ЛОГИКА СИМВОЛИЧЕСКАЯ

- математическая логика. теоретическая логика — область логики, в которой логические выводы исследуются посредством логических исчислений на основе строгого символического языка. Термин «символическая логика» был, по-видимому, впервые применен Дж. Венном в 1880.

Уже Аристотель широко применял буквенные обозначения для переменных. Идея построения универсального языка для всей математики, для формализации на базе такого языка математических доказательств и вообще любых рассуждений выдвигалась в 17 в. Г. Лейбницем. Однако только к сер. 19 в. стало очевидным, что существующая логическая парадигма, а именно аристотелевская силлогистика, уже не отвечает требованиям развития науки того времени. С одной стороны, необычайные успехи абстрактной алгебры в особенности в теории групп позволили перенести алгебраические методы на другие области науки. Это с успехом проделала английская школа, родоначальником которой можно считать А. де Моргана (Augustus de Morgan, 1806—71), который в 1847 опубликовал книгу «Formal logic; or the calculus of inference, necessary and probable». Им открыты названные в его честь законы де Моргана, разработана теория отношений и в 1838 определено понятие математической индукции. Однако наибольшую известность получили работы Дж. Буля (1815—64). В 1847 он публикует брошюру «Mathematical analaysis of logic», а в 1854 опубликовал свой главный труд по логике «An Investigation int the laws of thought, on which are founded the mathematical theories of logic and probabilities». Как и де Морган, Дж. Буль был одним из тех математиков из Кембриджа, которые признали чисто абстрактную природу алгебры. Они заметили, что простейшие операции над множествами подчиняются законам коммутативности, ассоциацивности и дистрибутивности. Оставалось только провести аналогию между объединением и сложением, пересечением и умножением, пустым классом и нулем, универсальным классом и единицей. Работы Буля 1847 и 1854 можно считать началом алгебры логики, первоначальный этап развития которой был завершен Е. Шредером в трехтомной монографии «Vorlesungugen uber die Algebra der Logik (1890-1905)».

С другой стороны, возникновение и развитие символической логики связано с работами Г. Фреге (1848—1925) и Ч. С. Пирса (1839-1914). После того, как Фреге в 1879 и Пирс в 1885 ввели в язык алгебры логики предикаты, предметные переменные и кванторы, возникла реальная возможность построения системы логики в виде логического исчисления, что и было сделано Фреге, который по праву считается основателем символической логики в ее современном понимании. Пытаясь реализовать идеи Лейбница, Фреге в «Begriffsschrift» (лучшая книга по символической логике 19 в.) изобрел символическую запись для строгих рассуждений. Хотя его нотация сейчас совсем не используется (напр., формулы рисовали в виде двумерного дерева), Фреге в действительности впервые построил исчисление предикатов (см. Логика предикатов). Исчисление предикатов есть формальная система, состоящая из двух частей: символического языка и логики предикатов.

Кроме этого для исчисления предикатов Фреге дает строгое определение понятия «доказательство», которое является общепринятым и по сей день.

Основы современной логической символики были разработаны итальянским математиком Дж. Пеано (1858—1932), чьи интересы, как и Фреге, концентрировались вокруг оснований математики и развития формально-логического языка. Его знаменитый труд «Formulaire de mathematiques», опубликованный в 1894—1908 (в соавторстве), был нацелен на развитие математики в ее целостности, исходя из некоторых фундаментальных постулатов. Логическая запись Пеано была принята, хотя и частично модифицирована, A. ff. Уайтхедом и Б. Расселом в их знаменитой трехтомной «Principia Mathematica» (1910—1913), а затем воспринята Д. Гильбертом. Т. о., бьм введен в употребление во всем мире символический язык, где появляются логические знаки отрицания ~, конъюнкции &, дизъюнкции v, импликации э, кванторов всеобщности V и существования Э.

Создание такого искусственного языка и с его помощью таких объектов, как логические исчисления, строго формализующие различные теории в виде некоторого конечного списка аксиом и правил вывода, означало, что в науке 19 в. возникла потребность в символической логике. В первую очередь это было вызвано потребностями математики, ставившей проблемы, для решения которых средства традиционной логики были непригодны. Одной из таких проблем была недоказуемость 5-го постулата Евклида из остальных постулатов и аксиом в его геометрии. Только с развитием символической логики появился аппарат, позволяющий решать проблему независимости аксиом данной теории чисто логическими средствами.

Основным стимулом развития символической логики в нач. 20 в. была проблема оснований математики. К. Вейерштрасс, Р. Дедекинд и Г. Кантор показали, что в качестве фундамента всей классической математики может рассматриваться арифметика целых чисел. Дедикиня и Пеано аксиоматизировали арифметику, а Фреге дал определение натурального числа как множества всехравномощных множеств. Т о., вся математика сводилась к теории множеств. Однако в 1902 математический мир был потрясен простотой и глубиной парадокса, обнаруженного Расселом в 1-м томе «Оснований арифметики» (Grundgesetze der Arithmetik) Фреге (основной закон V). Ответом на этот и на другие парадоксы теории множеств (см. Парадокс логический) стало возникновение четырех направлений в основаниях математики: логицизм (вся математика может быть дедуцирована из чистой логики без использования каких-либо специфических понятий, таких, как число или множество), интуиционизм (нужна новая логика), теоретиком множественный платонизм в виде аксиоматической теории множеств ZF (вводятся ограничения на образование множеств) (см. Множеств теория) я формантам (программа 1йльберта). Как отмечает Э. Мендельсон: «Какой бы мы, однако, не избрали подход к проблеме парадоксов, следует сперва исследовать язык логики и математики, чтобы разобраться в том, какие в ней могут быть употреблены символы, как из этих символов составляются термы, формулы, утверждения и доказательства, что может и что не может быть доказано, если исходить из тех или иных аксиом и правил вывода. В этом состоит одна из задач математической логики» (Мендельсон Э. Введение в математическую логику. 3-е изд. М., 1984, с. 11). Развитие и применение мощного технического аппарата самой логики в первую очередь относится к программе Гильберта (начиная с 1904), где была поставлена главная задача: найти строгое основание для математики посредством доказательства ее непротиворечивости, т. е. доказательства того факта, что в ней недоказуема никакая формула вида А вместе с формулой -А. Для этого потребовалось развить теорию доказательств (см. Доказательств теория), после чего, считал Гильберт, используя только финитные методы (см. Финитазм), можно будет доказать непротиворечивость теории множеств и самой теории действительных чисел и т. о. решить проблему оснований математики.

Однако результат К. Геделя о неполноте арифметики (1931) убедительно показал, что программа Гильберта невыполнима. Грубо говоря, эта теорема утверждает, что если теория S, содержащая арифметику, непротиворечива, то доказательство непротиворечивости теории не может быть проведено средствами самой теории S, т. е. всякое такое доказательство обязательно должно использовать невыразимые в теории S идеи и методы (вторая теорема о неполноте). Примером тому может служить доказательство непротиворечивости арифметики, предложенное Г. Тени/том (1936).

Обширным полем деятельности для современной символической логики является теория рекурсии, которая в первую очередь имеет дело с проблемой разрешимости: доказуема или нет формула А из некоторого множества посылок. Эти исследования привели к теориям вычислимости, к созданию компьютерных программ автоматического поиска доказательств. Решение проблемы разрешимости (см. Разрешения проблема) явилось основным стимулом для создания теории алгоритмов. Формулировка тезиса Чёрча—Тьюринга (см. Алгоритм), утверждающего, что понятие общерекурсивной функции является уточнением интуитивного понятия алгоритма, явилось важнейшим достижением символической логики. Только после уточнения понятия алгоритма выяснилось, что в хорошо известных разделах математики существуют алгоритмически неразрешимые проблемы.

И наконец, важное место в современной символической логике занимает теория моделей (см. Моделей теория), которая изучает фундаментальные связи между синтаксическими свойствами множеств предложений формального языка, с одной стороны, и семантическими свойствами их моделей, с другой; и вообще, изучаются соотношения между моделями и теориями, а также преобразование моделей. Зачастую модели используются как инструмент для того, чтобы показать, что некоторая формула А не может быть дедуцирована из определенного множества постулатов или, если А есть аксиома, то показать недоказуемость А из остальных аксиом системы, к которой А принадлежит (если это возможно). Тогда А является независимой аксиомой.

Совершенно очевидно, что те впечатляющие результаты, которые были получены средствами символической логики, и в первую очередь в области оснований математики, привели к некоторому пшостазированию функции и предмета самой этой логики. В предисловии к «Handbook of mathematical logic» (1977) Дж. Барвайс пишет: «Математическая логика традиционно подразделяется на четыре раздела: теория моделей, теория множеств, теория рекурсии и теория доказательств». В свою очередь в «Encyclopedia Britanica» (CD-1998), уже применительно к символической логике, четыре указанных раздела названы «четырьмя главными областями исследования». Более точно было бы говорить о применении технического аппарата логики в данных областях, поскольку теория множеств и теория рекурсии сами по себе являются самостоятельными математическими дисциплинами и не являются частью символической логики. Теория доказательств для некоторых математиков-логиков превратилась чуть ли не в «метаматематику» (термин Гильберта), а теория моделей давно вышла за пределы логической семантики. Развитие современной логики показывает, что термин «символическая логика» гораздо шире термина «математическая логика», где под последней понимается изучение тех типов рассуждений, которыми пользуются математики. Символизация и представление различных логических теорий в виде исчислений стало обычным делом и поэтому строго разделить современные логические исследования на относящиеся к символической логике и не относящиеся к ней порой просто невозможно (см. Неклассические логики. Философская логика).

Особенное свойство символической логики заключается в том, что она является рефлексивной наукой. Это означает, что она применяет свои методы и логические средства для анализа и понимания своей собственной структуры. В первую очередь это результаты Геделя (1930) о непротиворечивости и полноте чистой логики, т. е. логики предикатов. Поэтому последняя, являясь весьма богатой по своим выразительным средствам, и лежит в основе большинства теорий. Но средствами этой же логики доказано, что любая достаточно богатая теория, включающая всего лишь арифметику или даже часть ее, неполна, т. е. в ней есть утверждение, которое нельзя ни доказать, ни опровергнуть (первая теорема Геделя о неполноте, 1931). Более того, неполнота арифметики принципиальна, т. е. подобные теории нельзя пополнить, чтобы доказать их непротиворечивость. Итог этой рефлексии сокрушителен! Поставлен вопрос о самом статусе математики: может ли она основываться на глубоко скрытых противоречиях?

Но более того, рефлексия чистой логики над собой достигла к концу 20 в. критической точки и поставила вопрос о статусе уже самой логики, вопрос о том, что такое логика? Дело в том, что в отличие от математики рефлексия чистой логики континуально размножилась. Сейчас мы имеем континуумы различных классов неклассических логик. О единстве символической логики не может быть и речи, столь удивительными и неожиданными свойствами и моделями обладают некоторые представители неклассических логик (см., напр.. Интуиционистская логика, Многозначные логики, Паранепроти«оречивая логика). Происходит структурализация исходных понятий логики и семантики, а именно структурализация самих истинностных значений и точек соотнесения в возможныхмиров семантике в виде различных алгебраических структур. Что приписывается высказыванию? Чем является высказывание? Что собой представляют логические операции над этими высказываниями? Это становится все большей проблемой. Возникает вопрос об иерархии, взаимоотношениях и классификации всех этих логик (что сделать невозможно) или хотя бы их определенных классов. Становится все более ясным, что компьютеры, в основе которых лежит классическая логика, какой бы мощностью они не обладали, никогда не приблизятся к логике человека, создавшего эти компьютеры. Все эти проблемы уже принадлежат 21 веку. В 1936 создана Международная Ассоциация Символической Логики. В том же году начал издаваться самый известный журнал по логике: «The Journal of Symbolic Logic».

Лит.: Математическая логика (Адян С. И.).— В кн.: Математическая энциклопедия, т. 3. M., 1912; Гильберт Д., Бернайс П. Основания математики. Логические исчисления и формализация арифметики: М., 1979; Они же. Основания математики. Теория доказательств. М., 1982; Ершов Ю. Л., Палютин Е.А. Математическая логика. М., 1979; Клики С. К. Введение в метаматематику. М.. 1957; Колмогоров A. ff., ДрагашнА. Г. Введение в математическую логику. М., 1982; Колмогоров А. //., ДрагалинА. Г. Математическая логика. Дополнительные главы. М., 1984: Марков А. А. Элементы математической логики. М., 1984: Мендельсон Э. Введение в математическую логику, 3-е изд. М., 1984: Непеивода H. H. Прикладная логика. Ижевск, 1997; Новиков П. С. Элементы математической логики, 2-е изд. М., 1973; Справочная книга по математической логике, т. 1—4. М., 1982—83; ЧёрчА. Виедение в математическую логику, т. 1. М„ 1960; BochenskiJ. A history of formal logic, 2d. ed. Chelsea, 1970; Church A. A bibliography of symbolic logic. Providence, 1938; Copi 1. М. Symbolic logic, 5th ed. Prentice Hall, 1979: From Dedkind to Godel: Essys on the development f the foundations of mathematics, Ed. J. Hintikka. Dordrecht, 1995; Klenk V. Understanding symbolic logic, 3rd ed., 1994; MostowskiA. Thirty years of foundational studies. Oxf., 1966.

А. С. Карпенко