Страница 82 - Разум природы и разум человека - А.М. Хазен

Этот параграф входил в отдельную главу этой книги. Но, хотя её содержание важно для этой работы в целом, я перенёс её в книгу [12], так как понятия и аппарат, даже в той части что здесь оставлены, сложны и специфичны. Но в кратком виде изложить это здесь необходимо.

Механика Гамильтона и её развитие в работах Гиббса ввели в науку непривычное понятие о 6N-мерном фазовом пространстве. С глубокой древности природа в представлениях человека “плавала на трёх китах в безбрежном океане”. Любой научный работник такое сегодня воспринимает как сказку прошлого. Однако за непостижимым для многих современным математическим аппаратом, включая теорию относительности, квантовую электродинамику, “великие объединения” спрятаны всё те же “три кита” и внешний “безбрежный океан” – пусть действительно произошёл Большой Взрыв, но в чём он произошёл? – всё в том же внешнем по отношению к нему “безбрежном океане”.

Основа основ науки – механика – в строгом смысле такого уже около 150-ти лет не требует, хотя это и остаётся непонятым. Уравнения Гамильтона утверждают, что появилась в задаче механики в качестве объекта одна “частица” – этим она сама для себя создала элемент пространства с конфигурационными (геометрическими) координатами q1 и движением, описываемым импульсами p1 – движение и положение в природе есть одно нераздельное целое. Нужна в данной задаче тысячная частица – вместе с ней появилось и её пространство с координатами q1000 и p1000 . В классической механике такое пространство есть абстрактный мысленный объект. Почему этот объект есть реальность, а не только умственное построение, строго показано в [11], [12]. Но всем известный из элементарной физики (и, особенно, по его роли в химии) принцип запрета Паули утверждает реальность фазового пространства. Ведь упаковка атомов в химические соединения происходит в 6N-мерном пространстве. Именно в нём непроницаемые электроны оболочек атомов – “мешки” положений и движений приспосабливающейся формы – укладываются друг к другу максимально плотно “без зазоров”.

Главное в механике Гамильтона – это новое понятие о пространстве – каждая “частица” вводит своё приращение в составе определения (1.14) элемента объёма 6N-мерного фазового пространства. Дж. Гиббс на рубеже конца ХIХ века заложил основы статистической механики. Главным в ней стали понятия – фаза и фазовое пространство.

Рис. 6.11.

В современном школьном и студенческом виде привычны два применения термина – фаза. В механике он описывает начальные условия при вращательном движении или колебаниях – угловые координаты, с которых началось данное вращательное или колебательное движение. В химии этот термин применяют по отношению к состоянию вещества, например, твёрдая или жидкая его фаза. Строго говоря, у Гиббса аналогии с обоими пониманиями этого термина есть. Поясню.

Надо рассмотреть для этого некоторый объём в 6N-мерном пространстве. Но как его нарисовать на картинке? Непонятно! Поэтому нарисую просто трёхмерную “коробку” (рис. 6.11), которая явно неприменима в данном случае. Частицы, например газа, заданы в ней одновременно положением (координатами qj) и движением (импульсами pj) как единым целым. На них действуют, определяя их потенциальную энергию, внешние тела ai .

В этом объёме с помощью уравнений Гамильтона описывают состояние и движение множества заданных элементов системы (частиц), например, газ. Начальные положения и импульсы всех частиц известны. Если уравнения Гамильтона решить, то можно найти положения (конфигурации) и скорости (импульсы) всех молекул газа в любой заданный момент времени – состояние газа как системы из многих элементов. С помощью современных компьютеров такие решения хотя бы для сильно разреженного газа – реальность.

Гиббс назвал фазой “мгновенную фотографию” частиц (включая не только положения, но и импульсы), которые находятся в заданном объёме фазового пространства – внутри лишённой наглядности 6N-мерной “коробки”. Разные “фотографии” отличают разные начальные условия для движения частиц. Одновременно любая “фотография” может быть использована в качестве начальных условий для решений уравнений Гамильтона в последующие моменты времени. Ведущая роль начальных условий определяет связь фаз в терминологии Гиббса с фазой как этот термин используют в теории колебаний. При этом фаза Гиббса сохраняет аналогию с “сухим остатком” в пробирке, как он виден в индивидуальности расположения образующих его комочков вещества. Каждое значение фазы механической системы у Гиббса – аналог одного из расположений “комочков”.

Существуют случаи, когда с хорошей точностью приближённо можно перейти от 6N-мерного пространства к просто шестимерному. Тогда рис. 6.11 хоть чуть становится похожим на правду, так как можно (с определёнными оговорками) отдельно рассматривать конфигурационный трёхмерный объём и в нём трёхмерные импульсы (как стрелки, подвешенные к материальным точкам). Это есть осреднение системы и поведения в ней её элементов. “Мгновенные фотографии” (в том смысле, как это было пояснено выше) – фазы – заполняют объёмы в таком шестимерном фазовом пространстве. В газе с его хаосом молекул наглядности их описания даже в трёхмерном пространстве немного. Тем более можно прожить и без картинок в шестимерном пространстве.

Иное положение при описании твёрдых тел. Структуру твёрдых веществ или их частного случая биообъектов (не всегда ощутимо твёрдых) определяет объединение атомов между собой. Прямо или косвенно в этом участвует принцип плотной упаковки атомов. Кристаллы есть наглядный результат такой упаковки, когда её можно изобразить в терминах и координатах обычного для нас трёхмерного пространства.

В основе общеизвестного понятия – кристалл – лежит принцип периодического повторения в пространстве одного и того же элемента, образованного одинаковыми атомами в одинаковой конфигурации. На больших или малых расстояниях от заданной точки объёма вещества этот элемент остаётся тождественным и как целое плотно упакован с соседями. Такой элемент кристалла – “кирпич” – исходно может иметь разную форму. В зависимости от формы элемента разным будет внешний вид кристалла. Кристаллы есть одно из самых наглядных понятий физики. Красота их формы не оставляет равнодушных тысячелетия. Её математическое описание хорошо развито. Основа его в том, что (например на плоскости) правильными прямоугольниками, треугольниками, шестиугольниками можно плотно, грань к грани, заполнить её любой участок и строго периодически повторять узоры на любом расстоянии.

Рис. 6.12.

Однако плотная упаковка должна происходить в фазовом пространстве, так как элементарные составляющие природы (как бы их не называть) неразрывно объединяют в себе положение и движение. Прямо (или косвенных формах) принцип запрета Паули есть правило, которое управляет такой упаковкой. Поэтому изображать её надо хотя бы в осреднённом шестимерном пространстве. Опять тот же вопрос – как это наглядно изобразить? Он становится даже сложнее. Ведь форма кристаллов в конечном счёте задаётся прямо или косвенно плотной упаковкой в 6N-мерном пространстве, а кристаллы наглядны в трёхмерном пространстве. В чём дело?

Сечения в черчении используются для точного изображения на плоскости формы трёхмерных объектов. Напомню с помощью рис. 6.12 способ их построения на примере куба. “Разрезают пилой” объект так и там, как это интересно. “Мажут краской распил” и “отпечатывают” его на плоскости – листе бумаги. Естественно, что всё это можно выразить строгой математической процедурой или её графическим эквивалентом. Например, даны в трёхмерном пространстве плотно упакованные (один под другим, один рядом с другим) такие же кубы, как на рис. 6.12. Рассечём их плоскостью, проходящей через грань какого-то из кубов – получим в сечении периодическую систему плотно упакованных прямоугольников (плоский “кристалл”). Иначе проведём плоскость – картинку в сечении будут образовывать плотно упакованные ромбы.

Рис. 6.13.

Кажется очевидным, что в сечении всегда будет видна строго периодическая картинка – “кристалл”. Однако уже в нашем веке выяснилось, что если сечение образует угол с осями симметрии куба, выражаемый иррациональным числом, то плотная упаковка ромбов в сечении сохраняется, но периодичности нет. Такое сечение плотно упакованных кубов показано на рис. 6.13, на котором ромбы затушёваны тенями, чтобы подчеркнуть возможность воспринимать такую структуру как аналог кристалла. Но это не кристалл, так как в сечении пространственная периодичность исчезла! Такие структуры получили общепринятое теперь название – квазикристаллы.

Человек воспринимает своими органами чувств природу в трёхмерном геометрическом пространстве. Но законы природы от особенностей органов чувств человека не зависят. Для неё первично 6N-мерное пространство. Его можно описывать приближением шестимерного пространства. “Нарисовать” объекты в таком пространстве – это значит построить то, что видно человеку в сечении шестимерного пространства с помощью трёхмерного пространства. В этом проявляются те же особенности, что в рассмотренном примере сечения плоскостью трёхмерной периодической кристаллической решётки.

Если угол сечения выражается рациональным числом, то объект в трёхмерном пространстве, получившийся при сечении периодического объекта в шестимерном пространстве, также будет периодическим – обычным кристаллом. Если угол иррациональное число, то объект в сечении потеряет периодичность – он будет наблюдаем в виде квазикристалла, который можно изобразить в форме трёхмерного рисунка-аксонометрии. Он может быть “раскрашен” по типу рис. 6.13, то есть в трёхмерном пространстве выглядеть сопоставимо с обычными кристаллами, но без характерной для них периодичности.

На рис. 6.13 изображено сечение двумерной плоскостью строго периодической упаковки четырёхмерных гиперкубов. Глазу кажется, что (как и в кристаллах) закономерно повторяются одинаковые комбинации сечений элементов, образующих эту упаковку. Но строгого повторения элементов “узора” (как в кристаллах) – нет. Плотная упаковка есть на любых расстояниях от заданной точки (физики говорят – существует дальний порядок), но он лишён простого наглядного выражения в сечении. Этот рисунок одновременно и аналог кристалла, и не есть кристалл в обычном понимании. Отсюда приставка “квази” в названии таких структур – квазикристаллических.

Понятие квазипериодичности впервые появилось в математических работах в 1902 г. Математик Р. Пенроуз в 1972 г. построил и запатентовал головоломки, в которых плоская поверхность плотно непериодически заполняется всего двумя типами фигур. Он заложил основы математического описания квазикристаллов в его современном виде. На рис. 6.13 воспроизведена одна из его картинок.

Квазикристаллы совсем недавно, в 1984 г. были обнаружены в металлических сплавах экспериментально. Обзор о квазикристаллах см. [125]. Их связь с задачами механики для колебательных процессов рассмотрена в [126]. В современной физике описание квазикристаллических структур стало новой быстро развивающейся областью.

Элементарные наглядные сопоставления структур типа рис. 6.13, 6.14 с изображениями, видимыми в микроскоп (например, у растений), показали, что квазикристаллические структуры образуют одну из самых характерных особенностей всех живых объектов. Но в этом случае задача сложнее, так как биообъекты заданы в шестимерном пространстве (ещё раз напоминаю о принципе запрета Паули, который это иллюстрирует).

Рис. 6.14.

Химия и биохимия – это есть описание правил и результатов плотной упаковки атомов в шестимерном пространстве. Вспомните, например, ключевые для химии приближённые правила модели атома Бора для заполнения электронных орбит атомов или метод молекулярных орбиталей для более сложных расчётов. Результаты такой упаковки приводят (строго) к 6N-мерным симметриям и приближённо к шестимерным. Это не случайно, так как понятие о симметрии в науке основано на математическом аппарате теории групп, а он возник из задач механики при их описании с помощью уравнений Гамильтона. Подробно рассказывать об этом не буду, но напомню ключевое для этих задач слово – канонические преобразования С. Ли и группы Ли (см. также [11], [12]).

Реальность для биохимии шестимерных симметрий возвращает к вопросу, поставленному выше – как изобразить наглядно шестимерное пространство? Но теперь ясен строгий ответ на него: нужно построить трёхмерные сечения шестимерного пространства. Они есть та реальность, которая может наблюдаться человеком как отображение шестимерных (или более строго 6N-мерных) конструкций природы. При этом периодическая структура – кристалл в шестимерном пространстве – в одних случаях принимает вид квазипериодической структуры (квазикристалла, то есть плотной упаковки, лишённой периодичности в трёхмерном пространстве), в других – в трёхмерном сечении периодичность будет сохраняться, что выражают правильные формы кристаллов. Какой (наблюдаемый в трёхмерном пространстве) получится результат – кристалл или квазикристалл – опять зависит от рациональности или иррациональности угловой ориентации сечений. “Сечения” в этом случае “строит” сама природа. “Углом построения сечения” управляют особенности взаимодействия между собой всех типов химических связей.

Рис. 6.15.

Например, углерод в живых объектах преимущественно участвует в образовании квазикристаллов. Однако при характерных для него связях возможны наблюдаемые трёхмерные кристаллические структуры со сложными группами симметрии. Такой пример изображён на рис. 6.15. Это фуллерены, образованные атомами углерода. Внутри таких структур могут находиться ионы любого элемента таблицы Менделеева. На рис. 6.15 это выделено сферическим облаком. В квазикристаллических структурах подобное возможно, но совсем в других конкретных формах. Например лиганды, в которых ядро большой и сложной биомолекулы образуют атомы некоторых из тяжёлых металлов. Ещё пример такого выделенного положения даёт атом железа в гемоглобине. Однако фуллерены неспецифичны по отношению к центральному атому, а биомолекулы существенно изменяют свои свойства в функции изменений, например, только валентности центрального атома.

Одна из, казалось бы, самых слабых химических связей – водородная связь – играет большую роль в плотной “упаковке” атомов. Например, форма кристаллов льда связана с её действием. Уникальностью своих свойств вода обязана именно ей. Свойства воды имеют важное значение в биохимии жизни. Они рассмотрены в работах С.И. Аксёнова. Водородная связь решающая для избирательности связей нуклеотидов в РНК и ДНК – апериодических кристаллов по определению Шрёдингера. Сокращение мышц управляется водородной связью.

Наблюдаемый вид и свойства твёрдых тел, в частности кристаллов, определяет их зонная структура и строение границы Ферми (популярное объяснение этих терминов см., например [127]), а не непосредственно связи, как они понимаются в химии. Этим правила плотной “упаковки” получают расширение. Описание симметрий обычных трёхмерных кристалов есть самостоятельная далеко продвинутая область науки. Для шестимерных симметрий и квазикристалов пока ещё такого в завершённом виде нет. Кстати, квазикристаллы в живых организмах не всегда идеально шестимерно симметричные. Подобно тому, как возникают разнообразные дефекты в обычных кристаллах, они возможны и в квазикристаллах. Идеальный кристалл, выросший в природе, скорее исключение, чем правило. Это же справедливо для шестимерных кристаллов.

Важно подчеркнуть, что существуют такие сечения 6N-мерного пространства с помощью привычного для нас трёхмерного пространства, которые дают симметричные и периодические в нём структуры – кристаллы. Одновременно существуют и такие трёхмерные сечения, в которых наблюдаемая симметрия и периодичность исчезает – квазикристаллы. Существование “ненаблюдаемой” периодичности имеет наблюдаемые проявления, ключевые для живых систем. Поясню это примерами.

Страница 82 - Разум природы и разум человека - А.М. Хазен - Философия как наука