ФОРМАЛИЗМ

— направление в философии математики, основателем которого явился Д. Гильберт. Главные усилия формалистов были направлены на решение проблемы обоснования математики, доказательство ее непротиворечивости. Их не устраивали философские взгляды на сущность математики ни логицистов, ни интуиционистов. Они исходили из того, что старая, классическая математика является добротной, истинной и непротиворечивой наукой. Возражая интуиционистам, Гильберт восклицал: «Отнять у математиков закон исключенного третьего — это все равно, что запретить боксерам пользоваться кулаками». Однако для того, чтобы исключить вес сомнения в добротности классической математики, все ее основные теории (эвклидову геометрию и арифметику натуральных чисел в первую очередь) необходимо было полностью формализовать, то есть представить (отобразить) в виде формальных, синтаксических систем, а затем доказать чисто финитными средствами логическую непротиворечивость, полноту (относительно их содержательных моделей) и независимость аксиом этих формальных систем. При формальном отображении любой содержательной математической системы мы должны полностью отвлечься от содержательной интерпретации ее собственных и логических терминов, представить ее в виде чисто синтаксической конструкции и только тогда мы увидим ее принципиальную математическую сущность, все ее необходимые и достаточные основания. Сам Д. Гильберт формализовал содержательную часть эвклидовой геометрии и в результате показал недостаточность аксиоматической базы классической эвклидовой геометрии. Однако, первые же серьезные попытки полной формализации самой простой из математических теорий — арифметики натуральных чисел — принесли формалистам разочарование. К. Гедель, попытавшийся решить проблему обоснования арифметики в рамках программы формализма, пришел в итоге к противоположному результату — доказательству невозможности ее реализации. Он доказал невозможность полной формализации содержательной арифметики натуральных чисел в рамках одной формальной системы, а также невозможность доказательства ее непротиворечивости средствами самой формальной системы. Доказательство абсолютной непротиворечивости математики оказалось в принципе невозможным. Результаты, полученные Геделем, имеют огромное философ-скос значение. Однако невозможность реализации программы формализма в полном объеме не отменяет огромной ценности самой формализации математического знания. (См. форма, философия математики).