Глава 7 “PRINCIPIA МАТНЕМАТ1СА”: ФИЛОСОФСКИЕ АСПЕКТЫ - Аналитическая философия. Избранные тексты (Изд. Московского унив. 1993) - Неизвестен - Философия как наука

На протяжении всего периода от 1900 до 1910 года Уайтхед  и я отдавали большую часть нашего времени тому, что в конце концов стало “Principia Mathematica”. Хотя тре­тий том этого труда был издан лишь в 1913 году, работа над ним (кроме вычитки гранок) была завершена уже в 1910 году, когда мы сдали рукопись в издательство Кембриджского уни­верситета. Моя книга “Принципы математики”, которую я за­кончил 23 мая 1902 года, была слабым и весьма незрелым на­броском будущего труда, но отличалась, однако, от него тем, что содержала дискуссии с другими философскими концепция­ми математики.

Наши проблемы были двух родов: философские и матема­тические. Вообще говоря, Уайтхед оставил философские про­блемы мне. Что касается математических проблем, то Уайтхед придумал большую часть нотации, за исключением того, что было взято у Пеано; я проделал большую часть работы, свя­занной с рядами, а Уайтхед проделал большую часть всего остального. Но это относится только к первым наброскам. Каж­дая часть исправлялась по три раза. Когда один из нас закан­чивал набросок, он посылал его другому, и тот обычно значи­тельно изменял его. После этого автор первоначального вари­анта приводил все к окончательному виду. Вряд ли есть хоть одна строчка во всех трех томах, которая не была бы плодом нашего совместного труда.

Главная цель “Principia Mathematica” состояла в доказа­тельстве того, что вся чистая математика следует из чисто ло­гических предпосылок и пользуется только теми понятиями, ко­торые определимы в логических терминах. Это было, разумеет­ся, антитезой учению Канта, и первоначально задача виделась в том, чтобы внести лепту в дело опровержения “того софиста-филистимлянина”, по выражению Георга Кантора, добавляв­шего для вящей точности: “который так плохо знал математи­ку”. Но со временем работа продвинулась еще в двух направ­лениях. С математической точки зрения были затронуты со­вершенно новые вопросы, которые потребовали новых алгорит­мов и сделали возможным символическое представление того, что ранее расплывчато и неаккуратно выражалось в обыден­ном языке. С философской точки зрения наметились две про­тивоположные тенденции: одна—приятная, другая—неприят­ная. Приятная состояла в том, что необходимый логический ап­парат вышел не столь громоздким, как я вначале предполагал. Точнее, оказались ненужными классы. В “Принципах матема­тики” много обсуждается различие между классом как единым (one) и классом как многим (many). Вся эта дискуссия вмес­те с огромным количеством сложных доказательств оказалась, однако, ненужной. В результате работа в ее окончательном ви­де была лишена той философской глубины, первым признаком которой служит темнота изложения.

Неприятная же тенденция была, без сомнения, очень непри­ятной. Из посылок, которые принимались всеми логиками пос­ле Аристотеля, выводились противоречия. Это свидетельство­вало о неблагополучии в чем-то, но не давало никаких намеков на то, каким образом можно было бы исправить положение. Открытие одного такого противоречия весной 1901 года поло­жило конец моему логическому медовому месяцу. Я сообщил о неприятности Уайтхеду, который “утешил” меня словами: “Ни­когда больше нам не насладиться блаженством утренней безмя­тежности”.

Я увидел противоречие, когда изучил доказательство Кантора о том, что не существует самого большого кардинального числа. Полагая в. своей невинности, что число всех вещей в ми­ре должно составлять самое большое возможное число, я при­менил его доказательство к этому числу—мне хотелось уви­деть, что получится. Это привело меня к открытию очень любо­пытного класса. Размышляя способом, который до тех пор казался адекватным, я полагал, что класс в некоторых случаях является, а в других—не является членом самого себя. Класс чайных ложек, например, не является сам чайной лож­кой, но класс вещей, которые не являются чайными ложками, сам является одной из вещей, которые не являются чайными ложками. Казалось, что есть случаи и не негативные: напри­мер, класс всех классов является классом. Применение доказа­тельства Кантора привело меня к рассмотрению классов, не являющихся членами самих себя; эти классы, видимо, должны образовывать некоторый класс. Я задался вопросом, является .ли этот класс -членом самого себя или нет. Если он член самого себя, то должен обладать определяющим свойством класса, т. е. не являться членом самого себя. Если он не является чле­ном самого себя, то не должен обладать определяющим свой­ством класса и потому должен быть членом самого себя. Та­ким образом, каждая из альтернатив ведет к своей противопо­ложности. В этом и состоит противоречие.

Поначалу я думал, что в моем рассуждении должна быть какая-то тривиальная ошибка. Я рассматривал каждый шаг под логическим микроскопом, но не мог обнаружить ничего не­правильного. Я написал об этом Фреге, который ответил, что арифметика зашаталась и что он увидел ложность своего За­кона V. Это противоречие настолько обескуражило Фреге, что он отказался от главного дела своей жизни—от попытки вы­вести арифметику из логики. Подобно пифагорейцам, стол­кнувшимся с несоизмеримыми величинами, он нашел убежище в геометрии, явно посчитав, что вся его предшествующая дея­тельность была заблуждением. Что касается меня, то я чув­ствовал, что причина в логике, а не в математике, и что имен­но логику и следовало бы преобразовать. Я укрепился в этом мнении, когда открыл рецепт составления бесконечного числа противоречий.

Философы и математики реагировали на ситуацию по-раз­ному. Пуанкаре, не любивший математическую логику и обви­нявший ее в бесплодности, обрадовался: “Она больше не бес­плодна, она рожает противоречия”. Это блестящее замечание, впрочем, никак не способствовало решению проблемы. Некото­рые другие математики, относившиеся неодобрительно к Геор­гу Кантору, заняли позицию Мартовского Зайца: “От этого я устал. Поговорим о чем-нибудь другом”, что точно так же ка­залось мне неадекватным. Спустя какое-то время появились серьезные попытки решения со стороны людей, которые пони­мали математическую логику и осознавали насущную необхо­димость решения противоречия в терминах логики. Первым из них был Ф. П. Рамсей, ранняя смерть которого, к сожалению, оставила его работу незаконченной. Но в годы, предшествую­щие изданию “Principia Mathematica”, опыта решения пробле­мы не было и я находился по сути один на один с собственным замешательством. Парадоксы обнаруживали и раньше, некоторые были известны в древности; как мне казалось, тогда ставили похожие проблемы, хотя авторы, писавшие после меня, считали, что про­блемы греков были иного рода. Наиболее известен парадокс об Эпимениде-критянине, который сказал, что все критяне лжецы, и заставил людей сомневаться, не лгал ли он, когда говорил это. Этот парадокс в самой простой форме возникает, когда человек говорит: “Я лгу”. Если он лжет, то ложно, что он лжет, и, следовательно, он говорит правду; но если он говорит прав­ду, то лжет, ибо именно это он утверждает. Противоречие по­этому неизбежно. Это противоречие упоминается св. Павлом (Тит. 1, 12), который, однако, не занимался его логическими аспектами, а доказывал с его помощью порочность язычников. Такие древние головоломки математики могли отрицать как не имеющие отношения к их предмету, но вот вопрос о самом боль­шом кардинальном или ординальном числе они отбросить не могли, а он приводил их к противоречиям. Противоречие, свя­занное с самым  большим ординалом, было обнаружено Бура-ли-Форти еще до того, как я открыл свое противоречие, но в его случае дело было гораздо более сложным, и я -поэтому по­зволил себе предположить, что в его рассуждения закралась какая-то незначительная ошибка. В любом случае его противо­речие, будучи гораздо более простым, чем мое, казалось prima facie менее разрушительным. Правда, в конце концов я вы­нужден был признать, что оно не менее серьезно.

В “Принципах математики” я не претендовал на то, что ре­шение найдено. Я писал в предисловии: “Издавая работу, со­держащую так много нерешенных трудностей, я оправдываю это тем, что исследование не дало пока ближайшей перспекти­вы для адекватного решения противоречия, обсужденного в главе X, и не позволило лучше разобраться в природе классов. Постоянно обнаруживаемые ошибки в решениях, какое-то вре­мя меня удовлетворявших, выявили всю серьезность проблем, которые не поддавались обманчиво правдоподобным теориям, порожденным поверхностным размышлением, а только скрыва­лись под этими теориями; поэтому я счел за лучшее сформули­ровать трудности и не ждать того времени, когда меня убедит истинность какого-нибудь почти наверняка ошибочного учения”. А в конце главы о противоречиях я сказал: “В противоречии не замешана никакая философия, оно порождено здравым смыс­лом и может быть разрешено, лишь если мы отринем одно из его допущений. Только гегелевская философия, которая живет за счет противоречий, может остаться безучастной, потому что находит подобные проблемы всюду. В любом другом учении столь прямой вызов требует ответа либо признания в бессилии. К счастью, других аналогичных трудностей, насколько я знаю, “Принципы математики” не содержат”. В приложении к книге излагалось учение о типах как возможное решение. Впослед­ствии я убедился, что решение действительно обнаруживается с помощью этого учения, но в “Принципах математики” я пришел к его очень грубой и неадекватной форме. Мои выводы то­го времени выражены в последнем параграфе книги: “Резюми­руем: как оказалось, специальное противоречие главы Х реша­ется с помощью учения о типах, но имеется по крайней мере од­но аналогичное противоречие, которое, вероятно, неразрешимо с помощью этого учения. Тотальность всех логических объектов, или. всех суждений, предполагает, по-видимому, фундамен­тальную логическую трудность. Каково окончательное ее реше­ние, я не выяснил; но поскольку она оказывает влияние на са­ми основы рассуждения, я очень рекомендую всем, кто изучает логику, обратить на это внимание”.

Завершив “Принципы математики”, я начал настойчиво ис­кать решение парадоксов. Это было почти личным вызовом, и при необходимости я готов был потратить на них всю остав­шуюся жизнь. Однако по двум причинам я отказался от этого намерения. Во-первых, проблема в какой-то момент показалась мне тривиальной, а я ненавидел все недостойное внимания и интереса. Во-вторых, сколько я ни старался, решение не при­ходило. На всем протяжении 1903 и 1904 годов я почти все вре­мя занимался этим вопросом, но без каких-либо признаков ус­пеха. Первой удачей стала (весной 1905 года) теория дескрипций. Она, разумеется, не была связана с противоречиями, но позже такая связь выявилась. В конце концов мне стало совер­шенно ясно, что в какой-то форме учение о типах существенно важно. Не настаивая на той конкретной форме, которая при­дана этому учению в “Principia Mathernatica”, я остаюсь при полном убеждении, что без теории типов парадоксы разрешить невозможно.

Когда я искал решение, мне казалось, что для того, чтобы решение выглядело удовлетворительным, необходимы три ус­ловия. Первое из них и абсолютно обязательное: противоречия должны исчезнуть. Второе—весьма желательное, хотя логиче­ски не непременное: решение должно оставить в неприкосновен­ности как можно больше математики. Третье, трудно формули­руемое: решение должно, видимо, апеллировать к так называ­емому “логическому здравому смыслу”, т. е. оказаться в конце концов таким, каким мы его и ожидали увидеть. Из этих трех условий первое, разумеется, признано всеми. Второе, однако, отвергается теми, кто считает, что значительные разделы ана­лиза в их нынешней формулировке неверны. Третье условие не считают существенно важным те, кто довольствуется логиче­ской техникой. Профессор Куайн, к примеру, нашел системы, которые привлекают своей изобретательностью. Но их нельзя считать удовлетворительными, поскольку они, видимо, созданы ad hoc(для этого, применительно к этому(случаю)); и они отличаются от тех систем, которые представлял бы себе самый умный логик, если бы не знал о противоречиях. По этому вопросу, однако, вышло огромное количество труд­ной для понимания литературы, и я не буду касаться более тонких моментов.

Объясню общие принципы теории типов, не вдаваясь в труд­ные технические детали. Возможно, лучше всего будет начать с того, что имеется в виду под “'классом”. Возьмем пример из домашнего хозяйства. Допустим, в конце обеда хозяин предла­гает на выбор три сладких блюда, настаивая на том, чтобы вы попробовали одно, два или все три, как вы пожелаете. Сколько линий поведения открыто перед вами? Вы можете от всего от­казаться. Это первый выбор. Вы можете выбрать что-то одно. Это можно сделать тремя различными способами, и, следова­тельно, перед вами еще три варианта. Вы можете выбрать два блюда. Это также возможно сделать тремя способами. Или вы можете выбрать все три, что дает одну, последнюю, возмож­ность. Общее число возможностей, таким образом, равно вось­ми, т. е. 2п. Можно легко обобщить эту процедуру. Положим, перед вами п объектов и вы желаете знать, сколько путей име­ется, чтобы ничего не выбрать, или что-то выбрать, или же выбрать все п. Вы обнаружите, что число путей 2п. Если выра­зить это в логическом языке: класс из п-го количества элемен­тов имеет 2п подклассов. Это суждение истинно и в том случае, когда п бесконечно. Кантор как раз и доказал, что даже в этом случае 2п больше, чем п. Применяя это, как сделал я, ко всем вещам во Вселенной, мы приходим к заключению, что классов вещей больше, чем вещей. Отсюда следует, что классы не яв­ляются “вещами”. Но поскольку никто не знает точно, что оз­начает слово “вещь” в этом утверждении, не очень-то легко точно сформулировать, что именно удалось доказать. Заключе­ние, к которому я пришел, состояло в том, что классы — это просто подсобное средство в рассуждении. Классы приводили меня в замешательство уже в то время, когда я писал “Прин­ципы математики”. Тогда я выражал свои мысли на языке, ко­торый был реалистическим (в схоластическом смысле) в боль­шей мере, чем мне представляется сегодня правильным. Я пи­сал в предисловии к той работе: “Обсуждение неопределенно­стей (indefinables), составляющее главный предмет философ­ской логики, имеет целью ясно увидеть и прояснить для других соответствующие сущности, чтобы разум мог быть с ними зна­ком  так же, как с красным цветом или вкусом ананаса. Там, где — как в данном случае — неопределимости получаются прежде всего в качестве необходимого остатка в процессе ана­лиза, зачастую проще знать, что такие сущности должны быть, чем наблюдать их актуально; здесь имеется аналогия с процес­сом открытия Нептуна, с тем различием, что последний этап — поиски с помощью умственного телескопа сущности, которая имеет выводной характер,—нередко является самой трудной частью во всем предприятии. Признаюсь, что в случае с клас­сами я не смог увидеть понятия, выполняющего те условия, ко­торым должно удовлетворять понятие “класс”. И противоречие, обсуждаемое в главе X, доказывает, что чего-то не хватает, но чего именно, я до сих пор не обнаружил”.

Теперь мне следует сформулировать вопрос несколько ина­че. Следует сказать, что если дана любая пропозициональная функция, скажем fx, имеется некоторая область значений х, для которых эта функция '“значима”, т. е. либо истинна, либо ложна. Если а принадлежит этой совокупности, то fa—сужде­ние, которое либо истинно, либо ложно. Вдобавок к подста­новке постоянной вместо переменной х есть еще две вещи, которые можно делать с пропозициональной функцией: можно утверждать, во-первых, что она всегда истинна, а во-вторых— что она иногда истинна. Пропозициональная функция “если х человек, то х смертен” всегда истинна; пропозициональная функция “х человек” иногда истинна. Таким образом, с пропо­зициональной функцией можно проделать следующие три ве­щи: первое—подставить .константу вместо переменной; вто­рое—утверждать все значения функции: и третье—утверждать некоторые значения или по крайней мере одно значение. Сама по себе пропозициональная функция есть лишь выражение, она ничего не утверждает и не отрицает. Равным образом класс есть лишь выражение; это удобный способ говорить о значе­ниях переменной, при которых функция истинна.

Что касается последнего из перечисленных выше трех ус­ловий, которым должно отвечать решение, то я выдвинул тео­рию, которая, видимо, другим логикам не понравилась; однако я до сих пор считаю ее здравой. Эта теория заключалась в сле­дующем. Когда я утверждаю все значения функции fx, то зна­чения, которые может принимать х, должны быть определенны­ми (definite), если я хочу, чтобы то, что я утверждаю, было оп­ределенным. Должна быть, так сказать, некоторая тотальность возможных значений х. Если я теперь стаду образовывать но­вые. значения в терминах этой тотальности, то тотальность, по-видимому, будет из-за этого расширяться и, следовательно, но­вые значения, к ней относящиеся, будут относиться к этой бо­лее широкой тотальности. Но поскольку они должны быть включены в тотальность, тотальность никогда не будет поспе­вать за ними. Все это напоминает попытки прыгнуть на собст­венную тень. Проще всего проиллюстрировать это на парадок­се лжеца. Лжец говорит: “Все, что я утверждаю, ложно”. Фак­тически то, что он делает, это утверждение, но оно относится к тотальности его утверждений, и, только включив его в эту тоталь­ность, мы получаем парадокс. Мы должны будем различить суж­дения, которые относятся к некоторой тотальности суждений, и суждения, которые не относятся к ней. Те, которые относятся к некоторой тотальности суждений, никак не могут быть члена­ми этой тотальности. Мы можем определить суждения первого порядка как такие, которые не относятся к тотальности (по totality) суждений; суждения второго порядка—как такие, ко­торые отнесены к тотальности суждений первого порядка и т. д. ad infinitum. Таким образом, наш лжец должен будет теперь сказать: “Я утверждаю ложное суждение первого порядка, которое является ложным”. Но само это суждение—второго по­рядка. Он поэтому не утверждает суждения первого порядка. Говорит он нечто просто ложное, и доказательство того, что оно также и истинно, рушится. Такой же точно аргумент применим и к любому суждению высшего порядка.

Обнаруживается, что во всех логических парадоксах есть своего рода рефлексивная само-отнесенность, которую следует осудить по тем же причинам: она включает в себя в качестве члена тотальности нечто указывающее на эту тотальность и могущее иметь определенное значение, только если тотальность уже фиксирована.

Должен сознаться, что это учение не получило широкого признания, но я не вижу аргумента против, который казался бы мне неоспоримых.

Теория дескрипций, упомянутая выше, впервые была изло­жена в моей статье “О денотации” в журнале “Майнд” (1905). Она так поразила тогдашнего редактора журнала, посчитавше­го ее нелепой, что он упрашивал меня пересмотреть ее и не на­стаивать на публикации. Но я был убежден в том, что она яв­ляется здравой, и отказался уступить. Впоследствии статья по­лучила широкое признание и стала считаться моим важнейшим вкладом в логику. Правда, сегодня ее отвергают те, кто отка­зывается от различения имен и других слов. Полагаю, такая реакция происходит из-за слабого знакомства с математической логикой. Во всяком случае, я не вижу в такой критике смысла. Признаюсь, однако, что учение об именах, наверное, немного сложнее, чем я .когда-то полагал. Впрочем, сейчас я не буду рассматривать эти трудности и возьму язык в его обы­денном употреблении.

Я использовал для доказательства противоположность име­ни “Скотт” и дескрипции “автор Веверлея”. Утверждение “Скотт — автор Веверлея” выражает тождество, а не тавтоло­гию. Георг IV желал знать, является ли Скотт автором Вевер­лея, но не желал знать, является ли Скотт Скоттом. Для всех, кто не изучал логику, это совершенно ясно. Но для логика в этом заключена головоломная трудность. Логики полагают (или полагали раньше), что если два выражения обозначают один и тот же объект, то суждение, содержащее одно выражение, всегда может быть заменено суждением, содержащим другое, и при этом остаться истинным, если оно было истинным, или ложным, если оно было ложным. Но, как мы только что виде­ли, можно превратить истинное суждение в ложное, если заме­нить “автора Веверлея” на “Скотта”. Отсюда видно, что необхо­димо различать между именем и дескрипцией: “Скотт”—это имя, а “автор Веверлея”—дескрипция.

Другое важное различие между именами и дескрипциями заключается в том, что имя не может осмысленно входить в суждение, если нет чего-то, что оно именует, в то время как дескрипция не подчиняется этому ограничению. Мейнонг , к работам которого я относился тогда с великим почтением, не сумел заметить этого различия. Он указывал, что можно делать утверждения с логическим субъектом “золотая гора”, хотя ни­какой золотой горы не существует. Он доказывал, что когда вы говорите, будто золотой горы не существует, то очевидно, что есть нечто, о чем вы говорите, что этого не существует — а именно, золотая гора; следовательно, золотая гора должна пре­бывать в некоем туманном Платоновом мире бытия, ибо в про­тивном случае ваше утверждение, что золотая гора не сущест­вует, не будет иметь значения. Признаюсь, что, пока. я не при­шел к теории дескрипций, этот аргумент казался мне убеди­тельным. Существенно важным моментом в теории было то, что, хотя “золотая гора” может быть в грамматическом смысле субъектом значимого суждения, такое суждение, если его пра­вильно проанализировать, больше не будет иметь субъекта. Суждение “золотая гора не существует” становится суждением “пропозициональная функция “х золотая и гора” ложна для всех значений х”. Утверждение “Скотт—автор Веверлея” ста­новится утверждением “для всех значений х “х написал Вевер­лея” эквивалентно “х—это Скотт”. Здесь фраза “автор Вевер­лея” уже не встречается.

Теория дескрипции пролила также свет на то, что имеется в виду под “существованием”, “Автор Веверлея существует” означает “имеется значение с, для которого пропозициональная функция “х написал Веверлея” всегда тождественна “х есть с” истинно”. Существование в этом смысле может утверждаться только об описании, и, будучи проанализировано, оно оказыва­ется случаем пропозициональной функции, истинной по край­ней мере при одном значении переменной. Мы можем сказать: “Автор Веверлея существует”, и мы можем сказать: “Скотт — автор Веверлея”; но “Скотт существует”—скверно с точки зре­ния грамматики. В лучшем случае это можно проинтерпретиро­вать как означающее “человек, именуемый “Скоттом”, сущест­вует”, но “человек, именуемый “Скоттом” — это дескрипция, а не имя. Когда имя используют правильно, т. е. как собственно имя, грамматически неправильно было бы говорить: “это су­ществует” (“that exists”).

Центральная идея теории дескрипции состояла в том, что фраза может обусловливать значение предложения, не имея са­ма по себе (in isolation) никакого значения. Этому в случае дескрипции имеется точное доказательство: если бы “автор Веверлея” означало что-нибудь другое, чем “Скотт”, то “Скотт — автор Веверлея” было бы ложно, а это не так. Если бы “автор Веверлея” означало “Скотт”, то “Скотт — автор Ве­верлея” было бы тавтологией, а это не так. Следовательно, “ав­тор Веверлея” не означает ни “Скотт”, ни что-либо другое, т. е. “автор Веверлея” ничего не означает. Что и следовало дока­зать.