ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ

ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ
— раздел логики, в котором изучаются истинностные взаимосвязи между высказываниями.
В рамках данного раздела высказывания (пропозиции, предложения) рассматриваются только с т.зр. их истинности или ложности, безотносительно к их внутренней субъектно-предикатной структуре. При этом многообразие всех возможных отношений между высказываниями анализируется на основе трех базовых отношений — отрицания, конъюнкции и дизъюнкции, а также производных от них отношений импликации, эквивалентности и некоторых др. Данные отношения обозначают с помощью специальных формальных символов — пропозициональных логических операторов (пропозициональных связок). В современном логическом языке в качестве пропозициональных связок обычно используются следующие символы: оператор отрицания «)», оператор конъюнкции «&»,оператор дизъюнкции «V», оператор импликации «—>» и оператор эквивалентности «<—>». В естественном языке смысловыми аналогами этих операторов являются, соответственно, частица «не», союз «и», союз «или», связка «если.., то...» и связка «...если и только если...». Точный логический смысл пропозициональных связок задается с помощью истинностных таблиц, в которых любому высказыванию (вида А, ) А, А&В, AvB, A—>B, ) (А&В), Av) В и т.д.) приписывается свойство быть истинным высказыванием, либо свойство быть ложным высказыванием.
Л.в. является, с одной стороны, содержательной теорией, отражающей истинностные взаимосвязи между смысловыми значениями высказываний, а с др. стороны — логическим исчислением, выражающим синтаксические связи между самими высказываниями. Наиболее распространено классическое исчисление высказываний,в котором из конечного числа аксиом по специальным правилам вывода могут быть получены все общезначимые формулы Л.в., выражающие соответствующие логические законы. Первый содержательный вариант Л.в. был предложен еще в период античности в логико-философской школе стоиков, возглавлявшейся Хрисиппом. Значительно позже, в 19 в., англ. логиком Дж. Булем был предложен теоретико-множественный вариант Л.в., известный под названием «алгебра логики», или «Булева алгебра». Л.в. — основополагающий раздел современной логики, имеющий широкое применение в различных сферах интеллектуальной деятельности человека. Вместе с тем, поскольку в Л.в. не учитывается субъективно-предикатная структура высказываний и ряд др. содержательных положений, с ее помощью нельзя адекватно формализовать значительную часть содержательных рассуждений, используемых человеком. Для этих целей дополнительно к средствам Л.в. используются средства логики предикатов и металогики.

Философия: Энциклопедический словарь. — М.: Гардарики. Под редакцией А.А. Ивина. 2004.

ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ
логика суждений, пропозициональная логика, раздел совр. логики, лежащий в основе большинства её разделов в традиц. их изложении. Осн. объект Л. в. — высказывание, являющееся абстракцией от понятия предложения естеств. языка, в связи с чем Л. в. наз. иногда логикой предложений. Высказывание — это предложение, рассматриваемое в отвлечении от его внутр. (субъектно-предикатной) структуры — исключительно с т. зр. его возможных истинностных значений: обычно истины (обозначаемой через «и») или лжи («л»). Т. о., высказывание — это предложение, о котором имеет смысл говорить, что оно истинно или ложно. Из элементарных высказывании, относительно которых вопрос о присвоении им одного из значений «и» или «л» считается заранее решённым, с помощью логических операций (играющих роль союзов и аналогичных им конструкций естеств. языка) строятся сложные высказывания (аналоги сложносочинённых и сложноподчинённых предложений), значения истинности которых однозначно определяются истинностными значениями исходных высказываний и определением данной логич. операции. В соответствии с «естественной» интерпретацией высказываний и свойствами логич. операций, посредством которых они построены, некоторые из полученных т. о. формул Л. в. оказываются тождественно-истинными (т. е. истинными при всех распределениях истинностных значений исходных элементарных формул); их наз. также тавтологиями. Такие формулы выражают логические законы; их выявление — одна из осн. задач Л. в. Фиксировав некоторые из них в качестве аксиом с помощью подходящих правил вывода, получают описание Л. в. в виде исчисления высказываний.
Столл Р.Р., Множества. Логика. Аксиоматич. теории, пер. с англ., М., 1968.

Философский энциклопедический словарь. — М.: Советская энциклопедия. Гл. редакция: Л. Ф. Ильичёв, П. Н. Федосеев, С. М. Ковалёв, В. Г. Панов. 1983.

ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ
раздел совр. (математической) логики, посвященный изучению логич. форм сложных высказываний, образованных из элементарных высказываний с помощью связок, аналогичных союзам "и", "или", "если..., то", "если..., и только если", отрицания ("не") и др. Элементарные высказывания при этом рассматриваются как целые, т.е. не расчленяются на части (такие, напр., как субъект и предикат). Задачей Л. в., называемой также логикой предложений или пропозициональной логикой (а иногда также исчислением высказываний, исчислением предложений, пропозициональным исчислением), является прежде всего такое уточнение понятия формы сложного высказывания, к-рое позволяет уточнить и правила логич. оперирования с высказываниями, выразимыми в этой форме; так уточнить, чтобы для последних стало возможным алгоритмическое (см. Алгоритм) решение вопросов логич. характера, для к-рых люди давно искали общие – и притом автоматические – методы решения. К числу таких вопросов относятся прежде всего вопросы, связанные с выводом логич. следствий из данных посылок (напр., теорем в данной системе аксиом) или с поиском доказательства предложений, выразимых в этой уточненной форме. Примерами вопросов этого рода являются не только вопросы, относящиеся к проверке того, следует ли данное утверждение из данных посылок, но и вопросы о том, какие вообще логич. следствия данного вида могут быть выведены из данных посылок; каковы все те различные гипотезы (определ. вида), из к-рых может быть выведено данное заключение; можно ли упростить (в том или ином смысле) форму выражения данного высказывания, и мн. др.
Л. в. есть та – элементарная – часть математич. логики, для к-рой такие задачи являются разрешимыми (см. Разрешения проблемы), и поэтому именно она особенно часто находит разнообразные технич. применения в совр. автоматостроении, в т.ч. и при построении (имитирующих работу нервных сетей мозга) надежных схем из не вполне надежных элементов, к-рым занимается новая наука – б и о н и к а; именно к Л. в. обычно производится (непосредственно или опосредованно) сведeние аналогичных вышеприведенным проблем из более сложных частей логики в тех случаях, когда они допускают алгоритмич. решение. Несмотря на ее элементарный характер, Л. в. играет поэтому важную роль в совр. логике.
Задача уточнения формы сложных высказываний и правил логич. вывода (рассуждения) может решаться в Л. в. по-разному, прежде всего в зависимости от того, имеем ли мы дело с т.н. "классической" или же с конструктивной Л. в. Однако и в самих классич. и конструктивной Л. в. имеются различные решения проблемы такого уточнения, хотя часто (в том или ином смысле) равносильные между собой.
Понятие формы сложного высказывания уточняется с помощью понятия ф о р м у л ы Л. в., введение к-рого осуществляется посредством построения нек-рого "языка" для Л. в., состоящего из алфавита "букв" этого "языка" и правил написания "слов" (формул) в этом алфавите.
Алфавит может выбираться при этом по-разному, но он обычно содержит, во-первых, "буквы", называемые "пропозициональными переменными" (число к-рых предполагается неограниченным); далее, в алфавит должны входить "буквы", являющиеся знаками для логич. связок, таких, напр., как конъюнкция, дизъюнкция, импликация, отрицание; большинство алфавитов Л. в. содержит, кроме того, вспомогат. знаки: чаще всего скобки или точки. В алфавит вводятся иногда и знаки для постоянных: "истины" и "лжи" (1,0, или 2,0, или др.). Понятие формулы Л. в. легче всего определяется для алфавитов, в состав к-рых входят и скобки. Так, если алфавит состоит из пропозициональных переменных, знаков конъюнкции (&), дизъюнкции (/), импликации (?), отрицания ( ) и скобок, то понятие формулы можно определить так: (1) Всякая пропозициональная переменная есть формула; (2) Если А и В – формулы, те. (А & В), (А / В), (A ? B) – формулы; если А есть формула, то А – тоже формула. Употребителен, однако, и бесскобочный алфавит Лукасевича или алфавиты, в к-рых роль скобок выполняют точки (и группы точек). Существенно только, чтобы понятие формулы было "разрешимым", т.е. чтобы для всякого "слова" в данном алфавите можно было эффективно ответить "да " или "нет" на вопрос о том, является ли оно формулой Л. в. или нет, и к тому же ответить так, чтобы при положит, ответе однозначно восстанавливалась вся последовательность шагов построения формулы начиная с ее элементарных составляющих. Так, "слова": (р ? (q ? r)) и ((p ? q) ? r) (где р, q, r – пропозициональные переменные), согласно приведенному выше определению формулы, являются формулами, и последовательность шагов их построения может быть изображена следующими "деревьями":
ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ

"Слово" же (р ? g ? r) не есть формула: без дополнит. соглашений, позволяющих в точно определ. случаях опускать скобки, неизвестно, какие именно формулы связываются здесь знаками импликации; "дерево" поэтому нельзя построить.
Выбор алфавита для "языка" Л. в. определяется тем, чтo именно на этом "языке" должно стать выразимым (и притом в достаточно точной форме), т.е. определяется семантикой этого "языка". В классич. Л. в. этой семантикой являются правила, позволяющие установить истинность (соответственно, ложность) сложного высказывания в зависимости от истинности или ложности входящих в него элементарных высказываний. В соответствии с этим связки классич. Л. в. толкуются как функции от нек-рого числа аргументов, такие, что как сама функция, так и ее аргументы могут принимать одно и только одно из двух различных значений (соответствующих "истине" и "лжи"). Чтобы сделать выразимыми на "языке" Л. в. все такие функции, оказывается достаточным выбрать в качестве исходных связок лишь нек-рое – небольшое – их число: достаточно, напр., одних только конъюнкции и отрицания (соответственно, одних только дизъюнкции и отрицания), одних только импликации и отрицания или даже одного только "штриха" Шеффера – антиконъюнкции. Наиболее употребительными являются "языки": ИО (импликации и отрицания; А. Чёрч), CKЕ (сложения, т.е. строгой дизъюнкции, конъюнкции, единицы, т.е. истины; И. И. Жегалкин), КДО (конъюнкции, дизъюнкции, отрицания; Д. Гильберт и В. Аккерман), КДИО (конъюнкции, дизъюнкции, импликации, отрицания – "полная" Л. в.).
Общие теоремы о необходимых и достаточных условиях, для того чтобы данная совокупность связок, выбранных за исходные, обеспечивала полноту функциональную пользующегося ими "языка" Л. в., были установлены Э. Постом и (позднее, но в более общих предположениях) сов. учеными С. В. Яблонским и А. В. Кузнецовым.
Семантика конструктивной Л. в., вообще говоря, является более сложной и определяется тем или иным истолкованием всей конструктивной логики вообще (как логики конструктивной математики, имеющей дело только с конструктивными объектами и отвергающей абстракцию актуальной бесконечности, по А. Маркову и Н. А. Шанину; как исчисления задач по А. Н. Колмогорову; как "оперативной логики" или же как "логики спора" по П. Лоренцену; как определения "доказуемости" по К. Гёделю или по лекциям П. С. Новикова; как системы замкнутых подмножеств, любого топологич. пространства по Стону и А. Тарскому; как импликативной алгебраич. структуры по X. Кёрри и Г. Биркгофу; и др.). Все эти системы, за исключением первой, в которой используется еще "принцип конструктивного подбора" А. Маркова (см. Конструктивное направление), являются точными интерпретациями формальной системы А. Гейтинга для интуиционистской Л. в. Во всех них связки, соответствующие конъюнкции, дизъюнкции, импликации и отрицанию, независимы друг от друга, т.е. ни: одна из них не может быть выражена (определена) через другие. Недавно (1963) А. В. Кузнецов построил, для конструктивной Л. в. аналоги "штриха" Шеффера.
Еще более разнообразными, чем способы уточнения формы сложного высказывания, являются уточнения логич. правил вывода для Л. в. [напр., классическое и конструктивное секвенций исчисления или близкое к обычным способам рассуждения и специально ориентированное на них – классич. натуральное исчисление и его "минимальная" и "конструктивная", модификация; семантические и дедуктивные таблицы голл. математика и логика Э. Бета; семантические и синтаксические схемы вывода нем. математика К. Шютте и др. В ряде этих систем правила вывода устроены так, что они решают одновременно и проблемы поиска доказательства (соответственно, обнаружения недоказуемости) ].
Несмотря на существование различных способов уточнения правил логич. вывода, выбор последних, отнюдь не произволен (как это допускается позитивистским "принципом терпимости" Карнапа), а должен удовлетворять нек-рым требованиям. Характер этих требований определяется потребностями науки и техники, т.е. они имеют науч. смысл, когда удовлетворяют материалистич. критерию практики. Прежде всего, правила должны быть таковы, чтобы с их помощью из истинных посылок можно было вывести только истинные же заключения. Существенно, далее, чтобы заключения при этом логически следовали из посылок не только в том смысле, что могут быть выведены из последних по нек-рым правилам вывода, но – поскольку идет речь о подходящем выборе самих правил вывода – еще и в таком смысле, к-рый является независимым от этого выбора. Для целей классич. Л. в. этому требованию вполне удовлетворяет семан-тич. определение логич. следования, по к-рому заключение З логически следует (в смысле Л. в.) из посылок П1, ..., Пк, если и только если заменив в П1, ..., Пк, З элементарные высказывания пропозициональными перемен-ными, мы получим формулы Л. в. Р1,..., Рк, ? (формы посылок и заключения) такие,что всякий раз, когда функции, выражаемые формулами Р1,..., Рк, принимают значение "истина", это же значение принимает и формула Ф. Иными словами, заключение с необходимостью следует из посылок, если неосуществим такой случай, когда все формы посылок принимают значение "истина", а форма заключения – значение "ложь". Другим условием, соблюдение к-рого при выборе правил логич. вывода представляется весьма существенным, является требование п о л н о т ы выбранной системы правил, т.е. возможности вывести, пользуясь только ими, любое заключение З, логически следующее (в семантич. смысле) из к.-н. данных посылок. Все вышеупомянутые (классические) исчисления этому требованию удовлетворяют. (Само собой разумеется, что полнота исчисления не равнозначна отрицанию возможности расширять запас допускаемых им правил логич. вывода, но означает лишь, что всякое новое правило, вводимое в такое исчисление, должно быть д о п у с т и м ы м в нем в том смысле, что все, что может быть выведено с его помощью, может быть получено и без него. Допустимость всякого такого правила всегда нуждается поэтому в спец. обосновании, состоящем в указании способа, позволяющего по данному выводу, в котором используется новое правило, построить др. вывод, где это правило уже не прилуняется).
Поскольку формула (Р1 ?) (Р2 ? ... ? (Рк ? Ф)...)) может быть ложной лишь тогда, когда все "посылки" (антецеденты) Р1, Р2,..., Рк истинны, а "заключение" (консеквент) ? ложно, семантич. определение логич. следования для классич. Л. в. оказывается эквивалентным условию, чтобы эта формула была тождественно-истинной, т.е. при любых значениях пропозициональных переменных принимала бы лишь значение "истина". Вопрос о том, следует ли данное заключение З (в смысле классич. Л. в.) из посылок П1, ..., ПК может быть сведен, т.о., к вопросу о том, является ли нек-рая формула Л. в. тождественно-истинной ("законом Л. в.") или нет. Для Л. в. этот вопрос решается принципиально очень просто (см. Тождественная истинность, Тавтология).
Естественно, встает, однако, вопрос о том, нельзя ли множество "законов Л. в." охарактеризовать непосредственно формой выражающих их формул. Иными словами, нельзя ли дать такие правила, к-рые среди всех формул Л. в. выделили бы – только по их форме – тождественно-истинные. Оказывается, это можно сделать, причем различными способами. Прежде всего аксиоматически, т.е. в нек-ром смысле аналогично приведенному выше определению формулы Л. в. Именно, сначала задаются нек-рые формулы (или схемы формул: не формулы, а ф о р м ы формул, где роль пропозициональных переменных играют формульные переменные, но трактуемые не формально, а содержательно), к-рые наз. аксиомами (соответственно, схемами аксиом) Л. в., а затем формулируются правила вывода, позволяющие из уже имеющихся формул получать новые. Если все аксиомы при семантич. истолковывании оказываются тождественно-истинными формулами Л. в., а правила вывода, будучи примененными к тождественно-истинным формулам, дают тоже тождественно-истинные формулы, то аксиоматика выделяет нек-рое множество ? тождественно-истинных формул и при этом является непротиворечивой (как в том смысле, что в ней не может быть выведена никакая пара формул, одна из к-рых является отрицанием другой, так и в том смысле, что из нее заведомо не может быть выведена л ю б а я формула Л. в. и, в частности, к.-л. пропозициональная переменная, т.к. последняя заведомо не есть тождественно-истинная формула). Если в с я к а я тождественно-истинная формула выводима в данной аксиоматике, то последняя наз. с е м а н т и ч е с к и п о л н о й. Во всякой непротиворечивой и семантически полной аксиоматике классич. Л. в. множество ? выводимых в ней формул совпадает со всем множеством тождественно-истинных формул Л. в. Таковой является, напр., аксиоматика классич. Л. в., приведенная в ст. Вывод (в математич. логике). Эта аксиоматика является "полной" еще и в том смысле, что к ней "ничего нельзя добавить": всякое добавление к ней в качестве аксиомы к.-л. формулы, не выводимой в ней, делает-ее противоречивой. Аксиоматика конструктивной; Л. в. этим свойством "полноты" не обладает.
Если исходными в аксиоматике классич. Л. в. являются" не аксиомы, а схемы аксиом (каждой из к-рых соответствует" т.о., бесконечное множество аксиом), то обычно единств, правилом вывода в ней бывает правило удаления знака импликации (модус поненс), позволяющее из двух уже имеющихся формул А и (А ? В) получить формулу В. Если же исходными являются сами аксиомы (конечное их число), то к числу правил вывода приходится присоединить и правило, подстановки.
Для целей вывода логич. следствий аксиоматика ("полная") может быть использована и независимо от ее семантич. истолкования. Так, при наличии в ней правила модус поненс (а значит, и знака импликации в "языке" формул) всякий вывод логич. следствия формы ? из посылок, имеющих формы Р1, ..., Рк может быть осуществлен с помощью вывода из аксиом "закона Л. в.": (Р1 ? (Р2 ? ... ? (Рк ? Ф)...)) и применения (к раз) правила модус поненс. Ничего другого, кроме "законов Л. в." и одного лишь этого правила, для вывода логич. следствий, т.о., не требуется. Для того же, чтобы обеспечить, такую "полноту" аксиоматики Л. в., при наличии к-рой всякий вывод (по правилу модус поненс) формулы ? из форм посылок Р1,..., Рк и аксиом можно было заменить применением (к раз) правила модус поненс к формуле (Р1 ? (Р2 ... ? (Рк ? Ф )...)), выводимой только из аксиом, – т.е. чтобы была верна т.н. "теорема дедукции", – семантич. полнота аксиоматики не является необходимой.
Достаточно иметь в ней следующие две схемы аксиом: (1) (А ? (В ? А)) и (2) ((А ? (В ? С)) ? ((А ? В) ? (А ? С))). [Этими схемами – при наличии правила модус поненс – обеспечивается возможность: а) добавлять к множеству посылок лишние, в частности, считать, всякую отд. посылку логич. следствием из всего их множества; б) в формуле (P1 ? (P2 ? (Pk ? Ф)...)) как угодно переставлять посылки Р1,...., Рк, т.е. считать вывод не зависящим от порядка посылок; в) в множестве посылок отбрасывать повторяющиеся; г) вывод из заключения, следующего из нек-рых посылок, считать выводом только из этих посылок. Если желательно выяснить роль каждого из этих свойств; вывода в отдельности, то естественно заменить – как это и было сделано X. Кёрри – схемы (1), (2) такими, к-рые непосредственно отражают все эти свойства вывода 1. В аксиоматике конструктивной Л. в. теорема дедукции также справедлива.
Заметим, что при наличии одного только правила модус поненс достаточно добавить к схемам аксиом (1),. (2) т.н. "закон двойного отрицания" в виде следующей схемы: (3) (((A ? f) ? f) ? A), – где f есть вводимая в алфавит постоянная, в наиболее естественном семантич. истолковании соответствующая "лжи", – чтобы получить семантически полную аксиоматику для классич. Л. в. (см. А. Чёрч, Введение в математическую логику, т. 1, М., 1960, гл. I).
Хотя Л. в. является более простой частью логики, чем силлогистика Аристотеля, исторически она возникла позднее – по-видимому, в школе стоиков (см. Стоицизм), к-рые уже изучали логич. связки (такие, как импликация) и делали попытки сформулировать аксиомы Л. в. (ее осн. законы). Но в дальнейшей истории логики Л. в. не выделялась в особую часть этой науки вплоть, до последней четверти 19 в. [первыми работами, посвященными специально Л. в., обычно считаются работы Хью Мак-Колла (1877) ]. Однако и в это время Л. в. трактовалась чаще всего – в восходящих еще к идеям Буля работах Пирса, Шрёдера, англ. логика Дж. Венна, Порецкого и др. – лишь как одна из возможных интерпретаций логики классов, к-рая рассматривалась как соответствующая силлогистике Аристотеля.
Логика при этом строилась содержательно: как метод сведeния задач логики к задачам арифметики, алгебры или геометрии, способы решения к-рых предполагались уже известными из этих наук. В частности, поскольку всякое решение уравнений (и систем уравнений) всегда есть нек-рый вывод логич. следствий (определ. вида) из посылок, записанных в виде уравнений, естественно, возникло желание свести любые задачи, относящиеся к логич. выводу следствий, к решению уравнений и систем уравнений. Для Л. в. это оказалось особенно легко осуществимым, т.к. связки Л. в. можно было толковать как арифметич. функции, рассматриваемые лишь при двух различных значениях входящих в них переменных.
Так, если "истину" обозначить чере 0, а "ложь" черев 1, то табличное определение импликации (х?у), где х, у – пропозициональные переменные, выразится функцией (1–х) y. Высказыванию же (X?У), где ?, ? – элементарные высказывания, будет соответствовать утверждение, что (1–?)·?=0. Посылки (P?Q) и (Q?R), т.о., выразятся уравнениями (1–P) Q = 0 и (1–Q) R = 0; откуда PQ=Q и QR=R. Поэтому, далее PR = P(QR) = (PQ)R = QR=R, т.е. PR=R, или (1–Р)R=0, т.е. (P ? R). Итак, оперируя с уравнениями, соответствующими посылкам (P ? Q) И (Q?R), по обычным правилам арифметич. алгебры, мы приходим к заключению (Р?R), к-рое является,т.о., логич. следствием из этих посылок.
Алгоритм вывода логич. следствий и др. алгоритмич. проблемы Л. в. особенно легко сводятся к алгоритмам решения линейных уравнений при построении Д.в. как арифметики вычетов по модулю 2 (по И. И. Жегалкину, см. его соч. "Арифметизация символической логики", в Матем. сб., т. 35, вып. 3–4, 1928, т. 36, вып. 3–4, 1929).
Геометрич. методы решения задач логики, начало к-рым было положено еще Л. Эйлером, в применении к Л. в. в наст. время используются чаще всего в виде диаграмм Венна, достоинством к-рых является (когда приходится иметь дело с формулами с небольшим числом пропозициональных переменных) их геометрич. наглядность, побуждающая считать их особенно пригодными, напр., при построении схем, отражающих работу нейронов (работы амер. ученого Мак-Каллока и его учеников).
Алгебраич. методы решения задач Л. в. в наст. время связываются прежде всего с истолкованием как классич., так и конструктивной Л. в. в виде нек-рых структур (в смысле алгебраич. "теории структур"): дистрибутивной структуры с дополнениями (или алгебры Буля) – в случае классич. Л. в., и импликативной структуры (в к-рой импликация является нек-рым аналогом деления, если конъюнкция трактуется как умножение) – в случае конструктивной Л. в.
Содержательным ("семантическим") построением классич. Л. в. как математич. теории функций (определяемых таблично и соответствующих логич. связкам, употребляемым при построении сложных высказываний) и до сих пор иногда еще исчерпывается (особенно в популярных руководствах) изложение Л. в. Основанному на более строгом анализе логич. средств (в том числе и допускаемых в самом построении Л. в. как науч. теории) уточнению правил логич. вывода ("синтаксису") Л. в. при этом не уделяется достаточного внимания. Однако для многих приложений Л. в., особенно технических, такого ее "табличного" построения оказывается достаточно.
Существенную роль при этом играет возможность приводить (заменяя их эквивалентными, т.е. выражающими ту же функцию) формулы Л. в. к т.н. нормальным формам (см. также Алгебра логики).
Особенно большую роль, напр., при решении задач минимизации числа контактов в электрич. релейных схемах, играет т.н. "сокращенная нормальная форма", к-рая была предметом исследования в ряде работ сов. (С. В. Яблонский и его ученики, Е. К. Войшвилло и др.) и зарубежных (У. Куайн, Д. Нельсон и др.) авторов. Двойственный (см. Двойственность) к дизъюнктивной "сокращенной нормальной форме" конъюнктивный "силлогистич. многочлен" (термин принадлежит амер. логику А. Блэку, продолжившему работу П. С. Порецкого) имеет полезные применения к выводу логических следствий. Его членами являются все те и только те формулы, к-рые наз. "простыми следствиями" из конъюнкции посылок, приводящейся к данному силлогистич. многочлену, а понятие "простого следствия, неэквивалентного к.-л. из посылок", можно считать нек-рым уточнением понятия "нетривиального следствия".
Естественным обобщением для таблиц (матриц), определяющих связки Л. в. как истинностные функции (функции, принимающие значения: "истина", "ложь" в зависимости от того, какие из этих значений принимают их аргументы), являются матрицы с бoльшим, чем 2, числом истинностных значений, соответствую-щие многозначным Л. в. (см. Многозначная логика). Первая трехзначная Л. в. была построена Лукасевичем в 1920. Филос. вопросам, связанным с многозначными системами Л. в., была посвящена статья Лукасевича (1930). Трехзначная Л. в. с истинностными значениями: "истина", "ложь", "бессмыслица", была предложена как один из методов решения трудностей, связанных с парадоксами (антиномиями) теории множеств, сов. логиком Д. А. Бочваром в 1938. Вопросам об аксиоматизируемости многозначных Л. в. (т.е. замене табличного их построения аксиоматическим) был посвящен ряд работ польских логиков: М. Вайсберга, Е. Слупецкого, Б. Собочиньского, Тарского и др., а также работы амер. ученых Б. Poccера и А. Тюркетта. Таблично строящиеся многозначные Л. в. играют существ, роль при доказательствах независимости аксиом в аксиоматич. построении Л. в.: если при истолковании связок как функций, определяемых к.-л. многозначной таблицей, все аксиомы из рассматриваемой их системы, за исключением той, независимость к-рой подлежит доказательству, равно как и формулы, выводимые из них по правилам вывода данной аксиоматически построенной Л. в., не принимают никогда к.-л. значения ?, к-рое данная аксиома может принимать, то ясно, что последняя не выводима из остальных, т.е. является независимой от них.
Поскольку вопрос о тождественной истинноcти (о том, что формула принимает лишь нек-рые "выделенные" значения) особенно легко решается (принципиально) при табличном построении Л. в., большое значение имеет вообще задача отыскания для аксиоматически построенной Л. в. (системы ?) такой ее табличной интерпретации ("характеристической матрицы"), в к-рой не только все формулы, выводимые в системе ?, оказываются тождественно-истинными, но и, наоборот, все тождественно-истинные в этой матрице формулы оказываются выводимыми в ?. Для полных систем аксиом классич. Л. в. такие матрицы состоят из обычных определений связок Л. в. с помощью истинностных таблиц. Для конструктивной Л. в., как это было показано Гёделем, конечной характеристич. матрицы не существует (т.е. конструктивная Л. в. не является к.-л. k-значной Л. в.). Но польским логиком С. Яськовским в 1935 была построена (бесконечная) последовательность матриц такая, что всякая формула, выводимая в конструктивной Л. в., должна быть "тождественно-истинной" во всех матрицах этой последовательности и, наоборот, всякая формула, "тождественно-истинная" во всех матрицах этой последовательности, является выводимой в конструктивной Л. в. Отправляясь от матриц Яськовского, нетрудно построить (что и было сделано сов. логиком Б. Ю. Пильчак и несколько по-иному Д. Скоттом, предложившим систему "аксиом" и правил "вывода" для получения всех недоказуемых формул интуиционистской Л. в.) разрешающую процедуру для конструктивной Л. в., позволяющую для всякой формулы Л. в. установить, является ли она выводимой в конструктивной Л. в. или нет. Другие разрешающие процедуры для конструктивной Л. в. были предложены Г. Генценом (исчисление секвенций), сов. математиком H. H. Воробьевым, Э. Бетом (дедуктивные таблицы) и др. (Для всякой семантически полной аксиоматики классич. Л. в. такой разрешающей процедурой может быть, напр., табличное установление того, является ли данная формула тождественно-истинной или нет. В то же время, – как показал А. В. Кузнецов и для некоторых задач ранее Э. Пост, – многие более общие алгоритмические проблемы, связанные со в с е м классом т.н. "обыкновенных исчислений высказываний", являются неразрешимыми. Таковы, напр., задачи: построить алгоритм, который по списку I аксиом такого исчисления и формуле ? распознавал, выводима ли ? в I или нет; построить алгоритм, который бы по двум спискам аксиом I1 и I2 распознавал бы, эквивалентны ли соответствующие исчисления высказываний, и др.). Интересные результаты, относящиеся к проблеме машинного поиска логич. вывода, – прежде всего средствами классич. Л. в., – были доложены на Первом всесоюзном симпозиуме на эту тему, состоявшемся в г. Тракай 1–7 июля 1964, Н. А. Шаниным и его учениками.
Системой Л. в. особого рода, в которой операции конъюнкции, дизъюнкции и отрицания определяются таблично (обычным образом), формализация же логич. следования осуществляется с помощью знака "строгой импликации", вводимого только системой аксиом и правил, является логика "строгой импликации" (см. Импликация).
Лит.: Жегалкин И. И., О технике вычислений предложений в символич. логике, Матем. сб., т. 34, 1927, вып. 1; Гильберт Д. и Аккерман Б., Основы теоретической логики, пер. с нем., М., 1947; ?арский ?., Введение в логику и методологию дедуктивных наук, М., 1948; Пильчак Б. Ю., Об исчислении задач, "Укр. матем. ж.", 1952, т. 4, No 2; IIIанин ?. ?., О некоторых логич. проблемах арифметики, в сб.: Тр. Матем. ин-та им. B. А. Стеклова, т. 43, М., 1955; [см. ст.: ] Яблонский C. В., Кузнецов А. В., там же,т. 51, М., 1958; Воробьев Н. Н., Новый алгорифм выводимости в конструктивном исчислении высказываний, там же, т. 52, М.–Л., 1958; ?овиков П. С, Элементы математической логики, М., 1959; Гудстейн Р. Л., Математическая логика, пер. с англ., М., 1961; Беркли Э., Символическая логика и разумные машины, М., 1961 (имеется библиография); Кобринский Н. Е. и Трахтенброт Б. ?., Введение в теорию конечных автоматов, М., 1962; Глушков В. М., Синтез цифровых автоматов, М., 1962; Колдуэлл С., Логич. синтез релейных устройств, пер. с англ., М., 1962; Ван Xао, На пути к механич. математике, в кн.: Кибернетический сборник, [т. ] 5, М., 1962; Донченко В. В., Некоторые вопросы, связанные о проблемой разрешения для исчисления строгой импликации Аккермана, в сб.: Проблемы логики, М., 1963; Кемени Дж., Снелл Дж., Томпсон Дж., Введение в конечную математику, пер. с англ., М., 1963; Hilbеrt D., Веrnауs P., Grundlagen der Mathematik, Bd 1, В., 1934; Gentzen G., Untersuchungen uber das logische Schliessen I–II, "Math. Z.", 1934, Bd 39, H. 2, 3; Сurrу Н. В., Lecons de logique algebrique, P., 1952; Rоsser J. В., Logic for mathematicians, N. Y., 1953; Lorenzen P., Einfuhrung in die operative Logik und Mathematik, В.–Gott.–Hdlb., 1955; Quins W. v. О., Mathematical logic, Camb., 1955; Lukasiewicz J. and Tarski ?., Investigations into the sentential calculus, в кн.: Tarski ?., Logic, semantics, metamathematics, Oxf., 1956, p. 38–59; Curry H. B., A theory of formal diducibility, Notre Dame (Ind.), 1957; Lorenzen P., Formale Logik, В., 1958; Asser G., Einfuhrung in die mathematische Logik, Tl 1, Lpz., 1959; Hilbert D., Ackermann W., Grundzuge der theoretischen Logik, 4 Aufl., В.–Gott.–Hdlb. 1959; Sсhutte К., Beweistheorie, В., 1960; Scott D., Completness proufs for the intuitionistic sentential calculus, в кн.: Summaries of talks pres, at the Summer Inst. f. Symb. Logic, 2 ed., 1960, p. 231–41; Beth E. W., Formal methods, Dordrecht, [1962 ]. Библ. см. вкн.: Клини С. К., Введение в метаматематику, пер. с англ., М., 1957; Чёрч ?., Введение в метаматематич. логику, [т. ] 1, пер. с англ., [М. ], 1960.
С. Яновская. Москва.

Философская Энциклопедия. В 5-х т. — М.: Советская энциклопедия. Под редакцией Ф. В. Константинова. 1960—1970.

ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ
    ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ, пропозициональная логика — раздел логики символической, изучающий сложные высказывания, образованные из простых, и их взаимоотношения. При этом в отличие от логики предикатов внутренняя структура простых высказываний не рассматривается, а учитывается лишь, с помощью каких союзов и в каком порядке простые высказывания сочленяются в сложные. Под высказыванием понимается то, что выражается повествовательным предложением. Поэтому логику высказываний некоторые авторы называют также “логикой предложений”.
    В естественном языке существует много способов образования сложных высказываний из простых. Обычно выбирают пять общеизвестных грамматических связок (союзов): “не”, “и”, “или”, “если..., то” и “если..., и только если”. Процесс символизации языка логики высказываний состоит в следующем. Элементарные высказывания заменяются пропозициональными переменными p, q, r,... с индексами или без них; указанным выше грамматическим связкам ставятся в соответствие (с близким смыслом) логические связки, которые получают соответственно следующие обозначения и названия: -? (отрицание), л иди & (конъюнкция), v (дизъюнкция), э (импликация) и г (эквиваленция); и, наконец, используются скобки (,) для того, чтобы можно было по-разному группировать высказыванияи и этим определять порядок выполнения операций. Отрицание называется одноместной связкой, а остальные четыре — двухместными связками. Выражением языка логики высказываний называют любую последовательность указанных выше символов. Некоторые из этих выражений объявляются правильно построенными. Их называют формулами. Формулы определяются следующими правилами, где буквы А, В... представляют произвольные высказывания: (1) всякая пропозициональная переменная есть формула; (2) если А и В — формулы, то (-, А), (А л В), (? ? В), (Аэ В), (A s В) тоже формулы; (3) никакие другие соединения символов не являются формулами. Примерами формул являются p, -i q, -i (p v q). Внешние скобки при записи формул обычно опускают, а связки (по определению) различают по “силе связывания”. Напр., знак отрицания -? связывает сильнее, чем двухместные связки. Т. о., правила задают эффективный способ распознавания, является ли выражение логики высказываний формулой.
    Затем делают два основных допущения, на которых основывается семантика логики высказываний: (I) Каждое простое высказывание является или только истинным, или только ложным (принцип двузначности). “Истина” и “ложь” называются истинностными значениями высказывания и обозначаются соответственно И и Л, или 1 и 0. (II) Истинностное значение сложного высказывания определяется только истинностными значениями составляющих его простых высказываний. Это означает, что логические связки (их называют также пропозициональные связки) являются истинностными функциями.
    Удобным способом задания истинностных функций является табличный, где слева указываются все возможные приписывания значений аргументам (пропозициональным переменным), а справа — значения самой функции:
    ?
     q
     pAq
     pvq
     p=iq
     psq
    и
     И
     И
     И
     И
     и
    и
     Л
     Л
     И
     Л
     л
    л
     И
     л
     и
     и
     л
    л
     л
     л
     л
     и
     и
    -'Р
    -'Р
    Приведенные выше таблицы называются истинностными таблицами, а определяемые ими пропозициональные связки — классическими связками. Легко определить, сколько имеется различных классических связок. Число различных строк в 1аблице длины m равно 2"1 и на каждой из них значение функции можно задать двумя способами: И или Л. Поэтому число функций двузначной логики, зависящих от m аргументов, составляет 2 в степени 2"'. Отсюда, напр., число одноместных связок равно 4, а число двухместных связок равно 16.
    каждая формула задает некоторую истинностную функцию, которая графически может быть представлена истинностной таблицей, содержащей 2"1 строк, если в формуле имеется m раличных пропозициональных переменных. При этом формула может быть такой, что на каждой строке она принимает только одно значение, равное И, или только одно значение, равное Л. В первом случае она называется тавтологией (тождественно истинным высказыванием), а во втором — противоречием (тождественно ложным высказыванием). В формальной логике тавтологии играют важную роль. Они служат для записи ее законов (Закон логический), так как тавтологии являются всегда истинными высказываниями только в силу своей символической формы, независимо от содержания входящих в них исходных высказываний. Легко установить, что формулы вида ? ? ?, ? ?-? А, —, (А л-? А) являются тавтологиями. Законы, выражаемые этими формулами, называются соответственно законом тождества, законом исключенного третьего и законом непротиворечия.
    Исключительно важное свойство истинностных таблиц состоит в следующем: они дают эффективную процедуру для решения вопроса о том, является ли данная пропозициональная формула тавтологией. Указанная процедура называется разрешающей процедурой и отсюда следует, что развиваемая здесь логика высказываний является разрешимой логикой (см. Разрешения проблема). Вот некоторые общие факты о тавтологиях, настолько общие, что они называются правилами логики высказываний: 1. Правило заключения (modus ponens). Если А и А => В тавтологии, то В тавтология.
    2. Правило подстановки. Если А(р) есть тавтология и В — формула, то А(В) тоже тавтология, где В замещает каждое вхождение переменной ? в формуле А, т. е. подстановка в тавтологию приводит к тавтологии. Уже отсюда следует, что имеется бесконечное множество тавтологий.
    3. Правило замены. Формулы А и В называют эквивалентными, если формула А s В есть тавтология. Очевидно, что если формулы А и В эквивалентны, то они равны как истинностные функции, т. е. принимают одинаковые истинностные значения. Тогда, если As В есть тавтология, то С(А) = С(В) тоже тавтология, где С(А) — формула, содержащая некоторую фомулу А в качестве своей составной части, и С(В) — формула, полученная из С(А) заменой этой составляющей А на формулу В.
    Из последнего правила следует, что можно преобразовывать формулы, получая другие, им эквивалентные, на более простые (содержащие меньше пропозициональных связок и переменных). Можно теперь любую формулу привести к какому-либо каноническому виду и этим решать определенного рода задачи. Более того, некоторые эквиваленции выражают основные свойства пропозициональных связок. Напр., эквиваленции (А л В) s (В л А) и (? ? В) = (? ? В) выражают коммутативный закон конъюнкции и соответственно дизъюнкции. Все эти вопросы (и другие) изучает алгебра логики, основы которой заложены в работах Дж. Буля (1847, 1854) и А. де Моргана (1847).
    Отметим некоторые эквиваленции, указывающие на взаимовыразимость одних связок через другие: А л В а -,(-, ? ? -??), ?? В=-1(-, Ал^В),Аэ ?=-???, (А=В)= (А=> В) л (В эА). Система пропозициональных связок M называется полной, если всякая формула эквивалентна некоторой формуле, в которую входят только связки из системы М, т. е. посредством такой системы можно выразить все истинностные функции. Так, системы СВЯЗОК {-?, Л, ?}, {-?, л}, {-?, V} И {-?, =>} ЯВЛЯЮТСЯ ПОЛНЫМИ.
    Это значит, что мы можем строить логику высказываний на основе любой из указанных систем связок. Оказывается, полной может быть система, состоящая только из одной связки |, которая называется “штрих Шеффера”: высказывание p l q истинно тогда и только тогда, когда неверно, что ? и q оба истинны. Достаточность связки | следует из тавтологий -А=А|А, ???=(?|?)|(?|?).
    Наряду с понятием тавтологии фундаментальным для логики высказываний является понятие логического следования (см. Следование логическое), поскольку одной из главных задач логики является устанавливать, что из чего следует, и тем самым указывать, какие высказывания являются теоремами при заданных условиях. Всякую теорему можно записать в виде импликации и т. о. выделить ее условие и заключение. Говорят, В логически следует из А или является логическим следствием из А, и пишут А I = В, если в таблицах истинности для А и В формула В имеет значение И во всех тех строках, где А имеет значение И. Отсюда вытекает, что А | = В тогда и только тогда, когда А => В есть тавтология. Если формула А тавтология, то иногда пишут | = А. Приведенное определение логического следования без труда расширяется на некоторую систему формул (систему посылок) А| ,..., А,, которая обозначается посредством Г, и тогда пишут Г 1 = В. Примером логического следования (вывода) из посылок является уже упомянутое правило modus ponens. Выводимость В из высказываний А и А э В следует из того, что формула (А л (? ?) В)) э В является тавтологией. Отметим также, что в силу таблиц истинности для связки импликации получаем, что тождественно истинная формула логически следует из любой системы формул. А из того, что имеется разрешаюшая процедура для тавтологий, получаем, что проблема выводимости произвольной формулы В из заданной системы посылок также разрешима.
    Если определено понятие тавтологии и определено семантическое понятие логического следования (как это сделано выше), то говорят, чтодано семантическое представление логики высказываний, а сама логика высказываний зачастую отождествляется с множеством тавтологий или с самим отношением логического следования. Однако такое представление ставит серьезную проблему: как обозреть все тавтологии, которых бесконечное множество? Для решения этой проблемы нужно перейти к синтаксическому представлению логики высказываний.
    Формальный (символический) язык логики высказываний и понятие формулы остаются прежними. Но теперь из всего множества тавтологий выбирают некоторое их конечное (и, вообще говоря, определяемые неоднозначно) подмножество, элементы которого называются аксиомами. Напр.: l.p=)(q3p). 2. (? э (q э r)) n ((p э q) => (p => r)), 3. p n (p v q), 4. q э (p v q), 5. (p => r) => ((q э r) э ((p v q) э r)), 6. (? л q) 3 p, 7. (p л q) э q, 8. (p э q) =) ((p =1 r) э (p з (q л r))), 9. (p э-.q) э (q =)-ip), 10. рэ (-ip=>q), ll.pv-ip. T. о., в отличие от табличного определение логических связок -?. ?, ?, э задается аксиоматически. Затем с помощью уже известных правил, но чисто формально осуществляется вывод — переход от высказывания или системы высказываний к высказыванию: из А и AD В следует В (правило заключения); из А(р) следует А(В) (подстановка). Так, заданную логику высказываний обозначим посредством Сд и назовем классической.
    Каждая аксиоматическая система, которая использует правило подстановки, может быть переформулирована в виде системы аксиомных схем, где вместо пропозициональных переменных используются символы произвольных высказываний (т. н. метапеременные). В этом случае каждая аксиомная схема представляет бесконечное множество аксиом и тогда правило подстановки оказывается излишним. Логическое исчисление, заданное посредством некоторого множества аксиом и некоторого множества правил вывода, называется исчислением гильбертовского типа. Выводом в нем называется всякая последовательность А), ..., А,, формул такая, что для любого i формула А, есть либо аксиома, либо непосредственное следствие каких-либо предыдущих формул по одному из правил вывода. Формула А называется теоремой, если существует вывод, в котором последней формулой является А; такой вывод называется выводом формулы А. Запись |— А служит сокращением утверждения “А есть теорема”. Если формула А выводима из некоторого множества Г исходных формул, то тогда запись принимает вид Г |— А (подробнее см. Вывод логический). Исходя из синтаксического представления логики высказываний, последняя зачастую отождествляется с множеством теорем или, что более принято, с отношением выводимости. Итак, при семантическом подходе формулы понимаются содержательно (как функции на множестве из двух элементов И, Л), а при синтаксическом подходе формула — это определенный набор символов и различаются только теоремы и нетеоремы. Однако, несмотря на такое различие, оба подхода к построению логики высказываний по существу совпадают и, как говорят, являются адекватными. Это значит, что совпадают понятия логического следования и понятия вывода. Рассмотрим следующую примечательную теорему, которая иногда называется теоремой адекватности: для всех А, |— А тогда и только тогда, когда |= А.
    Доказательство в одну сторону, а именно: для всех А, если |— А, то = А носит название теоремы о корректности. Это минимальное условие, которое мы требуем от логического исчисления и которое состоит в том, что представленная нами семантика корректна для выбранной аксиоматизации. Для доказательства теоремы нужно проверить, во-первых, что все аксиомы (1) — (11) являются тавтологиями, что легко устанавливается непосредственной проверкой с помощью истинностных таблиц, и, во-вторых, что правила вывода выбраны т. о., что они сохраняют тавтологичность. Поэтому все формулы последовательности, образующей доказательство какой-либо теоремы исчисления С^, в том числе и сама доказуемая теорема, являются тавтологиями. Из этой теоремы следует важнейшее свойство нашего исчисления высказываний С^: в С^ формулы А и -А одновременно недоказуемы, т. е. исчисление высказываний С, непротиворечиво. Ели бы это было не так, то (с использованием аксиомы (10) и двойным применением modus ponens) в Сд была бы доказуема любая формула В. В силу этого противоречивая логика высказываний никакой ценности не представляет. В ней истина и ложь неразличимы и поэтому любая теорема одновременно истинна и ложна.
    Имеет место и обратное утверждение о том, каждая тавтология доказуема, т. е для всех А, если |= А, то |— А. Доказательство этой теоремы не столь тривиально и носит название теоремы о полноте исчисления высказываний относительно предложенной семантики. По существу здесь утверждается, что логических средств, т. е. аксиом и правил вывода, исчисления высказываний С^ вполне достаточно для доказательства всех тавтологий. Т. о., поставленная цель достигнута: используя минимальные средства, можно обозреть все множество тавтологий.
    Имеется много различных аксиоматизаций С^, в том числе состоящих из одной аксиомы и содержащих только одну связку (штрих Шеффера). Понятно, что чем меньше аксиом, тем сложнее доказательства. И вообще, в гильбертовских исчислениях доказательство теорем и сам поиск вывода весьма громоздок. Поэтому используются другие формулировки исчисления, более или менее приближенные к естественным рассуждениям, такие, как исчисление секвенций, исчисление натурального вывода и др. Но соотношение между семантикой и синтаксисом здесь не столь прозрачно. Первая аксиоматизация классической логики С^ была предпринята Г. Фреге (1879). Однако в терминах современного символического языка аксиоматизация Сд появилась в “PrinсуиаМаиетаиса”А.УайтхедаиБ.Рассела(910—13). В обеих работах вопрос о полноте просто не возникал. Их целью было показать, что вся логика, а в действительности вся математика может быть развита внутри их системы. Первая публикация доказательства полноты принадлежит Э. Посту (1921), который исходил из системы Уайтхеда и Рассела. Еще ранее это было сделано П. Бернайсом. В обоих случаях использовались двузначные истинностные таблицы (приведенные выше) для доказательства теоремы адекватности. В этом случае говорят еще, что эти таблицы являются характеристическими для С^.
    Теперь можно перейти к характеризации того, что называется классической логикой высказываний: (а) Сд основана на принципе двузначности (бивалентности). В последнее время большое развитие получили так называемые “бивалентные семантики”, не только для С^; (Ь) двузначные истинностные таблицы являются характеристическими. В этом смысле классическая логика высказываний является минимальной; (с) классическая лотка высказываний является максимальной в том смысле, что она не имеет расширений: всякое добавление к ней в качестве аксиомы к.-л. формулы, не выводимой в ней, делает ее противоречивой; наконец, (d) классическая логика высказываний имеет наиболее простую семантику, которую можно только изобрести. Все это говорит о классической логике высказываний как уникальном явлении среди всего множества логик (см. Неклассические логики).
    Если в приведеной аксиоматизации С; отбросить последнюю аксиому (исключенного третьего закон), то получим аксиоматизацию пропозициональной интуиционистской логики. Оказывается, она имеет континуум расширений (В. Л. Янков, 1968) и никакие конечнозначные истинностные таблицы не являются для нее характеристическими (К. Гедель, 1932). Есть логики, которые имеют только одно расширение, т. е. саму Сд.
    Что касается множества логик, то результат Янкова говорит о том, что существует континуум различных пропозициональных исчислений только определенного класса, т. е. таких логик, которые включают интуиционистскую логику (такие логики называются суперинтуиционистскими или промежуточными). Более того, в этом классе существует бесконечное множество логик, не имеющих конечной аксиоматизации, бесконечное множество неразрешимых логик, а также существуют конечнозначные логики с произвольным числом истинностных значений.
    Стоит отметить широкое применение алгебраических методов для решения различных задач логики высказываний. Это становится возможным прежде всего с истолкованием логики высказываний как некоторой структуры (в смысле алгебраической “теории структур”). Так, дистрибутивная структура с дополнениями (алгебры Буля) соответствует классической логике высказываний (см. Алгебра логики), а импликативная структура, где импликация является некоторым аналогом деления, если конъюнкция трактуется как умножение (псевдобулевы алгебры или алгебры Гейтинга), соответствует интуиционистской логике высказываний. Заметим, что в основе приложений булевой алгебры к логике лежит интерпретация элементов булевой алгебры как высказываний.
    В заключение обратим внимание на применение классической логики высказываний для анализа и синтеза релейноконтактных схем (К. Шеннон, 1938 и В. И. Шестаков, 1941). В автоматическом управлении и при эксплуатации вычислительных машин приходится иметь дело с релейно-контактными схемами, содержащими сотни и тысячи реле, полупроводников и магнитных элементов. Описание и конструирование таких схем весьма непростое дело. Оказалось, что на помощь может прийти логика высказываний. Каждой схеме ставится в соответствие определенная ее формула в языке {-?, л, ?} и каждая формула реализуется с помощью некоторой схемы. Изучая соответствующую формулу, можно выявить возможности заданной схемы и упростить ее (решение подобного рода задач называется анализом схемы). Появляется возможность построить схему, заранее описав с помощью формулы те функции, которые схема должна выполнять (синтезирование схемы). Остается только добавить, что именно классическая логика высказываний лежит в основе проектирования микросхем для современной цифровой электронной техники, в том числе и для компьютеров, хотя в последнее время ведутся подобные работы, основанные на других логиках — многозначных, нечетких, паранепротиворечивых.
    Лит.: Клинч С. К. Введение в математику. М., 1957; ЧёрчА. Введение в математическую логику, т. 1. M., 1960; Новиков П. С. Элементы математической логики. М., 1973; Мендельсон Э. Введение в математическую логику. М., 1984; Карпенко А. С. Классификация пропозициональных логик.— В кн.: Логические исследования, вып. 4. М., 1997; Яглом И. М. Булева структура и ее модели. М., 1980; Янков В. А. Построение последовательности сильно независимых суперинтуиционистских пропозициональных исчислений.— В кн.: Доклады Академии наук СССР, 1968, т. 181, № I; Логика высказываний (Яновская С. А.).— В кн.: Философская энциклопедия, т. 3. М., 1964; Epstein R. L. The semantic foundations of logic, vol. 1: Prepositional logic. Dordrecht, 1990; From Frege to Godel: A source book in mathematical logic 1879-1931, Harvard University Press, 1967. p. 264-283.
    А. С. Карпенко ЛОГИКА ИНДУКТИВНАЯ — см. Индуктивная логика. ЛОГИКА МНОГОЗНАЧНАЯ — см. Многозначные логики.

Новая философская энциклопедия: В 4 тт. М.: Мысль. Под редакцией В. С. Стёпина. 2001.