ИНТУИЦИОНИЗМ (математический)

— одно из направлений в философии математики (Л. Кронекер, А. Пуанкаре, Л. Брауэр, Г. Рейтинг), представители которого предложили новую концепцию предмета и обоснования математики, резко противопоставив ее не только эмпиристской, объективно-идеалистической (платонизм) и наивно-интуиционистской (Декарт) традициям в истолковании предмета и природы математики, но и таким новым направлениям философии математики XX в. как логицизм (Фреге, Рассел и др.) и формализм (Гильберт, Гедель и др.). Согласно интуиционистам, математика есть синоним максимально однозначных и доказательных построений человеческого разума. Математические объекты и структуры конструируются человеческим мышлением, и до него и вне него не существует. Математическое знание является содержательным, синтетическим, имеющим интуитивную основу, однако в математике допускается только элементарная, так называемая «глобальная» интуиция, которая в силу своей элементарности находится под максимально возможным контролем человеческого сознания. Назначение этой интуиции состоит во введении элементарных единиц содержания и способности их различения или отождествления. Например, глобальная интуиция способна однозначно различить такие элементарные объекты как 0 и 1, все остальные объекты математики должны быть построены из элементарных с: помощью простых операций, которые однозначно контролируются глобальной интуицией (например, и — ). Согласно интуиционистам, в математике слово «существовать» должно означать только одно — «быть построенным» в конечное количество шагов под контролем глобальной интуиции. На этом основании интуиционисты отказывают в законности понятию «актуально бесконечное множество» (допускаемого в классической математике: в теории множеств и арифметике). Понятие «актуальной бесконечности» предлагается из математики удалить и ввести вместо него понятие «потенциальной бесконечности», понимаемой как конечная последовательность, которая реально всегда может быть продолжена. Закон исключенного третьего, широко используемый при доказательствах в классической математике, должен быть ограничен только его применением в рассуждениях о конечных множествах. Не является универсальным, с точки зрения интуиционистов, и закон двойного отрицания (А = А). Общий вывод интуиционистов в отношении классической математики очень категоричен: вся классическая математика — ненадежная и нестрогая наука, и поэтому требуется построить новую математику, отвечающую более строгим критериям, предложенных интуиционистами. Усилиями многих представителей интуиционизма и конструктивизма в XX в. были перестроены с позиций новых требований строгости многие разделы классической математики. Сначала многие математики расценивали эти построения как проявление крайнего педантизма, не имеющие никакого теоретического и практического значения для реально работающей математики. Только с развитием вычислительной техники, компьютеров, машинной математики оказалось, что наиболее эффективным языком математических программ для этой техники является язык именно конструктивной математики. (См. логицизм, формализм, философия, математика).