ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
— рассуждение, устанавливающее истинность к.-л. утверждения путем приведения др. утверждений, истинность которых уже установлена.
В Д. различаются тезис — утверждение, которое нужно доказать, и основание, или аргументы, — те утверждения, с помощью которых доказывается тезис. Напр., тезис «Платина проводит электрический ток» можно доказать с помощью следующих истинных утверждений: «Платина — металл» и «Все металлы проводят электрический ток».
Понятие Д. — одно из центральных в логике и математике, но оно не имеет однозначного определения, применимого во всех случаях и в любых научных теориях.
На полное раскрытие интуитивного, или «наивного», понятия Д. логика не претендует. Д. образуют довольно расплывчатую совокупность, которую невозможно охватить одним универсальным определением. В логике принято говорить не о доказуемости вообще, а о доказуемости в рамках данной конкретной системы или теории. При этом допускается существование разных понятий Д., относящихся к разным системам. Напр., Д. в интуиционистской логике и опирающейся на нее математике существенно отличается от Д. в классической логике и основывающейся на ней математике. В классическом Д. можно использовать, в частности, закон исключенного третьего, закон (снятия) двойного отрицания и ряд др. логических законов, отсутствующих в интуиционистской логике.
По способу проведения Д. делятся на два вида. При прямом Д. задача состоит в том, чтобы найти такие убедительные аргументы, из которых логически вытекает тезис. Косвенное Д. устанавливает справедливость тезиса тем, что вскрывает ошибочность противоположного ему допущения, антитезиса.
Задача Д. — исчерпывающе утвердить истинность тезиса. Этим оно отличается от др. мыслительных процедур, призванных только частично поддержать тезис, придать ему большую или меньшую убедительность.
Нередко в понятие Д. вкладывается более широкий смысл: оно понимается как любой способ обоснования истинности тезиса. Расширительное толкование Д. обычно используется в социальных науках и рассуждениях, непосредственно опирающихся на наблюдения; в процессе обучения, где для подтверждения выдвинутого положения активно привлекаются эмпирический материал, статистические данные, ссылки на типичные в определенном отношении явления и т.п.
Придание термину «Д.» широкого смысла не ведет к недоразумениям, если учитывается, что обобщение, переход от частных факторов к общим заключениям дает не достоверное, а лишь вероятное знание.
Определение Д. включает два центральных понятия логики: понятие истины и понятие логического следования. Оба эти понятия не являются в достаточной мере ясными, и, значит, определяемое через них понятие Д. также не может быть отнесено к ясным.
Многие утверждения не являются ни истинными, ни ложными, лежат вне «категории истины». Оценки, нормы, советы, декларации, клятвы, обещания и т.п. не описывают каких-то ситуаций, а указывают, какими они должны быть, в каком направлении их нужно преобразовать. От описаний требуется, чтобы они соответствовали действительности и являлись истинными. Удачный совет, приказ и т.п. характеризуется как эффективный или целесообразный, но не как истинный. Высказывание «Вода кипит» истинно, если вода действительно кипит; команда же «Вскипятите воду!» может быть целесообразной, но не имеет отношения к истине. Очевидно, что, оперируя выражениями, не имеющими истинностного значения, можно и нужно быть логичным и доказательным. Встает, т.о., вопрос о существенном расширении понятия Д., определяемого в терминах истины. Им должны охватываться не только описания, но и утверждения типа оценок или норм. Задача переопределения Д. пока не решена ни оценок логикой, ни деонтической (нормативной) логикой. Это делает понятие Д. не вполне ясным по своему смыслу.
Единого понятия логического следования не существует. Логических систем, претендующих на определение этого понятия, в принципе существует бесконечно много. Ни одно из имеющихся в современной логике определений логического закона и логического следования не свободно от критики и от того, что принято называть «парадоксами логического следования».
Образцом Д., которому в той или иной мере стремятся следовать во всех науках, является математическое Д. Долгое время считалось, что оно представляет собой ясный и бесспорный процесс. В 20 в. отношение к математическому Д. изменилось. Сами математики разбились на группировки, каждая из которых придерживается своего истолкования Д. Причиной этого послужило, прежде всего, изменение представления о лежащих в основе Д. логических принципах. Исчезла уверенность в их единственности и непогрешимости . Логицизм был убежден, что логики достаточно для обоснования всей математики; по мнению формалистов (Д. Гильберт и др.), одной лишь логики для этого недостаточно, и логические аксиомы необходимо дополнить собственно математическими; представители теоретико-множественного направления не особенно интересовались логическими принципами и не всегда указывали их в явном виде; интуиционисты из принципиальных соображений считали нужным вообще не вдаваться в логику. Полемика по поводу математического Д. показала, что нет критериев Д., не зависящих ни от времени, ни от того, что требуется доказать, ни от тех, кто использует критерий. Математическое Д. является парадигмой Д. вообще, но даже в математике Д. не является абсолютным и окончательным.

Философия: Энциклопедический словарь. — М.: Гардарики. Под редакцией А.А. Ивина. 2004.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
        в логике, процесс (метод) установления истины, обоснование истинности суждения. Термин «Д.» допускает ряд пониманий, отличающихся друг от друга по степеням общности. Однако во всех модификациях понятия Д. отчётливо прослеживаются две противоположные тенденции. Первая обусловлена относительностью и содержат. характером понятия истины, поскольку оно означает соответствие (более или менее точное и полное) некоторой части реальной действительности. Вторая связана с тем, что Д. должно гарантировать истинность тезиса — именно в этом состоит специфика понятия Д., выделяющая его из более широкого класса процедур, которые являются подтверждениями тезисов и могут обладать большей или меньшей степенью убедительности. Понятие Д. должно служить полным подтверждением истинности доказываемого предложения, а потому носить дедуктивный (см. Дедукция) характер; отсюда тенденция ко всё большей формализации понятия Д.
        Противопоставление содержат. и формального аспектов понятия Д. проявляется прежде всего в различии широкого и узкого понимания этого термина.
        Д. в широком смысле — это любая процедура установления истинности к.-л. суждения (наз. тезисом, или заключением, данного Д.) как при помощи некоторых логич. рассуждений, так и посредством чувств. восприятия некоторых физич. предметов и явлений. Именно такой характер имеют Д., обоснования большей части утверждений гуманитарных наук, а в ещё более отчётливой форме — эмпирич. (экспериментальные или основанные на данных наблюдений) Д. в естеств. науках. Хотя все такие Д. включают в качестве составных частей дедуктивные фрагменты — умозаключения, связывающие ссылки на опыт с доказываемым тезисом, их можно считать индуктивными, т. к. здесь имеет место переход от частных посылок к общим заключениям (индукция), совершаемый (в неявной форме) по правилам индуктивной логики.
        Д. в узком смысле, слова, характерные для дедуктивных наук (логики, математики и построенных по их образцу и на их основе разделов теоретич. физики), представляют собой цепочки правильных умозаключений, ведущих от истинных посылок (исходных для данною Д. суждений) к доказываемым (заключит.) тезисам. Истинность посылок не должна обосновываться в самом Д., а должна к.-л. образом устанавливаться заранее.
        Последоват. развитие этой традиц. (идущей от Аристотеля) концепции Д., связанное с аксиоматическим методом, потребовало существ. её уточнения и даже пересмотра. Однако произведённый Гильбертом пересмотр понятия Д. на рубеже 19—20 вв. не был до конца последовательным. В связи с обострившимися проблемами непротиворечивости науч. теорий Гильберт выдвинул программу формализации Д. дедуктивных . теорий, предполагающую не только явное указание всех исходных понятий и исходных предложений (аксиом) каждой данной теории, но л такое же явное указание всех используемых в выводах (в частности, в Д.) этой теории логич. средств. При такой постановке вопроса проблема убедительности (правильности) Д. получает объективный характер. Оказалось возможным представить науч. теорию в виде исчисления, или формальной системы, состоящей из формул, получающихся из формул некоторого исходного запаса (аксиом) посредством чисто механич. применения правил вывода.
        Последоват. формализация понятия Д. открывает возможность передачи некоторых функций человека электронным вычислит. машинам. Однако из этого не следует заключение о возможности сведения всех содержат. аспектов понятия Д. к формальным: правила вывода, хотя они и имеют дело с формальными объектами (формулами), формулируются на содержат. языке, а все проблемы, касающиеся природы формальных исчислений в целом, ставятся и решаются чисто содержат. средствами (см. Метатеория). Именно эти содержат. рассуждения (и содержат. Д.) составляют предмет самой теории Д.
        Более того, было доказано, что задача полной и одновременно непротиворечивой формализации даже таких относительно простых математич. теорий, как арифметика (теория чисел), в принципе неосуществима, так что в них всегда имеется некоторый «неформализуе-мый остаток» (К. Гёдель, 1931). Наконец, никакая формализация дедуктивных теорий не снимает проблемы их интерпретации, т. е. соотнесения с некоторой описываемой ею и внешней для неё реальности, адекватность которого только и может быть в конечном счёте обоснованием истинности теории в целом.
        см. также Интуиционизм, Конструктивное направление.
        Энгельс Ф., Анти-Дюринг, Маркс К. и Энгельс ?., Соч., т. 20; Ленин В. И., Материализм и змпириокритицизм, ПСС, т. 18; Гильберт Д., Основания геометрии, пер. с нем., М.—Л., 1948; Тарский А., Введение в логику и методологию дедуктивных наук, пер. с англ., М., 1948; А с-м у с В. Ф., Учение логики о Д. и опровержении, [M.], 1954; Клини С. К., Введение в метаматематику, пер. с англ., М., 1957; ? о и а Д., Математика и правдоподобные рассуждения, пер. с англ., ?., 19752; Т а к е у т и Г., Теория Д., пер. с англ., М., 1978; Д ? а г а л и н А. Г., Математич. интуиционизм. Введение в теорию Д., М., 1979; Крайзель Г., Исследования по теории Д., пер. с англ., М., 1981.

Философский энциклопедический словарь. — М.: Советская энциклопедия. Гл. редакция: Л. Ф. Ильичёв, П. Н. Федосеев, С. М. Ковалёв, В. Г. Панов. 1983.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО – в самом общем смысле прием, к которому прибегают с той целью, чтобы убедить в правильности тезиса, достоверности познания или – в том случае, если данное положение оспаривается, – еще раз его дополнить и подтвердить. Строгое, или дедуктивно е, доказательство (демонстрация) имеет место в том случае, если данное высказывание подтверждается положениями (основания доказательства, аргументы), которые признаются истинными, так что утверждаемое следует из них как вывод из логического умозаключения. Если такое доказательство оказывается невозможным, то следует сделать обратное, т.е. привести в качестве оснований доказательства факты, вытекающие из данного тезиса как его частные случаи, – индуктивное доказательство. Если же речь идет только или о правильности, или о ложности данного тезиса, а не об отсутствии возможности выбора между этими двумя тезисами, то далее может быть сделана попытка доказать противоположное данному тезису или опровергнуть то, что затем служит основанием для опровержения или доказательства последнего, – косвенное доказательство. Противоположностью доказательства является опровержение; оно состоит в том, что в отношении предмета, о котором что-то утверждается, приводятся факты, из которых это утверждение не может быть выведено. Ошибки доказательства могут состоять: 1) в неясности тезиса, который должен быть доказан; 2) в неправильности или ненадежности приведенных оснований доказательства; 3) в формальной неправильности выведения следствия. Наиболее известные ошибки доказательства суть следующие: Гистеронпротерон, Circulus vitiosus, Petitio principii, Ignoratio elenchi, Proton pseudos и Quaternio terminorum . От этих ошибок следует отличать: ошибочное умозаключение, логическую уловку и неправильное умозаключение.

Философский энциклопедический словарь. 2010.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
процесс установления объективной истины посредством практических и теоретических действий (и средств). Целостного понимания (понятия) Д. нельзя выработать ни в рамках онтологии, ни в рамках гносеологии, ни в рамках логики, понимаемых в их традиционном смысле. Каждая из этих "дисциплин" старой теоретической философии способна дать и дает лишь одностороннее представление о нек-рых внешних аспектах, чертах, сторонах Д., к-рые отрываются от других и абсолютизируются. Решение проблемы здесь отсутствует. Диалектика как теория познания и логика, отбрасывая искусственную обособленность логических, гносеологических и онтологических подходов, не выносит (как это может показаться при поверхностном взгляде) вопрос о Д. за круг рассматриваемых ею проблем. Диалектическая логика, как наука об истине, не может не интересоваться, каким способом доказываются истины, открываемые в ходе диалектического исследования. Она считает, что эти истины не могут доказываться какими-то другими способами, помимо диалектики, ибо Д. не есть нечто внешнее по отношению к знанию. Все, что не является чем-то понятным само собой, "...нуждается в выведении и доказательстве" (Маркс К. и Энгельс Ф., Соч., 2 изд., т. 2, с. 88). Однако диалектический материализм отвергает ненауч. представление о Д. как о процедуре "выведения" одних высказываний (или предложений) из других, принятых за "истинные" до и независимо от какого бы то ни было "доказательства". Ибо такое толкование Д. в конце концов приводит к тому, что основание Д. усматривается в доводах субъективистски трактуемой интуиции. Такое понимание Д. по существу сводит Д. к простой процедуре преобразования языковых операций, в к-рых выражено знание, без какого бы то ни было изменения (приращения) этого знания по содержанию, по существу, т.е. к процедуре формального преобразования информации. Марксистская философия рассматривает Д. не как тавтологическое выведение, а как синтетическое выведение, к-рое не остается в сфере уже достигнутого знания, но с каждым шагом обогащает его. Так понимаемое Д., включая в себя разрешение диалектических противоречий, рационально осуществляет процесс выработки новых понятий в ходе восхождения от абстрактного к конкретному. "...Это поступательное движение характеризуется тем, что оно начинается с простых определенностей и что следующие за ними становятся все б о г а ч е и к о н к р е т н е е. Ибо результат содержит в себе свое начало, и движение последнего обогатило его некоторою новой определенностью... На каждой ступени дальнейшего определения всеобщее поднимает выше всю массу его предшествующего содержания и не только ничего не теряет вследствие своего диалектического поступательного движения и не оставляет ничего позади себя, но несет с собой все приобретенное, и обогащается и уплотняется внутри себя..." (Ленин В. И., Соч., т. 38, с. 223–24). Здесь Д. состоит не в оправдании уже полученных ранее результатов post factum, а само имманентно процессу их получения, в к-ром они и обладают подлинной истинностью (см. Истина, раздел Истина и принцип совпадения диалектики, логики и теории познания). Само исследование доказательно, поскольку оно движется по логике предмета и лишь воспроизводит ее. В марксистской философии, к-рая подходит к процессу установления объективной истины с точки зрения диалектически противоречивого отношения между содержанием и формой мышления, между субъективным и объективным, теоретическим и практическим, категория Д. предполагает прежде всего содержательный подход. Диалектический подход к Д. избавляет познание от ошибок, к-рые не могут быть обнаружены средствами одной лишь формальной логики. Стремление доказывать тезисы путем одного лишь выведения их из общих истин по правилам формальной логики, без учета конкретного содержания рассматриваемой области, Ленин не случайно охарактеризовал как опошление диалектич. материализма.
Ограниченность понимания Д. как выведения из доказанного видна, в частности, из того, что в этом случае остается открытым вопрос об истинности исходных положений.
Недостаточность такого подхода видна также из неразрешимости в пределах формальной логики логич. антиномий, к-рые начиная с Зенона Элейского доставляли немало трудностей философам и логикам. Напр., Кант в своем учении об антиномиях признал их неразрешимыми для логики рассудка (к-рая для него есть только формальная логика), а их разрешение отнес к области диалектики. Диалектическая логика в качестве теории мышления есть вместе с тем учение о Д. объективной истины, к-рая как содержание и результат познавательного процесса есть единство противоположностей (объективного и субъективного, абстрактного и конкретного, абсолютного и относительного, одностороннего и всестороннего и т.д.). С точки зрения диалектической логики Д. не следует противопоставлять исследованию, т.к. исследование является диалектическим лишь тогда, когда каждый его новый шаг является в то же время новым шагом в Д. истинности как конечных выводов теории, так и положений, принятых в качестве ее исходных оснований. Начиная с установления единства противоположностей, диалектич. исследование идет через раздвоение единого на противоположные части, через движение в рамках этих противоположностей, через изучение их развития во всей его сложности, – при обязательной проверке фактами, практикой правильности каждого шага анализа (см. В. И. Ленин, Соч., т. 38, с. 316); исследование всех основных противоречивых тенденций, движущих познаваемую вещь, и их отношений на данной ступени развития приводит к Д. необходимости существования данной вещи и к установлению истинности высказанных положений и выводов о ней. Такое Д. через выявление единства противоположностей выступает как процесс, как результат данного процесса (т.е. конечный пункт и цель данного цикла диалектич. анализа) и как исходный пункт следующего. Поэтому материалистич. диалектич. логика выступает не только как метод исследования истины, но и как метод ее Д. Единство этих сторон нашло свое воплощение в логике "Капитала" (см. "Капитал", раздел Логика "Капитала"), к-рый подавил "громадной доказательностью изложения" (Ленин В. И., Соч., т. 1, с. 116). Народники обвиняли автора "Капитала" в том, что он якобы все доказывает триадами, тогда как "...Маркс никогда и не помышлял о том, чтобы "доказывать" что бы то ни было гегелевскими триадами" (там же, с. 146). Маркс "...только изучал и исследовал действительный процесс". "...Единственным критерием теории признавал верность ее с действительностью" (там же); "... о б ъ е к т и в н ы м анализом капиталистического строя доказывал он н е о б х о д и м о с т ь его превращения в социалистический" (там же, с. 141), показывая при этом мистицизм Гегеля и младогегельянцев, для к-рых "...результат действительного развития есть не что иное, как д о к а з а н н а я, т.е. доведённая до с о з н а н и я , и с т и н а" и для к-рых история существует "... для того, чтобы существовало д о к а з а т е л ь с т в о истин" (Маркс К. и Энгельс Ф., Соч., 2 изд., т. 2, с. 86). Ленин соглашается с Гегелем, что мышлению нужны не "достаточные" основания (в смысле традиционной формальной логики), а основания, доказывающие истинность знания о той или иной вещи необходимостью ее возникновения и развития, доводами, к-рые являются выражением ее сущности.
С т. зр. диалектич. логики несостоятельно также противопоставлять Д. истины ее открытию. Если рассматривать открытие как установление места того или иного факта или закономерности в общей системе положений данной теории, то открытие совпадает с диалектически понимаемым Д. истинности этого положения. Суть диалектич. Д., применяемого Марксом в "Капитале", Энгельс видит в том, что "...самые замысловатые экономические проблемы выясняются просто и почти наглядно благодаря только тому, что они ставятся на надлежащее место и правильную связь" (Маркс К. и Энгельс Ф., Письма о "Капитале", 1948, с. 121). С т. зр. Энгельса сделать открытие – значит правильно установить надлежащее место нового факта в системе теории в целом, а не просто обнаружить его (см. "Диалектика природы", 1955, с. 27, 186). Науч. теория доказательна тогда, когда она берется в целом, имея в виду соотношение всех частей целого, их специфич. функций в общей системе теории. Ленин исходил из такого понимания Д. в своей теоретич. борьбе с идеологич. противниками марксизма. Народники, напр., пытались следующим образом доказать неприменимость марксистской теории к русской действительности. Они принимали марксистский тезис о том, что существование и развитие внутр. рынка необходимы для развития капитализма, но затем выставляли ошибочный аргумент: в России из-за обнищания населения и снижения его покупательной способности, к-рые обусловлены самим развитием капитализма, не может образоваться внутр. рынок; отсюда они делали вывод: в России капитализм не развивается. Для того чтобы опровергнуть это рассуждение и доказать, что капитализм в России развивается, Ленин в труде "Развитие капитализма в России" доказывает, что внутр. рынок в России складывается уже давно, и показывает, как происходит этот процесс. При этом он не ограничился косвенным Д. – "... разбором ошибок и неправильностей во взглядах противников"; он также считал "... недостаточным для ответа на поставленный вопрос привести факты, говорящие об образовании и росте внутреннего рынка, ибо могло бы являться возражение, что такие факты выбраны произвольно и опущены факты, говорящие против". Для опровержения взглядов народников и Д. истинности марксистского тезиса Ленин считал "...необходимым рассмотреть и попытаться изобразить весь процесс развития капитализма в России в его целом" (Соч., т. 3, с. 3).
С т. зр. материалистич. диалектич. логики одного теоретич. Д. недостаточно, так же, как недостаточно одного практич. Д., взятого совершенно независимо от теории; Д. истины достигается только в единстве логич. и практич. Д., в совокупном ходе науч. исследования, конкретного (индуктивного и дедуктивного) анализа действительности, ибо науч. Д. необходимо должно включать способ "...проверки всего фактами, событиями, уроками всемирной истории" (там же, т. 27, с. 75–76). Основными принципами Д. с точки зрения Ленина являются: а) последовательно проведенный материализм, т.е. установление объективной истинности результатов исследования, а также аргументов – фактов или законов, доказывающих тезис; б) последовательно проведенная диалектика, дающая ответ на вопросы: как собрать факты, как установить их связь и взаимозависимость, как из них вывести аргументацию, как доказать объективную истинность тезиса. "Истинная диалектика ...изучает неизбежные повороты, доказывая их неизбежность на основании детальнейшего изучения развития во всей его конкретности" (там же, т. 7, с. 380). На вопрос: когда факты имеют безусловно доказательную силу, Ленин отвечает, что "факты, если взять в их ц е л о м, в их с в я з и, не только "упрямая", но и безусловно доказательная вещь", ибо они тогда представляют выражение определ. объективных законов. Следовательно, в Д. истины "необходимо брать не отдельные факты, а в с ю совокупность относящихся к рассматриваемому вопросу фактов, б е з е д и н о г о исключения, ибо иначе неизбежно возникнет подозрение, и вполне законное подозрение, в том, что факты выбраны или подобраны произвольно, что вместо объективной связи и взаимозависимости исторических явлений в их целом преподносится "субъективная" стряпня для оправдания, может быть, грязного дела. Это ведь бывает... чаще чем кажется" (Соч., т. 23, с. 266–67).
Д. истинности знания нельзя искать только в рамках мышления и его законов. В Д. должны принимать участие и теория, и практика, ибо каждая из них, в сущности, содержит в себе свою противоположность: практика выступает вместе с тем как опредмеченная теория, а теория – как "одухотворенная" практика, поскольку в каждой научной теории накоплен практич. опыт поколений людей. Д. истинности теории имеет две важные стороны. Первая сторона состоит в том, что всякая новая теория в своих выводах опирается на уже доказанные науч. положения, на ранее установленные законы и принципы. Поскольку, однако, и для предшеств. науч. теорий их Д. практикой являлось решающим в установлении их истинности, постольку такое, казалось бы, чисто теоретич. Д. истинности данной теории уже содержит в себе практику как существенный элемент Д. Кроме того, следует иметь в виду, что логич. принципы, к-рые используются при выведении положений новой теории, также связаны с практикой. Др. стороной Д. является то, что всякое Д. той или иной теории, даже носящее практич. характер, не может осуществляться совершенно обособленно от теории; всякое практическое (напр., экспериментальное) Д. покоится на нек-рых предварительно построенных и практически примененных теоретич. законах и принципах, так что ни одно планомерное практич. Д. не начинается на голом месте, а исходит из нек-рой, более или менее верной теории. Однако единство практич. и теоретич. Д. нельзя представлять упрощенно – как просто соединение практич. проверки с выполнением формально-логич. принципов. На деле соединение практики и теоретич. мышления выступает как сложный диалектически противоречивый процесс, к-рый нельзя сводить к требованию формально-логич. непротиворечивости. Необходимо четко отличать диалектич. противоречия от противоречий неправильного рассуждения (формально-логич. противоречий). Смешение последних с диалектич. противоречиями приводит к необоснованному требованию запрета диалектич. противоречий в мышлении на том основании, что формальная логика устанавливает невозможность одновременной истинности суждения и его отрицания. Опираясь на такое смешение, кантианцы отвергали "Капитал" Маркса, особенно его теорию прибавочной стоимости, существенно использующую то, что различные моменты одной и той же действительности могут стоять друг к другу в противоречивых отношениях и что выражением этого в мышлении являются диалектические противоречия в теоретических определениях, в совмещении тезиса и антитезиса на одной основе и т.п.
Научное Д. предполагает внутреннее единство теоретического и практического. В конечном счете "в практике должен доказать человек истинность, т.е. действительность и мощь, посюсторонность своего мышления. Спор о действительности или недействительности мышления, изолирующегося от практики, есть чисто схоластический вопрос" (Маркс К., см. Маркс К. и Энгельс Ф., Соч., 2 изд., т. 3, с. 1–2).
Й. Элез. Москва.
В формальной логике Д. представляет собой обоснование истинности какого-либо суждения или системы суждений, теории или какого-либо ее фрагмента.
Следует различать Д. в широком и узком смыслах. Д. в широком смысле – это любая процедура установления истинности к.-л. суждения (суждений) как с помощью логич. рассуждений, так и посредством одного лишь восприятия и узнавания объектов, действующих на органы чувств людей, и ссылки на такое восприятие. Д. в узком смысле – это такое оправдание истинности суждения (или системы суждений), к-рое включает какие-либо рассуждения; оно состоит прежде всего в установлении отношения логического следования доказываемого суждения (суждений) из некоторых исходных суждений, истинность которых уже была установлена в предшествующем познании; исходные суждения данного Д. называются его п о с ы л к а м и, или основаниями, или аргументами, или доводами, а то суждение (или система суждений), обоснование истинности которого является его целью, – т е з и с о м Д., или его з а к л ю ч е н и е м; именно в этом узком смысле понимается термин "Д." в формальной логике.
Всякое Д. состоит из системы логически правильных (т.е. всегда из истины порождающих истину) умозаключений (в частном случае, из одного акта умозаключения) и может быть обычно представлено в виде последовательности суждений (высказываний, предложений), из к-рых одни связаны с другими шагами (правильных) умозаключений или, иначе, шагами применения правил логич. вывода; в числе суждений в такого рода последовательности имеются аргументы Д., а завершается она доказываемым тезисом. Необходимым признаком всякого (верного) Д., в отличие от вывода, является истинность его посылок; Д. есть вывод из доказанных – и вообще тем или иным способом оправданных в качестве истинных – суждений. Д. – важнейший элемент всякой науки, стремящейся к доказанности своих суждений, теорий, учений. Для одного и того же тезиса могут быть даны различные Д.; чтобы убедиться в истинности тезиса, достаточно располагать хотя бы одним его Д.
Способы построения Д. развивались вместе с развитием человеч. мышления и особенно науч. познания. При этом сложились большие различия между доказательствами в тех или иных областях научного мышления, а также мышления, связанного с деятельностью людей в различных сферах обществ. жизни и производства. Эти различия находят выражение в разном характере (не только по содержанию, но и по логич. форме) оснований и тезисов Д.; в различии тех видов умозаключений, к-рыми пользуются в Д.; в разном характере тех абстракций, на к-рых основываются Д.; в различной роли в Д. данных чувственного опыта. С т. зр. участия опыта в Д. из всей области науч. познания, естественно, выделяются науки, в к-рых опытные данные используются непосредственно – в виде суждений, оправданных посредством чувств. восприятия, и науки, в к-рые опытные данные входят не в виде эмпирически оправданных посылок, а в обобщенной, отвлеченной и идеализированной форме, вместе с теми абстрактными понятиями, к-рые фигурируют в Д. этих наук. К числу наук последнего рода можно отнести математику, современную формальную (т.е. символическую) логику, нек-рые области кибернетики (напр., теорию абстрактных автоматов) и теоретической физики. В число наук первого рода входят естественные науки: основанные на экспериментах разделы физики, химические науки, биология, геология, астрономия и др., а также науки об обществе, такие, как археология, всеобщая история и пр. Среди посылок Д. в этих науках, помимо суждений, выражающих уже познанные законы данной области действительности, обязательно имеются (и играют важнейшую роль) суждения непосредственного восприятия (выражающие, напр., показания тех или иных научных приборов). Д., опирающиеся на опыт не только косвенно (через посредство основных понятий данной области знания), но требующие, кроме того, прямого использования в Д. суждений непосредственного восприятия, наз. эмпирическими, или опытными. Прямое включение опытных данных в Д. происходит обычно в ходе систематически организованных науч. наблюдений и экспериментов; наблюдения играют ведущую роль в Д. таких наук, как астрономия или языкознание, эксперименты – в эмпирических Д. физич. и химич. наук; опытные Д., основанные на эксперименте, наз. экспериментальными.
Эмпирические Д. могут служить обоснованию как обобщающих заключений, так и суждений о единичных явлениях. Опытные Д. обобщающих заключений обычно входят в класс индуктивных Д., т.е. таких Д., в к-рых обобщение связано с использованием индукции (см. Логика индуктивная). Однако индуктивное Д. (именно доказательство, а не просто рассуждение, претендующее на правдоподобность), как правило, в той или иной форме включает и дедуктивные умозаключения (см. Дедукция); фактически всякое более или менее сложное эмпирическое Д. строится на основе тесного переплетения индуктивных и дедуктивных умозаключений, что бывает зачастую связано с использованием гипотез в ходе Д. В науках, непосредственно опирающихся на данные опыта, используются также и Д., к-рые исключительно (или почти исключительно) состоят из дедуктивных умозаключений (д е д у к т и в н ы е Д.). Часто тезис, для к-рого найдено основанное на наблюдении и эксперименте индуктивное Д., затем доказывают дедуктивно, посредством выведения его из ранее установленных законов, тем самым включая его в общую систему истин данной науки. Кроме того, следует иметь в виду, что разделение Д. на индуктивные и дедуктивные является неполным, потому что существуют такие Д., к-рые затруднительно отнести к одной из этих групп.
Д. различаются также по тому, чтo с логич. т. зр. представляет собой тезис: (а) является ли он суждением (системой суждений) о единичном объекте (факте, событии) или (б) содержит утверждения всеобщего характера и утверждения о с у щ е с т в о в а н и и объектов, обладающих нек-рыми свойствами или находящихся в нек-рых отношениях к др. объектам; в случае (б) в доказываемом суждении (суждениях) имеются обычно т.н. кванторные слова и выражения, служащие для передачи всеобщности и существования (см. Кванторы). В науках, использующих в качестве оснований Д. суждения непосредственного восприятия, тезисом Д. часто служат суждения о единичных фактах (единичные тезисы). Д. единичных тезисов имеет важное значение в таких науках, как география, геология, науки об истории природы и общества (палеонтология, всеобщая история и др.). Д. тезисов, содержащих утверждения всеобщности, имеет важнейшее значение в любой отрасли знания, – в том числе и там, где видное место занимают Д. единичных тезисов, – определяемое тем, что всякий закон выражается суждениями, содержащими всеобщие высказывания. Необходимыми в познании являются и Д. тезисов, содержащих высказывания о существовании (Д. существования). В науках, основанных на прямом использовании данных опыта, Д. существования родственны Д. единичных тезисов и состоят обычно в предъявлении объектов (явлений, событий), обладающих соответствующими свойствами и отношениями; такое предъявление всегда, фактически, включает логич. рассуждения (напр., удостоверяющие, что найденный конкретный предмет имеет все те свойства и отношения, к-рые должен иметь объект, существование к-рого доказывается), почему и должно считаться логич. Д. Особый вид Д. составляют Д., в к-рых истинность суждения устанавливается путем удостоверения надежности того источника (летопись, офиц. документы, свидетельства современников и пр.), из к-рого оно первоначально было почерпнуто, и обоснования того, что в процессе (быть может длительной и сложной) передачи нам этого, возникшего как истинное, суждения в него не вкрались искажения, существенно меняющие его первоначальный смысл; такие Д. – необходимое средство исследоват. работы, напр. в историч. науке.
От Д. наук, непосредственно опирающихся на данные опыта, отличны Д. в математике, математич. логике, теоретич. физике и др. дисциплинах, наз. дедуктивными н а у к а м и. Это различие связано с тем, что в этих науках непосредственным предметом рассмотрения являются не чувственно воспринимаемые вещи, а т.н. а б с т р а к т н ы е о б ъ е к т ы, т.е. абстрактные понятия, ставшие самостоятельным предметом исследования; примером абстрактных объектов могут быть, напр., математич. абстракция точки (не имеющей физич. размеров), абстракции идеально точных геометрич. фигур, абстракции чисел различных числовых областей, абстракции бесконечных множеств разных "порядков" и т.п.; системы таких абстрактных понятий являются результатом специфических для дедуктивных наук способов абстрагирования. В недедуктивных науках абстрагирование носит преимущественно одноступенчатый (однократный) характер; результатом абстрагирования являются понятия, обычно непосредственно отвлеченные от чувственно воспринимаемых вещей и используемые для изучения этих вещей; наиболее распространенным способом абстрагирования в этих науках является установление отношений различия и тождества (одинаковости) среди конкретных вещей и последующее отождествление одинаковых предметов. Такой способ абстрагирования, наз. абстракцией отождествления, широко используется и в дедуктивных науках. Абстракция отождествления есть, по существу, предпосылка любого Д., т.к., во-первых, она всегда так или иначе участвует в образовании понятий, фигурирующих в данном Д., а, во-вторых, используется непосредственно в самом Д., поскольку в нем приходится различать и отождествлять входящие в него понятия и суждения (по их языковым выражениям). Однако в дедуктивных науках эта абстракция часто применяется повторно: к результату предшествующего этапа абстрагирования снова применяется абстракция отождествления (абстракция от абстракций) и т.д. Кроме того, в отличие от недедуктивных наук, в математике, теоретич. физике и др. науках широко используется идеализация, порождающая такие понятия, как "идеально черное тело", "материальная точка" и т.п., прообразы к-рых среди реальных вещей могут быть указаны лишь с тем или иным приближением. Наконец, существуют специфические для математики и логики способы абстрагирования, такие, как абстракция потенциальной осуществимости и абстракция актуальной бесконечности, позволяющие говорить о конечных конструкциях произвольной сложности и о таких своеобразных объектах, как бесконечные множества. Особенности абстрагирования в дедуктивных науках приводят к тому, что рассматриваемые в них объекты не обладают чувственной наглядностью (такая наглядность привлекается лишь для иллюстрации рассматриваемых в этих науках отношений, а также как средство догадаться о таких отношениях); объекты, о к-рых идет речь в таких дедуктивных науках, как математика и логика, часто называют в этой связи неспецифицированными объектами (в отличие от специфи-цированных объектов, изучаемых в естественных и др. науках). Описанный характер объектов в дедуктивных науках препятствует использованию в Д. этих наук суждений непосредственного восприятия. Уже по этой причине в дедуктивных науках, по крайней мере в настоящее время, не могут применяться опытные индуктивные Д. Из обществ. наук преимущественно дедуктивную форму носят Д. в политич. экономии.
Д. в дедуктивных науках обычно могут быть организованы в аксиоматич. систему (см. Метод аксиоматический). Такая организация системы Д. в этих науках связана с тем, что среди посылок здесь отсутствуют суждения об опытных данных; поэтому для того чтобы процесс доказывания предложений (теорем) этих наук не уходил "в бесконечность" (ведь посылка каждого данного Д., – если не считать используемые в нем определения понятий, к-рые также можно рассматривать в качестве оснований Д. и как таковые считать доказанными, – должна быть в свою очередь доказана, и т.д.), приходится принимать нек-рые предложения в качестве аксиом. Всякое Д. в дедуктивных науках может быть представлено как вывод следствия из аксиом. Это выведение происходит с помощью дедуктивных умозаключений, а также с помощью различных видов математич. индукции. Математич. индукция является индуктивным умозаключением в том смысле, что приводит к обобщающим заключениям; но т.к. это обобщение связано с "пересмотром" бесконечного множества абстрактных объектов, оно вынуждено опираться на нек-рый общий принцип; поскольку принцип математич. индукции формализуется в виде аксиомы, применение математич. индукции не выводит за пределы дедуктивной теории.
При всем различии между эмпирич. Д. и Д. в дедуктивных науках оба типа Д. в познании вступают во взаимосвязь друг с другом. Эта взаимосвязь проявляется, в частности, в том, что во многих науках, основанных на непосредственном использовании данных наблюдения и эксперимента, имеются разделы, строящиеся дедуктивно. Как правило, в этих разделах применяются математич. средства. Значение дедуктивных фрагментов, а значит и способов Д., типичных для дедуктивных наук, в недедуктивных науках особенно возросло за последние десятилетия. В таких науках, как экономика, лингвистика, генетика, конкретные социологич. исследования, внедрение способов Д., характерных для дедуктивных наук, происходит часто путем построения математич. или логико-математич. моделей тех явлений, к-рые изучаются в данной области знания. С др. стороны, в чисто дедуктивных науках (математика, логика) в связи с развитием вычислит. математики и созданием информационно-логич. и управляющих машин открываются неизвестные здесь ранее возможности получения новых результатов посредством экспериментирования с машинами (математич. эксперимент).
Связь Д. с практикой состоит в том, что человеч. опыт – источник суждений непосредственного восприятия, играющих такую важную роль в эмпирических Д., – приобретается людьми в процессе активного взаимодействия с природными явлениями и др. людьми, а также в том, что доказанные наукой результаты становятся средством предвидения, руководством в самых различных сферах общественно-производств., технич. и др. деятельности людей, получая, т.о., прямую проверку на практике. Связь Д. с практикой, особенно наглядная в экспериментальных науках, имеется и в случае наук дедуктивных. Она осуществляется через употребляемые и изучаемые в дедуктивной науке абстрактные понятия; абстрактные объекты, с к-рыми здесь оперируют, сводятся (обычно через ряд переходных ступеней абстрагирования) к абстракциям, уже непосредственно связанным с чувственно-практич. деятельностью людей; часто такой исходной абстракцией является абстракция отождествления, в конечном счете возникающая из оперирования с реальными вещами. С этим связано то, что оперирование с математич. объектами может в ряде случаев носить непосредственно очевидный и своеобразно- наглядный характер или, как часто говорят в математике, быть интуитивно у б е д и т е л ь н ы м (интуицию в этом смысле не следует смешивать с интуицией в смысле Бергсона, см. Интуитивизм). Связь дедуктивных наук с практикой происходит далее через интерпретацию теории в терминах реальных процессов, совершающуюся при приложении ее к решению тех или иных практич. задач. Такая интерпретация состоит, по сути дела, в исключении абстрактных о б ъ е к т о в, фигурирующих в доказанных предложениях (теоремах) данной теории, посредством нахождения (иногда приближенного) таких реальных вещей или явлений – представителей этих абстрактных объектов, к-рые удовлетворяют установленным в теоремах соотношениям. Эффективность практич. приложений теории является подтверждением верности как теории в целом, так и тех Д., из к-рых она состоит. В случае, когда теория соединяет эмпирич. материал с его дедуктивной обработкой, часто применяется т.н. феноменологический метод, состоящий в выведении следствий из системы допущений (постулатов) теории и прямого сопоставления их с наблюдаемыми фактами; если практика наблюдений и экспериментов подтверждает следствия, теория считается доказанной.
Целью Д. является установление несомненной, непреложной истинности тезиса его д о с т о в е р н о с т и. Однако достоверность суждения, обоснованного посредством Д., не носит безусловного характера. В большинстве случаев доказанное суждение представляет собой лишь относительную истину. Относительность истинности доказанных суждений вытекает уже из того, что основания Д., – это особенно ясно видно в науках, непосредственно опирающихся на данные опыта, – лишь приблизительно верно отражают действительность, т.е. в свою очередь являются относит. истинами. Относительность истинности суждений, фигурирующих в Д., – как оснований, так и тезиса Гно– с логич. т. зр. имеет своим источником приближенный характер отражения действительности в той системе понятий, в рамках к-рой строится данное Д. Истинность тезисов, доказанных с использованием нек-рой системы понятий, ограничена сферой применимости последних, определяемой характером абстрагирования и идеализации, примененных при их образовании, и вообще применяемыми способами их введения в науку. Это особенно важно иметь в виду при рассмотрении Д. в математике и логике, претендующих на максимальную достоверность, такую, при к-рой возможность сомнения в истинности доказываемого суждения обычно практически исключена, по крайней мере для совр. человека. Имея в виду эту черту Д. в математике и логике, их иногда наз. "абсолютными". Но и в математич. и в логич. Д. входит момент относительности: его вносят прежде всего абстракции отождествления, потенциальной осуществимости и актуальной бесконечности, а также использование идеализации при образовании математич. понятий. Существующие в основаниях математики и логики дискуссии о допустимости абстракции актуальной бесконечности (см. Интуиционизм, Конструктивная логика), а также возникновение критики идеи потенциальной осуществимости связаны с различной оценкой многими учеными нек-рых видов Д. в дедуктивных науках (так, интуиционисты и сторонники конструктивного направления отказываются от так называемых чистых Д. существования, в то время как сторонники классической математики и логики считают эти Д. допустимыми) и даже целых разделов математики (отрицание интуиционизмом и конструктивным направлением теории множеств Кантора). Относительность истин, извлекаемых посредством Д., выражает относительность критерия практики.
Достоверность заключения Д. предполагает, что оно с логич. необходимостью следует из достоверных оснований. Известно, однако, что в науке большое место занимают рассуждения, в к-рых заключение следует из оснований (даже достоверных) лишь с той или иной степенью правдоподобия. Такой характер, в частности, носят многие рассуждения, в к-рых используется неполная индукция и аналогия. В случае, когда правдоподобность рассуждений достаточно велика, становится затруднительно провести четкую границу между ними и рассуждениями, дающими достоверное заключение. Это затруднение объясняется, с одной стороны, трудностью точного определения понятия Д., предполагающего полное и строгое описание логич. средств, могущих быть использованными в ходе рассуждения, а с др. стороны – сложностью проблемы определения степени правдоподобия суждения (см. Вероятностная логика). Однако практика науки свидетельствует о том, что в областях знания, основанных на непосредственном использовании опытных данных, часто встречаются рассуждения, дающие заключения, правдоподобие к-рых практически приближается к достоверности и даже сливается с ней. Такие рассуждения естественно отнести к Д. (что и предполагалось выше в настоящем изложении). Достоверный (или практически приближающийся к достоверному) характер придают тезисам такие Д., как обоснование посредством "перекрестного опыта"; многие опытные индуктивные рассуждения, включающие в себя дедуктивные выводы из доказанных ранее законов; феноменологич. Д. естественнонауч. теорий; Д., основанные на изучении источников происхождения суждения или состоящие в констатации наблюденных событий и т.д.
Д., как обоснование истинности тезиса, следует отличать от о т к р ы т и я истины, включающего возникновение гипотезы, более или менее оправданной догадки об истинности тезиса, общей идеи о способе его Д. и т.п. Д. может быть весьма тесно связано с процессом открытия, но оно может быть и отграничено от него. В опытных науках Д. часто непосредственно связано с открытием. Напр., эксперимент, приводящий к раскрытию нек-рой закономерности (производимый обычно на основании к.-л. теории), как правило, выступает и как Д. истинности суждения, выражающего эту закономерность. Д. и открытие, в общем, совпадают и тогда, когда сопоставление и анализ имеющихся научных данных (напр., уравнений нек-рого математически обработанного раздела естествознания) приводит к выведению таких следствий из них, к-рые выражают ранее не известные зависимости между изучаемыми явлениями. В случае, когда процесс открытия вместе с тем является и процессом построения Д., рассуждение обычно идет от установленных наукой суждений как оснований через ряд следствий к доказываемому тезису. Д., характеризующееся ходом рассуждения от оснований к тезису, наз. п р о г р е с с и в н ы м.
В случае, когда Д. и открытие в общем не совпадают, тезис будущего Д. появляется сначала в виде вероятного предположения, вслед за чем возникает проблема отыскания его Д. Так часто бывает, напр., в математике, где в процессе открытия видную роль играют неполная индукция и аналогия, т.е. те логич. средства, к-рые не допускаются в математич. Д. Одним из способов отыскания Д., особенно в дедуктивных науках, является рассмотрение доказываемого тезиса с целью нахождения таких истинных суждений, из к-рых он логически следует. Такой способ рассуждения еще со времени др.-греч. математики получил название а н а л и з а. Д., в к-ром рассуждение идет от рассмотрения тезиса к отысканию его оснований, называется также р е г р е с с и в н ы м . После того как осуществлено регрессивное (аналитическое) построение Д., всегда может быть построено соответствующее прогрессивное, или синтетическое, Д. (см. Синтез).
Поскольку в построении наук придерживаются достаточного основания принципа, постольку можно сказать, что понятия истины и Д. связаны в них следующим образом: истина есть результат потенциально осуществимого Д.
Важнейшим свойством (правильного) Д. является его у б е д и т е л ь н о с т ь. Именно на Д. (в самом широком смысле этого слова) должна быть основана у людей любая уверенность в истинности соответствующих суждений. Этим, в частности, объясняется значит, место Д. вне науки: в педагогич. процессе, в судебной практике, в политич. борьбе, дипломатии и т.п.. Так, напр., доказательность, убедительность – важные требования, к-рым должно удовлетворять решение или приговор суда. Приемом, к-рый часто заменяет Д., является ссылка на а в т о р и т е т. Чтобы служить действительным эквивалентом Д., такая ссылка должна предполагать, что те, к кому она обращена, имеют возможность (быть может, при выполнении некоторых условий, например, после овладения необходимыми знаниями) проверить соответствующее суждение посредством рассмотрения (или построения) его Д. Доказательное значение ссылки на авторитет не может превосходить доказательной силы того рассуждения, которым этот авторитет пользуется для обоснования рассматриваемого суждения.
Термин "Д." употребляется часто в смысле, отличном от его логич. значения. Часто, напр., рассуждения, по сути дела бездоказательные, но направленные на то, чтобы вызвать у др. людей убеждение в ч.-л., тоже наз. Д. В др. случаях Д. наз. такие обстоятельства или факты или же свидетельства об обстоятельствах или фактах, из к-рых выводится то или иное заключение. Так, в юриспруденции Д. ("судебными Д.") наз. свидетельские показания, заключения экспертизы, т.н. вещественные Д. (напр., предметы, могущие быть уликами совершенного преступления) и пр.; что же касается Д. в логич. смысле, т.е. рассуждения, имеющего целью обоснования истины по данному судебному делу (проводимое сторонами, участвующими в судебном процессе), то оно называется д о к а з ы в а н и е м. Подобная терминология применяется и вне юридической науки: Д. называются аргументы (доводы), а доказыванием – опирающийся на них процесс обоснования истины; иногда же "доводом" или "аргументом" называются все Д. в целом.
В науке и повседневной практике логич. средства, применяемые в Д., обычно не уточняются; при построении Д. просто используются те логич. формы, операции, правила и законы, к-рые исторически сложились в практич. и познават. деятельности людей. Поскольку, однако, в ходе рассуждений, претендующих на обоснование истины, могут быть допущены логич. ошибки, возникает задача отделения рассуждений, не приводящих к обоснованию истины и лишь внешне похожих на Д. ("неправильных Д."), от рассуждений, действительно являющихся Д. Эта задача требует уточнения логич. формы (ф о р м а л и з а ц и и) Д. Проблема уточнения логической формы Д. возникла вместе с самой формальной логикой. Первая теория дедуктивных Д. была создана Аристотелем, основывавшим ее на своем учении о силлогизме. Аристотель впервые выделил виды оснований Д. (аксиомы, определения) и логических ошибок, возможных в Д. Для развития учения о Д. большое значение имело становление в античной науке аксиоматического метода (Эвклид). В новое время (16–19 вв.) изучению подверглись индуктивные умозаключения и логическая сторона наблюдения и эксперимента (Ф. Бэкон, Дж. С. Милль); тем самым было положено начало изучению опытных Д. В 18–19 вв. окончательно сложилось учение о Д. в традиционной логике.
В традиц. логике во всяком Д. выделяются три части: тезис, основания и демонстрация (или аргументация), т.е. та форма рассуждения (состав умозаключений и их связь друг с другом), посредством к-рой тезис выводится из оснований. Основания подразделяются на аксиомы, определения, ранее доказанные суждения и суждения непосредственного восприятия. От Д. отличаются опровержения как обоснования ложности нек-рого суждения. Д. делятся на прямые и косвенные (см. Косвенное доказательство). Для отличения правильных Д. от неправильных устанавливают т.н. п р а в и л а Д . и выявляются те ошибки, к-рые связаны с их нарушением. Обычно указываются след. правила Д.: тезис должен быть ясен и вполне определенен; он должен быть одним и тем же на протяжении всего Д. (нарушение этого правила наз. п о д м е н о й т е з и с а); в числе оснований не должно быть ложных или недоказанных суждений; для тех оснований данного Д., к-рые, в свою очередь, нуждаются в Д., должны иметься такие Д., в к-рых не используется в качестве основания тезис данного Д., т.е. не должно быть круга в доказательстве; тезис должен логически следовать из аргументов, что означает, что демонстрация должна состоять только из правильных умозаключений; от Д. необходимо отличать приемы, с помощью к-рых люди стремятся убеждать др. людей, воздействуя не на их разум, а на чувства, желания или волю (т.н. "аргумент к человеку", "к публике" и др.).
Проверка того, не нарушены ли в Д. к.-л. из указ. выше правил, требует прежде всего явной формулировки всех суждений, к-рые в нем скрыто фигурируют (поскольку во многих Д. часто не высказываются нек-рые их части), и приведения каждого шага Д. к формам умозаключений, описываемым в логике. История науки, однако, показала, что средств традиц. логики недостаточно для формализации науч. Д.; прежде всего это обнаружилось в применении к математическому Д.: средства традиционной логики ничего не давали, напр., для исследования логических оснований математического анализа и арифметики и т.п. Потребности исследования исходных понятий и принципов математики заставили математиков создать в последней трети 19 – начале 20 вв. особую теорию математического Д., использующую средства не традиционной, а математической логики (Фреге, Дж. Пеано, Рассел, Д. Гильберт и др.). В математической логике различают понятия формального и содержательного Д. Под формальным Д. обычно понимают представление Д. в виде определенной материальной конструкции – в виде конструктивного объекта того или иного рода. Способы такого представления бывают различными; в настоящее время наиболее обычны: представление доказательств в виде деревьев формул, выражающих на нек-ром формализованном языке суждения рассматриваемой теории, а также л и н е й н о е представление – в виде строчек формул формализованного языка. Дерево Д. имеет следующий вид: нек-рые формулы в дереве стоят над другими, и в этом случае, если (и только если) над к.-л. формулой стоит одна или несколько формул, то эта формула получается из стоящих непосредственно над ней формул путем применения одного из (заранее описанных) правил логического вывода; самые верхние формулы фигуры являются аксиомами рассматриваемой теории (причем к числу аксиом причисляются и аксиомы логики), а самой нижней формулой – тезис Д. В случае линейного представления Д. последнее представляет собой строчку формул, в к-рой каждая формула есть либо аксиома, либо получается из предшествующих формул Д. по правилам вывода, причем последняя формула строчки есть заключение Д. Чтение или проверка формальных Д. не требует понимания формул как осмысленных суждений, а предполагает лишь установление того, что формула, выступающая в качестве заключения при применении данного правила вывода, действительно следует из формул-посылок по этому правилу. Такая трактовка Д. придает дедуктивной теории характер формальной теории, или исчисления. Д., трактуемые не как формальные Д., а как рассуждения, требующие понимания содержания (смысла) входящих в них суждений и понятий, называются содержательными.
Теория (формальных) Д., основной идеей к-рой является изучение Д. как конечных материальных объектов, могущих быть написанными, напр., на бумаге и обладающих вполне определенным строением, восходит к Гильберту. Значение этой теории состоит в том, что значительное большинство теорий, рассматриваемых в математике, математической логике и др. дедуктивных науках, допускает представление в виде исчислений, т.е. может быть формализовано. При этом существенно, что каждое Д. получаемого т.о. исчисления имеет аналог в исходной содержательной теории. Практически, однако, прибегать к формализации не всегда целесообразно; во многих случаях важна просто ее возможность; последняя имеет принципиальное значение, когда изучению подвергаются логические свойства теории, напр. ее н е п р о т и в о р е ч и в о с т ь. Изучение доказательств для каждой формальной теории может проводиться с помощью содержательных Д., и теория, в к-рой рассматриваются такие Д., наз. метатеорией исходной (т.н. предметной) теории. Если метатеория является дедуктивной теорией, она может быть в свою очередь формализована в виде метаметатеории; при этом, однако, на нек-ром уровне в рассмотрение обязательно войдет теория, трактуемая содержательно (т.е. не формально). См. Метатеория.
Приемы формализации Д., разработанные в математич. логике, могут применяться во всякой науке, в к-рой имеются дедуктивные умозаключения и Д.; наибольшее значение они в настоящее время имеют в математике, кибернетике и логике как таковой. В экспериментальных науках, в к-рых важное значение имеют логические методы, выходящие sa рамки современной математической логики в узком смысле этого слова (как дедуктивной логики), для изучения Д. применяются др. методы, в частности средства современной логики индуктивной. Каждой отдельной науке (или группе наук) может соответствовать раздел логики, посвященный изучению Д. в этой науке (этот раздел может одновременно составлять часть этой науки, что и имеет место в математике и отчасти в юриспруденции). Развитие исследований в области оснований математики и математической логики привело к расщеплению логики на классическую, конструктивную и др., в соответствии с чем различают классические, конструктивные и др. Д.
Лит.: Энгельс Ф., Анти-Дюринг, М., 1957, с. 33–34, 317; Ленин В. И., Материализм и эмпириокритицизм, Соч., 4 изд., т. 14, гл. 2, 3; его же, Философские тетради, там же, т. 38, с. 181–82; Mилль Дж. С., Система логики силлогистической и индуктивной, пер. с англ., М., 1914, кн. 2 и 3; Кэджори Ф., История элементарной математики, пер. с англ., 2 изд., Одесса, 1917, с. 67–68, с. 338–40; Введенский А. И., Логика как часть теории познания, 4 изд., П., 1922, гл. 5–13; Вейль Г., О философии математики. Сб. работ, М.–Л., 1934; Бэкон Ф., Новый Органон, 2 изд., М.–Л., 1935; Челпанов Г. И., Учебник логики, [М.], 1946, гл. 25; Асмус В. Ф., Логика, М., 1947, гл. 14; его же, Учение логики о доказательстве и опровержении, [М.], 1954; Гильберт Д., Основания геометрии, пер. с нем., М.–Л., 1948 (см. такжедобавл. 7–10); Тарский ?., Введение в логику и методологию дедуктивных наук, пер. с англ., М., 1948; Начала Эвклида, кн. I–VI, VII–X, XI–XV, пер. с греч. и комментарии Д. Д. Мордухай-Болтовского, т. 1–3, М.–Л., 1948–50; Аристотель, Аналитики первая и вторая, пер. с греч., М., 1952; Марков ?. ?., Теория алгоритмов, М.–Л., 1954, гл. 1; Рассел Б., Человеческое познание, его сфера и границы, пер. [с англ.], М., 1957; ?ойа Д., Математика и правдоподобные рассуждения, пер. с англ., т. 1, М., 1957; Клини С. К., Введение в метаматематику, пер. с англ., М., 1957, ч. 1, 2; Стaрченко ?. ?., Логика в судебном исследовании, М., 1958; Лукасевич Я., Аристотелевская силлогистика с точки зрения современной формальной логики, пер. с англ., М., 1959, гл. 1–5; Франк Ф., Философия науки, пер. с англ., М., 1960, гл. 13–15; Горский Д. П., Вопросы абстракции и образование понятий, М., 1961; Frеge G., Grundgesetze der Arithmetik, Bd 1–2, Jena. 1893–1903; Whitehead ?. ?., Russell В., Principia mathematica, v. 1–3, 2 ed., Camb., 1927–35; Hilbert D. and Bernays P., Grundlagen der Mathematik, Bd 1–2, В., 1934–39; Heyting ?., Intuitionism, Amst., 1956.

Философская Энциклопедия. В 5-х т. — М.: Советская энциклопедия. Под редакцией Ф. В. Константинова. 1960—1970.

Синонимы:

аналогизм, аподиксис, аргумент, аргументация, вещдок, вещественное доказательство, винословие, залог, обоснование, подтверждение, резон, свидетельство, сорит, указание, улика, энтимема

Антонимы:

опровержение