин «паранепротиворечивая логика»  введен в 1976 перуанским философом Ф. Миро-Квисада.

Строгое определение паранепротиворечивой логики связано с характеристикой отношения логического следования (см. Следование логическое). Его можно назвать черезмерным (explosive), если оно удовлетворяет условию, что для любых формул А и В, из А и не-А следует произвольная формула В (символически: (А, -А} |— В). Классическая логика (см. Логика высказываний. Логика предикатов), интуиционистская логика,  многозначные логики  Лукасевича и большинство других стандартных логик являются черезмерными. Логика называется паранепротиворечивой логикой тогда и только тогда (т. т. т.), когда ее отношение логического следования не является черезмерным.

Стимулом для появления паранепротиворечивой логики была потребность в разработке противоречивых, но нетривиальных теорий. Теория называется тривиальной, если множество ее теорем совпадает со множеством ее формул; в противном случае теория называется нетривиальной. Стандартные системы логики не отделяют понятия противоречивости от понятия тривиальности, т. е. противоречие в теории ведет к ее тривиальности. Отсюда еще одно определение паранепротиворечивой логики несколько менее общее, чем предыдущее: логика называется паранепротиворечивой, если она может быть положена в основу противоречивых, но нетривиальных теорий. Именно такое определение впервые в литературе дано польским логиком С. Яськовеким (1948) и независимо бразильским логиком Н. С. А. да Костой (1963). Иногда используется еще один критерий паранепротиворечивости (критерий Яськовского) для логических исчислений с правилом вывода modus ponens: в таких системах не должен иметь места закон Дунса Скотта А э (-Аэ В). Т. о., паранепротиворечивая логика позволяет «локализовать» действие противоречия в том смысле, что наличие в теории противоречия не ведет последнюю к разрушению, что в известном смысле является реализацией тезиса о неуниверсальности непротиворечия закона.

Вопрос о том, противоречив наш мир или нет, является весьма непростым, тем не менее на протяжении всей истории западной философии находились мыслители, которые настаивали на положительном ответе, начиная уже с досократиков, включая Гераклита. Конечно, наиболее яркой фигурой в этом отношении является Г. Гегель. В последнее время все большее внимание привлекает онтология А.Мейнонга (1908), где утверждается существование противоречивых объектов, и все чаще приводится высказывание Л. Витгенштейна (1930), что наступит время, когда начнутся математические исследования исчислений, содержащих противоречия, и люди будут гордиться тем, что освободились от непротиворечивости. Признание того, что существуют истинные противоречия, т. е. имеются утверждения А такие, что вместе А и -тА истинны, получило название концепции «диалетизма» (dialetheism). Термин введен в 1981 Г. Пристом и Е Роутли, и сама концепция в последнее время усиленно развивается Пристом.

Наличие противоречивых, но нетривиальных теорий и концепция диалетизма являются философской основой для изучения паранепротиворечивости. Примерами таких теорий является наивная теория множеств с парадоксом Рассела, классическая теория истинности, порождающая семантические парадоксы  типа «Лжец». Примеры противоречивых, но нетривиальных теорий можно найти в истории науки: аристотелевская теория движения, первоначальное исчисление бесконечно малых, теория атома Бора и т. д. Интересные примеры имеются в юриспруденции, в частности различные билли о правах и тексты конституций. Противоречивой является теология (парадокс всемогущества). Также неоспоримым фактом является то, что большинство людей, не осознавая этого, имеют противоречивые убеждения (верования). Вообще, по-видимому, имеет веские основания тезис, что любая достаточно сложная и интересная философия будет противоречивой. Подробно о философском значении паранепротиворечивости и обширнейшую литературу по этой теме можно найти в фундаментальном труде «Паранепротиворечивая логика. Эссе о противоречивости» (Paraconsistent logic: Essays on the inconsistent. Munch., 1989). Концепция диалетизма требует применения паранепротиворечивой логики для рассуждения о противоречивой, но истинной теории.

На возможность построения логик без закона непротиворечия впервые одновременно (1910) и независимо друг от друга указали русский логик Н. А. Васильев и польский логик Ян Дукасевич. Первый из них предложил модифицировать аристотелевскую силлогистику за счет новой формы: S есть P и неР; Лукасевич же подверг серьезной критике все формулировки закона непротиворечия у Аристотеля.